Chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào lớp 10 ôn thi vào lớp 10 môn toán

VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm ax  by  c - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn:  / / / a x  b y  c Cách giải - Một số dạng toán hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp 3 x  y    2 x  y  cộng đại số 3 x  2(5  x)    y   2x 3 x  y    2 x  y  3 x  10  x  7 x  14    y   2x  y   2x 3 x  y  7 x  14   4 x  y  10 2 x  y  x    2.2  y  x   y  x  x     y   2.2 y  Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x  y  6 x  y  1)  2 x  y  4 x  y  10 2)   x  (1  ) y  5)  (1  ) x  y  3 x  y   5 x  y  14 3)  0,2 x  0,1 y  0,3 6)  3 x  y  2 x  y  3 x  y  14 4)  x  7)  y  x  y  10   Bài 2: Giải hệ phương trình sau: (3 x  2)(2 y  3)  xy (4 x  5)( y  5)  xy 2( x  y )  3( x  y )  ( x  y )  2( x  y )  1)  2)  (2 x  3)(2 y  4)  x( y  3)  54 3)  ( x  1)(3 y  3)  y ( x  1)  12 y  27  y  5x 5  2x  4)   x   y  y  5x  1 ( x  )( y  )  xy  50  2 5)   xy  ( x  2)( y  2)  32  2 6)  ( x  20)( y  1)  xy ( x  10)( y  1)  xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1 1  x  y  12 1)    15   x y   x  y  y  2x  2)    1  x  y y  x 3 x  y  16  x  y  13 4)  5)  3 x  y  6 2 x  y  11  3x x 1  y   3)   2x    x  y   x  y  18 6)  3 x  y  10 5 x   y   8)  2( x  x)  y   7)  3( x  x)  y   7 2 x  x   y  y   13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải:  Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x  Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax =  b (1)  Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vô số nghiệm - Nếu b  hệ vô nghiệm ii) Nếu a  (1)  x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm mx  y  2m(1) 4 x  my  m  6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình:  Từ (1)  y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m +  (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 –  hay m   x = Khi y = - (2m  3)(m  2) 2m   m2 m2  m 2m  m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m2 m2 m2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x  R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m   hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m  m ;) m2 m2 - Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x  R - Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx  y  3m  mx  y  10  m 2)   x  my  m   x  my  1)   x  my  3m 4)  mx  y  m  2 (m  1) x  my  3m  2 x  y  m  3)  2 x  y   m  x  my   m 5)  2 6)  mx  y  (m  1) mx  y   m DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải:  Giải hệ phương trình theo tham số  Viết x, y hệ dạng: n + k với n, k nguyên f (m)  Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx  y  m   2 x  my  2m  HD Giải: 2mx  y  2m  mx  y  m    2 2 x  my  2m  2mx  m y  2m  m (m  4) y  2m  3m   (m  2)(2m  1)  2 x  my  2m  để hệ có nghiệm m2 –  hay m   Vậy với m   hệ phương trình có nghiệm (m  2)(2m  1) 2m     2  y  m2 m2 m 4  x  m    m2 m2  Để x, y số nguyên m +  Ư(3) = 1;1;3;3 Vậy: m + =  1,  => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m  1) x  y  m   2 m x  y  m  m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx  (m  1) y  m  n  (m  2) x  3ny  2m  HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b  f( ) 0   3 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11  8   f (3)  18a  3b   d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD:  f ( 2)  4a  2b      f (1)  a  b  4 a  1  b  Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2 a  b    a  b  a  1  b  Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3 x  y   x  0,5 Vậy M(0,2 ; 1,25)  x  y   y  1,25 nghiệm hệ phương trình:  Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m  m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + 1; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx  y   x  my  Cho hệ phương trình:  Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 =3 m 4 2x + y + HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m   - Giải hệ phương trình theo m 8m   y  mx  y  (m  4) y  8m  mx  y   m 4      x  my  mx  m y  8m  x  my   x  9m  32  m2  - Thay x = 9m  32 8m  ;y= vào hệ thức cho ta được: m 4 m 4 9m  32 8m  38 + + =3 m 4 m 4 m 4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12  3m2 – 26m + 23 =  m1 = ; m2 = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx  y  10  m (m tham số)  x  my  Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m  1) x  my  3m  2 x  y  m  Cho hệ phương trình :  a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x  y  2 x  y  m Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx  y   x  my  Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm Bài 5:  x  my  mx  y  Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình luôn có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m 3 Bài 6: mx  y  3x  my  Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m  b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x  y   m2 m2  Bài 7: 3 x  my  9 mx  y  16 Cho hệ phương trình  a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình luôn có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y =