Đang tải... (xem toàn văn)
( Các bài toán trên yêu cầu chung là không giải phương trình).. Tìm giá trị nhỏ[r]
(1)BÀI TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ Bài tốn 1: Tìm điểu kiện m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có nghiệm phân biệt.
Phương pháp giải: B
ớc : Xác định hệ số a, b, c ( a, b, c, b') (nếu chưa thành thạo). B
ớc : Tính '
B
ớc Kiểm tra điều kiện
+ Nếu <0 ( '<0) phương trình vô nghiệm
+ Nếu =0 ( '= 0) phương trình có nghiệm kép
+ Nếu >0 ( '> 0) phương trình có nghiệm phân biệt
+ Nếu 0 ( ' 0) phương trình có nghiệm
+ L
u ý:
- Trong số tốn tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = Sau xét trường hợp a0 làm
như bước
- Trong số tốn tìm điểu kiện m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vơ nghiệm, có nghiệm phân biệt ma hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình phương trình bậc hai ( a0)
Ví dụ 1: Cho phương trình (m-1)x2 + 2.(m+2)x+m = (1).
a, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm
b, TÌm điều kiện m để phương trình có nghiệm phân biệt Giải
a,
+ Khi m-1 = hay m =1, phương trình (1) trở thành: 6x + = Đó phương trình bậc có nghiệm
6
x
+ Khi m - 0 hay m 1 Ta có
2 2
' (m 2) m m.( 1) m 4m m m 5m
Để phương trình có nghiệm ' 0, tức là: 4
5
m m
Kết hợp trường hợp ta
5
m phương trình có nghiệm
b, Để phương trình (1) có nghiệm phân biệt
'
a
, tức là:
1
4
5
5
m m
m m
Vậy với m1
5
m phương trình (1) có nghiệm phân biệt
Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm a, x2 - x - 2m = 0 b, 5x2 + 3x + m-1 = 0
(2)Bài 2: Tìm điều kiện m để phương trình sau có nghiệm phân biệt a, 3x2 - 2x + m =0 b, x2 + 2(m-1)x - 2m+5 = 0
Bài Tìm điều kiện m để phương trình vơ nghiệm a, ( m-1)x2 + 2x + 11 = 0 b, x2 + (m-1)x+m-2=0
Bài tốn 2: Chứng minh phương trình ln có nghiệm, nghiệm phân biệt với m.
Phương pháp giải: Bước 1: Tính '
Bước 2:
+ Chứng minh 0 phương trình ln có nghiệm với m
+ Chứng minh 0 phương trình ln có nghiệm phân biệt với m
( Chú ý sử dụng đẳng thức ta tách biểu thức thành bình phương biểu thức cộng với số thực dương; Các biểu thức sau không âm:
A; A2, )
Lưu ý: Ta chứng minh phương trình có nghiệm phân biệt với m
cách chứng minh a.c < ( a, c trái dấu)
Ví dụ 1: Cho phương trình x2 - (m+1)x +m =0 (1) ( x ẩn số, m tham số)
Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m Giải
Ta có [ (m 1)]2 4m (m 1)2 4m m2 2m 1 (m 1)2
Nhận thấy (m 1)2 0, m
Suy ra, phương trình (1) ln có nghiệm với m
Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2.(m-1)x + m-3 = (1) ( x ẩn số, m tham số)
Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt Giải
+ Ta có ' [ (m 1)]2 (m 3) (m 1)2 (m 3) m2 2m 1 m 3 m2 3m 4
Ta có m2 - 3m+ = ( 2.3 9) ( 3)2 0,
2 4
m m m m
Suy 0,m
Vậy phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt Bài tập áp dụng
Bài 1: Chứng minh phương trình ẩn x sau ln có nghiệm có nghiệm phân biệt
a, x2 - 2.( m+1)x + 2m+1 = 0 b, x2 - 3x + 1-m2 = 0
c, x2 + ( m+3)x + m+1 = 0
Bài toán 3: Xác định m để phương trình có nghiệm cho trước Với
m vừa tìm tìm nghiệm cịn lại Phương pháp giải:
Bước 1: Thay x vào phương trình bậc 2, sau giải phương trình ẩn m để
tìm giá trị m
Bước 2: Thay giá trị m vừa tìm vào phương trình, sau dùng hệ thức viet để tính nghiệm cịn lại cách x2 = S-x1 (S: tổng nghiệm phương
trình)
(3)Ví dụ: Cho phương trình: x2 - 2.(m-1)x+2m-3 = (1)
Xác định m để phương trình có nghiệm -1 xác định nghiệm cịn lại phương trình
Giải:
+ Thay x = -1 vào phương trình (1), ta có
(-1)2 - 2.(m-1).(1) + 2m-3 = 0 4m 4 0 m1
+ Thay m = vào phương trình (1) ta phương trình: x2 - = 1
1
x x
x x
Vậy với m=1 phương trình có nghiệm x = -1 nghiệm lại x = Bài tập áp dụng
Bài 1: Tìm m để phương trình sau có nghiệm số cho trước ( ) Tìm nghiệm cịn lại
a, x2 - (m+2)x + m+1 =0 ( x=1)
b, x2 + 2x + m2 - 2m =0 ( x=-3)
c, mx2 + 2x + 1-m = ( x=2)
Bài tốn 4: Tìm điều kiện m để phương trình bậc có nghiệm x1, x2
thoả mãn điều kiện: mx1 + nx2 = p (1) (m, n, p số cho trước).
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm x1, x2 ( 0
' ) (*)
Bước 2: Lập hệ thức vi-et tổng, tích nghiệm phương trình
1
1
(2)
(3)
b x x
a c x x
a
Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm x1, x2
1
1
mx nx p
b x x
a
Bước 4: Thay x1, x2 vào (3) > m cần tìm
Bước 5: Đối chiếu giá trị m vừa tìm với điều kiện bước > kết luận Lưu ý: Cũng kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình bước Tìm x1, x2 tiếp tục làm bước bước
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 8x + m = Tìm giá trị m để phương trình đã
cho có nghiệm thoả mãn x1- x2 = (1)
Giải:
Ta có: ' ( 4)2 m 16 m
Để phương trình có nghiệm x1, x2 0, tức là: 16 m 0 m16(*)
Theo hệ thức vi-et ta có: x1 + x2 = (2); x1.x2 = m (3)
Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình
1 2
8
2
x x x
x x x
Thay x1 = 5, x2 = vào (3) ta có: m=5.3=15 (thoả mãn đk *)
(4)Lưu ý: Các tốn tìm m để phương trình bậc ( chứa tham số m) có 2 nghiệm đối ( x1 = -x2), có nghiệm k lần nghiệm ( x1 = kx2), có
nghiệm lớn nghiệm k đơn vị ( x1 = x2 + k hay x1-x2 =k), ta
quy tốn
Bài tốn 5: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm thoả mãn biểu thức x1, x2 ( sử dụng hệ thức vi-et)
Phương pháp giải
Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( 0
hoặc ' 0) (*)
Bước 2: Lập hệ thức vi-et tổng, tích nghiệm phương trình
1
1
(2)
(3)
b x x
a c x x
a
Bước 3: Biến đổi biểu thức đầu dạng tổng nghiệm, tích nghiệm, sau thay kết bước vào biểu thức giải phương trình ẩn m thu Các biểu thức thường gặp:
a, 2
1 ( 2) 2 x x k x x x x k
b, 3
1 ( 2) 2( 2) x x k x x x x x x k
c,
1 2
1
x x
k k
x x x x
d,
2 2
1 2 2
2 1 2
( )
x x x x x x x x
k k k
x x x x x x
Bước 4: Đối chiếu kết vừa tìm bước với điều kiện bước > kết luận
Lưu ý: Các biểu thức khác làm tương tự, sử dụng phương pháp đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, để đưa dạng tổng, tích nghiệm
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 4x + m-1 = (1) Tìm điều kiện m để phương
trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12
Giải:
Ta có ' ( 2)2 (m 1) 4 m 1 5 m
Để phương trình (1) có nghiệm x1, x2 ' 0, tức là: 5 m 0 m5 (*)
Theo hệ thức vi-et ta có:
1
4
x x x x m
Ta có: 2
1 12 ( 2) 2 12 x x x x x x
4 2.(m 1) 12 16 2m 12 m
Nhận thấy m = thoả mãn điều kiện (*)
Vậy với m = phương trình (1) có nghiệm x1, x2 thoả mãn: x12 + x22 = 12
Bài toán 6: Lập phương trình bậc hai biết nghiệm x1, x2
Trường hợp 1: nghiệm x, x2 số cụ thể:
Bước 1: Tính tổng S = x1 + x2, tích P = x1x2
(5)Trường hợp 2: x1, x2 nghiệm phương trình ban đầu Lập phương
trình có nghiệm biểu thức chứa x1, x2
Phương pháp giải:
Bước 1: Lập tổng (S) biểu thức chứa x1, x2; tích (P) biểu thức chứa x1, x2
( biến đổi toán 5)
Bước 2: Lập hệ thức vi-et cho phương trình ban đầu
Bước 3: Lập phương trình x2 - Sx + P = Đây phương trình cần tìm
Ví dụ:
a, Lập phương trình bậc hai biết nghiệm là: x1 = 7, x2 = 10
b, Cho x1, x2 phương trình x2 - 2(m-1)x-1=0 (1) Hãy lập phương trình có
nghiệm
1
x 2
1
x
Giải:
a, Ta có: S = x1 + x2 = 7+10 =17
P = x1x2 = 7.10 =70
> x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 17x +70 =0
b, Nhận thấy a = 1, c = -1 > a.c = -1 < > phương trình (1) ln có nghiệm phân biệt x1, x2
Theo hệ thức vi-et ta có:
1
2.( 1)
x x m
x x
Ta có:
2 2
2
1 2
2 2 2
1 2
( )
1 [2.( 1)] 2.( 1)
2.(2 3)
( ) ( 1)
x x x x x x m
S m m
x x x x x x
2 2
1 2
1 1
( ) ( 1)
P
x x x x
Phương trình cần lập là: x2 - 2.(2m2 - 4m + 3)x + = 0
Bài tập áp dụng
Bài 1: Lập phương trình có nghiệm
a, x1 = 7, x2 = 10; b, x1 = -3, x2 =
c, 1 6, 2
2
x x d,
1
,
3
x x
Bài 2: Cho phương trình -3x2 + 8x - = Lập phương trình có nghiệm mà
mỗi nghiệm gấp đôi nghiệm phương trình cho
Bài 3: Cho x1, x2 nghiệm phương trình x2 - 12x + 11 = Lập phương
trình có nghiệm
1
1 ,
x x
Bài 4: Cho phương trình x2 + 20042003x + = có nghiệm x
1, x2 Lập phương
trình bậc hai ẩn y có nghiệm là: y1 = x12 + 1, y2 = x22 +
Bài 5: Cho phương trình x2 - 6x + =0 Lập phương trình có nghiệm bằng
bình phương nghiệm phương trình cho
(6)Bài tốn 7: Tìm m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 Sau tìm
giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức qua x1, x2.
Phương pháp giải B
ớc 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( 0
hoặc ' 0) (*)
B
ớc 2: Lập hệ thức vi-et
1
b x x
a c x x
a
B
ớc 3: Biến đổi biểu thức dạng tổng tích nghiệm để áp dụng hệ thức vi-et > ta thu biểu thức bậc m
Các biểu thức thường gặp
a, 2
1 ( 2) 2 x x k x x x x k
b, 3
1 ( 2) 2( 2) x x k x x x x x x k
c,
1 2
1
x x
k k
x x x x
d,
2 2
1 2 2
2 1 2
( )
x x x x x x x x
k k k
x x x x x x
B
ớc 4: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ nhất
+ Nếu hệ số a biểu thức m >0 ta có giá trị nhỏ Để tìm giá trị nhỏ ta biến đổi biểu thức chứa m dạng A2 + a a m, , giá trị nhỏ a (
phải rõ đạt giá trị m > so với điều kiện bước kết luận)
+ Nếu hệ số a biểu thức m < ta có giá trị lớn Để tìm giá trị lớn ta biến đổi biểu thức chứa m dạng a - A2 a m, , giá trị lớn a
(phải rõ đạt giá trị m > so với điều kiện bước kết luận)
Ví dụ: Cho phương trình x2 - (m+1)x+m=0 (1)
Gọi x1, x2 nghiệm phương trình (1)
Tìm giá trị m để A = x12x2 + x1x22 + 2007 đạt giá trị nhỏ Tìm giá trị nhỏ
nhất Giải:
+ Ta có: [-(m+1)]2 4m m 2 2m 1 (m1)2 0, m 0, m
phương trình ln có nghiệm với m
+ Theo hệ thức vi-et ta có: x1x2 m 1; x x1 m
+ Ta có A = x1x2.(x1 + x2) + 2007 = m.(m+1)+2007 = m2 + m + 2007
= m2 + 2.m.1 2+
1
2006
4 4=
2
1 3
( ) 2006 2006 ,
2 4
m m
Dấu " = " xảy 1
2
m m
Vậy với m =
2
(7)Ví dụ: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m-1 = (1) có nghiệm x 1, x2
Tìm giá trị lớn biểu thức A = x12x2 + x1x22
Giải:
+ Ta có ' m2 2m 1 (m 1)2 0, m ' 0, m
, phương trình ln có nghiệm
+ Theo hệ thức vi-et ta có: x1 + x2 = -2m; x1x2 = 2m-1
+ Ta có: A = x1x2.(x1 + x2) =-2m.(2m-1)= -4m2 + 2m
= - ( 4m2 - 2m) = - [ (2m)2 - 2m.1 2+
1
4 4 ] = - [(2m-1 2)
2 - 1 4]
=
4- (2m-1 2)
2 1,
4 m
Dấu "=" xảy 1
2
m m
KL:Vậy với m =
4 biểu thức A đạt giá trị lớn
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình x2 - 2mx + m-1 = có nghiệm x 1, x2
Tìm giá trị m để A = x12 + x22 + 1945 đạt GTNN TÌm giá trị
Bài 2: Cho phương trình
a, x2 - 2mx + m2 + m - = có nghiệm x 1, x2
b, x2 - 2.(m+1)x + m2 - 6m +5 = có nghiệm x 1, x2
Tìm giá trị m để tích nghiệm phương trình đạt GTNN Bài 3: Cho phương trình x2 - (a-1)x - a2 + a - =0
a, Tìm a để tích nghiệm phương trình đạt GTLN b, Tìm a để A = x12 + x22 + 2010 đạt GTNN
Bài toán 8: Cho x1, x2 nghiệm phương trình bậc Tìm hệ thức liên
hệ x1, x2 độc lập với m ( không phụ thuôc vào m).
Phương pháp giải: B
ớc 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( 0
hoặc ' 0) (*)
B
ớc 2: Lập hệ thức vi-et
1
1
(1)
(2)
b x x
a c x x
a
B
ớc 3: Rút m từ (1) vào (2) ( ngược lại) ta hệ thức liên hệ. ( L u ý : Trong số ta cộng trừ cho > ta thu hệ thức cần tìm Tuỳ tốn vận dụng cách linh hoạt để tìm kết nhanh nhất)
Ví dụ: Cho phương trình x2 + 2mx + 2m - = 0
Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
Giải:
+ Ta có: ' m2 2m 1 (m 1)2 0, m
> Phương trình ln có nghiệm với m
(8)Từ (1) >
2
x x m
Thế vào (2), ta được: x1x2 = 2
2
x x
-1 x x1 2x x1 1
Vậy hệ thức cần tìm là: x x1 2x x1 1
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình: x2 - ( 2m - 3)x + m2 - 3m = (1)
a, Chứng minh phương trình (1) ln có nghiệm với m b, Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
Bài 2: Cho phương trình: x2 + ( 2m - 1)x + m- = (1)
a, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt x1, x2 thoả mãn 3x1 - 4x2 = 11
b, Tìm hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
Bài tốn 9: TÌm m để phương trình bậc hai có nghiệm thoả mãn: x1 < < x2 ( số cho trước).
Phương pháp giải:
Bước 1: Tìm điều kiện m để phương trình bậc hai có nghiệm x1, x2 ( 0
hoặc ' 0) (*)
Bước 2: : Lập hệ thức vi-et
1
1
(1)
(2)
b x x
a c x x
a
Bước 3: Từ giải thiết x1 < < x2 x1 0,x2 0
1 2
(x )(x ) x x (x x )
(3)
Bước 4: Thay (1), (2) vào (3) ta bất phương trình ẩn m
Bước 5: Giải bất phương trình ẩn m vừa tìm > đối chiếu kết với điều kiện bước -> Kết luận
Ví dụ: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x+2m-5 = (1)
a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b, Tìm giá trị m để pt có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < < x2
Giải:
a, HS tự chứng minh.
b, Theo hệ thức vi-et ta có: 2
2( 1)(1)
5(2)
x x m
x x m
Từ giải thiết x1 < 1< x2 x1 1 0,x21 0
1 2
(x 1)(x 1) x x (x x ) (3)
Thay (1), (2) vào (3) ta có:
2m - - (2m-2)+1 < > 0m - < ( với m)
Vậy với m phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x1 < < x2
(9)Bài toán 10 Cho phương trình bậc hai ax2 + bx +c =0 có chứa tham số m.
a, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm trái dấu. b, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm dấu c, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm dương d, Tìm điều kiện m để phương trình có nghiệm âm. Ph
ươ ng pháp giải:
* Sử dụng điều kiện để hồn thành tốn a, Phương trình có nhiệm trái dấu P0
b, Phương trình có nghiệm dấu
0
P
c, Phương trình có nghiệm dương
0 0
P S
d, Phương trình có nghiệm âm
0 0
P S
(Trong đó: S tổng nghiệm, P tích nghiệm phương trình ax2 + bx +c =0)
Bài tập áp dụng
Bài 1: Cho phương trình x2+ 3x - 2m+1 = 0
Tìm m để phương trình có nghiệm dấu Giải
Để phương trình có nghiệm dấu P 00
, tức là:
5
9 4.(1 ) 8
1 2 1
2
m
m m
m
m m
m
Vậy với
8 m
(10)BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: Cho phương trình x2 - 2(m-1)x + m2 + 3m + = 0
a, Tìm m dể phương trình ln có nghiệm phân biệt
b, Tìm giá trị m thoả mãn x12 + x22 = 12 ( x1, x2 nghiệm phương trình)
c, Tìm giá trị m để tích nghiệm đạt GTNN Tìm giá trị
( Đề thi tỉnh Hải Dương năm học 1999- 2000) Bài 2: Cho phương trình x2 - 2mx + 2m -5 =0
a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m b, Tìm m để phương trình ln có nghiệm trái dấu
c, Gọi nghiệm phương trình x1, x2, tìm giá trị m để:
x12(1-x22) + x22 (1-x12) = -8 ( Hải Dương năm 2000-2001)
Bài 3: Cho phương trình x2 - 2(m+1)x+2m-15 = 0
a, Giải phương trình với m =0
b, Gọi nghiệm phương trình x1, x2 Tìm giá trị m thoả mãn 5x1+x2=4
( Hải Dương năm 2001-2002) Bài 4: Cho phương trình 2 0
2 x x m
(1)
a, Tìm m để (1) có nghiệm phân biệt
b, Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thoả mãn x12 +x22+20=x12x22
(Hải Dương năm 2002-2003) Bài 5: Cho phương trình x2 - 6x + = Khơng giải phương trình, tính
a, x12 + x22 b, x x1 x2 x2 c,
2 2
1 2
2 2
1 ( 1) ( 1)
x x x x x x
x x x x
(Hải Dương năm 2002-2003) Bài 6: Cho phương trình x2 - (m+4)x+3m+3 = 0
a, Xác định m để phương trình có nghiệm Tìm nghiệm cịn lại b, Xác định m để phương trình có 2nghiệm thoả mãn x13 + x23 0
c, Lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
(Hải Dương năm 2003-2004) Bài 7: Cho phương trình (m-1)x2 + 2mx + m-2 = 0
a, Giải phương trình với m=1
b, Tìm m để phương trình có nghiệm phân biệt Bài 8: Cho phương trình x2 - (2m+1)+m2 + m - =0
a, Chứng minh phương trình ln có nghiệm phân biệt với m
b, Chứng minh có hệ thức liên hệ nghiệm số không phụ thuộc m Bài 9: Cho phương trình x2 + 2(m+3)x + m2 + =0
a, Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm phân biệt
b, Tìm giá trị m để phương trình có nghiệm lớn nghiệm c, Lập hệ thức liên hệ x1, x2 độc lập với m
Bài 10: Lập phương trình biết nghiệm chúng là:
a, x1 = 7; x2 = 12; b, x1 = -2, x2 = c, x1 = -3, x3 = -4
Bài 11: Cho phương trình x2 - 5x + 4=0 có nghiệm x
1, x2 Khơng giải pt
lập phương trình bậc hai có nghiệm là:
1
1
,
y y
x x