chuyên đề hệ phương trình ôn thi vào 10

Chuyên đề: hệ phương trình ôn thi vào 10 Tài liệu được sưu tầm và biên soạn từ các đề thi vào 10 trong toàn quốc tài liệu giải chi tiết và phân loại rõ ràng các dạng toán từ dễ đến khó từ đơn giản đến phức tap

Tài liệu luyện thi vào 10 CHUYÊN ĐỀ 2: HỆ PT HỆ PHƯƠNG TRÌNH Bài Giải hệ phương trình sau: − x + y = −10   x − y = 16 19 3 x + y =  2 x − y = −12 37 2 x + y =  2 x + y − = 2 x + y =  − x + y = 10 20 2 x + y =  x + y = 38 x − y =  2 x − y = 3 x − y = −18  x + y = 21 5 x + y = −7  3 x − y = −8 39 3 x + y − =  9 x + y − =  x + y = −6  2 x − y = 16 22 − x + y = −3  3 x + y = 10 40 2 x − y =  4 x − y − = 2 x − y = x + y +  3 x − y = 23 x + y =  x + y = 41 x + y =  2 x + y = 18 2 x − y =  − x + y = 24  x − y = −5  3x + y = −5 42  − x + y = −3  x + y =  x + y = −2( x − 1)  7 x + y = x + y + 25 3x − y = 12  4 x + y = 43 x − y =  2 x + y = −5 2 x + y = − ( x + y )  6 x + y = y − 10 26 2 x − y = 10  5 x + y = 44 2 x + y =  x − y = 3 x + y = −2  − x − y = 27 5 x − y = 10  5 x − y = 45 − x + y =  x + y = 10 2 x + y =  2 x − y = −1 28 3 x + y =  4 x − y = −12 46 x − y =  3x − y = 11 − x + y = −10   x + y = −1 29 2 x + y = −3 x − 20  4 x + y = x − y − 12 47 3 x + y =  6 x + y = 12  x + y = −2  3 x − y = −3 30 5 x − y =  10 x − y = 48 2 x − y =  4 x − y = 12 13 2 x − y =  3 x + y = 31 3 x + y = − x  5( x + y ) = −3 x + y − 49 3 x + y =  2 x − y = 14 2 x + y =  − x + y = −5 32 2 x − y =  4 x − 10 y = 50  x + y = −2  2 x − y = 15  x − y = −5  3 x + y = 33 2 x + y =  x − y = 51 2 x + y =  3 x − y = 15 16 3 x − y = 12  4 x + y = −1 34 − x + y = −4( x − 1)  5 x + y = −( x + y ) + 52 3 x + y =  5 x + y = 12 17 − x + y = 22  3 x + y = 22 35  x + y = −1  3 x − y = −8 53 2 x + y =  2 x + y = 18 3 x + y =  x + y = 36 0 x + y =   x − y = −4 54 2 x − y =  4 x − y = 10 Bài Giải hệ phương trình sau: 1 x − y =1   2 + =  x y  x + y + x − y =    − =1  x + y x − y 1 x − y − =   3 + =1  x y − 2  x +1 +    +  x + 6   x − y + x + y = 1,1    − = 0,1  x − y x + y 10  x x + y + x + y =    2x − =  x + y x + y  x − + y −1 =    − =1  x − y − y  2x x +1 + y +1 =    x + y = −1  x + y + 11  −3  x − y + x + y = −2    − 10 =  x − y x + y  x − + y −1 =    − =1  x − y − 1 x + y =   1 + =  x y 15 12 x x  y − y + 12 =    x − x =2  x − 12 y Bài 3 =1 y =1 y  mx + y =  x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m ( m − 1) x + y = m   x + ( m − 1) y = Cho hệ phương trình:  Bài có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 2x − 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên mx + y =  2x − y = Giải biện luận hệ theo m Cho hệ pt:  Bài Bài làm: (2 + m)x = (1) 2x − y =   (2) mx + y = ⇔ 2x − y = + Xét phương trình (1) (2 + m)x = - Nếu + m = ⇔ m = - phương trình (1) có dạng 0x = Do phương trình (3) vơ nghiệm ⇒ hệ vơ nghiệm - Nếu + m ≠0 ⇔m ≠ - Thì phương trình (1) có nghiệm x = + Thay x = Vậy với m ≠ (3) 2+ m 4−m + m vào phương trình (2) ta có:y = 2x – = + m - = + m - hệ có nghiệm  x =  2+ m  y = − m  2+ m Tóm lại: +) Với m = - hệ phương trình vơ nghiệm   x = + m  y = − m  2+ m +) Với m ≠ - hệ có nghiệm  Bài Tìm giá trị m p để hệ phương trình  x = 7− y  mx = 2y + p a) Có nghiệm b) Có vơ số nghiệm c) Vơ nghiệm Giải: Thay x = – y vào phương trình thứ hai, ta có: m(7 - y) = 2y + p (m + 2)y = 7m - p (1) a) Nếu m + ≠ m ≠ −2 => Phương trình (1) có nghiệm nên hệ cho có nghiệm 7m − p 7m − p 14 + p Từ (1) => y = m + , thay vào x = – y => x = - m + = m + 14 + p 7m − p Vậy m ≠ −2 hệ phương trình có nghiệm ( m + ; m + ) b) Nếu m = - => Phương trình (1) trở thành 0.y = - 14 – p Hệ vô số nghiệm khi: -14 – p = p = - 14 Vậy m = - p = - 14 hệ vơ số nghiệm c) Nếu m = - p ≠ −14 phương trình(1) vơ nghiệm nên hệ vơ nghiệm *) Cách khác: Hệ phương trình cho mx − 2y = p  x+ y = a) Hệ có nghiệm b) Hệ vô số nghiệm c) Hệ vô nghiệm m ≠ −2 m ≠ −2 1 m = −2 = p 1 m = −2 ≠ p 1 => m = - 2, p = - 14 => m = - 2, p ≠ −14 Bài ax + by = c  a′x + b′y = c′ Cho hệ phương trình :  (1) (2)  x = x0  y = y0 Tìm giá trị tham số để hệ phương trình có nghiệm  Cách 1: Thay x = x0; y = y0 vào (1) giải Thay x = x0; y = y0 vào (2) giải Cách 2: Thay x = x0; y = y0 vào hai phương trình giải hệ phương trình chứa ẩn tham số Bài Cho hệ phương trình 3x − 2y =  (5n + 1)x − (n − 2)y = n − 4n − (1) (2) Tìm n để hệ có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Giải: Thay (x; y) = (2; 1) vào (1) ta có: – 2.(- 2) = ⇔ + = (luôn với n) Vậy (2; 1) nghiệm (1) Thay (x; y) = (1; -2) vào (2) ta có: (5n + 1) + 2.(n - 2) = n2 – 4n – n =  ⇔ 7n – = n2 – 4n – ⇔ n(n –11) = ⇔ n = 11 Vậy với n = n = 11 hệ cho có nghiệm (x; y) = (1; - 2) Bài  (1) 5m(m − 1)x + my = (1− 2m)  4mx + 2y = m2 + 3m + (2) Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ có nghiệm (x = 1; y = 3) Giải: Thay x = 1; y = vào (1) ta có: m =  5m2 – 5m + m = – 4m + 4m2 ⇔ m2 = ⇔ m = −1 (I) Thay x = 1; y = vào (2) ta có: m =  4m + = m2 + 3m + ⇔ m(m – 1) = ⇔ m = (II) Từ (I) (II) Bài 10 ⇒ Với m = hệ pt có nghiệm (x = ; y = 3) 2mx + (n − 2)y =  Cho hệ phương trình : (m + 3)x + 2ny = Tìm m; n để hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Giải: Thay x = 3; y = - vào hệ pt ta có: (m + 3).3 + 2n.(−1) =  6m + (n − 2).(−1) = ⇔ 3m − 2n = −4  12m − 2n = 14 ⇔ m =  n = Vậy với m = n = hệ có nghiệm (x = 3; y = - 1) Bài 11 (1) 3x + 2y = −8  −3mx + (m + 5)y = (m − 1)(m + 1) (2) Cho hệ phương trình  Tìm m để hệ có nghiệm (x; y) thoả mãn : 4x – 2y = - (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: 3(m + 5) + 6m ≠0 −5 ⇔ m≠ Do (x; y) nghiệm hệ phương trình (I) thoả mãn (3) ⇒ (x; y) nghiệm (1), (2), (3)  x = −2 3x + 2y = −8   Kết hợp (1) (3) ta có: 4x − 2y = −6 ⇔  y = −1 Thay x = - 2, y = -1 vào phương trình (2) ta đợc: 6m – (m +5) = m2 - ⇔ m2 – 5m + = m = −5 m = ⇔  (thỏa mãn m ≠ ) Vậy m = m = hệ (I) có nghiệm thoả mãn 4x – 2y = - Bài 12 (1) mx + y =  Cho hệ phương trình 2mx + 3y = (2) (I) (I) Tìm m để hệ có nghiệm thoả mãn: (2m – 1)x + (m + 1)y = m (3) Giải: Điều kiện để hệ có nghiệm nhất: m.3 ≠ 2.m Từ (1) ⇒ y = – mx Thay vào (2) ta có: 2mx + 3(5 - mx) = Thay x = ⇔ x= m (m ≠ 0) 9m m vào y = – mx ta có: y = - m = - Vậy với m ≠ hệ (I) có nghiệm x = Thay x = ⇒ m ≠ m; y = - m; y = - vào phương trình (3) ta đợc: (2m – 1) m+ (m + 1)(- 4) = m ⇔ 18 - m - 4m – = m ⇔ ⇔ (m – 1).(5m – 9) = m =  m = ⇔ Vậy với m = m = (m + 1)y = m Bài 13 5m2 – 14m + = (thoả mãn m ≠ 0) hệ (I) có nghiệm thoả mãn (2m – 1)x + (m + 2)x + 2y =  Cho hệ pt: mx − y = Tìm m∈ Z để hệ có nghiệm số nguyên Giải: Từ (2) ta có: y = mx – Thay vào (1) ta đợc: (m + 2)x + 2(mx - 1) = ⇔ 3mx + 2x = ⇔ x.(3m + 2) = (m −2 ≠ ) ⇔ x = 3m + 4m − Thay vào y = mx – ⇒ y = 3m + m – ⇒ y = 3m + 7; −7;1; −1} Để x∈ Z ⇔ 3m + ∈ Z ⇔ 3m + ∈ Ư(7) = { +) 3m + = - ⇔ m = - +) 3m + = ⇔ m = ∉Z (loại) +) 3m + = ⇔ m = −1 ∉Z (loại) +) 3m + = -1 ⇔ m = - 4m − Thay m = - vào y = 3m + ⇒ y = (t/m) 4m − Thay m = - vào y = 3m + ⇒ y = (t/m) Kết luận: m∈ Z để hệ có nghiệm nguyên m = -3 m = -1 (m − 3)x + y =  Cho hệ phương trình : mx + 2y = Bài 14 Tìm m để hệ có nghiệm nguyên Giải: Từ (1) ta có y = – (m – 3).x ⇔ y = – mx + 3x Thay vào (2) ta có: mx + 2.(2 – mx + 3x) = ⇔ - mx + 6x = ⇔ x.(6- m) = (m ≠ 6) 24 − 6m ⇔ x = − m Thay vào y = – (m – 3).x ta có: y = − m Để x∈ Z ⇔ − m∈ Z +) – m = ⇔ ⇔ m=5 +) – m = -1 ⇔ m = 6-m ∈ Ư(4) = { 1;−1;2;−2;4;−4} +) – m = ⇔ m=4 +) – m = - ⇔ m = +) – m = ⇔ m = +) – m = - ⇔ m = 10 24 − 6m Thay m = vào y = − m ⇒ y = - (t/m) 24 − 6m Thay m = vào y = − m ⇒ y = 18 (t/m) 24 − 6m Thay m = vào y = − m ⇒ y = (t/m) 24 − 6m Thay m = vào y = − m ⇒ y = 17 (t/m) 24 − 6m Thay m = vào y = − m ⇒ y = (t/m) 24 − 6m − m ⇒ y = (t/m) Thay m = 10 vào y = Kết luận: Để hệ có nghiệm ngun m Bài 15 ∈ { 5;7;4;8;2;10}  = m2 mx − y (1)  (2) 2x + my = m + 2m+ Cho hệ phương trình :  a) Chứng minh hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Tìm m để biểu thức: x2 + 3y + nhận GTNN Tìm giá trị Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = => Hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (1 ; 0) Trờng hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm a ≠ b b' hay ab' ≠ a'b m.m ≠ ( −1).2 m2 + ≠ a' Do m2 ≥ với m ⇒ Hay m2 + ≠ m2 + > với m với m Vậy hệ phương trình ln có nghiệm với m b) Rút y từ (1) ta có: y = mx – m2 (3) Thế vào (2) ta đợc 2x + m(mx – m2) = m2 + 2m +2 ⇔ 2x + m2x – m3 = m2 + 2m +2 ⇔ 2x + m2x = m3 + m2 + 2m +2 ⇔ x(2 + m2)=(m3 + 2m) + (m2 + 2) ⇔ x(2 + m2) =(m + 1)(m2 + 2) m2 + ⇔ x=m+1 Thay vào (3) ≠0 ⇒ y = m.(m + 1) – m2 = m Thay x = m + 1; y = m vào x2 + 3y + ta đợc: x2 + 3y + = (m + 1)2 + 3m + = m2 + 5m + 5 25 m+ ) − 4 = (m2 + 2 5 −5 (m + )2 ≥ (m + )2 − ≥ 4 Do = −5 −5 Vậy Min(x2 + 3y + 4) = m = Bài 16 3mx − y = 6m − m − (1)  (2) 5x + my = m + 12m Cho hệ phương trình :  Tìm m để biểu thức: A = 2y2 – x2 nhận GTLN Tìm giá trị Giải: Từ (1) ta có: y = 3mx - 6m2 + m + Thay vào (2) ta có: 5x + m.( 3mx - 6m2 + m + 2) = m2 +12m ⇔ x.(5 + 3m2) = 6m3 + 10m ⇔ x= (5 + 3m2 ≠ với m) 6m3 + 10m = 2m 3m2 + Thay x = 2m vào y = 3mx - 6m2 + m + ta đợc y = m + Thay x = 2m ; y = m + vào A ta đợc: A = 2(m + 2)2 – (2m)2 = -2(m2 – 4m – 4) A = - 2(m2 – 4m + – 8) = - 2(m2 – 4m + 4) +16 2 ( ∀m) = −2(m − 2) + 16 ≤ 16 Do −2(m − 2) ≤ x- y=1 d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m  mx + y =  x + my = Xét hệ phương trình  Từ phương trình m= Thay ( 1) ( 1) ( 2) ⇒ mx = − y ⇒ m= 1− y x 1− y x vào phương trình ( ) ta có phương trình  1− y  x+ ÷ y =  x  ⇔ y − y2 x+ =2 ⇔ x x2 + y − y2 = x x + y − y − x = , đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc vào ⇔ m Bài 21 ( m − 1) x + y = m   x + ( m − 1) y = Cho hệ phương trình:  có nghiệm (x ; y) a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m c) Giải biện luận hệ theo m, trờng hợp hệ có nghiệm tìm giá trị m thoả mãn: 2x2 - 7y = 2x − 3y d) Tìm giá trị m để biểu thức x + y nhận giá trị nguyên (Đề thi tuyển sinh THPT – Năm học : 2004 – 2005) Giải: ( m − 1) x + y = m   x + ( m − 1) y = a) Thay m = vào hệ phương trình  ta có hệ phương trình trở thành ( − 1) x + y =   x + ( − 1) y = 2 x + y = 4 x + y = 3 x = −   ⇔ x + y = ⇔ x + y = ⇔ x + y =   x =  4 + 2y = ⇔  ⇔   x =  2 y = −  ⇔   x =  2 y =  ⇔   x =  y =  Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm  1  ; ÷ ( x ; y) =  3  b) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ thuộc vào m ( m − 1) x + y = m   x + ( m − 1) y = Xét hệ phương trình  Từ phương trình ⇒ m= ⇒ x + my − y = ⇒ my = − x + y 2− x+ y y m= Thay ( 2) ( 1) ( 2) 2− x+ y ( 1) ta có phương trình: y vào phương trình  2− x+ y   2− x+ y− y  2− x+ y 2− x+ y − 1÷x + y =   ÷.x + y = y y y y   ⇔    2− x 2− x+ y  ÷.x + y = y ⇔  y  ⇔ 2 ⇔ 2x − x + y = − x + y ⇔ 2 Vậy x − y − 3x + y + = vào m x − x2 + y 2 − x + y = y y x − y − 3x + y + = đẳng thức liên hệ x y không phụ thuộc c) Giải hệ phương trình ( m − 1) x + y = m   x + ( m − 1) y = theo tham số m, ta có hpt ( m − 1) x + ( m − 1) y = m ( m − 1) ( m − 1) x + y = m −   x + ( m − 1) y = ⇔  x + ( m − 1) y = ⇔ ⇔ ( m − 2m + − 1) x = m − m −   x + ( m − 1) y = ( m − 1) x − x = m ( m − 1) −   x + ( m − 1) y =  m ( m − ) x = ( m + 1) ( m − )  ⇔  x + ( m − 1) y = - Xét hai trờng hợp: *) Trờng hợp 1: m ≠ vµ m ≠ , hệ phương trình ⇔ m +1   x = m   m + + ( m − 1) y =  m m +1   x = m  ( m − 1) y = − m + m ⇔  (*) ` ⇔ m +1   x = m  ( m − 1) y = 2m − m −  m ⇔ m +1   x = m  ( m − 1) y = m −  m m +1   x = m  y = m ⇔   m +1  ; ÷  Vậy hệ phương trình có nghiệm (x; y ) =  m m  ( m ≠ 0,m ≠ ) *) Trờng hợp 2: m = m = - Với m = phương trình (*) trở thành 0x = -2 , phương trình vơ nghiệm nên hệ cho vơ nghiệm - Với m = phương trình (*) trở thành 0x = , phương trình vô số nghiệm nên hệ cho vô số nghiệm, nghiệm tổng quát hệ là: (x ∈ R;y = − x) +) Để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn 2x - 7y =  m +1  1 2 ÷ −  ÷ = m ⇔  m  2m + 4m + − =1 ⇔ ⇔ m + 4m + − m = m m2 m ⇔ m − 3m + = ⇔ m − =  ⇔ m − = ⇔ ( m − ) ( m − 1) = m= (lo¹i) m=  m = Vậy với m = hệ phương trình có nghiệm thoả mãn điều kiện: 2x2 - 7y = d) Thay A = x= 2x − 3y m +1 y= m ; m vào biểu thức A = x + y ta đợc biểu thức  m +1   ÷− m  m  m +1 + m m = 2m + − m m +1+1 m ( m + 2) − 2m − m + 2m − : m = m+2 = m+2 = m ( m + 2) 5 − 2− m+2 m+2 = m+2 = 2x − 3y 2− m + nhận giá trị nguyên Để biểu thức A = x + y nhận giá trị nguyên ⇔ ⇔ m + nhận giá trị nguyên ⇔ 5M( m + ) ⇔ (m+2) ớc Mà Ư(5) = { ±1; ±5} ⇔ m + =  m + = −1  m + =   m + = −5 ⇔ m = −  m = −1 −  m = −   m = −5 − ⇔  m = −1  m = −3  m =   m = −7 Kết hợp với điều kiện m ≠ ; m ≠ ta thấy giá trị m thỏa mãn 2x − 3y ∈ { −7; −3; −1;3} Vậy với m giá trị biểu thức x + y nhận giá trị nguyên Bài 22 2mx + 3y =  Cho hệ phương trình :  − x + 3my = a) Chứng minh hệ ln có nghiệm b) Tìm hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Giải: a) Xét hai trờng hợp Trờng hợp 1: m = => Hệ phương trình có nghiệm (x ; y) = (- ; ) Trờng hợp 2: m ≠ 0, hệ phương trình có nghiệm a ≠ b b' hay ab' ≠ a'b a' - Để hệ có nghiệm ta xét hiệu: 2m.3m – 3.(-1) = 6m2 + > với m - Vậy 6m2 + ≠ với m Hay hệ ln có nghiệm với m − 3y b) Rút m từ (1) ta đợc m = 2x thay vào (2) ta có: − 3y -x + 2x = ⇔ 2x2 + 8x -15y + 9y2 = Đây hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào m Bài 23 3mx − y = 3m − 2m +   x + my = 2m Cho hệ phương trình :  Tìm hệ thức liên hệ x, y khơng phụ thuộc vào m Hướng dẫn : 3mx − y = 3m2 − 2m +   x + my = 2m2 ⇔ 6mx − 2y = 6m2 − 4m +  3x + 3my = 6m2 6mx − 3x − 2y − 3my = −4m + 6mx − 3my + 4m = 3x + 2y +   x + my = 2m2 ⇔  x + my = 2m  m= Rút m từ (1) ta đợc: x+ 3x + 2y + 6x − 3y + Thay vào (2) ta có: 3x + 2y + 3x + 2y + 2 y = 2.( ) 6x − 3y + 6x − 3y + Đây hệ thức liên hệ x, y không phụ thuộc vào m Bài 24 mx + y = 2m  x + my = m + Cho hệ phương tŕnh ẩn x, y sau:  a Xác định giá trị m để hệ có nghiệm b Giả sử (x ; y) nghiệm hệ TT m hệ thức liên hệ x, y độc lập với m c TTm m ∈ Z để x, y ∈ Z d Chứng tỏ (x ; y) nằm đường thẳng cố định (với (x ; y) nghiệm hệ phương trỡnh) Hướng dẫn: mx +y =2 m   x+ my =m +  (1) (2) → (m − 1) x =2 m − m− (3) Với m ≠ ± thT hệ phương trỡnh có nghiệm b/ Rút m từ phương trỡnh thứ vào phương trỡnh thứ hai ta hệ thức y(y – 1) = (x – 1)(x – 2), hệ thức độc lập với m x= c/ → 2m + 1 = 2− m +1 m +1 (4) y= m = 1− m +1 m +1 (5) Vỡ x, y ∈ Z ∈z m +1 m = ⇒ (x = 1; y = 0) m = - ⇒ (x = 3; y = 2) d/ Từ (4) (5) suy x – y = ⇒ y = x – Vậy (x ; y) nằm đường thẳng cố định y = x – Bài 25 x + y = a (I )  vµ x+ y =  Cho hai hệ phương trình ax − 2y = (I I )   x−y =1 a) Với a = 2, chứng tỏ hai hệ phương trình tơng đơng b) Với a = 5, chứng tỏ hai hệ phương trình khơng tơng đơng Hướng dẫn: a) Thay a = vào hai hệ ta nhận đợc tập nghiệm chúng : S = S’ = ∅ => Hai hệ phương trình tơng đơng b) Thay a = vào hệ (I) => S = ∅ ;1 ( )} { Thay a = vào hệ (II), hệ có nghiệm => S’ = 3 Vậy S ≠ S’ , nên hai hệ phương trình khơng tơng đơng Bài 26 Tìm giá trị m, n để hai hệ phương trình sau tơng đơng  x − 2y = (I )  vµ 4x + 5y = 17  mx + ny = (I I )  3mx + 2ny = 10 Hướng dẫn: Trớc hết giải hệ (I) đợc kết nghiệm (x = ; y = 1) Hai hệ phương trình tương đươngkhi hệ (II) có nghiệm (x = ; y = 1) Để tìm m, n ta thay x = ; y = vào hệ (II) −2 ,n = Kết m = Bài 27  mx − y = Tìm m để hệ phương trình sau vô nghiệm :  x y − = 334  Đáp án: Hệ phương trình vơ nghiệm ⇔ m = Bài 28 (a − 1) x + y = + ay = 3x Cho phương trình  a Giải hệ (I) với a = +1 b Tìm giá trị a để hệ (I) vô nghiệm (I) Đáp án: a Với a= + hệ (I)  3x + y = ⇔ ⇔ x + ( + ) y =   (1 − )[ x + y ] = x = − ⇔   3x + y =  y = b Để hệ (I) vô nghiệm a = -2; a = Bài 29 ( m − 1) x − my = 3m − Xác định tat giá 2x − y = m +  Cho hệ phương trình:  trị tham số m để hệ có nghiệm nhat (x ; y) cho: S = x + y đạt giá trị nhỏ nhat  − x = −1  x =1 ⇔ Khi 2 x − y =  y = −3 Đáp án: * Nếu m = hệ có dạng  S = x + y = 10 ( m − 1) x − my = 3m − 1( 1)  2mx − my = m + 5m ( ) * Nếu m ≠ hệ cho ⇔  Lay (2) trừ (1) ta được: ( m + 1) x = ( m + 1) + Khi m = -1 hệ có vơ số nghiệm , khơng thoả mãn ĐK tốn x = m +1 y = m − + Khi m ≠ -1 hệ có nghiệm nhat  ⇒ S = x + y = ( m + 1) + ( m − 3) = 2m − 4m + 10 = 2( m − 1) + ≥ Vậy 2 S = ⇔ m = Bài 30 Xác định a, b để hệ phương trình : 2 x − ay = b   ax + by = a, Có nghiệm x =1, y = b, Có vơ số nghiệm Đáp án: a Hệ có nghiệm x = 1, y = 2 + a = b   a − 2b = ⇒a = − ;b= − 3 b Bài 31 a = −  b = −  x + y − =  x − y = m Cho hệ phương trình  ( m tham số ) = −1 a Giải hệ phương trình với m b Với giá trị m hệ phương trình cho vô nghiệm Đáp án: a Khi m = - hệ có nghiệm ( ; ) ( - ; - ) b + Với y ≥ hệ trở thành m+  x =  x + y = ⇔   2 x − y = m y = − m  Hệ vô nghiệm y < ⇔ + Với y < hệ trở thành 8−m (*) x − y = x = m ⇔  2 x − y = m y = m hệ vô nghiệm y = m ≥ (**) Từ (*) (**) , hệ cho vô nghiệm phải có m > Bài 32  mx − y = 1( 1)  x + my = m ( ) Cho hệ phương trình  a Giải biện luận hệ phương trình b Tìm m để hệ phương trình có nghiệm ngun Đáp án: a Từ (1) ta có y = mx - vào (2) ta được: x + m(mx - 1) = m ⇔ (m2 + 1)x = 2m ⇔ x = 2m m2 − suy y= m2 + m2 + 2m   x = m + b Với m hệ ln có nghiệm   y = m −1 = 1−  m2 + m2 + Vậy giá trị m cần tìm m = 0, 1, -1 Bài 33 mx + y = m −  x + my = m + Cho hệ phương trình:  a Với giỏ trị m hệ cú nghiệm nhat thoả điều kiện y ≥ x+2 b Với cỏc gớa trị m tìm hóy tìm giỏ trị lớn nhat biểu thức z = x + y Đáp án: a Để hệ cú nghiệm nhat thoả y ≥ x + phải cú: m2 +1 m2 − m −1 3m − 2m − 2m − 2m − ⇔ ≥ + = ≤ m2 −1 m2 −1 m2 −1 m2 −1 ⇔1≤ m≤ b Tìm Max z = x + y = Với ≤ m ≤ => z = Bài 34 2m 2m − 2m = m +1 m −1 2(m + 1) − 2 =2 Suy ZMax = z(2) = m +1 m +1  x + ay = ax − 3ay = 2a + Tìm a để hệ sau vơ nghiệm:  Đáp án: Từ phương trình x + ay = ta x = – ay vào phương trình ax – ay = 2a + Ta a ( – ay ) – 3ay = 2a + ⇔ a − a y − 3ay = 2a + ⇔ −(a + 3a ) y = a + (1) − (a + 3a ) = a = ⇔  Hệ vơ nghiệm ⇔ phương trình (1) vơ nghiệm ⇔   a ≠ −3  a+3≠ ⇔ a=0 Bài 35  ax − y = a  −2 x + y = a + Cho hệ phương trình:  a, Giải hệ phương trình a = x - y = b, Tìm a để hệ có nghiệm thoả mãn Đáp án: a Thay a = vào hệ phương trình được:  x − y = +2 2+3 ⇔ x= ; y=  − x + y = + −4 −4 c Từ x – y = ⇒ y = x – thay vào hệ PT ax − 2( x − 1) = a ⇔ a = -3;  − x + ( x − 1) = a + Bài 36 mx − y = 3x + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giỏ trị m để hệ phương trình cho cú nghiệm (x; y) thỏa hệ thức x + y = − m2 m2 + Đáp án: a) Khi m = ta cú hệ phương trình  2 +5 x = 2 x − y = 2  x − y =  ⇔ ⇔  3x + y = 3 x + y = y = −  b) Giải theo m được: x = Thay vào hệ thức x + y = − m = Bài 37 2m + 5m − ;y= 2 m +3 m +3 m2 2m + 5m − m2 ; ta Giải tìm + = − m2 + m2 + m2 + m2 + x + y − x = Cho hệ phương trình:   x + my − m = a Giải hệ phương trình m = b Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm phân biệt c Gọi (x1; y1) ( x2; y2 ) nghiệm hệ cho CMR: (x 2- x1 )2 + ( y2 y1 )2 ≤  x + y − x = (1) Đáp án: a Hệ phương trình   x + my − m = (2) Từ (2) ⇒ x = m - my thay vào (1) Ta (m2 + ) y2 -( 2m2 - 1)y + m2 m=0 (3) Khi m = phương trình (3) trở thành y( 2y - ) = ⇔  y1 = ⇒ x1 =   y = ⇒ x2 = 2  Hệ phương trình có nghiệm (1;0) ( 1 ; ) 2 b Từ x = m - my ⇒ giá trị y tương ứng với giá trị x ⇒ Để hệ có nghiệm phân biệt (3) phải có nghiệm phân biệt m + ≠ ⇔ ⇔ m( 4-3m) > ⇔ < m < ∆ > Vậy với m ∈ (0; c Với m ∈ (0; ) hệ có nghiệm phân biệt ) phương trình (3)có nghiệm phân biệt y 1, y2 thoã mãn:  2m − m y + y =   x1 = m − my1 m2 + ⇒ x1 - x2 = m - m y2 - m + m y1 = m ( y1 - y2 )   x = m − my m − m  2 y y = m2 +  Suy : ( x2 - x1 )2 + ( y2 - y1)2 = 1- Bài 38 (2m − 1) ≤1 m2 +1 x2 + y =  x+ y =m Cho hệ phương trình:  ∀m a Giải hệ với m = b Tìm m để hệ phương trình cho có nghiệm x + y = Đáp án: a Giải hệ với m = ⇔  Đặt S = x + y; P = xy  x+ y =2 x = x =  y = y = Giải S = 2; P = Suy  b Để hệ phương trình cho có nghiệm phương trình: x + (m – ⇔ x − 2mx + m − = có nghiệm x)2 = có nghiệm ⇔ ∆ ' = − m + ≥ ⇔ −2 ≤ m ≤ Để hệ phương trình cho có nghiệm −2 ≤ m ≤  x − + y + = a  x + y = 2a + Với giá trị a hệ sau có nghiệm  Bài 39 Đáp án: Điều kiện x ≥ 1; y ≥ - Đặt x − = u, y + = v ⇒ u ≥ 0, v ≥ u + v = a ( u , v ≥ ) u + v = a ( u , v ≥ ) u + v = a ( u , v ≥ )  ⇔ ⇔ Khi hệ ⇔  2 2 u + v = 2a + ( u + v ) − 2uv = 2a + uv = ( a − 2a − 1) Khi để hệ có nghiệm a ≥ 0, a2 – 2a – ≥ phương trình : t − at + ( a − 2a − 1) = có nghiệm a ≥  ⇔ a − a − ≥ ⇔1+ ≤ a ≤ + ∆ = a − 2( a − 2a − 1) ≥   x + my = 3m Cho hệ phương trình:  Bài 40  mx − y = m − Tìm m để hệ có nghiệm (x, y) cho x2 - 2x - y > m > + Đap án:   m < − giá trị cần tìm Cho hệ phương trình Bài 41 ( m − 1) x + y =  mx + y = m + (m tham số) a Giải hệ phương trình với m = 2; b Chứng minh với giỏ trị m hệ phương trình luụn cú nghiệm nhat (x ; y) thoả 2x + y ≤ Đáp án: a Với m = 2, hệ cho trở thành : x + y =   2x + y = ↔ x =  x + y = ↔ x =  y = Vậy với m = nghiệm hệ phương trình cho (x ; y) = (1 ; 1) b Hệ phương trình cho tương đương với hệ : mx + y = m + ↔  x = m − x = m − x = m − ↔   m(m − 1) + y = m +  y = + 2m − m Suy hệ phương trình cho ln có nghiệm nhat (x ; y) = (m – ; + 2m – m2) với m Khi đó, ta có : 2x + y = 2(m – 1) + + 2m – m = - + 4m - m = – (m – 2)2 ≤ ∀m Vậy với m hệ phương trình cho ln có nghiệm nhat (x ; y) thoả 2x + y ≤ Bài 42 3 x − y = − m ( 1) 9 x − m y = −3 ( ) Cho hệ phương trình:  a Với giá trị m hệ phương trình vơ nghiệm b Với giá trị m hệ phương trình có vơ số nghiệm? Khi tìm dạng tổng qt nghiệm hệ phương trình c Với giá trị m hệ phương trình có nghiệm nhat Đáp án: a) Từ (1) => y = 3x + m thay vào (2) => 3x(3 - m 2) = m3 - 3 (*) Ví i m =- thì(*) có dạng: 0x =-6 ph ơng trì nh vô nghiệm b)Vớ i m = thì(*) có dạng: 0x =0 ph ơng trì nh vô số nghiệm y =3x + Khi ®ã nghiƯm cđa hƯ: x R c) m Hệph ơng trì nh cã nghiÖm nhÊt  mx + y = có nghiệm thỏa  x − my = Với giá trị m hệ phương trình  Bài 43 mãn điều kiện x+ y = Khi tìm giá trị x y m +1 Đáp án: mx + y = 4(1) mx + y = 4(1) 4−m ⇔ LÊy (1) - (3) => + m y = − m ⇔ y = (V×1 + m ≠ 0)  2 1+ m  x − my = 1(2) mx − m y = m(3) ( ) m ( − m) 4m + ⇒ x =my + = +1 = 1+ m + m2 Theo bµi cã: x +y = 4m + − m ⇔ + = ⇔ m = Khi ®ã x = ; y = 2 2 1+ m 1+ m 1+ m 1+ m 2  2mx + y = m có x + y = m +1 Tìm giá trị nguyên m để hệ phương trình  Bài 44 nghiệm nguyên, tìm nghiệm nguyên  2mx + y = m  2mx + y = m(1) ⇔ LÊy (1) - (2)⇒ ( 2m − 3) x = −2m − 3(*)  x + y = m + 1(3) 3 x + y = 3m + 3(2) Đáp án:  * NÕu m =3/2 (*) cã d¹ng: 0x =-6, ph ơng trì nh vô nghiệm =>Hệvô nghiệm * Nếu m ≠ 3/2 (*) cã nghiÖm: x = x= 2m+3 Từ (3) nhận thấy m nguyên, x nguyên thìy nguyên - 2m 2m+3 2m - +6 = = −1 + ⇔ x nguyªn ⇔ - 2m∈ { 1;-1;2;-2;3;-3;6;-6} ⇔ m ∈ { 1; 2;0;3;} - 2m - 2m - 2m ... Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải biện luận hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không... my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Giải hệ phương trình theo tham số m c) Tìm m để hệ phương trình có nghiệm (x; y) thoả mãn x - y = d) Tìm hệ thức liên hệ x y không phụ... + my = Cho hệ phương trình:  a) Giải hệ phương trình m = b) Tìm giỏ trị m để hệ phương trình cho cú nghiệm (x; y) thỏa hệ thức x + y = − m2 m2 + Đáp án: a) Khi m = ta cú hệ phương trình  2