ỨNG DỤNG MAPLE ĐỂ GIẢI VÀ BIỆN LUẬN PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC 2 VÀ KHẢO SÁT HÀM SỐ BẬC 3

Maple cungcấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tínhtoán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn.Nhiều trường đạ

GIẢNG VIÊN HƯỚNG DẪN:

PGS.TS ĐỖ VĂN NHƠN

HỌC VIÊN THỰC HIỆN:

LÊ MINH TRÍ MSHV: CH1101148

Thành phố Hồ Chí Minh

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 3

Chương I>Giới thiệu: 4

Chương II>Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất: 5

1/Các bước giải và biện luận phương trình bậc nhất: 5

2/Phân tích yêu cầu: 5

3/Cấu trúc dữ liệu: 5

4/Thuật giải: 5

5/Thủ tục: 6

6/Dữ liệu thử nghiệm: 7

Chương III>Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai: 7

1/Các bước giải và biện luận phương trình bậc hai: 7

2/Phân tích yêu cầu: 8

3/Cấu trúc dữ liệu: 8

4/Thuật giải: 8

5/Thủ tục: 9

6/Dữ liệu thử nghiệm: 11

Chương IV>Bài toán khảo sát hàm số bậc 3: 11

1/Các bước khảo sát hàm số bậc 3: 11

2/Phân tích yêu cầu: 13

3/Cấu trúc dữ liệu: 13

4/Thuật giải: 13

5/Thủ tục: 16

6/Dữ liệu thử nghiệm: 18

Chương V>Kết luận & Hướng phát triển đề tài: 20

1/Kết luận : 20

2/Hướng phát triển đề tài: 20

TÀI LIỆU THAM KHẢO 21

LỜI NÓI ĐẦU

Ngày nay máy tính đã thâm nhập vào hầu hết các lĩnh vực khoa học và đời sống.Nhiều chương trình ứng dụng đã được phát triển liên quan tới quản lý dữ liệu, in ấn,

đồ họa sử lý ảnh Riêng đối với ngành toán đã có những sản phẩm phần mềmmang tính phổ dụng như Mathematica, Matlab, Maple, và nhiều chương trìnhchuyên dụng cho từng bộ môn của toán học Những phần mềm trên giúp ích rấtnhiều cho việc giảng dạy toán, học toán cũng như việc ứng dụng toán trong cácngành kỹ thuật, kinh tế, và vì thế tại các nước phát triển chúng trở thành cẩm nangcủa nhiều sinh viên, kỹ sư và các ngành nghiên cứu khoa học

Trong số các phần mềm hỗ trợ cho ngành toán học thì Maple là một phần mềmđang được khá ưa chuộng nhất trong giới học sinh và sinh viên Maple phục vụ đắclực cho việc học tập, giảng dạy và nghiên cứu toán sơ cấp và cao cấp Maple cungcấp nhiều công cụ trực quan, nhiều gói lệnh chuyên ngành phù hợp với các tínhtoán phổ thông và bậc đại học, giao diện hoàn thiện hơn và hỗ trợ soạn thảo tốt hơn.Nhiều trường đại học sử dụng Maple để giảng dạy một số môn trong khung chươngtrình đào tạo đã góp phần làm thay đổi cách học toán, song song với lối giải toántruyền thống sinh viên có thể giải quyết bài toán với sự giúp đỡ của Maple

Chương trình Maple của hãng MapleSoft là một hương trình tính toán rất mạnh,

hỗ trợ trong việc giải các phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, vẽ đồ

thị trong không gian 2 chiều, 3 chiều, Nhằm để giúp cho việc học toán và tham

khảo một cách hiệu quả hơn, trong phạm vi bài tiểu luận này, người nghiên cứu xin

trình bày về việc Ứng dụng Maple để giải và biện luận phương trình bậc nhất, bậc

2 và khảo sát hàm số bậc 3.

Qua bài tiểu luận, em xin gửi lời cảm ơn chân thành, sâu sắc đến thầy PGS.TS

Đỗ Văn Nhơn, người đã tận tình truyền đạt cho em những kiến thức sâu rộng, bổ

ích về môn Lập trình Symbolic Từ đó giúp em nắm vững hơn về cơ sở lý thuyết, và

có được một nền tảng kiến thức cơ bản tạo điều kiện thuận lợi để em hoàn thành tốtbài tiểu luận này Bên cạnh đó em cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh/chị trongcùng khóa học đã nhiệt tình chia sẽ tài liệu và những thông tin cần thiết trong suốtquá trình học

Thân mến,

Người nghiên cứu

Chương I> Giới thiệu:

Ở bậc trung học cơ sở, chúng ta đã được học rất nhiều các dạng bài toán cơ bản,trong đó có dạng bài toán về giải phương trình bậc nhất, bậc 2 một ẩn số hay caohơn nữa là giải và biện luận các phương trình bậc nhất, bậc 2 theo tham số m Đếnbậc trung học phổ thông thì chúng ta được học phương pháp làm thế nào để biểudiễn được dạng đồ thị của các hàm số bậc 1, bậc 2, bậc 3,…đó lên hệ trục tọa độ.Nếu như trước đây việc giải các bài toán phức tạp như thế trên máy tính vô cùngkhó khăn thì ngày nay với sự ra đời của Maple đã giải quyết được phần lớn các bàitoán nan giải đó

Maple là một hệ phần mềm chuyên dụng cho công việc tính toán bao gồm cáctính toán thuần túy bằng ký hiệu toán học, các tính toán số và các tính toán bằng đồthị Sản phẩm này do trường Đại học Tổng hợp Waterloo (Canada) và trường đạihọc kỹ thuật Zurich (ETZ) xây dựng và đưa vào thương mại đầu tiên năm 1985.Qua nhiều lần cải tiến, hiện nay Maple đã được phổ biến rộng rãi trên thế giới.Những đặc tính căn bản của Maple là dễ sử dụng, đòi hỏi cấu hình máy không lớn,đáp ứng nhu cầu tính toán của nhiều đối tượng Ngoài ra Maple còn được thiết kếthích hợp với chế độ tương tác người và máy, cho phép người dùng phát triển cácmodule chuyên dụng

Maple là phần mềm toán học được dùng phổ biến Nó cung cấp đầy đủ các công

cụ phục vụ cho việc tính toán số và tính toán biểu trưng (tính toán trừu tượng trêncác tham biến ), vẽ đồ thị hàm số,…cho nhiều phân ngành như Đại số tuyến tính,Toán rời rạc, toán tài chính, thống kê, lý thuyết số, phương trình vi phân,…Công cụtính toán như Maple giúp chúng ta được giải phóng khỏi những tính toán phức tạpvốn mất nhiều thời gian và đặc biệt là giúp chúng ta tránh được sai sót, nhầm lẫnkhi tính toán

Trong quá trình nghiên cứu và tiếp cận Maple, người nghiên cứu thấy rằng ngoàicác tính năng tính toán và minh họa rất mạnh mẽ bằng các câu lệnh riêng biệt(thường chỉ cho ta kết quả cuối cùng), Maple còn là một ngôn ngữ lập trình hướngthủ tục Thủ tục này gồm một dãy các lệnh của Maple theo thứ tự mà người lậptrình định sẵn để xử lý một công việc nào đó, khi thực hiện thủ tục này Maple sẽ tựđộng thực hiện các lệnh có trong thủ tục đó một cách tuần tự rồi sau đó trả lại kếtquả cuối cùng

Chương II> Bài toán giải và biện luận phương trình bậc nhất:

1/ Các bước giải và biện luận phương trình bậc nhất:

Phương trình bậc nhất một ẩn có dạng: ax + b = 0

Trường hợp 1 (a ≠ 0): Phương trình có nghiệm duy nhất x=

-a b

Trường hợp 2 (a = 0): có 2 trường hợp xảy ra

o b ≠ 0: Phương trình vô nghiệm

o b = 0: Phương trình có vô số nghiệm

2/ Phân tích yêu cầu:

Đầu vào phải là phương trình bậc nhất một ẩn số, tham số m bất kỳ, có thể thuộccác hệ số a, hệ số b hoặc thuộc cả hai hệ số a và b Đầu ra là một lời giải và biệnluận hoàn chỉnh phương trình bậc nhất một ẩn số theo tham số m

3/ Cấu trúc dữ liệu:

Cấu trúc của thủ tục có dạng (pt,x) Trong đó pt là phương trình bậc nhất một ẩn theo tham số m và vế phải của phương trình có thể khác 0, x là biến cần tìm của phương trình pt.

4/ Thuật giải:

Đầu vào: Phương trình bậc nhất theo tham số m.

Đầu ra: Giải và biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m.

Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán.

Bước 2:

Bước 3:

if a là hằng số then # Phương trình không có tham số m

if a ≠ 0 then Phương trình có nghiệm duy nhất x = -

a b

else

if b ≠ 0 then Phương trình có vô số nghiệm;

else Phương trình vô số nghiệm;

else # Biện luận phương trình theo tham số m

• Với mỗi m không thuộc tập hợp nghiệm A thì phương trình có

vn := “Phương trình vô nghiệm”;

vsn := “Phương trình có vô số nghiệm”;

ndn := “Phương trình nghiệm duy nhất”;

if type(a, numeric) then

#Phương trình không có tham số m

pt1 := (m2 - 1)*x + 2 = x + 2*m: # Gán phương trình cho biến pt1

GiaiVaBienLuanPTBac1(pt1,x); # Thực thi và xuất lời giải ra màn hình.

2 −

−

m m

+ Với m = 2^(1/2) => Phương trình vô nghiệm

+ Với m = -2^(1/2) => Phương trình vô nghiệm

Chương III> Bài toán giải và biện luận phương trình bậc hai:

1/ Các bước giải và biện luận phương trình bậc hai:

Phương trình bậc hai có dạng một ẩn: ax2 + bx + c = 0

Trường hợp 1 (a = 0): Phương trình trở thành dạng bậc nhất bx + c = 0

b c

2/ Phân tích yêu cầu:

Điều kiện đầu vào phải là phương trình bậc 2 một ẩn số (a ≠ 0), tham số m bất

kỳ, có thể thuộc các hệ số a, b hoặc c Đầu ra là một lời giải và biện luận hoàn chỉnhphương trình bậc 2 một ẩn số theo tham số m

3/ Cấu trúc dữ liệu:

Cấu trúc của thủ tục có dạng (pt,x) Trong đó pt là phương trình bậc 2 một ẩn theo tham số m và vế phải của phương trình có thể khác 0, x là biến cần tìm của phương trình pt.

4/ Thuật giải:

Đầu vào: Phương trình bậc 2 theo tham số m.

Đầu ra: Giải và biện luận phương trình bậc 2 theo tham số m.

Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán.

phương trình bậc nhất theo tham số m);

+ return;

end if;

else # a có chứa tham số m

nghiema := danh sách các nghiệm của hệ số a;

for i from 1 to số lượng các nghiema do

Với m = i: Phương trình không có dạng bậc 2 (có thể giải và

biện luận phương trình bậc nhất theo tham số m);

end do;

end if;

Bước 4: Kiểm tra giá trị delta

if delta là hằng số then # Phương trình không có tham số m

if ∆< 0 then Phương trình vô nghiệm;

elif ∆= 0 then Phương trình có nghiệm kép x =

-a b

2 ;

else Phương trình có 2 nghiệm phân biệt x1,2 =

end if;

else

nghiema := [solve(a=0,m)];

for i from 1 to nops(nghiema) do

printf(“+ Nếu m = %a: Phương trình không có dạng bậc 2\n”,nghiema[i]);

end do;

end if;

if type(delta, numeric) then

#Phương trình không có tham số m

2

)(

2

)(

−

−

);

end if;

else #Biện luận phương trình theo tham số m

printf(“1/ Trường hợp delta < 0:\n”);

nghiemdelta := [solve(delta < 0), m];

for i from 1 to nops(nghiemdelta) do

printf(“+ Với m = %a => ”, nghiemdelta[i]);

end do;

printf(“2/ Trường hợp delta = 0:\n”);

nghiemdelta := [solve(delta = 0), m];

for i from 1 to nops(nghiemdelta) do

printf(“+ Với m = %a => ”, nghiemdelta[i]);

printf(cat(“Nghiệm kép ”, i, “ = %a\n”), subs(m = nghiemdelta[i], -

printf(“3/ Trường hợp delta > 0:\n”);

2

)(

2

)(

pt2 := x2 + mx + (3m - 8) = 0: # Gán phương trình cho biến pt2

GiaiVaBienLuanPTBac2(pt2,x); # Thực thi và xuất lời giải ra màn hình.

Bước 2: y’ = f’(x) = 3ax2 + 2bx + c

Bước 3: y’ = 0 <=> 3ax2 + 2bx + c = 0

<=> ∆=(2b)2 – 4(3a)c

o Nếu ∆≤ 0 và a > 0 => y’ > 0 => hàm số đồng biến trên R và không cócực trị

o Nếu ∆≤ 0 và a < 0 => y’ < 0 => hàm số nghich biến trên R và không

có cực trị

o Nếu ∆> 0 => y’ = 0 => có 2 nghiệm phân biệt:

= >

?2

?;

2

?1

y x

Bảng xát xấu y’:

= > Tuyên bó đồng biến, nghịch biến và hàm số 2 cực trị

Bước 4: y’’ = f’’(x) = 6ax + 2b

Bước 9: Đồ thị hàm số nhận điểm uốn I(

a

b

3

2/ Phân tích yêu cầu:

Điều kiện đầu vào phải là hàm số bậc 3 (chương trình sẽ kiểm tra nếu không

phải hàm bậc 3 thì sẽ thoát) Đầu ra là một lời giải chi tiết hoàn chỉnh cho việc khảo

sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số bậc 3

Đầu ra: Lời giải chi tiết khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc 3.

Bước 1: Nhập các biến có liên quan đến bài toán;

Bước 2: Kiểm tra xem có phải hàm số bậc 3 hay không;

Bước 3: Lần lượt gán các vế trái, vế phải, hàm số truyền vào, các hệ số vế phải

của hàm số bậc 3 vào các biến: vetrai, vephai, y, a, b, c, d;

Bước 4:

+ Tập xác định.

o Tính đạo hàm cấp 1 và gán vào biến y1.

o Tính đạo hàm cấp 2 và gán vào biến y2.

o Tìm nghiệm gần đúng của hàm bậc 3 và gán vào biến nghiem.

o Xét chiều biến thiên:

• if ({nghiem} = {} and a > 0) then

Hàm số luôn đồng biến trên R và không có cực trị;

end if;

• if ({nghiem} = {} and a < 0) then

Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có cực trị;

 Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu;

 Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại;

o Xét tính lồi, lõm và điểm uốn:

• if a > 0 then

 Hàm số lồi trong khoảng (-∞, solve(y2)) ;

 Hàm số lõm trong khoảng (solve(y2), +∞);

else

 Hàm số lõm trong khoảng (-∞, solve(y2)) ;

 Hàm số lồi trong khoảng (solve(y2), +∞);

end if;

o Đồ thị cắt trục Ox tại điểm (fsolve(y));

print(`a Chiều biến thiên y’ = `y1);

if ({nghiem} = {} and a > 0) then

print(`y < 0 ∀x.`);

print(`Hàm số luôn nghịch biến trên R và không có cực trị.`);

end if;

if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) = min(nghiem)) then

print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` min(nghiem));

print(`y >= 0 ∀x.`);

print(`Hàm số luôn đồng biến.`);

end if;

if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) = min(nghiem)) then

print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` min(nghiem));

print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` nghiem);

print(`Hàm số đồng biến trong các khoảng: ` (-infinity, min(nghiem))

print(`Đạo hàm y’ = 0 tại x = ` nghiem);

print(`Hàm số nghịch biến trong các khoảng: ` (-infinity, min(nghiem)) `và` (max(nghiem), infinity)));

print(`Hàm số đồng biến trong các khoảng: ` (min(nghiem), max(nghiem)));

if ({nghiem} ≠ {} and a > 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then

print(`Hàm số có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu:`);

print(`Điểm cực đại: `(min(nghiem), simplify(eval(y,x = min(nghiem)))));

print(`Điểm cực tiểu: `(max(nghiem), simplify(eval(y,x=

max(nghiem)))));

end if;

if ({nghiem} ≠ {} and a < 0 and max(nghiem) ≠ min(nghiem)) then

print(`Hàm số có một điểm cực tiểu và một điểm cực đại:`);

print(`Điểm cực tiểu: `(min(nghiem), simplify(eval(y,x = min(nghiem)))));

print(`Điểm cực đại: `(max(nghiem), simplify(eval(y,x=

max(nghiem)))));

end if;

print(`c Giới hạn:`);

print(Limit(y,x=-infinity) = limit(y,x = -infinity));

print(Limit(y,x=+infinity) = limit(y,x = +infinity));

print(`Đồ thị không có tiệm cận.`);

print(`d Tính lồi, lõm và điểm uốn:`);

print(`y’’ = `y2);

print(`Điểm uốn: U`(solve(y2), simplify(eval(y,x = solve(y2)))));

if a > 0 then

print(`Hàm số lồi trong khoảng: `(-infinity, solve(y2)));

print(`Hàm số lõm trong khoảng: `(solve(y2), infinity));

else

print(`Hàm số lõm trong khoảng: `(-infinity, solve(y2)));

print(`Hàm số lồi trong khoảng: `(solve(y2), infinity));

end if;

print(`Bước 3: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn`);

print(`Đồ thị cắt trục Ox tại các điểm có hoành độ `(fsolve(y = 0)));

print(`Đồ thị cắt trục Oy tại điểm `(0,d));

plot(y,x=-5 5,-5 5,axis=[gridlines],title=HamBacBa);

end proc:

6/ Dữ liệu thử nghiệm:

HamBacBa := y= –x3 – 3x2 + 1:

Kết quả thực hiện:

Đề bài: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm bậc ba y= –x3 – 3x2 + 1

Bài giải:

Bước 1: Tập xác định D = R

Bước 2: Sự biến thiên

a Chiều biến thiên: y’ = –3x2 – 6x

Đạo hàm y’ = 0 tại x = (0,2)

Hàm số nghịch biến trong các khoảng (-∞, -2) và (0, ∞)

Hàm số đồng biến trong các khoảng (-2,0)

Hàm số lồi trong khoảng: (-1, ∞)

Bước 3: Đồ thị có tâm đối xứng là điểm uốn

Đồ thị các trục Ox tại các điểm có hoành độ (-2.879385242, -0.65270366447, 0.5320888862)

Đồ thị cắt trục Oy tại điểm (0,1)

Chương V> Kết luận & Hướng phát triển đề tài:

1/ Kết luận :

Maple là một phần mềm tính toán khá phong phú, hỗ trợ hầu hết các lĩnh vựccủa toán học và một số lĩnh vực khác Do đó ứng dụng Maple vào tự học, tự nghiêncứu có thể kiểm tra được kiến thức toán học của mình và tạo ra những tu duy logicmới về toán học Ngoài ra phần mềm Maple còn hỗ trợ chúng ta biên soạn nhữngbài giảng theo giáo trình điện tử một cách sinh động góp phần vào việc đổi mớiphương pháp dạy học hiện nay như:

Về mặt cài đặt chương trình minh họa, người nghiên cứu đã áp dụng các lý

thuyết đã nêu ở trên để xây dựng nên chương trình Ứng dụng Maple để giải và biện

luận phương trình bậc nhất, bậc 2 và khảo sát hàm số bậc 3 Với cách trình bày rõ

ràng từng đề mục, mỗi vấn đề nghiên cứu đều có phần trên là thủ tục và phần dưới

là dữ liệu thử nghiệm, mỗi vấn đề có thể được thu gọn hay mở rộng bằng chức nănggom nhóm nội dung có sẵn trong Maple, giúp cho người dùng dễ dàng tập trung vàomột vấn đề cụ thể

2/ Hướng phát triển đề tài:

Qua bài tiểu luận, chúng ta thấy được tầm quan trọng của việc

sử dụng phần mềm Maple để giải quyết hầu hất các vấn đề vềtoán học Hay nói cách khác Maple không những là một công cụtoán học mạnh mẽ mà còn là bước đệm vững chắc trong việc giảiquyết các vấn đề của một số lĩnh vực khác Mặc dù đã cố gắng hếtsức nhưng do thời gian có hạn nên bài tiểu luận chắc chắn sẽkhông tránh khỏi một số khuyết điểm Rất mong nhận được ý kiếnđóng góp từ phía các thầy cô để các vấn đề nghiên cứu ở trên sẽ