vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10vào lớp 10
VẤN ĐỀ 3: HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN SỐ A MỤC TIÊU: Học sinh nắm ax + by = c - Khái niệm hệ phương trình bậc hai ẩn: / / / a x + b y = c Cách giải - Một số dạng toán hệ phương trình bậc hai ẩn B NỘI DUNG: I: CÁCH GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN Dạng 1: Giải hệ phương trình có đưa dạng 1.- Vận dụng quy tắc quy tắc cộng đại số để giải hệ phương trình sau: Giải hệ phương trình phương Giải hệ phương trình phương pháp pháp 3 x − y = ⇔ 2 x + y = cộng đại số 3 x − 2(5 − x ) = y = − 2x 3 x − y = ⇔ 2 x + y = 3 x − 10 + x = 7 x = 14 ⇔ ⇔ y = − 2x y = − 2x 3 x − y = ⇔ 4 x + y = 10 7 x = 14 2 x + y = x = x = ⇔ ⇔ 2 + y = y = x = x = ⇔ ⇔ y = − 2 y = Vậy hệ phương trình cho có Vậy hệ phương trình cho có nghiệm nghiệm (x;y) = (2;1) (x;y) = (2;1) 2.- Bài tập: Bài 1: Giải hệ phương trình 4 x − y = 6 x − y = 1) 2 x + y = 4 x + y = 10 2) x − (1 + ) y = 5) (1 − ) x + y = 3 x − y + = 5 x + y = 14 3) 0,2 x + 0,1 y = 0,3 6) 3 x + y = 2 x + y = 3 x − y = 14 4) x = 7) y x + y − 10 = Bài 2: Giải hệ phương trình sau: (3x + 2)(2 y − 3) = xy (4 x + 5)( y − 5) = xy 2) 2( x + y ) + 3( x − y ) = ( x + y ) + 2( x − y ) = 3) (2 x − 3)(2 y + 4) = x( y − 3) + 54 ( x + 1)(3 y − 3) = y ( x + 1) − 12 y + 27 y − 5x +5= − 2x 4) x + + y = y − 5x 1 ( x + )( y + ) − xy = 50 2 5) xy − ( x − 2)( y − 2) = 32 2 6) 1) ( x + 20)( y − 1) = xy ( x − 10)( y + 1) = xy Dạng Giải hệ phương trình sau cách đặt ẩn số phụ Bài tập: 1 1 x + y = 12 1) + 15 = x y x + y + y + 2x = 2) − =1 x + y y + x 3 x + y = 16 x + y = 13 4) 5) 3 x − y = −6 2 x − y = −11 3x x +1 − y + = 3) 2x − = x + y + x + y = 18 3 x + y = 10 6) 5 x − − y + = 2( x − x) + y + = 7) 3( x − x ) − y + = −7 8) 2 x − x + + y + y + = 13 Dạng Giải biện luận hệ phương trình Phương pháp giải: • Từ phương trình hệ tìm y theo x vào phương trình thứ hai để phương trình bậc x • Giả sử phương trình bậc x có dạng: ax = ⇔ b (1) • Biện luận phương trình (1) ta có biện luận hệ i) Nếu a = 0: (1) trở thành 0x = b - Nếu b = hệ có vô số nghiệm - Nếu b ≠ hệ vô nghiệm ii) Nếu a ≠ (1) ⇒ x = b , Thay vào biểu thức x ta tìm y, lúc hệ a phương trình có nghiệm mx − y = 2m(1) 4 x − my = m + 6(2) Ví dụ: Giải biện luận hệ phương trình: Từ (1) ⇒ y = mx – 2m, thay vào (2) ta được: 4x – m(mx – 2m) = m + ⇔ (m2 – 4)x = (2m + 3)(m – 2) (3) i) Nếu m2 – ≠ hay m ≠ ± x = Khi y = - (2m + 3)(m − 2) 2m + = m+2 m2 − m 2m + m Hệ có nghiệm nhất: ( ;) m+2 m+2 m+2 ii) Nếu m = (3) thỏa mãn với x, y = mx -2m = 2x – Hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R iii) Nếu m = -2 (3) trở thành 0x = Hệ vô nghiệm Vậy: - Nếu m ≠ ± hệ có nghiệm nhất: (x,y) = ( 2m + m ;) m+2 m+2 - Nếu m = hệ có vô số nghiệm (x, 2x-4) với x ∈ R - Nếu m = -2 hệ vô nghiệm Bài tập: Giải biện luận hệ phương trình sau: mx + y = 3m − mx + y = 10 − m 2) x + my = m + x + my = (m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + 1) 3) x + my = 3m x − my = + m 4) 5) mx + y = + m mx − y = m − 6) 2 x − y = + m mx + y = (m + 1) DẠNG 4: XÁC ĐỊNH GIÁ TRỊ CỦA THAM SỐ ĐỂ HỆ CÓ NGHIỆM THỎA MÃN ĐIỀU KIỆN CHO TRƯỚC Phương pháp giải: • Giải hệ phương trình theo tham số k • Viết x, y hệ dạng: n + f (m) với n, k nguyên • Tìm m nguyên để f(m) ước k Ví dụ1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: mx + y = m + 2 x + my = 2m − HD Giải: mx + y = m + ⇔ 2 x + my = 2m − 2mx + y = 2m + 2 2mx + m y = 2m − m (m − 4) y = 2m − 3m − = ( m − 2)(2m + 1) ⇔ 2 x + my = 2m − để hệ có nghiệm m2 – ≠ hay m ≠ ± Vậy với m ≠ ± hệ phương trình có nghiệm (m − 2)(2m + 1) 2m + = = 2− y = m+2 m+2 m −4 x = m − = − m+2 m+2 Để x, y số nguyên m + ∈ Ư(3) = {1;−1;3;−3} Vậy: m + = ± 1, ± => m = -1; -3; 1; -5 Bài Tập: Bài 1: Định m nguyên để hệ có nghiệm nghiệm nguyên: (m + 1) x + y = m − 2 m x − y = m + m Bài 2: a) Định m, n để hệ phương trình sau có nghiệm (2; -1) 2mx − (m + 1) y = m − n (m + 2) x + 3ny = 2m − HD: Thay x = ; y = -1 vào hệ ta hệ phương trình với ẩn m, n b) Định a, b biết phương trình ax2 -2bx + = có hai nghiệm x = x = -2 HD: thay x = x = -2 vào phương trình ta hệ phương trình với ẩn a, b c) Xác định a, b để đa thức f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + HD: f(x) = 2ax2 + bx – chia hết cho 4x – x + nên Biết f(x) chia hết b a cho ax + b f(- ) = a b f( ) =0 + −3= ⇔ 8 Giải hệ phương trình ta a = 2; b = 11 f (−3) = 18a − 3b − = d) Cho biểu thức f(x) = ax2 + bx + Xác định hệ số a b biết f(2) = , f(-1) = HD: f (2) = 4a + 2b = ⇔ ⇔ f (−1) = a − b = −4 a = −1 b = Bài 3: Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) HD: Đường thẳng y = ax + b qua hai điểm A(2 ; 1) ; B(1 ; 2) ta có hệ phương trình 2 a + b = ⇔ a + b = a = −1 b = Xác định a, b để đường thẳng y = ax + b qua hai điểm a) M(1 ; 3) ; N(3 ; 2) b) P(1; 2) ; Q(2; 0) Bài 4: Định m để đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m x + 2y = đồng quy DH giải: - Tọa độ giao điểm M (x ; y) hai đường thẳng 3x + 2y = x + 2y = 3 x + y = x = 0,5 ⇔ Vậy M(0,2 ; 1,25) x + y = y = 1,25 nghiệm hệ phương trình: Để ba đường thẳng đồng quy điểm M thuộc đường thẳng 2x – y = m, tức là: 2.0,2- 1,25 = m ⇔ m = -0,85 Vậy m = -0,85 ba đường thẳng đồng quy Định m để đường thẳng sau đồng quy a) 2x – y = m ; x - y = 2m ; mx – (m – 1)y = 2m – b) mx + y = m2 + ; (m +2)x – (3m + 5)y = m – ; (2 – m)x – 2y = -m2 + 2m – Bài 5: Định m để hệ phương trình có nghiệm (x;y) thỏa mãn hệ thức cho trước mx + y = x + my = Cho hệ phương trình: Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: 38 =3 m −4 2x + y + HD Giải: - Điều kiện để hệ phương trình có nghiệm nhất: m ≠ ± - Giải hệ phương trình theo m 8m − y= mx + y = (m − 4) y = 8m − mx + y = m −4 ⇔ ⇔ ⇔ x + my = mx + m y = 8m x + my = x = 9m − 32 m2 − - Thay x = 9m − 32 8m − ;y= vào hệ thức cho ta được: m −4 m −4 9m − 32 8m − 38 + + =3 m −4 m −4 m −4 => 18m – 64 +8m – + 38 = 3m2 – 12 ⇔ 3m2 – 26m + 23 = ⇔ m1 = ; m = Vậy m = ; m = 23 (cả hai giá trị m thỏa mãn điều kiện) 23 BÀI TẬP TỔNG HỢP Bài 1: mx + y = 10 − m (m tham số) x + my = Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo m c) Xác định giá trị nguyên m để hệ có nghiệm (x;y) cho x> 0, y > d) Với giá trị m hệ có nghiệm (x;y) với x, y số nguyên dương Bài 2: (m − 1) x − my = 3m − 2 x − y = m + Cho hệ phương trình : a) Giải biện luận hệ phương trình theo m b) Với giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV hệ tọa độ Oxy c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) cho P = x + y2 đạt giá trị nhỏ Bài 3: 3 x + y = 2 x − y = m Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm m nguyên cho hệ có nghiệm (x; y) với x < 1, y < c) Với giá trị m ba đường thẳng 3x + 2y = 4; 2x – y = m; x + 2y = đồng quy Bài 4: mx + y = x + my = Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Với giá trị m hệ có nghiệm nhất, vô nghiệm Bài 5: x + my = mx − y = Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Với giá trị m để hệ có nghiệm (-1 ; 3) c) Chứng tỏ hệ phương trình luôn có nghiệm với m d) Với giá trị m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn hệ thức: x - 3y = 28 -3 m +3 Bài 6: mx − y = 3x + my = Cho hệ phương trình: a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giá trị m để hệ phương trình cho có nghiệm (x; y) thỏa mãn hệ thức x + y = − m2 m2 + Bài 7: 3x − my = −9 mx + y = 16 Cho hệ phương trình a) Giải hệ phương trình m = b) Chứng tỏ hệ phương trình luôn có nghiệm với m c) Định m để hệ có nghiệm (x ; y) = ( 1,4 ; 6,6) d) Tìm giá trị nguyên m để hai đường thẳng hệ cắt điểm nằm góc phần tư thứ IV mặt phẳng tọa độ Oxy e) Với trị nguyên m để hệ có nghiệm (x ; y) thỏa mãn x + y =