Đang tải... (xem toàn văn)
Để khử bớt ẩn, ta cũng có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp thế như đối với hệ phương trình bậc nhất hai ẩn... Trong các hệ phương trình sau hãy: i Giải và biện luận..[r]
(1)ÑINH XUAÂN THAÏCH ›š & ›š TÀI LIỆU ÔN THI ĐẠI HỌC – CAO ĐẲNG Naêm 2011 Lop10.com (2) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch I HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN Hệ phương trình bậc hai ẩn a1 x + b1 y = c1 a x + b y = c 2 (a12 + b12 ≠ 0, a22 + b22 ≠ 0) Giải và biện luận: – Tính các định thức: D = a1 b1 a2 b2 Xét D c1 b1 c2 b2 , Dy = a1 c1 a2 c2 Kết Dy D Hệ có nghiệm x = x ; y = D D Hệ vô nghiệm Hệ có vô số nghiệm D≠0 D=0 , Dx = Dx ≠ Dy ≠ Dx = Dy = Chú ý: Để giải hệ phương trình bậc hai ẩn ta có thể dùng các cách giải đã biết như: phương pháp thế, phương pháp cộng đại số Hệ phương trình bậc nhiều ẩn Nguyên tắc chung để giải các hệ phương trình nhiều ẩn là khử bớt ẩn để đưa các phương trình hay hệ phương trình có số ẩn ít Để khử bớt ẩn, ta có thể dùng các phương pháp cộng đại số, phương pháp hệ phương trình bậc hai ẩn Giải các hệ phương trình sau: 5 x − y = a) b) 7 x − y = Bài 2 x + y = 11 5 x − y = 3 ( + 1) x + y = − x + y = 16 d) e) 2 x − ( − 1) y = 2 x − y = 11 2 Bài Giải các hệ phương trình sau: 1 10 x − y = 18 x − + y + = a) b) + = 51 25 + = x y x − y + 3 x − y = c) 6 x − y = 2 x − + y + = 2 x + y − x − y = d) e) 5 x − − y + = 3 x + y + x − y = 17 Bài Giải và biện luận các hệ phương trình sau: mx + (m − 1) y = m + mx + (m − 2) y = a) b) x + my = (m + 2) x + (m + 1) y = 4 x + y + x − y = f) 3 x + y − x − y = x − y = f) 5x + y = 27 32 x − y + x + 3y = c) 45 − 48 = −1 x − y x + y (m − 1) x + y = 3m − c) (m + 2) x − y = − m (m + 1) x − y = m − (m + 4) x − (m + 2) y = mx + y = m + d) e) f) 2 (2 m − 1) x + ( m − 4) y = m m x − y = m + 2m 2 x + my = 2m + Bài Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận ii) Tìm m ∈ Z để hệ có nghiệm là nghiệm nguyên (m + 1) x − y = m − mx + y − = mx − y = a) b) c) 2 m x − y = m + 2m x + 4(m + 1) y = m x + my − 2m + = Trang Lop10.com (3) Hệ phương trình nhiều ẩn Bài a) Bài a) d) Đinh Xuân Th ch Trong các hệ phương trình sau hãy: i) Giải và biện luận ii) Khi hệ có nghiệm (x; y), tìm hệ thức x, y độc lập m mx + y = m + 6mx + (2 − m ) y = mx + (m − 1) y = m + b) c) 2 x + my = 2m + x + my = (m − 1) x − my = Giải và biện luận các hệ phương trình sau: ax + y = b y − ax = b ax + y = a + b b) c) 3 x + y = −5 2 x − y = x + 2y = a ax + by = a2 + b ax − by = a − b (a + b) x + (a − b) y = a e) f) (2 a − b) x + (2a + b)y = b bx − b y = 4b bx + ay = ab Giải các hệ phương trình sau: 3 x + y − z = a) 2 x − y + z = b) x − y − 3z = Bài x + 3y + 2z = 2 x + y + z = 3 x + y + z = Trang Lop10.com x − y + z = −7 c) −2 x + y + 3z = 3 x + y − z = (4) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch II HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI HAI ẨN Hệ gồm phương trình bậc và phương trình bậc hai • Từ phương trình bậc rút ẩn theo ẩn • Thế vào phương trình bậc hai để đưa phương trình bậc hai ẩn • Số nghiệm hệ tuỳ theo số nghiệm phương trình bậc hai này Hệ đối xứng loại f ( x, y) = (I) (với f(x, y) = f(y, x) và g(x, y) = g(y, x)) g( x , y ) = (Có nghĩa là ta hoán vị x và y thì f(x, y) và g(x, y) không thay đổi) • Đặt S = x + y, P = xy • Đưa hệ phương trình (I) hệ (II) với các ẩn là S và P • Giải hệ (II) ta tìm S và P Hệ có dạng: • Tìm nghiệm (x, y) cách giải phương trình: X − SX + P = Hệ đối xứng loại f ( x, y) = (1) (I) (2) f ( y, x ) = (Có nghĩa là hoán vị x và y thì (1) biến thành (2) và ngược lại) • Trừ (1) và (2) vế theo vế ta được: f ( x, y) − f ( y , x ) = (3) (I) ⇔ (1) f ( x, y) = • Biến đổi (3) phương trình tích: x = y (3) ⇔ ( x − y ).g( x , y ) = ⇔ g( x , y ) = Hệ có dạng: f ( x , y) = x = y • Như vậy: (I) ⇔ f ( x , y ) = g( x, y ) = • Giải các hệ trên ta tìm nghiệm hệ (I) Chú ý: Với các hệ phương trình đối xứng, hệ có nghiệm ( x0 ; y0 ) thì ( y0 ; x0 ) là nghiệm hệ Do đó hệ có nghiệm thì x0 = y0 Hệ đẳng cấp bậc hai a x + b xy + c y = d 1 (I) 2 a2 x + b2 xy + c2 y = d2 • Giải hệ x = (hoặc y = 0) • Khi x ≠ 0, đặt y = kx Thế vào hệ (I) ta hệ theo k và x Khử x ta tìm phương trình bậc hai theo k Giải phương trình này ta tìm k, từ đó tìm (x; y) Hệ có dạng: Trang Lop10.com (5) Hệ phương trình nhiều ẩn Bài Đinh Xuân Th ch Giải các hệ phương trình sau: a) x + y = b) x − xy = 24 x + 2y = 2 x − y = 3 x − y + = d) x − xy + y + x + 3y − = e) xy = 3( x + y ) − 2 x − y = c) ( x − y ) = 49 3 x + y = 84 2 x + y = f) xy + x + y + = 2 x + y = 2 x − y = g) y + x = x h) i) 2 2 x + y − = 3 x − y + y = x + xy + y = Bài Giải và biện luận các hệ phương trình sau: x + y = x + y = m 3 x − y = a) b) c) 2 2 x + y = m x − y + 2x = x + y = m Bài Trong các hệ phương trình sau: i) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm là nghiệm nguyên ii) Khi hệ có nghiệm (x, y) , tìm hệ thức x, y độc lập với m mx + y = m + mx + y = 3m a) b) 2 x + my = a − x + my = 2m + x − 2y = − m 2 x + y = c) d) x + y = m + 2 y − x = 10m + Bài Giải các hệ phương trình sau: x + xy + y = 11 x + y = xy + x + y = a) b) c) 2 2 x + y − xy − 2( x + y ) = −3 x + xy + y = 13 x + y + x + y = x y 13 + = d) y x e) x + y = Bài Giải các hệ phương trình sau: x + xy + y = −1 a) b) x y + y x = −6 x + y3 = d) e) 2 x + y = x + y Bài Giải các hệ phương trình sau: ( x + y) + = xy a) ( x + y ) + = 49 2 x y 1 x + y + x + y = c) 1 x2 + y2 + + =4 x y2 2 x y + y x + y + x = xy e) y x xy + xy + x + y = x + x y3 + y3 = 17 x + y + xy = x + x y + y = 481 f) 2 x + xy + y = 37 x + y = 2 x − x y + y = 13 x y + y x = 30 c) 3 x + y = 35 x + y + xy = 4 2 x + y + x y = 21 x + y + xy = 11 f) 2 x + y + 3( x + y ) = 28 y ( x + 1) = x ( y + 1) b) x + y + = 24 x y ( ) x y + = 2 d) x + y + ( x + y )(1 + ) = xy xy + xy = f) ( x + y ) + = xy Trang Lop10.com (6) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Giải và biện luận các hệ phương trình sau: x + y + xy = m x + y = m + ( x + 1)( y + 1) = m + a) b) c) 2 xy( x + y ) = m x + y = − 2m x y + xy = 2m − m − Bài Giải các hệ phương trình sau: x = x + y x − y = x + y x = x + y a) b) c) y = y + x y − x = y + x y = y + x y2 + y y = 2x = y + x − y = x x y d) e) f) x y − 3x = 3 x = x + 2 y = x + y x y 2 x + y = x = x + y xy + x = 8( y − 1) x g) h) i) y = y + x xy + y = 8( x − 1) 2 y + x = y2 Bài x + 91 = y − + y (1) k) y + 91 = x − + x (2) Bài Giải và biện luận các hệ phương trình sau: x = x + my x (3 − y ) = m(3 − 4m ) xy + x = m( y − 1) a) b) c) 2 y = 3y + mx y (3 − x ) = m(3 − 4m ) xy + y = m( x − 1) Bài 10 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm nhất: m2 x = y + x y + m = y xy + x = m( y − 1) y a) b) c) 2 xy + m = x xy + y = m( x − 1) 2 y = x + m x Bài 11 Giải các hệ phương trình sau: x − xy + y = −1 2 x − xy + y = −1 a) b) 2 3 x − xy + y = 13 3 x + xy + y = 3 x + xy − y = 38 x − xy + y = d) e) 2 5 x − xy − y = 15 x − xy + y = Bài 12 Giải và biện luận các hệ phương trình sau: x + mxy + y = m xy − y = 12 a) b) 2 x + (m − 1) xy + my = m x − xy = m + 26 Trang Lop10.com y − xy = c) 2 x − xy + y = 3 x − xy + y = f) 2 5 x − xy − y = x − xy + y = m c) y − xy = (7) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch III HỆ PHƯƠNG TRÌNH DẠNG KHÁC Các hệ phương trình đại số tổng quát thường khó giải và không thể nêu phương pháp chung để giải chúng Ở đây xin nêu số phương pháp để có thể lựa chọn thích hợp Phương pháp thế: Từ phương trình đơn giản hệ từ phương trình tích tìm cách rút ẩn theo ẩn kia, vào phương trình còn lại Giải phương trình này Số nghiệm hệ tuỳ thuộc số nghiệm phương trình này Đặt ẩn phụ: Biến đổi các phương trình để có thể đặt ẩn phụ, chuyển hệ Phương pháp đánh giá: Từ điều kiện ẩn, xét trường hợp xảy dấu "=" bất đẳng thức Phương pháp điều kiện cần và đủ: Phương pháp hàm số: Chọn hàm số thích hợp, sử dụng tính đơn điệu hàm số Cho hàm số y = f(x) đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng (α; β) Khi đó, với a, b ∈ (α; β) ta có: f(a) = f(b) ⇔ a = b x = f (y) Chú ý: Các hệ phương trình hoán vị vòng quanh y = f ( z) , thường sử dụng tính đơn z = f ( x ) điệu hàm số để chứng minh x = y = z – Xét tính đơn điệu hàm số f(t) – Chứng tỏ x < y, x > y, … không xảy – Từ đó suy x = y = z Thế vào hệ đã cho để giải tìm x, y, z Vấn đề 1: Phương pháp Bài Giải hệ phương trình sau: x + + y( y + x ) = y (1) ( x + 1)( y + x − 2) = y (2) • Dễ thấy y ≠ HPT ⇒ [ y − y( y + x )] ( y + x − 2) = y ⇔ [ y − (3 − x )] = ⇔ y = − x Nghiệm: (1; 2), (–2; 5) Bài Giải hệ phương trình sau: x + y − xy = 2 x + + y + = (1) (2) • (2) ⇔ x + y + ( x + 1).( y + 1) = 14 ⇔ xy + ( xy )2 + xy + = 11 (3) p = p ≤ 11 Đặt xy = p (3) ⇔ p + p + = 11 − p ⇔ ⇔ −35 p = p + 26 p − 105 = 2 (1) ⇔ ( x + y ) = xy + • p = xy = − xy = 1/ Với ⇒x=y= x + y = Vậy hệ có hai nghiệm là: ( 35 (loại) • p = xy = ⇒ x + y = ±2 xy = 2/ Với ⇒x=y=− x + y = −2 3; ) , ( − 3; − ) Trang Lop10.com (8) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Bài Giải hệ phương trình sau: x ( x + y + 1) − = ( x + y )2 − + = x2 (D – 2009) 3 x + y = x − x + y = x − • Vì x ≠ nên HPT ⇔ ⇔ ( x + y ) − − +2 = +1 = x x x 1 1 = 3 ⇔ x =1 ∨ x Nghiệm: (1;1), 2; − 2 x + y = x + y = Bài Giải hệ phương trình sau: x − x y + xy − y = (1) (2) x − y + x + y = x = y • Ta có: (1) ⇔ ( x − y )2 ( x − y ) = ⇔ x = 4y • Với x = y: (2) ⇒ x = y = • Với x = 4y: (2) ⇒ x = 32 − 15; y = − 15 Bài Giải hệ phương trình sau: x + x + y = 2 3 x + x y + xy + x = 18 y = − x2 − x x = 1; y = x = −3; y = 15 y = − x − x x = • Hệ ⇔ ⇔ ⇔ x = − x = −1 − 7; y = + x + x − x − 18 x+18 = x = −1 + 7; y = − x = −1 ± Bài Giải hệ phương trình sau: x − y − xy = x − + y − = ( )( ) x + y x − y = x = 4y x −2 y = • Hệ PT ⇔ ⇔ ⇔ 4y − = x − + y − = x − + y − = x = ⇔ y = Bài Giải hệ phương trình sau: 2 xy =1 (1) x + y + x+y x + y = x2 − y (2) • Điều kiện: x + y > 2 (1) ⇔ ( x + y )2 − − xy − = ⇔ ( x + y − 1)( x + y + x + y ) = ⇔ x + y − = x + y (vì x + y > nên x + y + x + y > ) Trang Lop10.com (9) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch x = ( y = 0) Thay x = − y vào (2) ta được: = x − (1 − x ) ⇔ x + x − = ⇔ x = −2 ( y = 3) Vậy hệ có nghiệm: (1; 0), (–2; 3) Bài Giải hệ phương trình sau: 3 x − y = xy (1) 2 (2) x y = ( ) • Từ (2): x y = ⇔ xy = ±3 ( ) • Khi: xy = , ta có: x − y3 = và x − y = −27 ( ) Suy ra: x ; − y3 là các nghiệm phương trình: X − X − 27 = ⇔ X = ± 31 Vậy nghiệm Hệ PT là x = + 31, y = − − 31 x = − 31, y = − + 31 ( ) • Khi: xy = −3 , ta có: x − y = −4 và x − y = 27 Suy ra: x ;(− y ) là nghiệm phương trình: X + X + 27 = Bài Giải hệ phương trình sau: ( x − y ) = xy (1) (2) 2 x − y = • Điều kiện : x.y ≥ ; x ≥ y ( PTVN ) Ta có: (1) ⇔ 3( x − y)2 = xy ⇔ (3 x − y )( x − 3y ) = ⇔ x = y hay x = y • Với x = 3y , vào (2) ta : y − y + = ⇔ y = ; y = x = x = 12 ⇒ Hệ có nghiệm ; y = y = y • Với x = , vào (2) ta : y − y + 24 = Vô nghiệm x = x = 12 Kết luận: hệ phương trình có nghiệm là: ; y = y = Bài 10 Giải hệ phương trình sau: x + y = y + 16 x (1) 2 (2) 1 + y = 5(1 + x ) • Từ (2) suy y – x = (3) Thế vào (1) được: x + ( y – x ) y = y3 + 16 x ⇔ x – x y –16 x = x − xy − 16 = x = • Với x = ⇒ y = ⇔ y = ±2 • Với x – xy –16 = ⇔ y = x − 16 (4) Thế vào (3) được: 5x x − 16 − x = ⇔ x – 32 x + 256 –125x = 100 x 5x x = ( y = −3) ⇔ 124 x + 132 x – 256 = ⇔ x = ⇔ x = −1 ( y = 3) Trang Lop10.com (10) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Vậy hệ có nghiệm: (x; y) = (0; 2) ; (0; –2); (1; –3); (–1; 3) Bài 11 Giải hệ phương trình sau: xy − = − y xy = + x xy − = − y (1) • Nếu xy ≥ thì HPT ⇔ (2) xy = + x Từ (2) ⇒ x ≠ 0, x ≥ và y = + x2 x + x2 Thay vào (1) ta được: + x − = − ⇔ ( x − 2)( x − 1) = ⇔ x = ± x ⇒ Hệ có nghiệm (x; y) là: ( 2; ) , ( − 2; − ) • Nếu xy < thì x < + x2 4 − xy = − y 2 HPT ⇔ ⇒ − − x = − ⇔ 2(2 − x ) = ⇔ x = (loại) x xy = + x Kết luận: Nghiệm (x; y) hệ: ( 2; ) , ( − 2; − ) Bài 12 Giải hệ phương trình sau: x ( y + 1)( x + y + 1) = x − x + xy + x + = x • Từ (2) ⇒ x ≠ và y + = (1) (2) x2 −1 Thay vào (1) ta được: x x2 −1 x2 − x = (vì x ≠ 0) x+ = x − x + ⇔ x ( x − 1)( x + 2) = ⇔ x x x = −2 5 Nghiệm (x; y): (1; −1), −2; − 2 Bài 13 Giải hệ phương trình sau: xy + x + y = x − y (1) (2) x y − y x − = x − y • Điều kiện x ≥ 1, y ≥ ⇒ x + y > (1) ⇔ ( x + y )( x − y − 1) = ⇔ x = y + (3) x2 Thay (3) vào (2) ta được: (2 y + 1) y − y y = 2(2 y + 1) − y ( ) ⇔ ( y + 1) y − = ⇔ y = ⇒ x = Nghiệm (x; y): (5; 2) Bài 14 Giải hệ phương trình sau: y = (5 x + 4)(4 − x ) 2 y − x − xy + 16 x − y + 16 = • Từ (1) ⇒ y = −5 x + 16 x + 16 y = Thay vào (2) ta được: y − xy − 8y = ⇔ y = 2x + Trang Lop10.com (1) (2) (11) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch • Với y = ⇒ −5 x + 16 x + 16 = ⇔ x = − x = • Với y = x + ⇒ (2 x + 4)2 = −5 x + 16 x + 16 ⇔ x = ⇒ y = Kết luận: Nghiệm (x; y): (0; 4), (4; 0), − ; Bài 15 Giải hệ phương trình sau: xy = 16 (1) x + y + x+y x + y − 3 x + y + = x − (2) • Dễ thấy x + y > Từ (1) ⇔ ( x + y )2 − 16 − xy − = ⇔ ( x + y − 4) x + y + 4( x + y ) = x+y ⇔ x+y−4= ⇔ x+y = Thay vào (2) ta được: x + = − x ⇔ x − x + 14 x − = ⇔ x = 1 7 y = 2 2 1 7 Nghiệm (x; y): ; 2 2 Bài 16 Giải hệ phương trình sau: • Từ (2) ⇒ y = 22 − x x2 + x − x + y − y + = 2 x y + x + y − 22 = (1) (2) Thay vào (1) ta được: 22 − x 16( x − 4)2 =0 x − x + − = ⇔ x ( x − 4) + ( x + 2)2 x2 + x = −2 ( y = 3) x = ( y = 3) ⇔ ( x − 4)( x + x + 20 x − 64) = ⇔ ( y = 5) x = − x = ( y = 5) Bài 17 Giải hệ phương trình sau: x − y = x − y (1) (B - 2002) (2) x + y = x + y + x − y ≥ • Điều kiện: (3) x + y ≥ x = y = x = y x − y 1− x − y = ⇔ Thay vào (2) ta được: x = , y = x = y +1 2 Bài 18 Giải hệ phương trình sau: 1 (1) x − = y − (A - 2003) x y 2 y = x + (2) (1) ⇔ ( ) x = y • Điều kiện xy ≠ Ta có: (1) ⇔ ( x − y ) + = ⇔ xy = −1 xy Trang 10 Lop10.com (12) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch x = y = x = y x = y x = y = −1 + Trường hợp 1: ⇔ ⇔ 2 x = x + ( x − 1)( x + x − 1) = −1 − x = y = y=− xy = −1 y = − x Trường hợp 2: ⇔ ⇔ x 2 y = x + − = x + x + x + = (VN ) x −1 − −1 − −1 + −1 + Kết luận: Nghiệm (x; y): (1;1), ; ; ; , 2 2 Bài 19 Giải hệ phương trình sau: x − x = y3 + y (DB A – 2006) 2 x − = 3( y + 1) 3( x − y3 ) = 6(4 x + y ) (1) • Hệ PT ⇔ (2) x − y = Thế (2) vào (1) ta được: 3( x − y ) = ( x − y )(4 x + y ) ⇔ x + x y − 12 xy = x = ⇔ x = 3y x = −4 y 6 6 Nghiệm (x; y): (3;1), (−3; −1), −4 ; ;− , 13 13 13 13 Bài 20 Giải hệ phương trình sau: • Trang 11 Lop10.com (13) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Vấn đề 2: Phương pháp đặt ẩn phụ Bài Giải hệ phương trình sau: x − x + y − y + = 2 x y + x + y − 22 = ( x − 2)2 + ( y − 3)2 = u = x − • HPT ⇔ Đặt ( x − + 4)( y − + 3) + x − − 20 = v = y − 2 u = u = HPT ⇔ u + v = Nghiệm(2;3),(−2;3),( 2; 5),(− 2; 5) ⇔ ∨ v = v = uv + 4(u + v) = Bài Giải hệ phương trình sau: 8 x y + 27 = 18y 2 4 x y + x = y (2 x)3 + = 18 y • HPT ⇔ Đặt a = 2x; b = HPT ⇔ y 2 x x + = y y 3− ; , + Hệ đã cho có nghiệm: a + b = ab = 3+ ; − 8 x y + 27 = 18y Cách 2: Dễ thấy y ≠ HPT ⇔ 2 ⇒ x y + 27 = 18(4 x y + xy ) 4 x y + xy = y (*) t=− Đặt t = xy (*) ⇔ (2t + 3)(4t − 42t + 9) = ⇔ 21 t = ± Bài Giải hệ phương trình sau: x + + y( y + x ) = y ( x + 1)( y + x − 2) = y x2 + + y+ x −2 = x2 + y u = • Dễ thấy y ≠ HPT ⇔ Đặt y x +1 v = y + x − y ( y + x − 2) = x2 + x =1 x = −2 =1 u + v = u = HPT ⇔ ⇔ ⇔ y ⇔ uv = v = y = y=5 y + x − = Bài Giải hệ phương trình sau: x + x + y = 2 3 x + x y + xy + x = 18 x + x + x + y = • HPT ⇔ Đặt u = x + x ( x + x )(3 x + y ) = 18 v = x + y Trang 12 Lop10.com (14) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch x = 1; y = x = −3; y = 15 u + v = u = 6, v = HPT ⇔ ⇔ Nghiệm: uv = 18 u = 3, v = x = −1 − 7; y = + x = −1 + 7; y = − Bài Giải hệ phương trình sau: xy + x + = y (B - 2009) 2 x y + xy + = 13y 1 x x + + = y y • Dễ thấy y ≠ HPT ⇔ Đặt x + − x = 13 y y u = x + y v = x y u + v = u = −5 u = HPT ⇔ ⇔ Nghiệm v = 12 v = u − v = 13 Bài Giải hệ phương trình sau: 2 y − x = 3 2 x − y = y − x ( 1 1; , (3;1) 3 ) • HPT ⇒ x − y3 = y − x ( y − x ) ⇔ x + x y + xy − 5y = Khi y = thì hệ VN x x x Khi y ≠ , chia vế cho y ≠ ta được: + + − = y y y y = x x x = y = Đặt t = , ta có : t + 2t + 2t − = ⇔ t = ⇔ ⇔ y y = x = y = −1 Bài Giải hệ phương trình sau: y +2 =1 2 x x + y −1 x + y + x = 22 y • Điều kiện: x ≠ 0, y ≠ 0, x + y − ≠ 3 3 + =1 + =1 ⇔ u v u v u + + v = 22 u = 21 − 4v v = 3 Thay (2) vào (1) ta được: + = ⇔ 2v − 13v + 21 = ⇔ v = 21 − v v • Nếu v = thì u = 9, ta có Hệ PT: x2 + y2 − = x = x = −3 ⇔ x + y = 10 ⇔ ∨ x y = y = −1 x = 3y y = Đặt u = x + y − 1; v = • Nếu v = x Hệ PT trở thành: y thì u = 7, ta có Hệ PT: Trang 13 Lop10.com (1) (2) (15) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch 2 x2 + y2 − = x + y2 = y = y = −4 53 ∨ 53 ⇔ ⇔ x = y x = y x = 14 x = −14 53 53 So sánh điều kiện ta nghiệm Hệ PT Bài Giải hệ phương trình sau: x + y + xy + = y 2 y ( x + y) = x + y + x2 + +x+y=4 x + y + xy + = y y • Từ hệ PT ⇒ y ≠ Khi đó ta có: ⇔ x + y ( x + y )2 = x + y + ( x + y ) − y = u + v = u = − v v = 3, u = x +1 Đặt u = , v = x + y ta có hệ: ⇔ ⇔ y v − 2u = v + v − 15 = v = −5, u = x + = y x + = y x = 1, y = • Với v = 3, u = ta có hệ: ⇔ ⇔ x + x − = ⇔ x = − 2, y = x + y = y = − x y = − x 2 x + = y x + = y x + x + 46 = • Với v = −5, u = ta có hệ: ⇔ ⇔ , hệ VN x + y = −5 y = −5 − x y = −5 − x Kết luận: Hệ đã cho có hai nghiệm: (1; 2), (−2; 5) Bài Giải hệ phương trình sau: 2 x y (1 + y ) + x y (2 + y ) + xy − 30 = x y + x (1 + y + y ) + y − 11 = 2 • Hệ PT ⇔ xy( x + y) + x y ( x + y ) = 30 xy( x + y) + xy + x + y = 11 x + y = u uv(u + v ) = 30 Đặt HPT ⇔ ⇔ xy = v uv + u + v = 11 xy( x + y )( x + y + xy ) = 30 ⇔ xy( x + y ) + xy + x + y = 11 uv(11 − uv ) = 30 (1) uv = Từ (1) ⇒ uv + u + v = 11 (2) uv = − 21 + 21 • Với uv = ⇒ u + v = Giải ta các nghiệm (x; y) là: ; và 2 + 21 − 21 ; 2 • Với uv = ⇒ u + v = Giải ta các nghiệm (x; y) là: (1;2) và (2;1) − 21 + 21 + 21 − 21 Kết luận: Hệ PT có nghiệm: (1;2) , (2;1) , ; ; , 2 2 Bài 10 Giải hệ phương trình sau: x + y − x + y = 2 3 x − y − x − y = x − x + y + y = u = x − x • HPT ⇔ Đặt 2 3( x − x ) − 2( y + y ) = v = y + y ± 13 ± 13 u + v = HPT ⇔ Nghiệm (x; y): ;0, ; −4 3u − 2v = Trang 14 Lop10.com (16) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Bài 11 Giải hệ phương trình sau: x + y = + x − y 2 2 x + y + − x − y = u = x + y • Điều kiện: x + y > 0, x − y ≥ Đặt: ta có hệ: v = x − y u − v = (u > v) u + v = uv + ⇔ 2 u2 + v + u +v +2 − uv = − uv = 2 u + v = uv + (1) ⇔ (u + v)2 − 2uv + − uv = (2) Thế (1) vào (2) ta có: uv + uv + − uv = ⇔ uv + uv + = (3 + uv )2 ⇔ uv = uv = Kết hợp (1) ta có: ⇔ u = 4, v = (với u > v) u + v = Từ đó ta có: x = 2; y = 2.(thoả đk) Kết luận: Vậy nghiệm hệ là: (x; y) = (2; 2) x + y − x − y = Bài tương tự: 2 2 x + y + x − y = Bài 12 Giải hệ phương trình sau: xy − x − y = 16 2 x + y − x − y = 33 ( x − 1)( y − 2) − ( x − 1) − ( y − 2) = 21 • HPT ⇔ Đặt 2 ( x − 1) + ( y − 2) = 38 u = x − v = y − uv − (u + v) = 21 HPT ⇔ 2 Nghiệm (x; y): ( −3 + 3; −2 − ) , ( −3 − 3; −2 + ) u + v = 38 Bài 13 Giải hệ phương trình sau: =7 4( x + y + xy ) + ( x + y )2 2 x + = x+y 3 x + y + + ( x − y )2 = 13 x+y • HPT ⇔ Đặt x + y + +x−y =3 x+y u = x + y + x + y (với u ≥ ) v = x − y 2 x + y + =2 u = x = HPT ⇔ 3u + v = 13 ⇔ (vì u ≥ 2) ⇒ ⇔ x+y v = y = u + v = x − y = Bài 14 Giải hệ phương trình sau: Trang 15 Lop10.com (17) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch 2 x y + xy = 15 8 x + y = 35 2 xy (2 x + y) = 30 uv(u + v ) = 30 u = x u = 2; v = • Hệ PT ⇔ Đặt Hệ PT ⇔ 3 ⇔ 3 v = y u = 3; v = (2 x ) + y = 35 u + v = 35 3 Nghiệm (x; y): (1;3), ;2 2 Bài 15 Giải hệ phương trình sau: 2x + y +1 − x + y = 3 x + y = • Hệ PT ⇔ x + y + − x + y = Đặt u = x + y + ≥ 0, v = x + y ≥ (2 x + y + 1) + ( x + y ) = u − v = x = u = 2, v = Hệ PT ⇔ 2 ⇒ ⇔ y = −1 u = −1, v = −2 (loại ) u + v = Bài 16 Giải hệ phương trình sau: x( x + 2)(2 x + y ) = x + x + y = ( x + x )(2 x + y ) = • Hệ PT ⇔ Đặt u = x + x ( x + x ) + (2 x + y ) = v = x + y Bài 17 Giải hệ phương trình sau: • Trang 16 Lop10.com (18) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Vấn đề 3: Phương pháp đánh giá Bài Giải hệ phương trình sau: x = 9z2 − 27( z − 1) y = x − 27( x − 1) z3 = y − 27( y − 1) ( a) ( b) ( c) • Cộng (a), (b), (c) ta được: ( x − 3)3 + ( y − 3)3 + ( z − 3)3 = (d ) + Nếu x > thì từ (b) suy ra: y = x ( x − 3) + 27 > 27 ⇒ y > từ (c) suy ra: z = y ( y − 3) + 27 > 27 ⇒ z > ⇒ (d) không thoả mãn + Tương tự, x < thì từ (a) ⇒ < z < ⇒ < y <3 ⇒ (d) không thoả mãn + Nếu x = thì từ (b) ⇒ y = 3; thay vào (c) ⇒ z = Vậy: x = y = z =3 Bài Giải hệ phương trình sau: x − y = y − z = z − x = • Dễ thấy x > 0, y > 0, z > Không tính tổng quát, giả sử x ≥ y ⇒ y +1 ≥ z +1 ⇒ y ≥ z Ta lại có: z = x + ≥ y + = x ⇒ x ≥ y ≥ z ≥ x ⇒ x = y = z ( 2 ( + 1) + 1) ⇒ x − x −1 = ⇔ x = Nghiệm x = y = z = 4 Bài Giải hệ phương trình sau: x2 =y x + y =z y +1 z2 =x z + • Nếu x = thì y = 0, z = ⇒ Hệ có nghiệm (x; y; z) = (0; 0; 0) • Nếu x ≠ thì y > 0, z > ⇒ x > Ta có: y = x2 2x2 x2 + ≤ 2x2 = x Tương tự ta suy được: y ≤ x ≤ z ≤ y ⇒ x = y = z 2x = x ⇒ x = Nghiệm (0; 0; 0), (1; 1; 1) x2 + Bài Giải hệ phương trình sau: xy = x2 + y x + x − 2x + xy y + = y2 + x y − 2y + xy xy • Cộng hai phương trình, vế theo vế, ta được: + = x + y (*) 3 x − 2x + y − 2y + ⇒ Ta có: x − x + = ( x − 1)2 + ≥ , y − y + = ( y − 1)2 + ≥ Trang 17 Lop10.com (19) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch xy xy + = xy ≤ xy ≤ x + y 2 x = y = Dấu "=" xảy ⇔ Nghiệm: (0; 0), (1; 1) x = y = Bài Giải hệ phương trình sau: y = − x + x + x = y − y − y = − x + x + y − = −( x + 1)2 ( x − 2) (1) • ⇔ x = y − y − x − = 2( y + 1) ( y − 2) (2) Dễ dàng thấy (x; y) = (2; 2) là nghiệm hệ Nếu x > thì từ (1) ⇒ y < Nhưng từ (2) ⇒ x – và y – cùng dấu ⇒ Mâu thuẫn Nếu x < thì suy điều mâu thuẫn tương tự Vậy hệ có nghiệm x = y = Bài Giải hệ phương trình sau: xy − 10 = 20 − x (1) (2) xy = + y + y2 HD : Rut x = = +y y y Cô si x ≥ 20 theo (1) x ≤ 20 suy x,y + y2 • Từ (2) ⇒ x = = + y y y Áp dụng BĐT Cô-si ta có: x = + y ≥ ⇒ x ≥ 20 Mà theo (1) thì x ≤ 20 y ⇒ VT (*) ≤ x = Do đó x = 20 ⇔ x = −2 Bài Giải hệ phương trình sau: ( y = 5) ( y = − 5) • Trang 18 Lop10.com (20) Hệ phương trình nhiều ẩn Đinh Xuân Th ch Vấn đề 4: Phương pháp sử dụng phương trình hệ Bài Giải hệ phương trình sau: x + y = (1) (2) y + z = z + x = (3) • Cộng phương trình, vế theo vế, ta được: x + y + z = (4) Từ (4) và (1) ⇒ z = 2; từ (4) và (2) ⇒ x = 1; từ (4) và (3) ⇒ y = Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 0; 2) Bài Giải hệ phương trình sau: 2 xy = x + y + 2 yz = y + z + 2 zx = z + x + 2 xy = x + y + (2 x − 1)(2 y − 1) = • 2 yz = y + z + ⇔ (2 y − 1)(2 z − 1) = 15 2 zx = z + x + (2 z − 1)(2 x − 1) = Nhân các phương trình trên, vế theo vế, ta được: (2 x − 1)(2 y − 1)(2 z − 1) = 15 (a) (2 x − 1)2 (2 y − 1)2 (2 z − 1)2 = 225 ⇔ (2 x − 1)(2 y − 1)(2 z − 1) = −15 (b) 2 x − = x = Trường hợp (a) ⇒ 2 y − = ⇔ y = 2 z − = z = 2 x − = −1 x = Trường hợp (b) ⇒ 2 y − = −3 ⇔ y = −1 2 z − = −5 z = −2 Thử lại ⇒ Nghiệm (x; y; z): (1; 2;3), (0; −1; −2) Bài Giải hệ phương trình sau: • Trang 19 Lop10.com (21)