Phương trình bậc nhất hai ẩn: +Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết( a 0 hoặc b 0) + Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c + Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm. + Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c. Nếu a 0;b 0 thì đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất: b c x b a y .
Trang 1VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ
I CÁC KHÁI NIỆM:
Phương trình bậc nhất hai ẩn:
+Dạng: ax + by = c trong đó a; b; c là các hệ số đã biết(a 0hoặc b 0 )
+ Một nghiệm của phương trình là cặp số x0; y0 thỏa mãn : ax0 + by0 = c
+ Phương trình bậc nhất hai ẩn ax + by = c luôn luôn có vô số nghiệm
+ Tập nghiệm được biểu diễn bởi đường thẳng (d): ax + by = c Nếu a b0 ; 0thì
đường thẳng (d) là đồ thị của hàm số bậc nhất:
b
c x b
a
y
Hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn:
' ' ' ( ')
Các cách giải:
*) Phương pháp đồ thị:
- Hệ (I) vô nghiệm <=> (d) // (d’) <=>
' ' '
a b c
- Hệ (I) có một nghiệm duy nhất <=> (d) cắt (d’) <=>
' '
a b
- Hệ (I) có vô số nghiệm <=> (d) (d’) <=>
' ' '
a b c
Hệ phương trình tương đương:
Hai hệ phương trình được gọi là tương đương với nhau nếu chúng có cùng tập nghiệm
II.PHƯƠNG PHÁP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH:
Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế:
a) Quy tắc thế:
+ Bước 1: Từ một phương trình của hệ đã cho, ta biểu diễn một ẩn theo ẩn kia, rồi thay vào phương trình thứ hai để được một phương trình mới (chỉ còn 1 ẩn)
+ Bước 2: Dùng phương trình mới này để thay thế cho phương trình thứ hai trong
hệ (phương trình thứ nhất cũng thường được thay thế bởi hệ thức biểu diễn một ẩn
Trang 2Ví dụ: xét hệ phương trình:
) 2 (
3
2
3
) 1
.(
1
2
y
x
y
x
+ Bước 1: Từ phương trình (1) ta biểu diễn x theo y ( gọi là rút x) ta có:
.(*)
2
1 y
x
Thay x 1 2y.(*) vào phương trình (2) ta được: 3 ( 1 2y) 2y 3 (**) + Bước 2: Thế phương trình (**)vào phương trình hai của hệ ta có:
3 2
)
2
1
(
3
2
1
y y
y
x
b) Giải hệ :
0
1 0
2 1 3
2 6 3
2 1 3
2
)
2
1
(
3
2
1
y
x y
y x
y y
y x
y y
y
x
Vậy hệ phương trình có một nghiệm (x = 1; y = 0)
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số:
a)Quy tắc cộng đại số:
+ Bước 1: Cộng hay trừ từng vế hai phương trình của hệ của hệ phương trình đã cho để được một phương trình mới
+ Bước 2: Dùng phương trình mới ấy thay thế cho một trong hai phương trình của
hệ (và giữ nguyên phương trình kia)
Lưu ý: Khi các hệ số của cùng một ẩn đối nhau thì ta cộng vế theo vế của hệ
Khi các hệ số của cùng một ẩn bằng nhau thì ta trừ vế theo vế của hệ
Khi hệ số của cùng một ẩn không bằng nhau cũng không đối nhau thì ta chọn nhân với số thích hợp để đưa về hệ số của cùng một ẩn đối nhau (hoặc bằng nhau).( tạm gọi là quy đồng hệ số)
Dạng 1: Giải hệ phương trình cơ bản bằng phương pháp cộng đại số và phương pháp thế
1.- Vận dụng quy tắc thế và quy tắc cộng đại số để giải các hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình bằng phương
pháp thế
Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
Trang 3
5
2
4
2
3
y
x
y
x
x y
x x
2 5
4 ) 2 5 ( 2 3
x y
x x
2 5
4 4 10
3
x y
x
2 5
14 7
2 2 5
2
y
x
1
2
y x
Vậy hệ phương trình đã cho có
nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
5 2
4 2 3
y x
y x
10 2 4
4 2 3
y x
y x
5 2
14 7
y x x
5 2
2
2
y
x
1
2
y x
Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất (x;y) = (2;1)
2.- Bài tập:
Bài 1: Giải các hệ phương trình
1)
5 3 6
3 2 4
y x
y x
2)
10 6 4
5 3 2
y x
y x
3)
14 2 5
0 2 4 3
y x
y x
4)
14 2 3
3 5 2
y x
y x
5)
1 5 )
3 1
(
1 ) 3 1 ( 5
y x
y x
6)
5 3
3 , 0 1 , 0 2 , 0
y x
y x
0 10 3 2
y x y x
Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:
1)
xy y
x
xy y
x
4 ) 5 )(
5 4
(
6 ) 3 2 )(
2 3
(
5 ) ( 2 ) (
4 ) ( 3 ) ( 2
y x y x
y x y x
3)
12 ) 1 ( 3 ) 3 3 )(
1 (
54 ) 3 ( 4 ) 4 2 )(
3 2
(
x y y
x
y x y
x
4)
7
5 6 3
1
2 4
27 5
3
5 2
x y y x
x y
x y
5)
32 ) 2 )(
2 ( 2
1 2
1
50 2
1 ) 3 )(
2 ( 2
1
y x xy
xy y
x
6)
xy y
x
xy y
x
) 1 )(
10 (
) 1 )(
20 (
Bài 3: Giải hệ phương trình bằng phương pháp thế
5 3
8
2 4
y
x
y
x
4
2x y
m y x
2
6 2 3
y x
y x
2 6
4
1 3
2
y x
y
x
2 3 5
3 7
x y
Trang 4 4 2
2
x y
2x 3y 2
4x 6y 2
Bài 4: Giải hệ phương trình bằng phương pháp cộng đại số
31 11
10
7 11
2
y
x
y
x
7 2
3 3
y x
y x
0 3 2
8 5 2
y x
y x
3 2
3
2 2
3
y
x
y
x
7 3 6
4 2 5
y x
y x
5 6 4
11 3 2
y x
y x
3
2
1 2
3
y
x
y
x
6 15 6
2 5 2
y x
y x
3 4 6
4 2 3
y x
y x
Dạng 2 Giải các hệ phương trình sau bằng cách đặt ẩn số phụ
Bài 1:
1)
1 15 8
12
1 1 1
y x
y x
2)
1 2
3 2
4
3 2
1 2
2
x y y x
x y y x
3)
9 4
5 1 2
4 4
2 1 3
y x
x
y x
x
4)
6 2
3
13
2 2
2 2
y x
y x
5)
11 3
2
16 2
3
y x
y x
6)
10 3
18 4
y x
y x
7)
7 1 2 ) 2 (
3
0 1 )
2 (
2
2 2
y x
x
y x x
8)
13 4 4 5
4 8 4 2
7 2 3 1 5
2 2
y y x
x
y x
Bài 2: Đặt ẩn phụ rồi giải các hệ phương trình sau
5 ) ( 2 )
(
4 ) ( 3 )
(
2
y x y
x
y x y
x
5
1 1 1
5
4 1 1
y x
y x
1 1
3 2 2
2 1
1 2 1
y x
y x
Dạng 3 Giải và biện luận hệ phương trình
Phương pháp giải:
Từ một phương trình của hệ tìm y theo x rồi thế vào phương trình thứ hai để
được phương trình bậc nhất đối với x
Trang 5 Giả sử phương trình bậc nhất đối với x có dạng: ax = b (1)
Biện luận phương trình (1) ta sẽ có sự biện luận của hệ
i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b
- Nếu b = 0 thì hệ có vô số nghiệm
- Nếu b0 thì hệ vô nghiệm
ii) Nếu a 0 thì (1) x =
a
b, Thay vào biểu thức của x ta tìm y, lúc đó hệ phương trình có nghiệm duy nhất
Ví dụ: Giải và biện luận hệ phương trình:
) 2 ( 6 4
) 1 ( 2
m my x
m y mx
Từ (1) y = mx – 2m, thay vào (2) ta được:
4x – m(mx – 2m) = m + 6 (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3)
i) Nếu m2 – 4 0 hay m 2 thì x =
2
3 2 4
) 2 )(
3 2 (
m
m m
m m
Khi đó y = -
2
m
m Hệ có nghiệm duy nhất: (
2
3 2
m
m
;-2
m
m
)
ii) Nếu m = 2 thì (3) thỏa mãn với mọi x, khi đó y = mx -2m = 2x – 4
Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
iii) Nếu m = -2 thì (3) trở thành 0x = 4 Hệ vô nghiệm
Vậy: - Nếu m 2 thì hệ có nghiệm duy nhất: (x,y) = (
2
3 2
m
m
;-2
m
m
)
- Nếu m = 2 thì hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với mọi x R
- Nếu m = -2 thì hệ vô nghiệm
Bài tập: Giải và biện luận các hệ phương trình sau:
1)
1
1 3
m my
x
m y
mx
2)
4
10 4
my x
m y
mx
5 2
1 3 )
1 (
m y x
m my x m
4)
2
3
2
m y
mx
m my
x
5)
2 2
1
1
m y
mx
m my
x
2
) 1 (
2 3 2
m y mx
m y
x
Trang 6DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM
THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải:
Giải hệ phương trình theo tham số
Viết x, y của hệ về dạng: n +
)
(m f
k
với n, k nguyên
Tìm m nguyên để f(m) là ước của k
Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
1 2 2
1 2
m my x
m y mx
HD Giải:
1 2
2
1 2
m
my
x
m
y
mx
m m y m mx
m y mx
2 2
2 2
2 2 4 2
1 2 2
) 1 2 )(
2 ( 2 3 2 )
4
m my
x
m m
m m y m
để hệ có nghiệm duy nhất thì m2 – 4 0 hay m 2
Vậy với m 2 hệ phương trình có nghiệm duy nhất
2
3 1 2
1
2
3 2 2
1 2 4
) 1 2 )(
2
(
2
m m
m
x
m m
m m
m m
y
Để x, y là những số nguyên thì m + 2 Ư(3) = 1 ; 1 ; 3 ; 3
Vậy: m + 2 = 1, 3 => m = -1; -3; 1; -5
Bài Tập:
Bài 1:
Định m nguyên để hệ có nghiệm duy nhất là nghiệm nguyên:
m m y x m
m y x m
2
1 2
) 1 (
2 2
Bài 2:
a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm là (2; -1)
Trang 7
3 2 3 ) 2 (
) 1 ( 2
m ny x m
n m y m mx
HD:
Thay x = 2 ; y = -1 vào hệ ta được hệ phương trình với ẩn m, n
b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + 3 = 0 có hai nghiệm là
x = 1 và x = -2
HD:
thay x = 1 và x = -2 vào phương trình ta được hệ phương trình với ẩn a, b
c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – 3
chia hết cho 4x – 1 và x + 3
HD: f(x) = 2ax2 + bx – 3 chia hết cho 4x – 1 và x + 3 nên Biết nếu f(x) chia hết cho ax + b thì
f(-a
b
) = 0
0 ) 3
(
0 )
4
1
(
f
f
0 3 3 18
0 3 4 8
b a
b a
Giải hệ phương trình ta được a = 2; b = 11
d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + 4 Xác định các hệ số a và b biết rằng
f(2) = 6 , f(-1) = 0
HD:
0
)
1
(
6
)
2
(
f
f
4
2 2 4
b a
b a
3
1
b a
Bài 3:
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2)
HD:
Đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình
2
1 2
b
a
b a
3
1
b a
Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b đi qua hai điểm
Trang 8a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0)
Bài 4:
Định m để 3 đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m và x + 2y = 3 đồng quy
DH giải:
- Tọa độ giao điểm M (x ; y) của hai đường thẳng 3x + 2y = 4 và x + 2y = 3 là
nghiệm của hệ phương trình:
3 2
4 2 3
y x
y x
25 , 1
5 , 0
y
x
Vậy M(0,2 ; 1,25)
Để ba đường thẳng trên đồng quy thì điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m m = -0,85
Vậy khi m = -0,85 thì ba đường thẳng trên đồng quy
Định m để 3 đường thẳng sau đồng quy
a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – 1
b) mx + y = m2 + 1 ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – 5 ;
(2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – 2
Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x;y) thỏa mãn hệ thức cho
trước
Cho hệ phương trình:
8
9 4
my x
y mx
Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
2x + y +
4
38
2
HD Giải:
- Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm duy nhất: m 2
- Giải hệ phương trình theo m
8
9
4
my
x
y
mx
m y m mx
y mx
8
9 4
8
9 8 ) 4 ( 2
my x
m y m
32 9 4
9 8
2
m x m m y
Trang 9- Thay x =
4
32 9
2
m
m
; y =
4
9 8
2
m
m
vào hệ thức đã cho ta được:
2.
4
32 9
2
m
m
+
4
9 8
2
m
m
+
4
38
2
=> 18m – 64 +8m – 9 + 38 = 3m2 – 12
3m2 – 26m + 23 = 0
m1 = 1 ; m2 =
3
23 (cả hai giá trị của m đều thỏa mãn điều kiện)
Vậy m = 1 ; m =
3 23
BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1:
Cho hệ phương trình
4
10 4
my x
m y
mx
(m là tham số) a) Giải hệ phương trình khi m = 2
b) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
c) Xác định các giá trị nguyên của m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) sao cho x> 0, y > 0
d) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm (x;y) với x, y là các số nguyên dương
Bài 2:
Cho hệ phương trình :
5 2
1 3 )
1 (
m y x
m my x m
a) Giải và biện luận hệ phương trình theo m
b) Với giá trị nguyên nào của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV của hệ tọa độ Oxy
c) Định m để hệ có nghiệm duy nhất (x ; y) sao cho P = x2 + y2 đạt giá trị nhỏ
nhất
Bài 3:
Trang 10Cho hệ phương trình
m y x
y x
2
4 2 3
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Tìm m nguyên sao cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < 1
c) Với giá trị nào của m thì ba đường thẳng
3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = 3 đồng quy
Bài 4:
Cho hệ phương trình:
8
9 4
my x
y mx
a) Giải hệ phương trình khi m = 1
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Với giá trị nào của m thì hệ có nghiệm duy nhất, vô nghiệm
Bài 5:
Cho hệ phương trình:
4 3
9
y mx
my x
a) Giải hệ phương trình khi m = 3
b) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (-1 ; 3)
c) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m d) Với giá trị nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức:
x - 3y =
3
28
2
m - 3 Bài 6:
Cho hệ phương trình:
5 my x
2 y mx
a) Giải hệ phương trình khi m 2
b) Tìm giá trị của m để hệ phương trình đã cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn
hệ thức
3 m
m 1 y
x
2
2
Bài 7:
Trang 11Cho hệ phương trình
16 2
9 3
y mx
my x
a) Giải hệ phương trình khi m = 5
b) Chứng tỏ rằng hệ phương trình luôn luôn có nghiệm duy nhất với mọi m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6)
d) Tìm giá trị nguyên của m để hai đường thẳng của hệ cắt nhau tại một điểm nằm trong góc phần tư thứ IV trên mặt phẳng tọa độ Oxy
Với trị nguyên nào của m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y = 7
Bài toán 8: Cho hệ phương trình
1
2 2
m my x
m y mx
a) Giải hệ khi m=-1
b)Tìm m để hệ có vô số nghiệm trong đó có nghiệm x=1; y=1
Bài toán 9: Giải và biện luận hệ phương trình sau theo m
3 2
1 2
my x
m y mx
Bài toán 10: Cho hệ phương trình
3 2 3
1
m my mx
my x
a) Giải hệ khi m=-3
b) Giải và biện luận hệ đã cho theo m
Bài toán 11: Cho hệ phương trình
1 2
2
y mx
my x
a) Giải hệ khi m=2
b)Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) mà x>0; y<0
c) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) nguyên
Bài toán 12: Cho hệ phương trình
5 2 3
2
y x
m y x
(m là tham số nguyên) Xác định m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) mà x>0;y<0
Bài toán 13: Cho hệ phương trình
5 3
2
my x
y mx
a) Giải và biện luận hệ đã cho theo m
Trang 12b) Tìm điều kiện của tham số m để hệ có nghiệm duy nhất (x,y) thoả mãn hệ thức
3
1
2
2
m
m
y
x
Bài toán 14: Cho hệ phương trình
2 ) 1 (
1 2
y m x
m my mx
a) CMR nếu hệ có nghiệm duy nhất (x;y) thì điểm M(x;y) luôn thuộc một đường thẳng cố định khi m thay đổi
b) Xác định m để M thuộc góc phần tư thứ nhất
c) Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính là 5
Bài toán 15: Với giá trị nào của số nguyên m thì hệ phương trình
m my x
m y
Có nghiệm duy nhất (x;y) với x; y là số nguyên
Bài toán 16: Cho hệ phương trình
1 2
1 2
y mx
my x
a) Giải và biện luận hệ đã cho theo m
b) Tìm số nguyên m để hệ có nghiệm duy nhất (x;y) với x; y nguyên
c) CMR khi khi hệ có nghiệm duy nhất (x;y) Điểm M(x;y) luôn chạy trên một đường thẳng cố định
d) Xác định m để M thuộc đường tròn có tâm là gốc toạ độ và bán kính là
2 2
Bài toán 17: Giải và biện luận các hệ sau theo m
a)
2 2 )
(
3 ) 1 (
3
2 2
y y
x
m
y m x
m
b)
m y
x
m y x
2
1 2
c)
m y x
my
Bài toán 18: Cho hệ phương trình
1 3
5 2
y mx
y mx
a) Giải hệ khi m=-1
b) Giải và biện luận hệ đã cho theo m
Bài toán 19: Cho hệ phương trình
m y x
y
a) CMR khi m=1 hệ đã cho có vô số nghiệm
b) Giải hệ khi m khác 1