Giải và biện luận phương trình bậc ba trong trường số thực và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC Nguyễn Ngọc Tĩnh GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC BA TRONG TRƯỜNG SỐ THỰC VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.01.13 Người hướng dẫn khoa học GS TSKH NGUYỄN VĂN MẬU THÁI NGUYÊN - NĂM 2013 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên hướng dẫn tận tình NGND-GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu, trường Đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành sâu sắc tận tâm nhiệt tình thầy suốt trình tác giả thực luận văn Trong trình học tập làm luận văn, từ giảng Giáo sư, Phó Giáo sư cơng tác Viện Tốn học, Thầy Cô Đại học Thái Nguyên, tác giả trau dồi thêm nhiều kiến thức phục vụ cho việc nghiên cứu công tác thân Từ đáy lịng mình, tác giả xin bày tỏ lịng cảm ơn sâu sắc tới Thầy Cô Tác giả xin chân thành cám ơn Ban Giám hiệu, phòng Đào tạo Khoa học Quan hệ quốc tế, Khoa Toán - Tin trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên quan tâm giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập trường Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, lãnh đạo đơn vị công tác đồng nghiệp động viên, giúp đỡ tạo điều kiện tốt cho học tập nghiên cứu Tác giả Nguyễn Ngọc Tĩnh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mục lục Mở đầu Các kiến thức phương trình bậc ba 1.1 Phương pháp giải phương trình bậc ba 1.2 Các tính chất nghiệm phương trình bậc ba Ứng dụng phương trình bậc ba vào giải số hệ phương trình đại số 2.1 2.2 15 Một số hệ phương trình đại số giải cách áp dụng phương trình bậc ba 15 Một số toán tương tự 27 Một số ứng dụng khác phương trình bậc ba 3.1 Ứng dụng phương trình bậc ba để giải số phương trình bậc bốn 3.2 29 Phương trình bậc ba với nghiệm yếu tố độ dài tam giác 3.3 29 33 Một số phương trình lượng giác đưa phương trình bậc ba đại số 50 Kết luận 53 Tài liệu tham khảo 54 Soá hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Mở đầu Chun đề phương trình hệ phương trình Tốn học cấp THCS THPT đơn vị kiết thức truyền thống, quan trọng Các tốn phương trình hệ phương trình xem dạng tốn chương trình đại số bậc phổ thơng Mỗi tốn có nhiều cách giải Tuy nhiên việc hệ thống hóa phương pháp giải cho phép nhìn nhận tốn theo hệ thống quán Từ em học sinh thấy thuật toán chung để giải toán phương trình hệ phương trình Trong đề tài này, khơng nhằm khảo sát đầy đủ khía cạnh vấn đề giải, biện luận phương trình, hệ phương trình mà đưa cách giải biện luận phương trình bâc ba theo phương pháp Cùng với tính chất, định lý chứng minh tính chất nghiệm phương trình bậc ba Dựa vào cách giải biện luận phương trình Ứng dụng vào giải số hệ phương trình đại số Ngoài số ứng dụng khác việc giải biện luận phương trình bậc ba Luận văn chia làm ba chương: Chương trình bày cách giải biện luận phương trình bâc ba tổng quát số tính chât, định lý tập nghiệm phương trình bậc ba Chương xét ứng dụng phương trình bậc ba vào giải hệ phương trình phương trình lượng giác Trong chương đưa hệ thống tập từ mức độ đơn giản toán thi chọn học sinh giỏi tỉnh học sinh giỏi quốc gia có hướng dẫn giải Chương trình bày số ứng dụng khác phương trình bậc ba Cụ thể ứng dụng phương trình bậc ba vào để giải số tốn phương trình bậc bốn Ứng dụng phương trình bậc ba vào giải Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ tốn mà yếu tố nghiệm phương trình yếu tố độ dài tam giác Phần cuối số phương trình lượng giác giải cách đưa phương trình bậc ba đại số Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Chương Các kiến thức phương trình bậc ba 1.1 Phương pháp giải phương trình bậc ba Các sách chủ yếu trình bày cách giải phương trình bậc ba theo cách cổ điển cơng thức Cardano thông qua số phức Tuy nhiên lựa chọn giải phương trình bậc ba theo cách GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu trình bày “Phương pháp giải phương trình bất phương trình” dựa vào đồng thức đại số lượng giác không trường số thực Nhận xét phương trình bậc ba tổng quát a1 x3 + b1 x2 + c1 x + d1 = (a1 = 0) đưa dạng: x3 + ax2 + bx + c = (1.1) b1 c1 d1 ,b = ,c = a1 a1 a1 a a a a Đặt x = y − , ta có y − +a y− +b y− +c = ⇔ 3 3 a3 2a3 ab y − py = q, p = − b; q = − + − c 27 √ 1) Nếu p = phương trình có nghiệm y = q p 2) Nếu p > 0, đặt y = t ta phương trình 4t3 − 3t = m √ 3q với m = √ 2p p a= Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ a) Nếu |m| < 1, đặt m = cos α phương trình có ba nghiệm α α±π t1 = cos ; t2,3 = cos 3 b) Nếu m = phương trình có nghiệm đơn t = nghiệm bội t=− c) Nếu m = −1 phương trình có nghiệm đơn t = −1 nghiệm bội t= √ 1 d) Nếu |m| > 1, đặt m = (d3 + ) d3 = m ± m2 − 1, d √ 1 phương trình có nghiệm t = d+ = ( m + m2 − + d √ m − m − 1) p 3) Nếu p < 0, đặt y = − t ta phương trình 4t3 + 3t = m √ √ 3q 3 với m = Đặt m = (d − ) với d = m ± m2 + √ 2p p d √ 1 phương trình có nghiệm t = (d − ) = ( m + m2 + + d √ m − m + 1) 1.2 Các tính chất nghiệm phương trình bậc ba Định lý 1.1 (Định lí Viete) Gọi x1 , x2 , x3 nghiệm phương trình (1.1), T1 := x1 + x2 + x3 = −a T2 := x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 = b T3 := x1 x2 x3 = −c Từ định lí Viete ta có tính chất sau: 1 b Tính chất 1.1 T4 := + + =− x1 x2 x3 c x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 T2 b Chứng minh Ta có T4 = = =− x1 x2 x3 T3 c Tính chất 1.2 T5 := x21 + x22 + x23 = a2 − 2b Chứng minh Ta có T5 = (x1 + x2 + x3 )2 −2(x1 x2 +x2 x3 +x3 x1 ) = a2 −2b Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tính chất 1.3 T6 := (x1 + x2 )(x2 + x3 )(x3 + x1 ) = −ab + c Chứng minh Ta có T6 = (T1 − x1 )(T1 − x2 )(T1 − x3 ) = T1 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − x1 x2 x3 = T1 T2 − T3 = −ab + c Tính chất 1.4 T7 := x31 + x32 + x33 = −a3 + 3ab − 3c Chứng minh Ta có (x1 + x2 + x3 )3 = (x1 + x2 )3 + 3(x1 + x2 )x3 (x1 + x2 + x3 ) + x33 = x31 + 3x1 x2 (x1 + x2 ) + x32 + 3T1 (x1 x3 + x2 x3 ) + x33 = x31 + x32 + x33 + 3T1 (x1 x3 + x2 x3 ) + 3x1 x2 (T1 − x3 ) = x31 + x32 + x33 + 3T1 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − 3x1 x2 x3 = x31 + x32 + x33 + 3T1 T2 − 3T3 ⇒ T7 = x31 + x32 + x33 = (x1 + x2 + x3 )3 − 3T1 T2 + 3T3 = T13 − 3T1 T2 + 3T3 = −a3 + 3ab − 3c Tính chất 1.5 T8 := (x1 +x2 −x3 )(x2 +x3 −x1 )(x3 +x1 −x2 ) = a3 −4ab+8c Chứng minh Ta có T8 = (T1 − 2x3 )(T1 − 2x1 )(T1 − 2x2 ) = T13 − 2T12 (x1 + x2 + x3 ) + 4T1 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) − 8x1 x2 x3 = −T13 + 4T1 T2 − 8T3 = a3 − 4ab + 8c Tính chất 1.6 T9 := ab − 3c ab x1 + x2 x2 + x3 x3 + x1 + + = = − x3 x1 x2 c c Chứng minh Ta có x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 x1 + x2 + x3 + + −3 x3 x1 x2 1 = (x1 + x2 + x3 )( + + )−3 x1 x2 x3 ab = T1 T4 − = − c T9 = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tính chất 1.7 T10 := x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = b2 − 2ac Chứng minh Ta có T10 = (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )2 − 2(x1 x22 x3 + x1 x2 x23 + x21 x2 x3 ) = (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 )2 − 2x1 x2 x3 (x1 + x2 + x3 ) = T12 − 2T3 T1 = b2 − 2ac Tính chất 1.8 T11 := x41 + x42 + x43 = a4 − 4a2 b + 2b2 + 4ac Chứng minh Ta có T11 = x41 + x42 + x43 = (x21 + x22 + x23 ) − 2(x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 ) = T52 − 2T10 = (a2 − 2b) − 2(b2 − 2ac) = a4 − 4a2 b + 2b2 + 4ac Tính chất 1.9 với k, l ta có T12 := (k + lx1 )(k + lx2 )(k + lx3 ) = k − k la + kl2 b − l3 c Chứng minh Ta có T12 = (k + lx1 )(k + lx2 )(k + lx3 ) = k + k l(x1 + x2 + x3 ) + kl2 (x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 ) + l2 x1 x2 x3 = k − k la + kl2 b − l3 c Tính chất 1.10 T13 := 1 a + + = x1 x2 x2 x3 x3 x1 c Chứng minh Ta có 1 + + x1 x2 x2 x3 x3 x1 x1 + x2 + x3 = x1 x2 x3 T1 a = = T3 c T13 = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ Tính chất 1.11 T14 x1 x2 x3 2b − a2 := + + = x2 x3 x3 x1 x1 x2 c Chứng minh Ta có x1 x2 x3 + + x2 x3 x3 x1 x1 x2 x21 + x22 + x23 T5 a2 − 2b = = = x1 x2 x3 T3 −c 2b − a = c T14 = Tính chất 1.12 T15 x1 x2 x2 x3 x3 x1 b2 := + + = 2a − x3 x1 x2 c Chứng minh Ta có x1 x2 x2 x3 x3 x1 + + x3 x1 x2 x1 x2 + x2 x3 + x3 x1 T10 = = x1 x2 x3 T3 b = 2a − c T15 = Tính chất 1.13 T16 1 b2 − 2ac := + + = x1 x2 x3 c2 Chứng minh Ta có 1 + 2+ 2 x1 x2 x3 x21 x22 + x22 x23 + x23 x21 = x21 x22 x23 T10 b2 − 2ac = = T3 c2 T16 = Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 40 Chứng minh Từ nhận xét 1.2 cho phương trình (3.26) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.22 Chứng minh (p − a)(p − b), (p − b)(p − c), (p − c)(p − a) nghiệm phương trình t3 − (r2 + 4Rr)t2 + p2 r2 t − 4p2 r4 = (3.29) Chứng minh Từ nhận xét 1.5 cho phương trình (3.26) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.23 Chứng minh trình 1 nghiệm phương 2, 2, (p − a) (p − b) (p − c)2 (4R + r) − 2p2 p2 − 2r2 − 8Rr t − t + t− =0 2 pr pr pr Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.28) từ nhận xét 1.2 cho phương trình (3.27) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.24 Chứng minh 1 , , (p − a)(p − b) (p − b)(p − c) (p − c)(p − a) nghiệm phương trình r2 + 4Rr t − 2t + t − =0 r p2 r p2 r Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.29) từ nhận xét 1.5 cho phương trình (3.27) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.25 Chứng minh p− 1 , p− , p− a b c nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr p2 + r2 + 4Rr t + 3p2 + − t 4pRr 2Rr 4pRr p2 + r2 + 4Rr 1 − p − p + p− =0 4pRr 2Rr 4pRr t3 − 3p − Chứng minh Thay G = p vào định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 41 Bài tốn 3.26 Chứng minh r − a, r − b, r − c nghiệm phương trình t3 − (3r − 2p)t2 + (p2 + 4r2 + 4Rr − 4pr)t − r[2r2 − 2r(p − 2R) + p(p − 4R)] = Chứng minh Thay G = r vào định lý 3.1 ta điều phải chứng minh Bài toán 3.27 Chứng minh r− 1 , r− , r− a b c nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr p2 + r2 + 4Rr t − 3r − t + 3r + − t 4pRr 2Rr 4pRr p2 + r2 + 4Rr 1 − r3 − r+ − =0 4pRr 2R 4pRr Chứng minh Thay G = r vào định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.28 Chứng minh R − 1 , R− , R− a b c nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr p2 + r2 + 4Rr t − 3R − t + 3R + − t 4pRr 2Rr 4pRr p2 + r2 + 4Rr 1 − R3 − R+ − =0 4pRr 2r 4pRr Chứng minh Thay G = R vào định lý 3.1 ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.29 Chứng minh , hb , hc nghiệm phương trình t3 − p2 + r2 + 4Rr 2p2 r 2p2 r2 t + t− =0 2R R R (3.30) Chứng minh 2pr Ta có h = , nên thay G = 2pr vào định lý 3.1 ta có điều phải chứng a minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 42 Bài tốn 3.30 Chứng minh 1 , , nghiệm phương trình hb hc p2 + r2 + 4Rr R t − t + t − =0 r 2p2 r2 2p2 r2 Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.30) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.31 Chứng minh h2a , h2b , h2c nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr 2p2 r t − − t 2R R 4p4 r2 2p2 r2 + − p + r2 + 4Rr 2 R R 2p4 r4 t− =0 R2 Chứng minh Từ nhận xét 1.2 cho phương trình (3.30) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.32 Chứng minh + hb , hb + hc , hc + nghiệm phương trình p2 + r2 + 4Rr p2 + r2 + 4Rr t − t + R 2R 2 pr pr − p + r + 4Rr − =0 R2 R 2p2 r + t R Chứng minh Từ nhận xét 1.3 cho phương trình (3.30) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.33 Chứng minh hb + hb hc , hb hc + hc , hc + hb nghiệm phương trình 4p2 r 4p4 r4 2p2 r p2 + r2 + 4Rr t − t + + t R R2 R 2R 4p4 r4 2p4 r3 p2 + r2 + 4Rr − + =0 R2 R2 2R Chứng minh Từ nhận xét 1.4 cho phương trình (3.30) ta có điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 43 Bài tốn 3.34 Chứng minh hb , hb hc , hc nghiệm phương trình 2p2 r p2 r2 p2 + r2 + 4Rr 4p4 r4 t − t + t− =0 R R 2R R2 Chứng minh Từ nhận xét 1.5 cho phương trình (3.30) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.35 Chứng minh , rb , rc nghiệm phương trình t3 − (4R + r)t2 + p2 t − p2 r = (3.31) Chứng minh pr pr Ta có (p − a) = pr nên = thay t = vào phương trình p−a p − a pr pr (3.27), biến đổi theo ta điều phải chứng minh p−a Bài toán 3.36 Chứng minh 1 , , nghiệm phương trình rb rc 4R + r t3 − t2 + t − =0 r p2 r p2 r (3.32) Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.31) ta có điều phải chứng minh Bài tốn 3.37 Chứng minh ra2 , rb2 , rc2 nghiệm phương trình t3 − (4R + r)2 − 2p2 t2 + p4 − 2p2 r(4R + r) t − p4 r2 = (3.33) Chứng minh Từ nhận xét 1.2 cho phương trình (3.31) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.38 Chứng minh + rb , rb + rc , rc + nghiệm phương trình t3 − 2(4R + r)2 t2 + [(4R + r)2 + p2 ]t − p2 (4R + r) + p2 r = Chứng minh Từ nhận xét 1.3 cho phương trình (3.31) ta có điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.34) 44 Bài toán 3.39 Chứng minh rb + rb rc , rb rc + rc , rc + rb nghiệm phương trình t3 − 2p2 t2 + [p4 + p2 r(4Rr + r)]t − p4 r(4R + r2 ) = Chứng minh Từ nhận xét 1.4 cho phương trình (3.31) ta có điều phải chứng minh Bài toán 3.40 Chứng minh rb , rb rc , rc nghiệm phương trình t3 − p2 t2 + p2 r(4Rr + r)t − p4 r = (3.35) Chứng minh Từ nhận xét 1.5 cho phương trình (3.31) ta có điều phải chứng minh 1 Bài toán 3.41 Chứng minh , , nghiệm phương trình rb rc p2 − 2r(4R + r) (4R + r)2 − 2p2 t − t + t− =0 2 pr pr pr Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.33), nhận xét 1.2 cho phương trình (3.32) ta có điều phải chứng minh 1 Bài tốn 3.42 Chứng minh , , nghiệm + rb rb + rc + phương trình (4R + r) + p2 2(4R + r) t − t + t − =0 p (4R + r) − p2 r p2 (4R + r) − p2 r p2 (4R + r) − p2 r Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.34) ta có điều phải chứng minh 1 Bài toán 3.43 Chứng minh , , nghiệm phương trình rb rb rc ra t3 − 4R + r 1 t + 2t − = pr pr pr Chứng minh Từ nhận xét 1.1 cho phương trình (3.35), nhận xét 1.5 cho phương trình (3.32) ta có điều phải chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 45 Bài toán 3.44 Chứng minh m2a , m2b , m2c nghiệm phương trình t3 + αm t2 + βm t + γm = (3.36) Trong đó: αm = − (p2 − r2 − 4Rr); 2 βm = (p + r2 + 4Rr) − 9p2 Rr; 16 γm = (p − r2 − 4Rr) − (p2 − r2 − 4Rr)(p2 + r2 + 4Rr) 16 27 − 16p2 Rr + p2 R2 r2 ; Chứng minh Ta cần chứng minh: m2a + m2b + m2c = −αm m2a m2b + m2b m2c + m2c m2a = βm m2a m2b m2c = −γm (3.37) (3.38) (3.39) Ta chứng minh (3.37) Theo công thức trung tuyến ta có 2(b2 + c2 ) − a2 2(c2 + a2 ) − b2 2(a2 + b2 ) − c2 2 = ; mb = ; mc = ; 4 ⇒ m2a + m2b + m2c = (a2 + b2 + c2 ) m2a Áp dụng tính chất 1.2 cho phương trình (3.13) ta a2 + b2 + c2 = (−2p)2 − 2(p2 + r2 + 4Rr) = 2(p2 − r2 − 4Rr) Ta chứng minh (3.38) Ta có 2(a2 + b2 + c2 ) − 3a2 2(a2 + b2 + c2 ) − 3b2 = 4 Đặt a2 + b2 + c2 = M, suy m2a m2b = (4M − 6M a2 − 6M b2 + 9a2 b2 ) 16 Tương tự, ta có m2a m2b m2b m2c = (4M − 6M b2 − 6M c2 + 9b2 c2 ) 16 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 46 m2c m2a = (4M − 6M c2 − 6M a2 + 9c2 a2 ) 16 Hay m2a m2b + m2b m2c + m2c m2a = = (12M − 12M (a2 + b2 + c2 ) + 9(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 )) 16 = (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) 16 Áp dụng tính chất 1.7 cho phương trình (3.13) ta a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = (p2 + r2 + 4Rr) − 16p2 Rr Suy m2a m2b + m2b m2c + m2c m2a = = 2 [(p + r2 + 4Rr) − 16p2 Rr] 16 2 (p + r2 + 4Rr) − 9p2 Rr = βm 16 Ta chứng minh (3.39) Ta có m2a m2b m2c = (2M − 3a2 )(2M − 3b2 )(2M − 3c2 ) 64 [(8M − 12M (a2 + b2 + c2 ) + 18M (a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) − 27a2 b2 c2] 64 = [ − 4(a2 + b2 + c2 ) + 18(a2 + b2 + c2 )(a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ) − 27a2 b2 c2] 64 = Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.13) ta abc = 4pRr Áp dụng tính chất 1.2 cho phương trình (3.13) ta a2 + b2 + c2 = (−2p)2 − 2(p2 + r2 + 4Rr) = 2(p2 − r2 − 4Rr) Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.13) ta a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 = 2(p2 + r2 + 4Rr) − 16p2 Rr Từ ta (3.39) Từ (3.37), (3.38), (3.39) ta (3.36) Vậy toán chứng minh Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 47 Bài toán 3.45 Chứng minh la2 , lb2 , lc2 nghiệm phương trình t3 + αl t2 + βl t + γl = Chứng minh Ta cần chứng minh la2 + lb2 + lc2 = −αl (3.40) la2 lb2 + lb2 lc2 + lc2 la2 = βl (3.41) la2 lb2 lc2 = −γl (3.42) Ta chứng minh (3.42) Sử dụng công thức đường phân giác la2 = 4bcp(p − a) 4cap(p − b) 4bap(p − c) ; lb = ; la = (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 Từ ta có la2 lb2 lc2 a2 b2 c2 p2 S = 64 [(a + b)(b + c)(c + a)]2 Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.13) ta abc = 4pRr Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.18) ta (a + b)(b + c)(c + a) = 2p(p2 + r2 + 2Rr) 256p4 R2 r4 Suy = = −γl (p2 + r2 + 2Rr)2 Ta chứng minh (3.40) Ta có la2 lb2 lc2 p−a p−b p−c + + ] a(b + c)2 b(c + a)2 c(a + b)2 b+c−a a+c−b a+b−c = 4pabc[ + + ] a(b + c)2 b(c + a)2 c(a + b)2 1 = 2pabc[( + + ) ab + bc ab + bc ab + bc 1 −( + + )] (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 la2 + lb2 + lc2 = 4pabc[ (3.43) Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.22) ta 1 (p2 + r2 + 4Rr) + 8p2 Rr + + = ab + ac bc + ba ca + cb 8p2 Rr(p2 + r2 + 2Rr) Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ (3.44) 48 Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.23) ta 1 5p2 + r2 + 4Rr ] − 2 + + =[ 2 2p(p + r + 4Rr) p + r + 4Rr (b + c) (c + a) (a + b) (3.45) Thay (3.44), (3.45) vào (3.43), kết hợp với abc = 4pRr, ta la2 +lb2 + lc2 = 2 (p2 + r2 + 4Rr) + 8p2 Rr 5p2 + r2 + 4Rr = 2p.4pRr[ − ( ) 8p2 Rr(p2 + r2 + 2Rr) 2p(p2 + r2 + 2Rr) + p + r2 + 2Rr 2 (p2 + r2 + 4Rr) + 8p2 Rr 5p2 + r2 + 4Rr 32p2 Rr = − 2Rr( ) + p2 + r2 + 2Rr p + r2 + 2Rr p + r2 + 2Rr 2 (p2 + r2 + 4Rr) 5p2 + r2 + 4Rr 40p2 Rr = − 2Rr( ) + = −αl p + r2 + 2Rr p + r2 + 2Rr p + r2 + 2Rr Vậy (3.40) chứng minh Ta chứng minh (3.41) Biến đổi la2 lb2 + lb2 lc2 + lc2 la2 = la2 lb2 lc2 ( 1 + + ) la2 lb2 lc2 (3.46) Mà 1 (b + c)2 (c + a)2 (a + b)2 + + = + + la2 lb2 lc2 4pbc(p − a) 4pca(p − b) 4pab(p − c) a(b + c)2 b(c + a)2 c(a + b)2 = [ + + ] 4pabc (p − a) (p − b) (p − c) (3.47) a(b + c)2 b(c + a)2 c(a + b)2 Đặt L = + + , (p − a) (p − b) (p − c) 1 L = 2abc( + + ) p−a p−b p−c a b c a3 b3 c3 + (a2 + b2 + c2 )( + + )( + + ) p−a p−b p−c p−a p−b p−c Áp dụng định lý Viete cho phương trình (3.27) ta L1 = 1 4R + r + + = p−a p−b p−c pr Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 49 Mặt khác ta có a b c + + p−a p−b p−c a b c =( + 1) + ( + 1) + ( + 1) − p−a p−b p−c 1 = p( + + )−3 p−a p−b p−c 4R + r 4R − 2r =p −3= pr r L2 = a2 b2 c2 L3 = + + p−a p−b p−c a2 b2 c2 =( + a) + ( + b) + ( + c) − (a + b + c) p−a p−b p−c a b c = p( + + ) − (a + b + c) p−a p−b p−c R−r 4R − 2r = pL2 − 2p = 4p =p − 2p r r 4R − 2r 4R − 4r = p( − 2) = p r r a3 b3 c3 L4 = + + p−a p−b p−c a2 b2 c2 2 =( +a )+( +b )+( + c2 ) − (a2 + b2 + c2 ) p−a p−b p−c 2 a b c = p( + + ) − (a2 + b2 + c2 ) p−a p−b p−c R−r = pL3 − (a2 + b2 + c2 ) = p4p − 2(p2 − r2 − 4Rr) r R R = 4p2 − 4p2 − 2p2 + 2r2 + 8Rr = 4p2 − 6p2 + 2r2 + 8Rr r r Số hóa trung tâm học lieäu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 50 Thay L1 , L2 , L4 vào L, ta 4R + r 4R R + 2(p2 − r2 − 4Rr)( − 2) − 4p2 + 6p2 − 2r2 − 8Rr pr r r R = 32R2 + 8Rr + 8p2 − 8Rr − 32R2 − 4p2 + 4r2 + 16Rr r R − 4p2 + 6p2 − 2r2 − 8Rr r R = 4p2 + 8Rr + 2p2 + 2r2 r 2p2 R + 4Rr2 + p2 r + r3 = 2( ) r L = 2.4pRr Thay L vào (3.47), sau thay (3.47) vào (3.46), kết hợp với (3.42) ta la2 lb2 3.3 + lb2 lc2 + lc2 la2 256p4 R2 r4 2p2 R + 4Rr2 + p2 r + r3 = 2( ) r (p2 + r2 + 2Rr)2 4p.4pRr 2p2 R + 4Rr2 + p2 r + r3 = 32pRr = −βl (p2 + r2 + 2Rr)2 Một số phương trình lượng giác đưa phương trình bậc ba đại số Bài tốn 3.46 Giải phương trình √ √ sin3 x − cos3 x = sin x cos2 x − sin2 x cos x Chỉ dẫn: Dễ thấy cos x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho cos x ta được: √ √ tan3 x + tan2 x − tan x − = √ √ Đặt t = tan x, phương trình trở thành: t3 + 3t2 − t − = √ Đây phương trình bậc ba đại số, có ba nghiệm − ±1 Bài tốn 3.47 Giải phương trình: sin2 x(tan x + 1) = sin x(cos x − sin x) + Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 51 Chỉ dẫn: Điều kiện: x = π + kπ, k ∈ Z Phương trình cho tương đương với: sin2 x(sin x + cos x) = sin x cos x(cos x − sin x) + sin x Rõ ràng cos x = nghiệm phương trình Chia hai vế phương trình cho cos3 x ta phương trình: tan3 x + tan2 x − tan x + tan2 x − 3(1 + tan2 x) = Đặt t = tan x, ta được: t3 + t2 − 3t − = Đây phương trình bậc √ ba đại số có ba nghiệm −1 ± Bài tốn 3.48 Giải phương trình π = cos 3x Chỉ dẫn: Phương trình tương đương với cos3 x + √ 12 cos x − 23 sin x = cos3 x − cos x √ √ ⇔ sin3 x + cos3 x + cos2 x sin x − cos x sin2 x − cos x = Do cos x = nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos3 x đặt t = tan x ta phương trình: √ √ 3t + + 3t − 3t2 − − t2 = √ √ Phương trình có ba nghiệm 0, 3 Bài tốn 3.49 Giải phương trình sin x + cos x − sin3 x = Chỉ dẫn: Do cos x = nghiệm phương trình nên chia hai vế phương trình cho cos3 x ta phương trình: tan x(1 + tan2 x) + + tan2 x − tan3 x = Đặt t = tan x, ta phương trình bậc ba: 3t3 − t2 − t − = có nghiệm Thơng thường với phương trình lượng giác đẳng cấp bậc ba với sin x cos x ta đưa phương trình bậc ba đại số để giải Sau số phương trình lượng giác đối xứng với sin x cos x Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 52 Bài tốn 3.50 Giải phương trình + sin3 x + cos3 x = sin 2x Chỉ dẫn: Phương trình cho tương đương với + (sin x + cos x)(1 − sin x cos x) − sin x cos x = √ Đặt t = sin x cos x t ≤ , phương trình trở thành: t2 − 1+t 1− t2 − −3 = ⇔ t3 + 3t2 − 3t − = Giải phương trình ta nhận nghiệm t = −1 thỏa mãn Bài tốn 3.51 Giải phương trình sin3 x − cos3 x = Chỉ dẫn: Phương pháp tương tự tốn 3.50 ta đưa phương trình bậc ba: t3 − 3t + = Sau số tập tương tự: Bài toán 3.52 Giải phương trình sin3 x + cos3 x − sin x − sin2 x cos x = Bài tốn 3.53 Giải phương trình √ π sin3 x + Số hóa trung tâm học lieäu = sin x http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 53 Kết luận Luận văn nghiên cứu phương pháp giải tính chất nghiệm phương trình bậc ba tổng quát tập hợp số thực, đồng thời đưa phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát cách đưa phương trình bậc ba để giải Bên cạnh luận văn trình bày số ứng dụng phương trình bậc ba vào giải lớp hệ phương trình đại số, giải tốn phương trình bậc ba với nghiệm yếu tố độ dài tam giác số phương trình lượng giác giải cách đưa phương trình bậc ba đại số Hướng nghiên cứu đề tài nghiên cứu tính chất nghiệm phương trình bậc ba tập hợp số phức ứng dụng vào lĩnh vực bất đẳng thức toán cực trị hình học lượng giác Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ 54 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Văn Mậu, Phương pháp giải phương trình bất phương trình, NXB Giáo Dục, 1993 [2] Nguyễn Văn Mậu, Đa thức đại số phân thức hữu tỷ, NXB Giáo Dục, 2004 [3] Nguyễn Văn Mậu, Bất đẳng thức - Định lí áp dụng, NXB Giáo Dục, 2006 [4] Nguyễn Văn Mậu, Các toán nội suy áp dụng, NXB Giáo Dục, 2008 [5] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Văn Ngọc, Chuyên đề chọn lọc: Đa thức đối xứng áp dụng, NXB Giáo Dục, 2008 [6] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Chuyên đề chọn lọc lượng giác áp dụng, NXB Giáo Dục, 2009 [7] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Số phức áp dụng, NXB Giáo Dục, 2010 [8] Tạ Duy Phượng, Phương trình bậc ba toán tam giác, NXB Giáo Dục, 2006 Số hóa trung tâm học liệu http://www.lrc.tnu.edu.vn/ ... hướng dẫn giải Chương trình bày số ứng dụng khác phương trình bậc ba Cụ thể ứng dụng phương trình bậc ba vào để giải số tốn phương trình bậc bốn Ứng dụng phương trình bậc ba vào giải Số hóa trung... giải biện luận phương trình Ứng dụng vào giải số hệ phương trình đại số Ngồi số ứng dụng khác việc giải biện luận phương trình bậc ba Luận văn chia làm ba chương: Chương trình bày cách giải biện. .. trình bậc ba Ứng dụng phương trình bậc ba vào giải số hệ phương trình đại số 2.1 2.2 15 Một số hệ phương trình đại số giải cách áp dụng phương trình bậc ba 15 Một số