GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

Là một giáo viên dạy lớp 9 nhiều năm và trực tiếp tham gia dạy ôn thi vào Trung học Phổ thông, qua tìm hiểu các đề thi thì nhiều năm có những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai

MỤC LỤC Trang Phần 1: Mở đầu 1

1 Mục đích của sáng kiến

2 Tính mới và những ưu điểm nổi bật của sáng kiến

3 Đóng góp của sáng kiến để nâng cao chất lượng môn toán 9

Phần 2: Nội dung

Chương 1: Khái quát thực trạng vấn đề mà sáng kiến tập trung giải quyết Chương 2: Những giải pháp được áp dụng tai đơn vị

Chương 3: Kiểm chứng các giải pháp đã triển khai

Phần 3: Kết luận

1 Những vấn đề quan trọng được đề cập trong sáng kiến

2 Hiệu quả thiết thực của sáng kiến

3 Kiến nghị với các cấp

Phần 4: Phụ lục

GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI CHỨA THAM SỐ

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Mục đích của sáng kiến:

Trong luật Giáo dục điều 24 khoản 2 đã ghi “ Phương pháp giáo dục phổ thông phải được phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh, phù hợp với đặc điểm từng lớp hoc, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Với môn Toán thì yếu tố sáng tạo là vô cùng cần thiết, nó không những đòi hỏi người học phải nắm vững kiến thức mà trên cơ sở đó người học còn phải biết tổng hợp các kiến thức mới, kiến thức chưa có sẵn trong sách giáo khoa cũng như sách bài tập

Là một giáo viên dạy lớp 9 nhiều năm và trực tiếp tham gia dạy ôn thi vào Trung học Phổ thông, qua tìm hiểu các đề thi thì nhiều năm có những bài toán liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số Trong khi gặp dạng toán này các em thường nhầm lẫn, dẫn đến việc bỏ sót các trường hợp nghiệm

Chính vì lý do trên mà tôi mạnh dạn đưa ra cách giải một số dạng bài tập có liên quan đến phương trình bậc hai chứa tham số

2 Tính mới và ưu điểm của sáng kiến:

Sáng kiến hệ thống lý thuyết và các dạng bài tâp về “ Phương trình bậc hai chứa tham số”

Đối với mỗi dạng bài tập thì việc tổng hợp những lý thuyết có liên quan, phương pháp giải, ví dụ minh họa và các bài tập tương tự được trình bày cụ thể, chi tiết giúp học sinh dễ nhớ, dễ thuộc khi giải quyết những bài toán có liên quan

3 Đóng góp của sáng kiến :

Sáng kiến này được bản thân áp dụng tại trường và triển khai trong tổ Toán của nhà trường được đồng nghiệp đón nhận và áp dụng vào giảng dạy môn toán lớp 8 với dạng toán “ Biện luận nghiệm của phương trình bậc nhất chứa tham số ” Kết quả đạt được là trong các kỳ thi học sinh giỏi, kỳ thi vào Trung học Phổ thông bài toán này góp phần không nhỏ trong tỷ lệ đỗ vào Trung học Phổ thông Đặc biệt trong 6 năm Phòng Giáo dục và Đào tạo tổ chức thi học

sinh giỏi giải toán trên mạng thì năm nào cá nhân tôi hướng dẫn các em cũng đạt được thành tích đáng khích lệ

PHẦN 2: NỘI DUNG Chương 1: KHÁI QUÁT THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ MÀ SÁNG KIẾN

TẬP TRUNG GIẢI QUYẾT:

1 Những thuận lợi và khó khăn:

1.1 Thuận lợi:

- Đây là dạng toán rất quan trọng và là dạng toán đặc trưng của chuyên đề

“Giải và biện luận nghiệm của phương trình bậc hai chứa tham số”.

- Những bài toán về phương trình bậc hai chứa tham số thường xuất hiện trong đề thi vào Trung học Phổ thông ở những năm gần đây nên được học sinh chú

ý và ôn luyện

- Học sinh đã được học về phương trình bậc hai và hệ thức Vi-et nên các

em không bỡ ngỡ khi gặp dạng toán này

1.2.Khó khăn:

- Nhiều học sinh còn ngại khi biến đổi các biểu thức có liên quan tới hệ thức Vi- et

- Kỹ năng lập luận và biến đổi của các em còn hạn chế

- Một số dạng toán trong chuyên đề còn mới mẻ với học sinh trung bình và yếu nên việc giải bài toán thuộc chuyên đề này gặp không ít khó khăn

Chương 2 : NHỮNG GIẢI PHÁP ĐÃ ĐƯỢC ÁP DỤNG TẠI ĐƠN VỊ

1 Các bước tiến hành :

+ Trong các tiết dạy chính khóa bản thân tôi đã dạy cho học sinh những kiến thức cơ bản về phương trình bậc hai trong sách giáo khoa và sách bài tập Bên cạnh đó tôi còn mở rông thêm những dạng bài đơn giản như bài toán 1 và bài toán 2

+ Trong các buổi dạy thêm và ôn thi vào Trung học Phổ thông tôi đã dậy cho các em nắm vững kiến thức ở nhiều góc độ khác nhau Bài tập được nâng lên

từ dễ đến khó, đặc biệt chúng tôi đã chia đối tương học sinh để việc tiếp thu kiến thức dễ dàng hơn

+ Đối với học sinh có trình độ yếu, kém dạy cho học sinh làm đến dạng bài

1, bài 2, bài 3 và bài 4 đó là những bài toán cơ bản rèn kĩ năng giải phương trình bậc hai và hệ phương trình với ẩn là x1và x2

+ Đối với học sinh trung bình dạy cho các em đến bài toán 6 Như vậy đối tượng học sinh này nắm được tất cả các phương pháp giải các dạng toán về phương trình bậc hai có liên quan

+ Đối với đối tượng học sinh khá giỏi dạy cho các em nắm được tất cả các bài toán Đặc biệt là dạy cho các em biết nhận dạng , phân loại bài trước khi đi tìm lời giải

Để học sinh có kĩ năng trong việc giải dạng toán này thì giáo viên cần có thời gian cho các em nắm lý thuyết một cách chắc chắn và luyện tập nhiều để tích lũy kinh nghiệm giải toán cho các em

2 Các bài toán về phương trình bậc hai chứa tham số:

2.1 BÀI TOÁN 1: Tìm điều kiện của tham số để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt.

Bước 1: Xác định các hệ số a,b,c ( hoặc a,b,c,b’) Nếu các em chưa thành thạo

Bước 2: Tính hoặc  '

Bước 3: Kiểm tra các điều kiện:

+ Nếu <0 ( hoặc '<0 ) thì phương trình vô nghiệm

+ Nếu = 0 ( hoặc '= 0 ) thì phương trình có nghiệm kép.

+ Nếu > 0 ( hoặc '>0 )thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

+Nếu   0 ( hoặc ' 0 ) thì phương trình có nghiệm

- Trong một số bài toán tìm điều kiện để phương trình có nghiệm mà hệ số

a chứa tham số ta phải xét trường hợp a = 0 Sau đó xét trường hợp a 0 và làm như các bước ở trên

- Trong một số bài toán tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm, có nghiệm kép, vô nghiệm, có hai nghiệm phân biệt mà hệ số a chứa tham số ta phải tìm điều kiện để phương trình đó là phương trình bậc hai (a 0 )

Ví dụ : Cho phương trình (m - 1)x2 + 2.(m + 2)x + m = 0 (1)

a/ Tìm điều kiện của m để phương trình có nghiệm

b/ Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

Giải:

a/ + Khi m - 1 = 0 hay m = 1, phương trình (1) trở thành 6x + 1 = 0

Đó là phương trình bậc nhất và có nghiệm x = 61

+ Khi m - 1  0 hay m 1 Ta có :

 ' =(m + 2)2 – m(m - 1) = m2 – 4m + 4 – m2 + m = 5m + 4

Để phương trình có nghiệm thì  '  0 , tức là: 5m + 4 0 m54

Kết hợp hai trường hợp ta được khi m

5

4



thì phương trình (1) có nghiệm b/ Để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt thì 







 0 0

'

a

tức là

















5 1

0

4

5

0

1

m

m

m

Vậy với m54 và m  1 thì phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Bài tập áp dụng:

Bài 1: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có nghiệm

a) x2 – x – 2m = 0 b) 5x2 + 3x + m – 1 = 0

c) mx2 - x – 5 = 0 d)( m2 + 1) x2 - 2(m + 3) + 1 = 0

Bài 2: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau có hai nghiệm phân biệt.

a) 3x2 – 2x + m = 0 b) x2 + 2(m – 1) – 2m + 5 = 0

Bài 3: Tìm điều kiện của m để các phương trình sau vô nghiệm

a) (m – 1)x2 + 2x + 11 = 0 b) x2 + (m – 1)x + m – 2 = 0

2.2 BÀI TOÁN 2:Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm, có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số.

Phương pháp giải:

Bước1: Tính hoặc  '

Bước 2: Biến đổi biểu thứchoặc  ' về dạng thu gọn nhất

Bước 3: + Chứng minh   0 ( hoặc ' 0 ) thì phương trình luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số

+ Chứng minh > 0 ( hoặc '>0 ) thì phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của tham số

( Chú ý sử dụng hằng đẳng thức thứ nhât hoặc thứ hai để biến đổi các biểu thức thành bình phương của một biểu thức ; hoặc các biểu thức dạng A ; A2

Đặc biệt ta có thể dựa vào việc chứng minh tích a.c < 0( a và c trái dấu)

Ví dụ 1: Cho phương trình x2 – (m + 1)x + m = 0 (1) ( x là ẩn, m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m Giải:

Ta có  =  m 12  4m= m 12  4m = m2  2m 1 m 12

Ta thấy  = m 12  0 , m

Suy ra, phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

Ví dụ 2: Cho phương trình x2 - 2(m - 1)x + m – 3 = 0 (1)

(x là ẩn, m là tham số)

Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá

trị của m

Giải:

Ta có

'

 =   1 2  3  12 3 2 2 1 3 2 3 4































Mà m2 – 3m + 4 = m m m    m































4

7 2

3 4

7 4

9 2

3 2

2 2

Suy ra,  '>0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m

Bài tập áp dụng :

Bài 1: Chứng minh rằng phương trình ( ẩn x) sau luôn có nghiệm hoặc có hai

nghiệm phân biệt

a) x2 - 2(m + 1)x + 2m + 1 = 0

b) x2 – 3x + 1 – m = 0

c) x2 + ( m + 3)x + m + 1 = 0

2.3 BÀI TOÁN 3: Xác đinh m để phương trình có một nghiệm bằng 

cho trước Với m vừa tìm được hãy tìm nghiệm còn lại.

Phương pháp giải:

Bước1: Thay x =  vào phương trình đã cho, sau đó giải phương trình với

ẩn m để tìm ra giá trị của m

dùng hệ thức Vi –et

Bước2: Thay giá trị m vừa tìm được vào phương trình, sau đó dùng hệ thức

Vi-et để tính nghiệm còn lại bằng cách x2= S – x1 ( S là tổng hai nghiệm)

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + 2m – 3 = 0(1)

Xác định giá trị của m để phương trình (1) có một nghiệm bằng – 1 và sau đó hãy xác định nghiệm còn lại của phương trình

Giải:

+ Thay x = - 1 vào phương trình (1), ta có :

(-1)2 – 2(m – 1).(-1) + 2m – 3 = 0

 4m 4  0

 m 1

+ Thay m = 1 vào phương trình (1), ta được phương trình :

x2 – 1 = 0  x 1x 1 0  



























1

1 0

1

0 1

x

x x

x

Vậy với m = 1 thì phương trình (1) có một nghiệm x = -1 và nghiệm còn lại

là x = 1

Bài tập áp dụng :

Bài tập 1 : Tìm giá trị của m để các phương trình sau có một nghiệm cho

trước và tìm nghiệm còn lại

a) x2 – (m + 2)x + m + 2 = 0 có một nghiệm x = 1

b) x2 + 2x + m2 – 2m = 0 có một nghiệm x = -3

c) mx2 + 2x + 1 – m = 0 có một nghiệm x = 2

2.4 BÀI TOÁN 4 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2thỏa mãn điều kiện mx1+ nx2= p(1) (Trong đó m, n là các số cho trước)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm x1,x2(  0 hoặc  ' 0 ) (*)

Bước 2: Lập hệ thức Vi-et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình

 

 3

.

2

2

1

2

1

a

c

x

x

a

b

x

x









Bước 3: Giải hệ phương trình sau để tìm ra x1,x2

a

b x

x

p nx

mx











2

1

2 1

Bước 4: Thay x1,x2vào (3)  m cần tìm

Bước 5 : Đối chiếu giá trị của m tìm được với điều kiện ở bước 1 kết luận

*Lưu ý : Cũng có thể kết hợp (1) với (3) để có hệ phương trình như ở bước

3 Tìm được x1,x2 rồi tiếp tuc làm như ở bước 4 và bước 5

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 8x + m = 0 Tìm giá trị của m để phương trình

đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 - x2= 2(1)

Giải:

Ta có  '= (-4)2 - m = 16 – m

Để phương trình có hai nghiệm x1,x2 thì  ' 0 tức là 16 – m 0 m

16(*)

Theo hệ thức Vi et ta có : x1 + x2= 8(2) ;x1.x2= m(3)

Kết hợp (1) với (2) ta có hệ phương trình : 82

2 1

2 1









x x

x x

 53

2

1





x x

Thay x1= 5, x2= 3 vào (3) ta có : m = 5.3 = 15 ( Thỏa mãn điều kiện của *) Vậy với m = 15 thì phương trình đã cho có hai nghiệm thỏa mãn x1 - x2= 2

Lưu ý : Các bài toán tìm m để phương trình bậc hai chứ tham số có hai nghiệm đối nhau (x1= - x2), có nghiệm này bằng k lần nghiệm kia(x1= k x 2),

có nghiệm này lớn hơn nghiệm kia k đơn vị(x1= x2+ k hay (x1- x2= k), ta có

thể quy về bài toán 4

2.5 BÀI TOÁN 5 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm thỏa mãn một biểu thức về x1,x2( sử dụng hệ thức Vi-et)

Phương pháp giải :

Bước 1 :Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2

2(  0 hoặc  ' 0 ) (*)

Bước 2 : Lập hệ thức Vi-et về tổng và tích hai nghiệm của phương trình



 

 3

2

2 1

2 1

a

c x x

a

b x x









Bước 3 : Biến đổi biểu thức ở đầu bài vê dạng tổng hai nghiệm, tích hai

nghiệm Sau đó thay kết quả ở bước 2 vào biểu thức rồi giải phương trình ẩn m thu được các biểu thức thường gặp :

a) x12x22 k  x1x22 2x1x2 k

b) x13x32 k x1x23 3x1x2x1x2k

x x

x x k x









2 1

2 1 2

1

1 1

x x

x x x

x k x x

x x k x

x

x

x



















2 1

2 1

2 2 1 2

1

2 2

2 1 1

2

2

Bước 4 : Đối chiếu giá trị của m tìm được ở bước 3 với điều kiện ở bước 1

 kết luận

Lưu ý : Các biểu thức khác chúng ta cũng làm tương tự, sử dụng phương pháp

hằng đẳng thức, đặt nhân tử chung, quy đồng phân thức, để đưa về dạng tông, tích các nghiệm

Ví dụ : Cho phương trình x2 – 4x + m – 1 = 0(1)

Tìm điều kiện của m để phương trình có hai nghiệm thỏa mãn 2 12

2

2

1 x 

x

Giải:

Ta có  /  22  m 1 4  m 1  5  m

Để phương trình (1) có hai nghiệm x1,x2thì  ' 0 tức là 5 - m 0 m 5

(*)

Theo hệ thức Vi –et ta có : . 4 1

2 1

2 1









m x x

x x

Ta có :

 

3

12 2 2

16

12 1 2

4

12 2

12

2

2 1 2 2 1 2

2

2

1

































m

m

m

x x x

x x

x

Ta thấy m = 3 thỏa mãn điều kiện (*) Vậy với m = 3 thì phương trình(1) có hai nghiệm thỏa mãn 2 12

2

2

1 x 

x

2.6 BÀI TOÁN 6 : Lập phương trình khi biết hai nghiệm x1,x2

Trường hợp 1 : Hai nghiệm x1,x2là hai số cụ thể

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tính tổng S = x1+ x2và tích P = x1.x2

Bước 2 : Lập phương trình : x1,x2là nghiệm của phương trình x2 – Sx + P = 0

Trường hợp 2 : x1,x2 2là nghiệm của phương trình ban đầu Lập phương trình có nghiệm là biểu thức chứa x1,x2

Phương pháp giải

Bước 1 : Lập tổng và tích hai nghiệm x1,x2đã cho( biến đổi như bài toán 5)

Bước 2 : Lập hệ thức Vi –et cho phương trình ban đầu.

Bước 3 : Lập phương trình x2 – Sx + P = 0 Đây là phương trình cần tìm

Ví dụ : a) Lập phương trình biết hai nghiệm của nó là : x1= 7 ; x2= 10

b) Cho x1,x2là nghiệm của phương trình x2 – 2(m – 1)x – 1 = 0(1)

Hãy lập phương trình có hai nghiệm là 2

1

1

x và 2

2

1

x

Giải

a) Ta có : S = x1+ x2= 7 + 10 = 17

P = x1.x2= 7 10 = 70

Suy ra x1,x2là nghiệm của phương trình x2 - 17x + 70 = 0

b) Ta nhận thấy a = 1, c = - 1  a.c = -1 < 0 phương trình (1) luôn có hai

nghiệm phân biệt x1,x2

Theo hệ thức Vi-et ta có : . 12( )

2 1

2 1











x x

m x

x

Ta có :

1 1

1 1

3 4 2 2 1

1 2 1 2 )

(

2 1

1

2 2

2 1

3 2

2 1

2 2

2 2

2 1

2 1

2 2 1 2

1

2 2

2 1 2 2

2 1









































x x x x P

m m

m x

x

x x x

x x

x

x x x x S

Phương trình cần lập là : x2 – 2(2m2 – 4 + 3)x + 1 = 0

Bài tập áp dụng :

Bài 1 : Lập phương trình có hai nghiệm là :

a) x1= 7, x2= 10 c) x1=

2

6

5  ,x2=

2

6

5 

b) x1= -3, x2- 8 d) x1= 31, x2= 25

Bài 2 : Cho Phương trình -3x2 + 8x – 2 = 0 Lập phương trình có hai nghiệm

mà nghiệm này gấp đôi mỗi nghiệm của phương trình đã cho

Bài 3 : Cho Phương trình x2 – 6x + 4 = 0.Lập phương trình có hai nghiệm bằng bình phương mỗ nghiệm của phương trình đã cho

2.7 BÀI TOÁN 7 : Tìm m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 Sau đó tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của một biểu thức có liên quan đến nghiệm x1,x2

Phương pháp giải :

Bước 1 : Tìm điều kiện của m để phương trình bậc hai có hai nghiệm x1,x2 (

  0 hoặc ' 0 ) (*)

Bước 2 : Lập hệ thức Vi-et

 

 3

2

2 1

2 1

a

c x x

a

b x x









Bước 3 : Biến đổi biểu thức về dạng tổng và tích hai nghiệm để có thể áp dụng

hệ thức Vi- et Từ đó ta thu được biểu thức bậc hai đối với m

Các biểu thức thường gặp :

a) x12x22 k x1x22 2x1x2 k

b) x13x23 k  x1x23 3x1x2x1x2k

x x

x x k x









2 1

2 1 2

1

1

1

x x

x x x

x k x x

x x k x

x

x

x



















2 1

2 1

2 2 1 2

1

2 2

2 1 1

2

2