Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh Ngun C«ng Minh Chuyªn ®Ị: hƯ ph¬ng tr×nh C¸c kiÕn thøc cÇn nhí 1) HƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: - §Þnh nghÜa: Cho hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: ax+by=c vµ a'x+b'y=c'. Khi ®ã ta cã hƯ hai ph¬ng tr×nh bËc nhÊt hai Èn: (1) ' ' '(2) ax by c a x b y c ì + = ï ï ï í ï + = ï ï ỵ (I) - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy cã nghiƯm chung (x 0 ; y 0 ) th× (x 0 ; y 0 ) ®ỵc gäi lµ nghiƯm cđa hƯ (I) - NÕu hai ph¬ng tr×nh Êy kh«ng cã nghiƯm chung th× ta nãi hƯ v« nghiƯm 2) Quan hƯ gi÷a sè nghiƯm cđa hƯ vµ ®êng th¼ng biĨu diƠn tËp nghiƯm Ph¬ng tr×nh (1) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d) Ph¬ng tr×nh (2) ®ỵc biĨu diƠn bëi ®êng th¼ng (d') - NÕu (d) c¾t (d') hƯ cã nghiƯm duy nhÊt - NÕu (d) song song víi (d') th× hƯ v« nghiƯm - NÕu (d) trïng (d') th× hƯ v« sè nghiƯm. 3) HƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng: Hai hƯ ph¬ng tr×nh ®ỵc gäi lµ t¬ng ®¬ng víi nhau nÕu chóng cã cïng tËp nghiƯm 4) Gi¶i hƯ ph¬ng tr×nh b»ng ph¬ng ph¸p thÕ, ph¬ng ph¸p céng. a) Quy t¾c thÕ: Quy t¾c thÕ dïng ®Ĩ biÕn ®ỉi mét hƯ ph¬ng tr×nh thµnh hƯ ph¬ng tr×nh t¬ng ®¬ng. + Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn 1 Èn). + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy ®Ĩ thay thÕ cho ph¬ng tr×nh thø hai trong hƯ (ph- ¬ng tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë bíc 1). b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng để biến đổi một hệphươngtrình thành hệphươngtrình tương đương. + Bíc 1: Céng hay trõ tõng vÕ hai ph¬ng tr×nh cđa hƯ cđa hƯ ph¬ng tr×nh ®· cho ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi. + Bíc 2: Dïng ph¬ng tr×nh míi Êy thay thÕ cho mét trong h¸i ph¬ng tr×nh cđa hƯ (vµ gi÷a nguyªn ph¬ng tr×nh kia) ______________________________________________________________ Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 1 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh L u ý : Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau) thì ta cộng (hoặc trừ) hai vế của hệ. Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau). Bài tập Bài tập và h ớng dẫn : Bài 1: : Giải các HPT sau: 1.1. a. 2 3 3 7 x y x y = + = b. 2 3 2 5 2 6 x y x y + = + = Giải: a. Dùng PP thế: 2 3 3 7 x y x y = + = 2 3 2 3 2 2 3 2 3 7 5 10 2.2 3 1 y x y x x x x x x y y = = = = + = = = = Vọy HPT đã cho có nghiệm là: 2 1 x y = = Dùng PP cộng: 2 3 3 7 x y x y = + = 5 10 2 2 3 7 3.2 7 1 x x x x y y y = = = + = + = = Vậy HPT đã cho có nghiệm là: 2 1 x y = = - Để giảI loại HPT này ta thờng sử dụng PP cộng cho thuận lợi. 2 3 2 5 2 6 x y x y + = + = 10 15 10 11 22 2 2 10 4 12 5 2 6 5 2.( 2 6) 2 x y y y x x y x y x y + = = = = + = + = + = = Vaọy HPT có nghiệm là 2 2 x y = = - Đối với HPT ở dạng này ta có thể sử dụng hai cách giảI sau đây: 1.2. 2 3 1 1 2 5 1 1 x y x y + = + + = + + Cách 1: Sử dụng PP cộng. ĐK: 1, 0x y . ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 2 Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh Ngun C«ng Minh 2 3 1 1 2 5 1 1 x y x y + = − + + = − + 2 2 1 1 1 3 1 2 2 2 5 2 2 5 1 4 1 1 1 1 1 1 1 y y y x x y y x x x y = = = + = − = − ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ ⇔ + = = − = = + = + + + Vậy HPT cã nghiƯm lµ 3 2 1 x y = − = + C¸ch 2: Sư dơng PP ®Ỉt Èn phơ. §K: 1, 0x y≠ − ≠ . §Ỉt 1 1 a x = + ; 1 b y = . HPT ®· cho trë thµnh: 2 3 1 2 5 1 2 5.1 1 2 2 5 1 2 2 1 1 a b a b a a a b b b b + = − + = + = = − ⇔ ⇔ ⇔ + = = = = 1 2 3 1 2 1 1 1 x x y y = − = − + ⇒ ⇔ = = (TM§K) Vậy HPT cã nghiƯm lµ 3 2 1 x y = − = Lu ý: - NhiỊu em cßn thiÕu §K cho nh÷ng HPT ë d¹ng nµy. - Cã thĨ thư l¹i nghiƯm cđa HPT võa gi¶i. Bài 2: Giải các hệphươngtrình sau (bằng pp thế) 1.1: 3 ) 3 4 2 x y a x y − = − = 7 3 5 ) 4 2 x y b x y − = + = 1.2. 2 2 5 ) 2 2 x y a x y − = + = ( ) ( ) 2 1 2 ) 2 1 1 x y b x y − − = + + = Bài 3: Giải các hệphươngtrình sau (bằng pp cộng đại số) 2.1. 3 3 ) 2 7 x y a x y + = − = 4 3 6 ) 2 4 x y b x y + = + = 3 2 10 ) 2 1 3 3 3 x y c x y − = − = 2.2. 2 3 1 ) 2 2 2 x y a x y − = + = − 5 3 2 2 ) 6 2 2 x y b x y + = − = Bài 4: Giải hệphươngtrình 2 3 1 ( 1) 6 2 x y m x y m + = + + = trong mỗi trường hợp sau ______________________________________________________________ Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 3 Chuyªn ®Ị vỊ HƯ ph¬ng tr×nh Ngun C«ng Minh a) m = -1 b) m = 0 c) m = 1 Bài 5: a) Xác đònh hệ số avàb, biết rằng hệphươngtrình 2 4 5 x by bx ay + = − = − có nghiệm là (1; -2) b) Cũng hỏi như vậy nếu hệphươngtrình có nghiệm ( ) 2 1; 2− Bài 6: Giải hệphươngtrình sau: 2 2 3 1 x y x y + = + = − a) Từ đó suy ra nghiệm của hệphươngtrình 2 2 1 1 3 1 1 1 m n m n m n m n + = + + + = − + + Bài 7: Giải các hệphươngtrình sau: 2 4 3 1 x y x y + = − = ; 1 3 2 3 x y x y − = + = ; 2 5 3 1 x y x y + = − = ; 3 5 0 3 0 x y x y − − = + − = ; 0,2 3 2 15 10 x y x y − = − = ; 3 2 2 4 2007 x y x y = − + = ; 3 2 3 9 6 x y y x − = − + = ; 5 2 2 6 y x x y − = − = ; 2 3 6 5 5 5 3 2 x y x y + = + = ; 2 5 3 3 15 2 4 2 x y x y + = + = Bµi 8: Cho hƯ ph¬ng tr×nh =+ =− 1 2 byax bayx a) Gi¶i hƯ khi a=3 ; b=-2 b) T×m a;b ®Ĩ hƯ cã nghiƯm lµ (x;y)=( )3;2 Bµi 9: Gi¶I c¸c hƯ ph¬ng tr×nh sau a) = − − + = − − + 3 45 2 21 yxyx yxyx b) =+ −=− 22 843 yx yx c) =−+− =−−− 1222 32423 yx yx (®k x;y ≥ 2 ) ______________________________________________________________ Trêng THCS Nam Hoa – Nam Trùc – Nam §Þnh 4 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh 3 5 1 x y x y + = + = ; 2 1 3 2 5 y x x y = + = ; 6 6 5 4 3 1 x y xy x y + = = ; ( )( 2 ) 0 5 3 x y x y x y + = = ; 2 3 5 2 2 3 3 5 x y = + = 3 3 3 2 3 2 3 6 2 x y x y = + = + ; ( 1) 2( 2) 5 3( 1) ( 2) 1 x y x y + + = + = ; ( 5)( 2) ( 2)( 1) ( 4)( 7) ( 3)( 4) x y x y x y x y + = + + = + . ( 1)( 2) ( 1)( 3) 4 ( 3)( 1) ( 3)( 5) 1 x y x y x y x y + + = + = ; 3( ) 5( ) 12 5( ) 2( ) 11 x y x y x y x y + + = + + = ; 1 1 4 5 1 1 1 5 x y x y + = = ; 1 2 2 5 4 3 x y x y x y x y = + = + ; 1 5 5 2 3 3 8 3 5 3 2 3 3 8 x y x y x y x y + = + = + ; 7 5 4,5 2 1 3 2 4 2 1 x y x y x y x y = + + + = + + 1. Giải các hệ phơng trình sau: a. 3 0 2 1 0 x y x y + = + = (TN THCS 2000- 2001, VP) b. 5 10 7 2 13 x y x y + = = c. 5 3 1 0 2 2 3 0 3 x y x y + = = (TS THPT 2001- 2002, VP) d. 5 3 8 3 2 5 x y x y + = + = e. 2 3 5 3 2 1 x y x y + = = (TS THPT 2002- 2003, VP) f. 4 3 21 2 5 21 x y x y = = g. 2 3 2 1 x y x y + = = (TS THPT 2004- 2005, VP) h. 4 7 16 4 3 24 x y x y + = = i. 5 3 8 3 2 5 x y xy x y xy + = + = (TS THPT 2005- 2006, VP) k. 4 1 2 7 8 x y x y + = = (TS THPT NK Trần Phú 2003- 2004, HP) l. 4 3 1 2 3 5 x y x y + = = (TN THCS 2002- 2003, Bắc Giang) m. 3 2 7 5 3 3 x y x y = = (TN THCS 2002- 2003, TP. HCM) ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 5 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh n. 4 3 7 5 2 8 x y x y + = + = (TN THCS 2003- 2004, TP. HCM) o. ( 5 2) 3 5 2 6 2 5 x y x y + + = + = p. 10 9 8 15 21 0,5 x y x y = + = 2. Giải các hệ phơng trình sau: a. 2 2 20 6 x y x y + = = b. 2 2 29 10 x y xy + = = c. 2 2 25 12 x y x y + = + = d. 2 2 7 5 x xy y x y + = + = e. 4 4 2 2 17 3 x y x xy y + = + + = f. 5( ) 2 19 3 35 x y xy x y xy + + = + + = g. 2 2 18 ( 1) ( 1) 72 x x y y x x y y + + + = + + = h. 2 2 2 2 ( )( ) 15 ( )( ) 3 x y x y x y x y + + = = i. 12 28 x y y x x x y y + = + = 3. Giải các hệ phơng trình sau: a. 1 3 2 2 2 1 5 2 15 x y x y = + + = b. 1 3 1 1 2 1 5 1 9 x y x y + = + + = c. 3 5 2 2 2 1 1 2 2 2 15 x y x y x y x y + = + = + 4. Cho hệ phơng trình: ( 1) ( 1) 2 m x y m x m y + = + = ; gọi nghiệm của hệ phơng trình là (x; y). a. Tìm đẳng thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m. b. Tìm giá trị của m thoả mãn 2 2 7 1x y = . c. Tìm các giá trị của m để biểu thức 2 3x y x y + nhận giá trị nguyên. (trích đềthi tuyển sinh THPT tỉnh Hải Dơng, năm 2004 - 2005) 5. Cho hệ phơng trình (x; y là các ẩn số): 2 2 2 1 4 4 x xy x xy y m = + = (1) a. Giải hệ phơng trình với m = 7 b. Tìm m sao cho hệ phơng trình (1) có nghiệm. 6. Cho hệ phơng trình: 1 2 x ay ax y + = + = (1) a. Giải hệ phơng trình (1) khi a = 2. b. Với giá trị nào của a thìhệ (1) có nghiệm duy nhất. (trích ĐTTS lớp 10 BCSP Hải Phòng, năm 2003- 2004) ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 6 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh 7. Cho hệ phơng trình: 1 2 334 3 mx y y x = = a. Giải hệ phơng trình khi cho m = 1 b. Tìm giá trị của m đểhệ phơng trình vô nghiệm. (trích ĐTTN THCS tỉnh Thái Bình 2001- 2002) 8. Tìm m đểhệ phơng trình có nghiệm: a. 3 3 2x y x y m = = b. 2 2 x y xy m x y m + + = + = 9. Với giá trị nào của tham số m thìhệ phơng trình sau: 2 1 mx y m x my + = + = a. Vô định. b. Vô nghiệm. 10. Xác định giá trị của tham số m đểhệ phơng trình sau vô nghiệm: 3 3 mx y x my + = + = 11. Giải và biện luận hệ phơng trình: 2 2 3 mx y m x y + = + = 12. Cho hệ phơng trình: 3 4 1 mx y x my + = + = a. Giải hệ phơng trình khi m = 3. b. Với giá trị nào của m thìhệ phơng trình có nghiệm? vô nghiệm? 13. Tìm a và b đểhệ phơng trình ( ) 2 ( ) 3 a b x ay a b x by + + = = có nghiệm là x =-1; y =1. 14. Cho hệ phơng trình: 2 2 1 ( ) x xy y m xy x y m m + + = + + = + Chứng minh hệ phơng trình trên có nghiệm với mọi m. Tìm m đểhệ có nghiệm duy nhất. 15. Cho hệ phơng trình: 2 2 6 2 2 x xy y m x xy y m + + = + + + = a. Giải hệ phơng trình khi m = 3. b. Tìm tất cả các giá trị của m đểhệ phơng trình có nghiệm duy nhất. 16. Cho hệ phơng trình: 2 2 0 0 x y x y m = + + = (m là tham số) a. Giải hệ với m = 4 . b. Tìm m đểhệ có hai nghiệm phân biệt (x 1 ; y 1 ); (x 2 ; y 2 ) thoả mãn: x 1 .x 2 + y 1 .y 2 > 0. (trích ĐTTS THPT 2000- 2001, tỉnh Vĩnh Phúc) ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 7 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh 17. Cho hệ phơng trình ẩn x; y: 1 2 2 1 3 5 2 2 1 3 n x y x y = + + = + a. Giải hệ phơng trình khi n = 1. b. Với những giá trị nào của tham số n thìhệ vô nghiệm. (trích ĐTTS THPT 2003- 2004, tỉnh Vĩnh Phúc) 18. Cho phơng trình bậc nhất hai ẩn x, y; tham số m: 2 2 2 2 3 1 x y x y m m + = + = + + a. Giải hệ phơng trình với m = 0. b. Xác định các giá trị của tham số m đểhệ phơng trình có nghiệm (x 0 ; y 0 ) thoả mãn điều kiện: x 0 = y 0 . c. Xác định các giá trị nguyên của tham số m đểhệ phơng trình đã cho có nghiệm (a; b), với a và b là các số nguyên. (trích ĐTTS THPT 2004- 2005, tỉnh Vĩnh Phúc) 19. Cho hệ phơng trình: 2 2 1 x my mx y + = = a. Giải hệ phơng trình khi m = 2. b. Tìm giá trị nguyên của tham số m đểhệ phơng trình có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y > 0. c. Tìm giá trị nguyên của tham số m đểhệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x; y là các số nguyên. 20. Cho hệ phơng trình: 2 5 ax y x ay = + = a. giải hệ phơng trình khi a = 3. b. Chứng minh rằng hệ phơng trình có nghiệm với mọi giá trị của a. c. Với giá trị nào của a thìhệ phơng trình có nghiệm thoả mãn: 2 0x y = . (trích ĐTTS THPT 1996- 1997, VP) 21. Cho hệ phơng trình: ( ) 2 ( ) 3 ax a b y b a x ay + + = + = a. Tìm a, b đểhệ có nghiệm x = 2; y = 1. b. Giải hệ phơng trình khi a = 2; b = 1. c. Cho b 0. Tìm a, b đểhệ có nghiệm duy nhất thoả mãn y - x > 0. (trích ĐTTS THPT 1997- 1998, VP) 22. Cho hệ phơng trình: 1 4 2 ax y x ay + = + = a. Giải và biện luận hệ phơng trình theo tham số a. b. Với giá trị nào của a thìhệ có nghiệm duy nhất thoả mãn: x - y = 1. ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 8 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh 23. Cho hệ phơng trình: 2 3 2 5 x y m x y + = = (m là tham số nguyên) Xác định m đểhệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x > 0; y < 0. 24. Cho hệ phơng trình: 4 10 4 mx y m x my + = + = (m là tham số) a. Giải và biện luận hệ phơng trình theo m. b. Với giá trị nguyên nào của m thìhệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà x và y là những số nguyên. 25. Cho hệ phơng trình: 2 ( 1) 2 1 2 m x my m mx y m + + = = Xác định tất cả các giá trị của m đểhệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà tích xy đạt giá trị lớn nhất. 26. Giải các hệ phơng trình sau: a. 1 2 2 7 x y x xy y + = + + = b. 24 2 2 62 xy x x y y = + + + = c. 2 1 1 9 4 xy x y = + = d. 5 3 8 3 2 5 x y xy x y xy + = + = e. ( ) ( ) 2 3 4 2 3 12. x y x y x y + = + = f. 4 3 5 . y x xy x y xy = + = g. 2 2 8 2 2 7. x y x y x y xy + + + = + + = h. 1 1 1 1. x y x y + + = + + = i. 1 4 7. x y x y + + = + = k. ( 1)( 1) 8 ( 1) ( 1) 17. x y x x y y xy + + = + + + + = l. 2 2 1 3 3 3 . x y xy x y x y + + = + = + m. 2 2 ( )( ) 45 2 2 ( )( ) 85. x y x y x y x y + = + = n. 3 2 2 3 5 3 2 6 7. x x y y xy + = + = o. 2 6 3 1 2 2 1. x xy x y x y + = + = p. 2 2 2 5 2 0 2 2 4 0. x xy y x y x y x y + + + = + + + = q. 2 2 ( )( ) 5 2 2 ( )( ) 3. x y x y x y x y + + = = 27. Giải các hệ phơng trình sau: ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 9 Chuyênđề về Hệ phơng trình Nguyễn Công Minh a. 5 1 2 1 3 3 2 2 1 1 x y y x x y + = + + = + ĐS (1; 4) b. 6 1 2 2 2 14. x y z xy yz zx x y z + + = + + = + + = 28*. Giải hệ phơng trình: 1 1 1 51 4 1 1 1 771 2 2 2 . 2 2 2 16 x y z x y z x y z x y z + + + + + = + + + + + = (trích ĐTTS lớp 10 chuyên Toán- Tin, ĐH Vinh 2004- 2005) (Hớng dẫn: Đặt 1 1 1 ; ; u x v y p z x y z = + = + = + và để ý 3(u 2 +v 2 +p 2 )=(u+v+p) 2 . mà theo BĐT Bu-nhi-a-cốp-ski thì 3(u 2 +v 2 +p 2 ) (u+v+p) 2 suy ra u=v=p=17/4). 29. Tìm m sao cho hệ phơng trình hai ẩn x, y: 1 nx y m x y + = + = có nghiệm với mọi giá trị của n. 30. Cho hệ phơng trình: 2 1 mx y m x my m + = + = + a. Giải hệ phơng trình khi m = -1. b. Xác định giá trị của tham số m đểhệ phơng trình có nghiệm, trong đó có nghiệm x = 1; y = 1. 31.Cho hệ phơng trình: 5 2 1 2 2 2 1 x y x y m y x + = + + = + a. Giải hệ phơng trình khi m = 5 2 . b. Tìm m đểhệ phơng trình vô nghiệm. 32. Cho hệ phơng trình: ( 1) 3 1 2 5 m x my m x y m = = + Xác định tất cả các giá trị của m đểhệ có nghiệm duy nhất (x; y) mà 2 2 x y+ đạt giá trị nhỏ nhất. ______________________________________________________________ Trờng THCS Nam Hoa Nam Trực Nam Định 10 . tr×nh t¬ng ®¬ng. + Bíc 1: Tõ mét ph¬ng tr×nh cđa hƯ ®· cho ta biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia råi thÕ vµo ph¬ng tr×nh thø hai ®Ĩ ®ỵc mét ph¬ng tr×nh míi (chØ cßn. (ph- ¬ng tr×nh thø nhÊt còng thêng ®ỵc thay thÕ bëi hƯ thøc biĨu diƠn mét Èn theo Èn kia cã ®ỵc ë bíc 1). b) Quy t¾c céng ®¹i sè: Quy tắc cộng đại số dùng