chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào 10

Chuyên đề: hệ phương trình ôn thi vào 10 Tài liệu được sưu tầm và biên soạn từ các đề thi vào 10 trong toàn quốc tài liệu giải chi tiết và phân loại rõ ràng các dạng toán từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tap

Tài liệu luyện thi vào 10

HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài 1. Giải các hệ phương trình sau:

−

16 5

10 3

y

x

y x

12 3

2

8 2 3

y x

= +

0 6 0 2

4 2

y x

y x

−

= +

10 4

7 2

y x

= + 9 7

5 2

y x

2 2

y x

y x

−

=

−

5 2

18 5

8 3

7 3 5

y x

=

− +

0 4 6 9

0 2 2 3

y x

y x

16 5

2

6 3

−

= +

−

10 4 3

3 2

y x

2 2

y x

y x

=

−

9 3

3

3 3 2

y

x

y x y

= +

6 3

2

y x

= +

18 9 2

4 2

y x

y x

−

=

−

1 2

3 4

2

y x

−

=

−

5 4 3

5 2

y x

−

= +

−

3

3 2

y x

y x

= +

7

) 1 ( 2

y x y

x

x y

=

− 5 4

12 2 3

y x

=

−

5 2

0

y x

y x

+

−

= +

10 3

6

) ( 5

2

y y

x

y x y

=

− 6 2 5

10 2

y x

0 2

y x

y x

9

2 3

y x

10 2 5

y x

= +

−

3 2

3

y x

y x

1 3

2

7 5

12 3

4

8 2 3

y x

2

y x

y x

−

= +

−

1 2

10 3

−

−

= +

12 2 4

20 3 2

y x y x

x y

= +

3 2 6

2 3

y x

y x

3 2

3

2 3

1 5

y x

6 3 2

y x

y x

3 2

−

= +

−

= +

5 3

) ( 5

2 3

y x y

x

x y

4 3 2

6 2 3

y x

y x

CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PT

= +

5 2

7 2

y x

1 5 2

y x

2 2

y x

y x

−

=

−

1 2

3

5 2

5 2

y x

5 2

y x

y x

=

−

1 3

4

12 2

−

= +

−

−

= +

−

8 ) ( 3 5

) 1 ( 4 2

y x y x

x y

= + 12 2 5

8 2 3

y x

y x

= +

−

22 2

3

22 3

8 2 3

1

y x

= + 1 3 2

5 3 2

y x

y x

= +

5 2

0 3

4 2

3 0

y x

5 3 2

y x

y x

Bài 2. Giải các hệ phương trình sau:

2

1 1

=

−

+ +

1 3 2

3 1 1

y x y x

y x y x

=

−

−

1 2

1 3

2 2

2 1

y x

y x

+

= +

+

1

5 1

2

1

3 1

2

y x

y x

−

−

= +

+

−

1 , 0 9 4

1 , 1 6 2

y x y x

y x y x

− +

= +

+ +

3 1 2

5 3

y x y x x

y x y x x

3 2

2

2 1

1 2

1

y x

y x

+ +

= +

+ +

1 1

3 1

3 1 1

2

y

y x

x y

y x

−

−

−

= +

+

−

−

2 2

10 4

2 2

2 3

y x y x

y x y x

3 2

2

2 1

2 2

2

y x

y x

= +

15

2 5

1 6 1

4

3 1 1

y x

y x

−

2 12

1 12

y

x x

x y

x y x

Bài 3. Cho hệ phương trình:

1 2

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải và biện luận hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Bài 4. Cho hệ phương trình:

( ) ( )

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìmgiá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2 x 3 y

x y

− + nhận giá trị nguyên.

Vậy với m ≠ - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

3 x

2 m

4 m y

+) Với m = - 2 thì hệ phương trình vô nghiệm

+) Với m ≠ - 2 thì hệ có nghiệm duy nhất

3 x

2 m

4 m y

đã cho có nghiệm duy nhất

Từ (1) => y =

7m p

m 2

− + , thay vào x = 7 – y => x = 7 -

Vậy khi m ≠ − 2 thì hệ phương trình có nghiệm duy nhất (

b) Nếu m = - 2 => Phương trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p

Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = 0 <=> p = - 14

Vậy khi m = - 2 và p = - 14 thì hệ vô số nghiệm

c) Nếu m = - 2 và p ≠ − 14 thì phương trình(1) vô nghiệm nên hệ vô nghiệm

Bài 7. Cho hệ phương trình :

Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (1) và giải

Thay x = x0; y = y0 lần lượt vào (2) và giải

Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào cả hai phương trình và giải hệ phương trình chứa

Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có:

3 – 2.(- 2) = 7⇔ 3 + 4 = 7 (luôn đúng với mọi n)

Vậy (2; 1) là nghiệm của (1)

Vậy với n = 0 hoặc n = 11 thì hệ đã cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2)

Bài 9. Cho hệ phương trình

2

2

1 5m(m 1)x my (1 2m) (1)

3 4mx 2y m 3m 6 (2)

Từ (I) và (II) ⇒ Với m = 1 thì hệ pt có nghiệm (x = 1 ; y = 3)

Bài 10. Cho hệ phương trình :

Giải: Thay x = 3; y = - 1 vào hệ pt ta có:

Vậy với m = 2 và n = 5 thì hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1)

Bài 11. Cho hệ phương trình

4x – 2y = - 6 (3)Giải:

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất:

Bài 12. Cho hệ phương trình

mx y 5 (1) 2mx 3y 6 (2)

+ =



 + =

Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất thoả mãn:

(2m – 1)x + (m + 1)y = m (3)Giải:

Điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất: m.3≠2.m ⇒m ≠ 0

Từ (1) ⇒ y = 5 – mx Thay vào (2) ta có:

2mx + 3(5 - mx) = 6 ⇔ x =

9

m (m≠0)Thay x =

Giải:

Từ (2) ta có: y = mx – 1 Thay vào (1) ta đợc:

(m + 2)x + 2(mx - 1) = 5 ⇔ 3mx + 2x = 7

⇔ x.(3m + 2) = 7 (m ≠

2 3

−) ⇔ x = +

7 3m 2

Thay vào y = mx – 1 ⇒ y = +

7 3m 2.m – 1 ⇒ y = 4m 2 3m 2 + −

Để x∈Z ⇔ +

7 3m 2 ∈ Z ⇔3m + 2 ∈ Ư(7) = { 7; 7;1; 1 − − }

4m 2 3m 2 ⇒ y = 2 (t/m) Thay m = - 1 vào y =

− +

4m 2 3m 2 ⇒ y = 6 (t/m)Kết luận: m∈Z để hệ có nghiệm nguyên là m = -3 hoặc m = -1

Bài 14. Cho hệ phương trình :

24 6m

6 m

−

− ⇒ y = 18 (t/m)Thay m = 4 vào y =

24 6m

6 m

−

− ⇒ y = 0 (t/m)Thay m = 8 vào y =

24 6m

6 m

−

− ⇒ y = 17 (t/m)Thay m = 2 vào y =

24 6m

6 m

−

− ⇒ y = 3 (t/m)Thay m = 10 vào y =

24 6m

6 m

−

− ⇒ y = 9 (t/m)Kết luận: Để hệ có nghiệm nguyên thì m ∈ { 5;7;4;8;2;10 }

Bài 15. Cho hệ phương trình :

2 2

mx y m 2x my m 2m 2

<=>

a' ≠ b'

hay ab' a'b ≠ <=> m.m ( 1).2 ≠ − <=> m2 + 2 ≠ 0

Do m2 ≥ 0 với mọi m ⇒ m2 + 2 > 0 với mọi m

Hay m2 + 2 ≠ 0 với mọi m

Vậy hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

(1)

(2)

khi m =

5 2

−

Bài 16. Cho hệ phương trình :

2 2

3mx y 6m m 2 (1) 5x my m 12m (2)

Vậy MaxA = 16 khi m = 2

Bài 17. Biết cặp số (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình

Hãy tìm giá trị của tham số m để biểu thức P = xy + 2(x + y) đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn: Biến đổi hệ phương trình trên trở thành:

Vậy MinP = - 4 <=> m = - 1 (thỏa mãn − ≤ 2 m 2 ≤ )

Bài 18. Giả sử (x ; y) là nghiệm của hệ phương trình

4 − 2

<=> a =

2 2

2

−

và Max(xy) =

3 2 11

4 + 2

<=> a =

2 2

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Giải hệ phương trình theo tham số m

c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = 1

d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

Giải:

a) Thay m = 2 vào hệ phương trình

1 2

y x

y x

Ta có hệ phương trình

1 2

+) Nếu m = 1, thay vào hệ phương trình ta có:

m x

m

m m x

2

2 1

1 2

1

m m y

m m x

y

m m x

m y

m m x

Nếu m = ± 1 thì hệ phương trình vô nghiệm

Nếu m ≠ ± 1 thì hệ phương trình có một nghiệm duy nhất

Với m = - 1 (loại) và m = 0 (nhận)

Vậy với m = 0 thì hệ phương trình trên có nghiệm thoả mãn điều kiện:

x - y = 1d) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m.

Xét hệ phương trình

1 2

12

a) Giải hệ phương trình khi m = 3

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x và y không phụ thuộc vào m

c) Giải và biện luận hệ theo m, trong trờng hợp hệ có nghiệm duy nhất tìmgiá trị của m thoả mãn: 2x2 - 7y = 1

d) Tìm các giá trị của m để biểu thức

2 x 3 y

x y

− + nhận giá trị nguyên.

(Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005)Giải:

a) Thay m = 3 vào hệ phương trình

( ) ( )

2 2

3

x y

x y

x y

12

m x m m

=

2 2 3

1 1

m m m m

+ − + +

m m

−+ =

( )

2

m m

+ − +

52

2

m

−+

Để biểu thức A =

2 x 3 y

x y

− + nhận giá trị nguyên ⇔ 2−m5+2 nhận giá trị nguyên

m m m m

Kết hợp với điều kiện m ≠ 0; m ≠ 2 ta thấy các giá trị m trên đều thỏa mãn

Vậy với m ∈ − − − { 7; 3; 1;3 } thì giá trị của biểu thức 2 x y x + − 3 y nhận giá trị nguyên

Bài 22. Cho hệ phương trình :

a) Chứng minh rằng hệ luôn có nghiệm duy nhất

b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

hay ab' a'b ≠

- Để hệ có nghiệm duy nhất ta xét hiệu:

2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + 3 > 0 với mọi m

- Vậy 6m2 + 3 ≠0 với mọi m Hay hệ luôn có nghiệm duy nhất với mọi m

b) Rút m từ (1) ta đợc m =

5 3y 2x

Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y không phụ thuộc vào m

Bài 23. Cho hệ phương trình :

2 2

2 2

6mx 2y 6m 4m 2 3x 3my 6m

6x 3y 4 6x 3y 4

− + − + Đây chính là hệ thức liên hệ giữa x, y

không phụ thuộc vào m

Bài 24. Cho hệ phương tŕnh ẩn x, y sau:

2 1

a Xác định giá trị của m để hệ có nghiệm duy nhất

b Giả sử (x ; y) là nghiệm duy nhất của hệ TTm hệ thức liên hệ giữa x, y độclập với m

Với m ≠ ± 1 thT hệ phương trỡnh có nghiệm duy nhất

b/ Rút m từ phương trỡnh thứ nhất và thế vào phương trỡnh thứ hai ta được hệ thức

Bài 25. Cho hai hệ phương trình

x y a ax 2y 6 (I ) vµ (II )

a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tơng đơng

b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình không tơng đơng

Hướng dẫn:

a) Thay a = 2 vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm của chúng : S = S’ = ∅

=> Hai hệ phương trình tơng đơng

b) Thay a = 5 vào hệ (I) => S = ∅

Thay a = 5 vào hệ (II), hệ có nghiệm duy nhất => S’ = { ( 4 1; ) }

3 3

Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phương trình trên không tơng đơng

Bài 26. Tìm giá trị của m, n để hai hệ phương trình sau tơng đơng

(I ) vµ (II ) 4x 5y 17 3mx 2ny 10

Trớc hết giải hệ (I) đợc kết quả nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1)

Hai hệ phương trình trên tương đươngkhi hệ (II) cũng có nghiệm duy nhất (x = 3 ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = 3 ; y = 1 vào hệ (II)

1

y x

y mx

Đáp án: Hệ phương trình vô nghiệm ⇔m =

23

Bài 28. Cho phương trình







= +

= +

−

1 3

1 2 ) 1 (

ay x

y x a

(I)

a Giải hệ (I) với a = 3 1 +

b Tìm các giá trị của a để hệ (I) vô nghiệm

1)13(3

123

y x

y x

=+

−

123

0]3)[

31

(

y x

b Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = 4

Bài 29. Cho hệ phương trình: ( )

1 3 1

m y x

m my x m

2

1

y

x y

+ Khi m = -1 thì hệ có vô số nghiệm , không thoả mãn ĐK bài toán

+ Khi m ≠ -1 thì hệ có nghiệm duy nhat

1

m y

m x

b ay x

a, Có nghiệm là x =1, y = 2 b, Có vô số nghiệm

1 2

2 2

b a

b a

−

b a

Bài 31. Cho hệ phương trình 2 2

a Giải hệ phương trình với m = − 1

b Với giá trị nào của m thì hệ phương trình đã cho vô nghiệm

3 8 3 4 2

4

m y

m x m y x

y x

m x m

y x

y x 2

0

hệ này vô nghiệm khi y = m ≥ 2 (**)

Từ (*) và (**) , hệ đã cho vô nghiệm thì phải có m > 2

Bài 32. Cho hệ phương trình ( )

( )

1 1 2

a Giải và biện luận hệ phương trình

b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm nguyên

Đáp án: a Từ (1) ta có y = mx - 1 thế vào (2) ta được:

x + m(mx - 1) = m

1 m

m 2 x m 2 x ) 1 m

1 m

1 m

2 1

1

m x

m m y

= +

1

1

m my x

m y mx

a Với giỏ trị nào của m thì hệ cú nghiệm duy nhat thoả món điều kiện y ≥

Với 1 ≤ m ≤ 2 => z =

1

2)1(2

+

−+

3 2 3

1

a ay ax

ay x

Đáp án: Từ phương trình x + ay = 1 ta thế x = 1 – ay vào phương trình ax – 3 ay

= 2a + 3

Ta được a ( 1 – ay ) – 3ay = 2a + 3⇔ a − a2y − 3 ay = 2 a + 3 ⇔ − ( a2+ 3 a ) y = a + 3 ( 1 )

Hệ vô nghiệm ⇔phương trình (1) vô nghiệm ⇔







≠ +

= +

−

0 3

0 ) 3 ( 2

a

a a

Đáp án: a Thay a = 2 vào hệ phương trình được:

−

=

−

1 2 2

2 2

2

y x

y x

⇔

4 2

2 2 3

2 3 2

1 ( 2

) 1 ( 2

a x

x

a x

=

− 5 my x

2 y mx

a) Giải hệ phương trình khi m = 2

b) Tìm giỏ trị của m để hệ phương trình đó cho cú nghiệm (x; y) thỏa

món hệ thức

3 m

m 1 y

=

− 5 y 2 x

2 y x

5

5 2 2 x

b) Giải theo m được:

3 m

6 m 5 y

; 3 m

5 m 2

+

−

= +

+

=

Thay vào hệ thức

3 m

m 1 y

m 1 3 m

6 m 5 3 m

5 m 2

2

2 2

− + +

=

− +

0

0

2 2

m my x

x y x

a Giải hệ phương trình khi m = 1

b Tìm m để hệ phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt.

c Gọi (x1; y1) và ( x2; y2 ) là nghiệm của hệ đã cho CMR: (x2- x1 )2 + ( y2

=

− +

) 2 ( 0

) 1 ( 0

2 2

m my x

x y x

1

10

1)

b Từ x = m - my ⇒ mỗi giá trị y tương ứng với 1 giá trị x

⇒ Để hệ có 2 nghiệm phân biệt thì (3) phải có 2 nghiệm phân biệt

Vậy với m ∈ (0;

3

4) thì hệ có 2 nghiệm phân biệt

c Với m ∈ (0;

3

4) thì phương trình (3)có 2 nghiệm phân biệt y1, y2 thoã mãn:

1 1

my m x

my m x

) 1 2 (

2 2

Bài 38. Cho hệ phương trình:







= +

= +

m y x y

x2 2 4

= + 2

4

2 2

y x

y x

0

y x

b Để hệ phương trình đã cho có nghiệm khi phương trình: x2 + (m – x)2 = 4 có nghiệm ⇔2x2 −2mx+m2 −4=0 có nghiệm

= + +

−

1 2

1 1

a y x

a y

≥

= +

⇔

1 2

0 ,

2

2 v a u

v u a v

≥

=+

⇔

1221

0,1

22

0,

2 2

a a uv

v u a v u a

uv v

u

v u a v u

Khi đó để hệ có nghiệm khi và chỉ khi a ≥ 0,

0120

2 2

a a

Bài 41. Cho hệ phương trình ( m 1 x y 2 )

mx y m 1



 + = +

a Giải hệ phương trình với m = 2;

b Chứng minh rằng với mọi giỏ trị của m thì hệ phương trình luụn cúnghiệm duy nhat

b Hệ phương trình đã cho tương đương với hệ :

Khi đó, ta có : 2x + y = 2(m – 1) + 1 + 2m – m2 = - 1 + 4m - m2 = 3 – (m –2)2≤ 3 ∀m

Vậy với mọi m hệ phương trình đã cho luôn có nghiệm duy nhat (x ; y) thoả món2x + y ≤ 3

Bài 42. Cho hệ phương trình: ( )

a Với giá trị nào của m thì hệ phương trình vô nghiệm

b Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có vô số nghiệm? Khi đó hãy tìm dạng tổng quát nghiệm của hệ phương trình

c Với giá trị nào của m thì hệ phương trình có nghiệm duy nhat

Đáp án: a) Từ (1) => y = 3x + m thay vào (2) => 3x(3 - m2) = m3 -3 3(*)

Ví i m = - 3 th× (*) cã d¹ng: 0x = -6 3 ph ¬ng tr×nh v« nghiÖm.

b)Ví i m = 3 th× (*) cã d¹ng: 0x = 0 ph ¬ng tr×nh v« sè nghiÖm

x = x nguyªn 3 - 2m 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6

3 - 2m 3 - 2m 3 - 2m