chuyên đề phương trình bậc 2

NHỮNG BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN PT BẬC HAI A-MỤC TIÊU: HS:Nắm được các phương pháp giải toán liên quan đến pt bậc hai HS:Biết được các sai lầm cần tránh HS:Biết vận dụng các phương pháp vào giải toán. B-THỜI LƯNG:7 tiết lý thuyết và Luyện tập -1tiết kiểm tra Tiết 1,2: I-BÀI TOÁN 1: Biện luận theo m sự có nghiêm của PT bậc hai ax 2 +bx +c = 0 (a ≠ 0)(1) • PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Xet hệ số a có hai khả năng: a) Trường hợp a = 0 với một giá trò nào đó của m Giả sử a = 0 <=> m = m 0 ta có (1) trở thành PT bậc nhất bx + c =0 Ta biên luận tiếp b) Trường hợp a ≠ 0 Lập biệt số ∆ = b 2 –4ac hoặc ∆ ’ = b’ 2 –ac Biện luận théo từng trường hơp : ∆ > 0 ; ∆ = 0 ; ∆ < 0 Sau đó tóm tắt phần biên luận trên II BÀI TOÁN 2: Tìm ĐK của tham số để pt có nghiệm: • Có hai khả năng xẩy ra : a) a = 0, b ≠ 0 b) a ≠ 0 , 0 ≥∆ III BÀI TOÁN 3: Tìm ĐK của tham số để PT có 2 nghiệm phân biệt:    >∆ ≠ 0 0a IV BÀI TOÁN 4:Tìm ĐK của tham số để PT có một nghiệm:    =∆ ≠    ≠ = 0 0 0 0 a V b a V BÀI TOÁN 5: 1) Điều kiên hai nghiệm cùng dấu 0;0 >≥∆ P 2) Điều kiện để hai nghiêm điều dương:          >−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P 3) Điều kiện để hai nghiêm điều âm:          <−= >= ≥∆ 0 0 0 a b S a c P 3) Điều kiện để hai nghiêm trái dấu: P< 0 hoặc a và c trái dấu VI-BÀI TOÁN TÌM ĐK để PT có một nghiêm x = x 1 tìm nghiệm kia: • Ta thay x = x 1 vào (1) Giải tìm m • Hoặc dựa vào S ;P tìm m VII-BÀI TOÁN 7:Tìm ĐK của m để PT có hai nghiệm thoã mãn các ĐK: txx n xx hxxkxxxx =+ =+≥+=+=+ 3 2 3 1 21 2 2 2 1 2 2 2 121 )5 11 )4)3)2)1 γβα • PHƯƠNG PHÁP GIẢI: Điều kiên chung : 0 ≥∆ Theo Đònh lý Vi et ta có :      = −=+ a c xx a b xx 21 21 . a)Trường hợp : )3( 21 γβα =+ xx Ta giải HPT      =+ −=+ γβα 21 21 xx a b xx => x 1 ;x 2 Thay các giá trò x 1 x 2 vào x 1 x 2 = a c giải tìm giá trò của tham số b)Trường hợp :x 1 2 +x 2 2 = k <=> (x 1 +x 2 ) 2 –2x 1 x 2 = k Thay tổng và tích giải tìm giá trò thamsố m c) Trường hợp : x 1 2 +x 2 2 ≥ h <=> (x 1 +x 2 ) 2 –2x 1 x 2 ≥ h Giải BPT tìm m Một số ví dụ minh hoạ : Ví dụ 1 :Biện luận theo m sự có nghiệm của PT x 2 –4x +m = 0 (1) Trước hết ta tính ∆ = b 2 –4ac = = 4-m a) Nếu 4-m > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt b) Nếu 4-m = 0 thì PT có nghiệm kép c) Nếu 4- m <0 thì PT vô nghiệm Ví dụ 2: Cho PT x 2 - 3x –m = 0 a) Tìm m để PT có nghiệm b) Tìm m để pT có nghiệm là –2 tìm nghiệm còn lại HD: ∆ = b 2 –4ac = 9 +4m a) Đẻ PT có nghiệm thì 9+ 4m ≥ 0 b) PT có nghiêm là –2 Do đó (-) 2 +3(-2) – m = 0 <=> Giải PTb tìm giá trò của m Ví dụ 3: Xác đònh m để PT x 2 –(m+5) x – m + 6 = 0 có hai nghiêm x 1 và x 2 thõa mãn: a) Nghiệm này lớn hơn nghiệm kia một đơn vò b) 2x 1 + 3x 2 = 13 HD:Tính ∆ = m 2 +14m +1 PT có hai nghiệm <=> m 2 +14m +1 ≥ 0 Giải BPT xác đònh m a) Giả sử x 1 > x 2 ta có Hệ thức; )( )3(6 )2(5 )1(1 21 21 12 I mxx mxx xx      +−= +=+ =− Giải HPT tìm m b) Giải Tương tự như câu a Ví dụ 4: Cho PT x 2 +ax +a+7 = 0(1) Tìm tất cả các giá trò của m sao cho pt có hai nghiệm thõa mãn hệ thức x 1 2 +x 2 2 = 10 HD: ∆ = a 2 -4a –28 PT có hai nghiệm <=> a 2 -4a –28 ≥ 0 Biến đổi x 1 2 +x 2 2 = 10 <=> (x 1 +x 2 ) 2 –2x 1 x 2 = 10 Thay tổng và tích rồi giải PT tìm m Ví dụ 5: Cho PT x 2 +ax +1 = 0 Tìm các giá trò của a để PT có hai nghiệm thoã mãn 7 2 1 2 2 2 1 >         +         x x x x Tiết 3,4,5,6,7 LUYỆN TẬP: Bài 1: (TN 1996) 1. Viết bảng tóm tắc công thức nghiệm của phương trình bậc hai: 2 0ax bx c+ + = ( 0)a ≠ . 2. Giải các phương trình: a/ ( ) 2 2 3 11 19 0y y− − + = b/ 2 4 12 9 0t t− + = Bài 2: (TN 2001) Cho phương trình bậc hai: 2 2 2( 1) 3 0x m x m m− − + − = với m là tham số. 1. Giải phương trình với m = 8. 2. Với giá trò nào của m thì phương trình đã cho có một nghiệm bằng 0. Bài 3: (TS 10 - 1993) Cho phương trình : 2 (1 ) 0x m x m+ − − = (1) với m là tham số. 1. Giải phương trình (1) với m = 2. 2. Xác đònh m để phương trình (1) có một nghiệm bằng -2. 3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi m. Bài 4: (TS 10 - 1996) Cho phương trình : 2 ( 1) 3( 1) 0mx m x m+ − − − = (1) với m là tham số. 1. Giải phương trình (1) khi m = 2. 2. Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép. 3. Giả sử phương trình (1) có 2 nghiệm khác 0 là x 1 và x 2 . Chứng minh rằng: 1 2 1 1 1 3x x + = . Bài 5*: (TS 10 Trường chuyên Nguyễn Du - 1996) 1. Giải phương trình sau: 2 2 2 1 1 1 1 9 20 11 30 13 42 18x x x x x x + + = + + + + + + . 2. Tìm nghiệm nguyên của phương trình sau: 2 2 2 2 2 1 2 2 7 2 2 2 3 6 x x x x x x x x + + + + + = + + + + . HD: 1) Tập xác đònh { } \ 4; 5; 6; 7D R= − − − − ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 9 20 4 5 11 30 5 6 13 42 6 7 x x x x x x x x x x x x + + = + + + + = + + + + = + + Biến đổi phương trình: 1 1 1 1 1 1 1 4 5 5 6 6 7 18x x x x x x − + − + − = + + + + + + , từ đó có cách giải phương trình đưa đến 2 nghiệm 13; 2x x= − = . 2) Tập xác đònh D R= . Đặt ( ) 2 2 2 2 1 1 1,t x x x t Z= + + = + + ≥ ∈ , ta có 2 1 7 3 1 6 5 t t t t t t =  −  + = ⇔  + = −   , ta loại nghiệm 3 5 t = − . Với 2 0; 2t x x= ⇒ = = − Bài 6: (TS 10 THPT Chuyên ban - 1997) Cho phương trình: ( ) 2 2 2 3 0x mx m− + − = (1) 1. Giải phương trình (1) khi m = 1. 2. Chứng minh phương trình (1) luôn luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m. 3. Tìm m để có một tam giác vuông cạnh huyền bằng 14 và hai cạnh góc vuông có độ dài x 1 và x 2 là hai nghiệm của (1). HD: Với 3) chú ý điều kiện 1 2 1 2 1 2 0 0, 0 0 x x x x x x + >  > > ⇒  >  . Bài 7*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 1)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997) Giải phương trình: ( ) ( ) 4 4 2 3 1x x− + − = HD: Phương trình: ( ) ( ) 4 4 x a x b M+ + + = , ta đặt 2 a b t x + = + , đưa về dạng ( ) ( ) 4 4 mt n mt n M+ + − = , biến đổi về dạng phương trình trùng phương theo t . Một số phương trình tham khảo: ( ) ( ) ( ) 4 4 4 4 4 3 256 1 97 x x x x − + + = + − = Bài 8*: (TS 10 Chuyên Tóan - Tin (vòng 2)_ ĐHTH Tp Hồ Chí Minh - 1996_1997) Gọi a, b là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0x px+ + = ; c, d là hai nghiệm của phương trình: 2 1 0y qy+ + = . Chứng minh hệ thức: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 a c a d b c b d p q− − − − = − . HD: p dụng đònh lý Víét ta có hệ 1 1 a b p c d q ab cd + = −   + = −   =   =  , sử dụng để biến đổi VT bằng VP . Bài 9: (TS 10 Chuyên Tóan, Nguyễn Du 1997_1998) Giải phương trình: 4 3 2 4 2 8 3 9 0x x x x+ − + + = . HD: Nhẩm nghiệm, thực hiện phép chia đa thức hoặc sử dụng sơ đồ HOÓC NE để biến đổi vế dạng phương trình tích. Bài 10: (TS 10 THPT 2003_2004) Cho phương trình: ( ) ( ) 1 2 6 2 4 0x x kx− + + − = 1. Giải phương trình trên khi k = -1. 2. Tìm số nguyên k nhỏ nhất sao cho phương trình (1) vô nghiệm. Bài 11: (TS 10 môn: Tóan chuyên, Trường chuyên Nguyễn Du 2003_2004) Cho phương trình: 2 0x px q+ + = (ẩn x). Gọi x 1 , x 2 là các nghiệm của phương trình. 1. Xác đònh các hệ số p, q biết x 1 , x 2 thỏa: 1 2 5x x− = và 3 3 1 2 35x x− = 2. Đặt 1 2 n n n S x x= + . Chứng minh rằng: 1 1 0 n n n S pS qS + − + + = với 1,n n N≥ ∈ 3. Giả sử x 1 , x 2 là các số nguyên và p + q = 198. Tìm x 1 , x 2 . Bài giải: 1. Vì 1 2 ,x x là các nghiệm của phương trình nên ta có : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 2 1 2 2 1 2 2 2 2 2 2 0 0 0 0 0 n n n n n n n n x x px q x px q x x p x x q x x x px q x x px q − + + − − −  + + =  + + =   ⇔ ⇒ + + + + + =   + + = + + =     ( ) * 1 1 0 n n n S pS qS + − ⇔ + + = , với * n N∈ 2. Theo đònh lý Víet ta có 1 2 1 2 x x p x x q + = −   =  , kết hợp với giả thiết ta tìm được 1 6 p q = ±   = −  3. Ta có ( ) ( ) ( ) ( ) * 1 2 1 2 1 2 198 1 1 199p q x x x x x x+ = − + = ⇔ − − = . Bài toán quy về việc tìm nghiệm nguyên 1 2 ,x x của phương trình (*) . Do 199 là số nguyên tố nên: ( ) 1 1 1 1 2 2 2 2 1 199 1 199 200 0 * 1 1 1 1 1 2 198 x x x x x x x x − = − = − = =     ⇔ ∨ ⇔ ∨     − = − = − − = = −     Bài tập tương tự: Gọi 1 2 ,x x là 2 nghiệm của phương trình ( ) 1 2 0ax bx c+ + = Đặt 1 2 n n n S x x= + , với 1, 2, .n = 1. Chứng minh rằng ( ) * 2 1 0 n n n aS bS cS + + + + = . 2. p dụng tính 6 6 1 5 1 5 2 2 A     − + − − = +             HD: Đặt 1 1 2 1 2 2 1 5 1 2 1 1 5 2 x x x x x x  − + =  + = −   ⇔   = − − −   =   . Vậy 1 2 ,x x là 2 nghiệm của phương trình ( ) 2 2 1 0x x+ − − p dụng (*) cho (2) ta có 18A = Bài 12*: (Thi chọn Học sinh giỏi Thành phố BMT môn tóan lớp 9 -1996_1997) Giải phương trình: 2 2 2 3 6 7 5 10 14 4 2x x x x x x+ + + + + = − − HD: Dùng phương pháp đánh giá 2 vế phương trình. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 2 2 2 2 2 3 2 3 6 7 3 1 4 2 5 10 14 5 1 9 3 4 2 5 1 5 x x x x x x x x x + + = + + ≥ + + = + + ≥ − − = − − ≤ . Từ (1), (2) và (3) ta có 5 1VT VP x= = ⇔ = − Bài tập tương tự: Chứng minh phương trình sau vô nghiệm: ( ) * 2 2 2 4 6 11 6 13 4 5 3 2x x x x x x− + + − + + − + = + . HD: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 4 3 2 3 4 2 1 2 2 1 3 2VT x x x= − + + − + + − + ≥ + + = + Từ ( ) ( ) ( ) 2 2 3 0 3 * 2 2 0 x x x x  − = =   ⇒ ⇒   =  − =   , hệ phương trình vô nghiệm, nên (*) vô nghiệm. Bài 13**: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1996_1997) Biết rằng, tích một nghiệm của phương trình 2 1 0x ax+ + = với một nghiệm nào đó của phương trình 2 1 0x bx+ + = là nghiệm của phương trình 2 1 0x cx+ + = . Chứng minh rằng: 2 2 2 4a b c abc+ + + = . Bài 14: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2000_2001) Cho phương trình ( ) ( ) 2 1 2 1 2 0a x a x a+ − − + − = với a là tham số. 1. Tìm điều kiện của tham số a để phương trình có hai nghiệm phân biệt. 2. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có một nghiệm bằng 3?. Tính nghiệm còn lại. 3. Với giá trò nào của tham số a thì phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn hệ thức: ( ) 1 2 1 2 4 7x x x x+ = . Bài 15: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1998_1999) Cho phương trình ẩn x: ( ) ( ) ( ) ( ) 1 2 1 2 1 0a x a b x b+ − + + − = 1. Với giá trò nào của a thì (1) là phương trình bậc hai. 2. Giải phương trình (1) khi 3 1 ; 3 1a b= − = + . 3. Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có nghiệm với mọi giá trò của a và b. Bài 16: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -1999_2000) Cho phương trình ( ) 1 2 1 0x mx m+ + − = 1. Với giá trò nào của m thì phương trình (1) có nghiệm. 2. Gọi 1 2 ,x x là các nghiệm của phương trình (1), tìm giá trò lớn nhất của: ( ) 1 2 2 2 1 2 1 2 2 3 2 1 x x P x x x x + = + + + Bài 17: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp huyện môn Tóan lớp 9 -2000_2001) Cho phương trình (a, b là tham số): ( ) 2 1 0ax ab x b+ + + = 1. Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm. 2. Tìm giá trò của a, b để phương trình có một nghiệm kép là: 1 2 . Bài 18: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2001_2002) 1. Với giá trò nào của a thì các nghiệm của phương trình ( ) 2 1 0x x a a+ − + = trái dấu? 2. Giải phương trình 2 35 0x px+ + = , biết rằng tổng bình phương hai nghiệm bằng 74. Bài 19: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2002_2003) Gọi x 1 , x 2 là nghiệm của phương trình: ( ) 2 2 4 3 3 0x m x m m+ + + − + = , m là tham số. 1. Xác đònh m sao cho 2 2 1 2 6x x+ = . 2. Chứng minh rằng: 2 2 1 2 1 2 121 1 8 1 1 9 mx mx x x < + + ≤ − − . Bài 20: (Thi chọn Học sinh giỏi Tỉnh Daklak môn Tóan lớp 9 -2003_2004) Giả sử a, b, c khác nhau đôi một và 0c ≠ . Chứng minh rằng nếu phương trình ( ) 1 2 0x ax bc+ + = và phương trình ( ) 2 2 0x bx ca+ + = có đúng một nghiệm chung thì nghiệm khác của các phương trình đó thỏa mãn phương trình ( ) 3 2 0x cx ab+ + = . HD: (Sử dụng đònh lý Viét). Gọi 0 x là nghiệm chung của (1) và (2), ta có ( ) ( ) 2 4 0 0 2 5 0 0 0 0 x ax bc x bx ca  + + =   + + =   , trừ (4) cho (5) vế theo vế ta được ( ) ( ) ( ) 0 0 a b x c a b x c gt− = − ⇔ = , vậy nghiệm chung của (1) và (2) là 0 x c= . Gọi 1 x và 2 x lần lượt là các nghiệm khác của (1) và (2), theo đònh lý Víet ta có 2 2 0 1 1 2 2 0 2 2 0 0 0 0 x x bc x b b ab bc b bc ab x x ca x a a ab ca a ca ab   = = + + = + + =     ⇒ ⇒ ⇔     = = + + = + + =       . Hay a và b là nghiệm của (3). Đây là điều cần chứng minh. Bài 21: Chứng minh rằng nếu 2 phương trình ( ) 1 2 1 1 0x p x q+ + = và ( ) 2 2 2 2 0x p x q+ + = có nghiệm chung thì ( ) ( ) ( ) ( ) 2 * 1 2 1 2 2 1 1 2 0q q p p q p q p− + − − = HD: Hệ phương trình có nghiệm chung khi hệ sau có nghiệm ( ) ( ) 1 2 1 1 2 2 2 2 0 0 x p x q x p x q  + + =   + + =   có nghiệm. Đặt 2 y x= , ta có hệ 1 1 2 2 0 0 y p x q y p x q + + =   + + =  • Nếu 1 2 p p≠ : Giải hệ phương trình này ta có nghiệm 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1 q q x p p q p p q y p p −  =  −   −  =  −  . Do 2 y x= Suy ra 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 q p p q q q p p p p   − − =   − −   , khai triển và biến đổi ta có (*). • Nếu 1 2 p p= ta có hệ 1 1 1 2 p x y q p x y q + = −   + = −  . Hệ này có nghiệm khi 1 2 q q= , khi đó rõ ràng (*) cũng đúng. Vậy (*) đã được chứng minh. Bài tập về điều kiên có nghiệm chung: Xác đònh m để hai phương trình sau có nghiệm chung: ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 1 0 2 1 1 0 x mx m mx m x − + + = − + − = HD: Nếu 0 x là nghiệm chung thì ( ) ( ) ( ) 2 1 0 0 2 2 0 0 2 1 0 2 1 1 0 x mx m mx m x  − + + =   − + − =   , dễ thấy 0 0x ≠ (từ (2)). Nhân 0 x vào (1) rồi cộng với (2) vế theo vế 3 0 0 1 0 1x x− = ⇒ = , thay 0 x vào (1) và (2) rút ra 2m =− . Bài 22: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 8 -2003_2004) Giải phương trình 3 2 3 13 15 0x x x− − + = (HD: ( ) ( ) ( ) 1 3 5 0x x x− + − = ) Bài 23: (Thi chọn Học sinh giỏi cấp Huyện môn Tóan lớp 9 -2003_2004) 1. Giải phương trình: 2 2 2 2 4 18 7 14 16 6 2x x x x x x+ + + + + = − − . (Xem bài giải của bài 14 và 14’). 2. Cho phương trình: ( ) 2 2 2 1 1 0x m x m+ − + − = . Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x thõa mãn: 1 2 3 4 11x x− = . Bài 24: Chứng minh rằng nếu phương trình ( ) 1 2 0x mx n+ + = có nghiệm, thì phương trình: ( ) 2 2 2 1 1 ( ) 0x a mx n a a a   + + + + =     cũng có nghiệm. HD: Với (1) có nghiệm ta có ( ) 3 2 4 0m m∆ = − ≥ . Kết hợp với (3) khi đó (2) có ( ) 2 2 2 2 2 1 1 1 4 4 0m a n a a m m a a a       ∆ = + − + = + − ≥             . Vậy (2) có nghiệm. Bài 25: Chứng minh rằng các phương trình bậc hai: 2 1 1 0x p x q+ + = và 2 2 2 0x p x q+ + = có các hệ số thỏa mãn điều kiện ( ) 1 2 1 2 2p p q q≥ + thì ít nhất 1 trong 2 phương trình đó có nghiệm. HD: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 , 4 4p q p q p p q q∆ = − ∆ = − ⇒ ∆ + ∆ = + − + Từ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2p p q q q q p p≥ + ⇒ − + ≥ − , nên ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 0p p p p p p⇒ ∆ + ∆ ≥ + − = − ≥ . Do đó 1 trong 2 số 1 2 ;∆ ∆ là không âm nên ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm. Bài 26*: Chứng minh rằng ít nhất một trong các phương trình bậc hai sau đây có nghiệm: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 0 1 2 0 2 2 0 3 ax bx c bx cx a cx ax b + + = + + = + + = (HD: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 2 3 1 0 2 a b b c c a   ∆ + ∆ + ∆ = − + − + − ≥   ) Bài 27*: Cho a, b là 2 số sao cho ( ) 1 1 1 1 2b c + = .Chứng minh rằng ít nhất 1 trong 2 phương trình sau đây có nghiệm: ( ) ( ) 2 3 2 2 0 , 0x bx c x cx b+ + = + + = HD: Từ (1) suy ra: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 , 4 4 4 2 0bc b c b c c b b c b c b c bc b c= + ∆ + ∆ = − + − = + + + = + − = − ≥ . Do đó ít nhất 1 trong 2 phương trình trên có nghiệm. Bài 28*: Phương trình ( ) 1 2 0ax bx c+ + = có đúng một nghiệm dương là 1 x chứng minh rằng phương trình ( ) 2 2 0cx bx a+ + = cũng có đúng một nghiệm dương 2 x và 1 2 2x x+ ≥ . HD: (Chú ý thứ tự các hệ của 2 phương trình). Giả sử 1 0x > là nghiệm của (1), khi đó ta có 2 1 1 0ax bx c+ + = , chia 2 vế của phương trình cho 2 1 1 x ta được 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0a b c c b a x x x x         + + = ⇔ + + =                 , nghóa là (2) nhận 2 1 1 0x x = > làm nghiệm. Khi đó 1 1 1 2 1 1 1 1 2 . 2 2x x x x x x + ≥ = ⇒ + ≥ Bài 29: Giả sử phương trình ( ) 1 2 0ax bx c+ + = có 2 nghiệm dương 1 2 ,x x . Chứng minh rằng phương trình ( ) 2 2 0cx bx a+ + = cũng có 2 nghiệm dương 3 4 ,x x . Chứng minh ( ) * 1 2 3 4 4x x x x+ + + ≥ HD: Chia 2 vế phương trình (1) lần lượt cho 2 1 x và 2 2 x , ta có: 2 1 1 2 2 2 1 1 0 1 1 0 c b a x x c b a x x       + + =                + + =           , nghóa là (2) nhận 1 1 x và 2 1 x làm 2 nghiệm dương 3 4 ,x x của nó. p dụng bất đẳng thức Côsi cho 4 nghiệm 1 2 3 4 , , ,x x x x ta có kết quả. Bài 30: Cho phương trình bậc hai: 2 1 0x mx m+ + − = 1. Chứng tỏ rằng phương trình có nghiệm 1 2 ,x x với mọi m, tính nghiệm kép (nếu có) của phương trình và giá trò m tương ứng. 2. Đặt 2 2 1 2 1 2 6A x x x x= + − a/ Chứng minh 2 8 8A m m= − + . b/ Tìm m sao cho 8A = . c/ Tìm giá trò nhỏ nhất của A và giá trò của m tương ứng. Bài 31 ** : Giải các phương trình sau: 1. ( ) ( ) ( ) 1 2 2 2 2 3 1 2 5 1 9x x x x x− + + + = 2. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 1 3 5 7 297x x x x− − + + = 3. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 3 2 4 5 6 10 12 3 0x x x x x+ + + + − = 4. ( ) 4 3 2 2 2 2 2 2 0x x x+ + + = 5. ( ) 5 3 2 2 3 2 0x x+ − = 6. ( ) ( ) ( ) 4 6 4 1 2 1x x+ = + 7. ( ) ( ) 7 1 1 1 1 2005 1 1 1 . 1 2 1.3 2.4 3.5 . 2 2006x x       + + + + =         +       8. ( ) 8 4 2 2 2 2 . 2 . 2 1 1 x x x x x x x = + + + + + + + + 9. ( ) 9 1 1 1 1 1 1 1 1 2 5 7 1 3 4 6x x x x x x x x + + + = + + + + + + + + + + 10. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 10 2 2 1995 1995 1996 1996 19 49 1995 1995 1996 1996 x x x x x x x x − + − − + − = − − − − + − HD: 1) Rõ ràng 0x = không thỏa (1). Nên ( ) 2 2 2 3 1 2 5 1 1 1 1 . 9 2 3 2 5 9 x x x x x x x x x x − + + +    ⇔ = ⇔ + − + + =       . Đặt 1 2 3t x x = + − , ta có phương trình ( ) 2 1 8 9 8 9 0 9 t t t t t t =  + = ⇔ + − = ⇔  = −  , . 2) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 27 2 4 5 4 21 297 16 297 16 297 0 11 t x x x x t t t t t =  ⇔ + − + − = ⇔ − = ⇔ − − = ⇔  = −  Với 2 4 5t x x= + − . Giải tiếp 3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 60 17 60 16 3 4 5 12 6 10 3 4. . 3 x x x x x x x x x x x + + + + ⇔ + + + + = ⇔ =        ( ) 2 1 60 60 2 4 17 16 3 4 1 3 0 4 4 3 0 3 2 t x x t t t t x x t  =     ⇔ + + + + = ⇔ + − = ⇔ + − = ⇔         = −   (với 60 16t x x = + + ), . 4) Đưa về phương trình tích ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0, .x x x x x x   + + + = + + − + =   5) Đặt ẩn phụ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 5 1 2 0 2 2 2 y x y x y y y x  = =   = ≥ ⇒ ⇔ − + = ⇔ ⇔   = −   = −  6) Khai triển rút gọn 4 3 2 4 6 4 1 0x x x x− − − + = , chia 2 vế cho 2 x rồi đặt 1 t x x = + , ta đưa về phương trình 2 4 8 0 2 2 3 1 3 3 2t t t x− − = ⇔ = ± ⇔ = + ± + . 7) Vì: ( ) 2 2 3 2 1.3 1 2 ; 2.4 1 3 ; 3.5 1 4 ; .; ( 1) 1 1x x x+ = + = + = + + = + ( ) 1 1 1 1 1 1 1 1 . 1 2. 1.3 2.4 3.5 . 2 2 x x x x   +     ⇒ + + + + =         + +       Nên ( ) 1 2005 7 2004 2 2006 x x x + ⇔ = ⇔ = + 8) Điều kiện 1x ≥ − . Ta có 1 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 x x x x VT x x x = − − ⇒ + = + + ⇒ = + − + + + + Nên ( ) 8 1 1 4 4x x⇔ + − = ⇒ = 9) Tập xác đònh: { } \ 0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7D R= − − − − − − − Nhóm hợp lý các phân thức ta được: 2 2 2 2 2 7 2 7 2 7 2 7 7 7 10 7 6 7 12 x x x x x x x x x x x x + + + + + = + + + + + + + + ( ) 1 1 1 1 2 7 0 10 6 12 x y y y y   ⇔ + + − − =   + + +   , với 2 7y x x= + , phương trình 7 2 7 0 2 x x+ = ⇔ = − , 2 2 2 1 1 1 1 6 2 0 0 18 90 0 6 10 12 6 22 120 y y y y y y y x y y     − + − = ⇔ + = ⇔ + + =     + + + + + +     , phương trình vô nghiệm. 10) Đặt 1995x y− = , được ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 5 1 1 19 2 4 4 15 0 3 49 1 1 2 y y y y y y y y y y y y  =  − − + − = ⇔ − − = ⇔  + − + −  = −   . Vậy nghiệm của phương trình (10) là 3994 2 3996 2 x x  =    =   Bài 32: Đònh m để phương trình: ( ) ( ) ( ) 2 2 2 1 3 0 2m x m x m m− − − + − = ≠ có nghiệm 1 2 ,x x và thiết lập hệ thức giữa các nghiệm độc lập đối với m. Bài 33: Cho phương trình ( ) 2 2 2 1 3 4 0x m x m m− − + − + = 1. Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt 1 2 ,x x thõa mãn hệ thức 1 2 1 1 1 x x + = . 2. Tìm hệt thức liên hệ giữa 1 2 ,x x mà không phụ thuộc vào m. Bài 34: Cho phương trình: 2 2 0x mx m+ + − = . Tìm m để phương trình có hai nghiệm 1 2 ,x x sao cho 2 2 1 2 x x+ đạt giá trò nhỏ nhất. Bài 35: Cho phương trình 2 2 3 1 0x x− + = có các nghiệm 1 2 ,x x . Không giải phương trình tính giá trò của biểu thức: 2 2 1 1 2 2 3 3 1 2 1 2 3 5 3 4 4 x x x x A x x x x + + = + . (ĐS 7 8 ) Bài 36**: Cho tam thức bậc hai ( ) ( ) ( ) 1 2 0f x ax bx c a= + + ≠ . Biết rằng ( ) ( ) 2 f x x= vô nghiệm. Chứng minh rằng phương trình ( ) ( ) ( ) * 2 0af x bf x c+ + = vô nghiệm. HD: Vì (2) vô nghiệm nên ( ) ,x R f x x∀ ∈ > hoặc ( ) ,x R f x x∀ ∈ < * Nếu ( ) ( ) ( ) ( ) , , ,x R f x x x R f f x f x x x R f f x x∀ ∈ > ⇒ ∀ ∈ > > ⇒ ∀ ∈ >        ( ) ( ) 2 ,x R af x bf x c x⇔ ∀ ∈ + + > , hay (*) vô nghiệm. * Tương tự với trường hợp còn lại ta cũng có (*) vô nghiệm. Vậy (*) vô nghiệm. Bài 37*: 1. Chứng minh rằng nếu phương trình ( ) 1 4 2 0x x− − = , có nghiệm dương là 0 x thì 7 0 8x > . 2. Chứng minh rằng nếu phương trình ( ) 2 3 3 3 0x x− − = , có nghiệm dương là 0 x thì 5 0 36x > . 3. Chứng minh nếu phương trình 2 0x ax b+ + = có nghiệm 0 x . Chứng minh ( ) 2 * 2 2 0 1x a b< + + HD: 1. Ta có 4 8 7 0 0 0 0 0 0 2 2 2. 8 8x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ > (p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì 0 2x = , không thỏa (1). 2. Ta có 3 6 5 0 0 0 0 0 0 3 3 2 9. 36 36x x x x x x= + ≥ ⇒ ≥ ⇒ > (p dụng bất đẳng thức Côsi, dấu bằng trong bất đẳng thức không xảy ra vì 0 3x = , không thỏa (2). [...].. .2 2 4 có x0 + ax0 + b = 0 ⇒ − x0 = ax + b ⇒ x0 = ( ax0 + b ) Bunhiacốpxki ta có: 3 Ta (a 2 ( ) ( ) 2 p dụng bất đẳng thức + b 2 ) x0 + 1 ≥ ( ax0 + b ) = x0 ⇒ ( a 2 + b 2 ) x0 + 1 ≥ ( ax0 + b ) − 1 2 2 4 2 2 4 x −1 2 2 ⇒ a + b > 02 = x0 − 1 ⇒ x0 < 1 + a 2 + b 2 Vậy x0 + 1 2 2 2 x0 . Đưa về phương trình tích ( ) ( ) ( ) 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 0, .x x x x x x   + + + = + + − + =   5) Đặt ẩn phụ ( ) ( ) ( ) 2 2 1 2 0 5 1 2 0 2 2 2 y x. nghiệm. HD: ( ) ( ) 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 , 4 4p q p q p p q q∆ = − ∆ = − ⇒ ∆ + ∆ = + − + Từ ( ) ( ) 1 2 1 2 1 2 1 2 2 4 2p p q q q q p p≥