Tài liệu tham khảo ôn thi vào lớp 10 – môn toán

Tài liệu tham khảo ôn tập thi vào lớp 10 Phần 1: Các loại tập biểu thức Bài 1: Cho biểu thức : P = a + a +3 a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P6 Bài 18: Cho biểu thức: P= a a a) Rút gọn P b) Tìm giá trị a để P0 x x + x Bài 21: Cho biểu thức : P= x x a) Rút gọn P b) Tính P x= + Bài 22: Cho biểu thức x +2 : x x + x + 3x 2 : + P= : 2+ x x 42 x 42 x a) Rút gọn P b) Tìm giá trị x để P=20 Bài 23: Cho biểu thức : a) Rút gọn P b) Chứng minh P x P= Bài 20: Cho biểu thức : x y + P= x y x3 y yx ab : ( ) x y + xy x+ y ab a b . : + Bài 24: Cho biểu thức P= a + b a a + b b a b a a b b a + ab + b a) Rút gọn P b) Tính P a=16 b=4 2a + a 2a a a + a a a a 1 a a a P= + Bài 25: Cho biểu thức: a) Rút gọn P b) Cho P= 1+ tìm giá trị a c) Chứng minh P> Bài 26: Cho biểu thức: x5 x 25 x : x 25 x + x 15 P= a) Rút gọn P b) Với giá trị x P Bài 29: Cho biểu thức: 1 + + P= + y x+ y x x : y x3 + y x + x y + y x y + xy a) Rút gọn P b) Cho x.y=16 Xác định x,y để P có giá trị nhỏ Bài 30: Cho biểu thức : P= x3 2x x xy y x + x xy y x a) Rút gọn P b) Tìm tất số nguyên dơng x để y=625 P - Q c) Tìm số nguyên x để Q có giá trị nguyên P = a) ĐKXĐ : x > ; x Hớng dẫn : Biểu thức rút gọn : Q = b) Q > - Q x > c) x = { 2;3} Q Z x x + Bài 32 : Cho biểu thức P = x +1 x x a) Rút gọn biểu thức sau P b) Tính giá trị biểu thức P x = Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x b) Với x = Biểu thức rút gọn : P = P = - Bài 33 : Cho biểu thức : A = x +1 x x x +1 x x x +1 a) Rút gọn biểu thức sau A b) Tính giá trị biểu thức A x = c) Tìm x để A < d) Tìm x để A = A Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x 0, x x x 1 Biểu thức rút gọn : A = b) Với x = A = - c) Với x < A < d) Với x > A = A Bài 34 : Cho biểu thức : A = + ữ ữ a + a a a) Rút gọn biểu thức sau A b) Xác định a để biểu thức A > Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a > a Biểu thức rút gọn : A = a +3 x + x x 4x x + 2003 + A= ữ x2 x x x +1 b) Với < a < biểu thức A > Bài 35 : Cho biểu thức: 1) Tìm điều kiện x để biểu thức có nghĩa 2) Rút gọn A 3) Với x Z ? để A Z ? Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x ; x b) Biểu thức rút gọn : A = x + 2003 với x ; x x c) x = - 2003 ; 2003 A Z Bài 36 : Cho biểu thức: a) Rút gọn A A= ( x x x x +1 x x +1 ữ: x x+ x ữ x x ) b) Tìm x để A < c) Tìm x nguyên để A có giá trị nguyên Hớng dẫn : x +1 a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : A = b) Với < x < A < c) x = { 4;9} A Z Bài 37 : Cho biểu thức: A= x x+2 x x + + : ữ ữ x x x + x + 1 x a) Rút gọn biểu thức A b) Chứng minh rằng: < A < Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : x > ; x Biểu thức rút gọn : A = x + x + b) Ta xét hai trờng hợp : +) A > > với x > ; x (1) x + x +1 +) A < < 2( x + x + ) > x + x +1 (2) Từ (1) (2) suy < A < 2(đpcm) Bài 38 : Cho biểu thức: P = a) Rút gọn P b) Tính giá trị P với a = a +3 a a a +2 + a 4a Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a Biểu thức rút gọn : P = b) Ta thấy a = ĐKXĐ Suy P = Bài 39 : Cho biểu thức: N= 1) Rút gọn biểu thức N 2) Tìm giá trị a để N = -2004 > theo gt x > x+ x (a 0; a 4) a a + a a a + ữ ữ a + ữ a ữ Hớng dẫn : a) ĐKXĐ : a 0, a Biểu thức rút gọn : N = a b) Ta thấy a = - 2004 ĐKXĐ Suy N = 2005 Bài 40 : Cho biểu thức P= x x + 26 x 19 x + x+2 x x x x +3 a Rút gọn P b Tính giá trị P x = c Với giá trị x P đạt giá trị nhỏ tính giá trị nhỏ Hớng dẫn : a ) ĐKXĐ : x b) Ta thấy x =74 ĐKXĐ Suy c) Pmin=4 x=4 Bài 41 : Cho biểu thức x P = + x +3 a Rút gọn P P a ) ĐKXĐ : x x + 16 x +3 103 + 3 P= 22 0, x Biểu thức rút gọn : x x +3 b Tìm x để P= 3x + x : x x P< c Tìm giá trị nhỏ Hớng dẫn : 0, x Biểu thức rút gọn : P= x +3 b Với x < P < c Pmin= -1 x = Bài 42: Cho A= a +1 a 1 +4 aữ a + ữ ữ a +1 a a a Rút gọn A b Tính A với a = ( 4+ )( 15 )( 10 15 ( KQ : A= 4a ) Bài 43: Cho A= với x>0 ,x ) x x x x x 1ữ : + ữ ữ x+ x x x +3ữ x9 với x , x 9, x a Rút gọn A b x= ? Thì A < c Tìm x Z để A Z (KQ : A= Bài 44: Cho A = 15 x 11 x 2 x + + x + x x x +3 ) x với x , x a Rút gọn A b Tìm GTLN A c Tìm x để A = d CMR : A Bài 45: Cho A = a Rút gọn A (KQ: x+2 x +1 + + x x x + x + 1 x A= 25 x x +3 ) với x , x b Tìm GTLN A ( KQ : A = + x +1 x x +1 Bài 46: Cho A = x +1 x a Rút gọn A b CMR : A x x + x +1 ) với x , x ( KQ : A= x ) x x +1 x x 25 x x +3 x 1ữ : + ữ ữ x + x 15 x +5 x 3ữ x 25 Bài 47: Cho A = a Rút gọn A b Tìm x Z để A Z ( KQ : A= ) x +3 a a + a +1 a5 a +6 a a Bài 48: Cho A = với a , a , a a Rút gọn A b Tìm a để A < c Tìm Bài 49: Cho A= aZ a +1 ) a ( KQ : A = A Z x x +7 x +2 x 2 x + : ữ ữ x 2ữ x +2 x4ữ x4 x a Rút gọn A b So sánh A với Bài50: Cho để A với x > , x ( KQ : A = 3 x y x y ữ: A = + x y yx ữ ( x y ) + xy x+9 x ) với x , y 0, x+ y x y a Rút gọn A b CMR : A ( KQ : A = xy x xy + y x x x x +1 x +1 x + x + ữ ữ x x x+ x x x x +1ữ Bài 51 : Cho A = a Rút gọn A b Tìm x để A = Bài 52 : Cho A = ) ( KQ : A = ( a Rút gọn A ) ) x + x +1 x ữ x +2 x + : ữ x x x 2ữ x x 2ữ ( Với x > , x x ) với x > , x b Tính A với x = (KQ: 62 A = 1 1 + ữ: ữ+ x 1+ x x 1+ x x Bài 53 : Cho A= a Rút gọn A b Tính A với x = Bài 54 : Cho A= (KQ: 62 2x +1 x+4 : ữ ữ x ữ x x + x +1 x) với x > , x A= x ) với x , x a Rút gọn A b Tìm Bài 55: Cho A= xZ để (KQ: A Z x 2 : ữ ữ ữ x +1 x x x + x x x a Rút gọn A b Tìm x Z để với x , x A Z c Tìm x để A đạt GTNN Bài 56 : Cho A = x ) x A= (KQ: x x 3x + x + 1ữ ữ: ữ x x ữ x +3 x A= x ) x +1 với x , x a Rút gọn A b Tìm x để A < - ) a +3 x x3 ữ với x x ữ ( KQ : A = Bài 57 : Cho A = x +1 x x ữ ữ: x x x + a Rút gọn A b Tính A với x = (KQ: 62 A= c CMR : A Bài 58 : Cho A = x +1 + ữ: x x x +1 x x a Rút gọn A Cho A = x ) x+4 với x > , x (KQ: A= b.So sánh A với Bài 59 : x , x x 1 x x + ữ ữ: x + ữ ữ x x x + Với x ) x x 0, x a Rút gọn A b Tìm x để A = c Tìm x để A < ( KQ : A = Bài 60 : Cho A = x x + x2 2x + ữ ữ x x + x +1 với x , x a Rút gọn A b CMR < x < A > c Tính A x =3+2 d Tìm GTLN A (KQ: Bài 61 : Cho A = x+ x ) x A= x+2 x x + + ữ ữ: x x x + x +1 x x (1 x ) ) với x , x a Rút gọn A b CMR x , x A > , (KQ: Bài 62 : Cho A = x2 x + ữ: x +1 x x A= ) x + x +1 với x > , x 1, x a Rút gọn b Tìm x để A = Bài 63 : Cho A = x +1 x x x + : + ữ ữ x ữ x x +1 x với x , x a Rút gọn A b Tính A x= 0,36 c Tìm x Z để A Z Bài 64 : Cho A= a Rút gọn A b Tìm x Z để c Tìm x để A < x x +3 x +2 x +2 : + + ữ ữ ữ ữ 1+ x x x x x + với x , x , x A Z (KQ: A= x ) x +1 Phần 2: Các tập hệ phơng trình bậc 2: Bài 1: Cho phơng trình : m x ( 1) = x + m a) Giải phơng trình m = + b) Tìm m để phơng trình có nghiệm x = c) Tìm m để phơng trình có nghiệm dơng Bài 2: Cho phơng trình : (x ẩn ) ( m 4) x 2mx + m = 10 Trên AH lấy điểm D cho AD = MO Tứ giác OMDA hình gì? Chứng minh AM phân giác góc OAH OM kéo dài cắt (O) N Vẽ OE vuông góc với NC Chứng minh OE = MB Chứng minh tứ giác OICE nội tiếp Xác định tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác OICE Chứng minh tứ giác ABHP QPCH nội tiếp 10.Từ C vẽ tiếp tuyến (O) cắt BM kéo dài K Chứng minh CM phân giác góc BCK 11 So sánh góc KMC KCB với góc A 12.Từ B vẽ đờng thẳng song song với OM cắt CM S Chứng minh tam giác BMS cân M 13.13.Chứng minh góc S = góc EOI góc MOC 14.Chứng minh góc SBC = góc NCM 15.Chứng minh góc ABF = góc AON 16.Từ A kẻ AF // BC, F thuộc (O) Chứng minh BF = CA Bài 3: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn Đờng tròn tâm O đờng kính BC cắt AB, AC theo thứ tự D, E Gọi I giao điểm BE CD Chứng minh AI vuông góc với BC Chứng minh góc IDE = góc IAE Chứng minh : AE EC = BE EI Cho góc BAC = 600 Chứng minh tam giác DOE Bài 4: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O) Đờng cao AH tam giác ABC cắt (O) D , AO kéo dài cắt (O) E a Chứng minh tứ giác BDEC hình thang cân b Gọi M điểm chình cung DE, OM cắt BC I Chứng minh I trung điểm BC c Tính bán kính (O) biết BC = 24 cm IM = cm Bài 5: Trên nửa đờng tròn tâm O đờng kính AB lấy hai điểm M N cho cung AM, MN, NB Gọi P giao điểm AM BN, H giao điểm AN với BM CMR: a Tứ giác AMNB hình thang cân b PH AB Từ suy P, H, O thẳng hàng c ON tiếp tuyến đờng tròn đơnngf kính PH Bài 6: Cho (O, R) , dây cung AB < 2R Gọi M điểm cung nhỏ AB Kẻ hai dây MC, MD lần lợt cắt AB E F CMR: a Tam giác MAE MCA đồng dạng b ME MC = MF MD c Tứ giác CEFD nội tiếp d Khi AB = R tam giác OAM 39 Bài 7: Cho tam giác ABC vuông cân A ( AB > AC ), đờng cao AH Vẽ đờng tròn tâm I đờng kính BH cắt AB E, đờng tròn tâm K đờng kính CH cắt AC F a Tứ giác AEHF hình gì? b Chứng minh tứ giác BEFC nội tiếp c Chứng minh AE AB = AF AC d Chứmg minh EF tiếp tuyến chung (O) (I) e Gọi Ax tiếp tuyến đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC Chứng minh Ax // EF Bài 8: Cho tam giác ABC vuông cân A Điểm D thuộc AB Qua B vẽ đờng thẳng vuông góc với CD H, đờng thẳng BH cắt CA E a Chứng minh tứ giác AHBC nội tiếp b Tính góc AHE c Chứng minh tam giác EAH EBC đồng dạng d Chứng minh AD = AE e Khi điểm D di chuyển cạnh AB điểm H di chuyển đờng nào? Bài 9: Tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AC ( AB > BC ; AD > CD ) Gọi E giao điểm AB CD, F giao điểm AD BC Chứng minh rằng: a EF AC b DA DF = DC DE c Tứ giác BDFE nội tiếp Bài 10: Cho đờng tròn tâm O đờng kính BC, điểm A thuộc (O) Vẽ bán kính OK // BA ( K A nằm phía BC ) Tiếp tuyến với đờng tròn (O) C cắt OK I a Chứng minh IA tiếp tuyến (O) b Chứng minh CK tia phân giác góc ACI c Cho BC = 30 cm; AB = 18 cm Tính OI, CI Bài 11: Cho đoạn thẳng AB O trung điểm AB Vẽ phía với AB tia Ax, By vuông góc với AB Các điểm M, N theo thứ tự di chuyển Ax By cho góc MON = 900 Gọi I trung điểm MN Chứng minh : a AB tiếp tuyến (I ; IO) b MO tia phân giác góc AMN c MN tiếp tuyến đờng tròn đờng kính AB d Khi điểm M, N di chuyển Ax, By tích AM BN không dổi Bài 12: Cho (O;R) (O; r)tiếp xúc A Gọi BC tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( B thuộc (O); C thuộc (O) ) Tiếp tuyến chung hai đờng tròn A cắt BC M a Chứng minh A, B, C thuộc đờng tròn tâm M b Đờng thẳng OO có vị trí tơng đối với (M) nói trên? c Xác định tâm đờng tròn qua ba điểm O, O , M 40 d Chứng minh BC tiếp tuyến đờng tròn qua ba điểm O, O, M Bài 13: Cho (O) (O)tiếp xúcngoài A Đờng thẳng Ô cắt (O) (O) theo thứ tự tạu B C ( khác A ) Gọi DE tiếp tuyến chung hai đờng tròn ( D thuộc (O); E thuộc (O)) M giao điểm BD CE Chứng minh : a Góc DME góc vuông b MA tiếp tuyến chung hai đờng tròn c MD MB = ME MC Bài 14: Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp (O), đờng cao BD, CE , M trung điểm BC a Chứng minh tứ giác BCDE nội tiếp b Chứng minh tam giác ADE ABC đồng dạng c Kẻ tiếp tuyến Ax với (O) Chứng minh Ax // DE d Chứng minh góc BAC = 600 tam giác DME tam giác Bài 15: Cho (O) điểm A nằm bên (O) Vẽ tiếp tuyến AB AC , cát tuyến ADE Gọi H trung điểm DE a Chứng minh tứ giác BHOC nội tiếp b Chứng minh HA tia phân giác góc BHA c Gọi I giao điểm BC DE Chứng minh : AB2 = AI AH d BH cắt (O) K Chứng minh AE // CK Bài 16: Cho (O), đờng tròn AB Vẽ tiếp tuyến xBy Gọi C,D hai điểm di động hai nửa mặt phẳng bờ AB đối Tia AC cắt Bx M, tia AD cắt By N a Chứng minh tam giác ACD AMN đồng dạng b Tứ giác MNDC nội tiếp c Chứng minh AC AM = AD AN tích không đổi C, D di động Bài 17: Xét nửa đờng tròn (O), đờng kính AB Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa nửa đờng tròn kẻ tiếp tuyến Ax dây AC Tia phân giác góc Cax cắt nửa đ ờng tròn D, tia AD BC cắt E a Chứng minh tam giác ABE cân B b Các dây AC BD cắt K Chứng minh EK AB c Tia BD cắt tia Ax F Chứng minh tứ giác AKEF hình thoi Bài 18: Cho nửa lục giác ABCD nội tiếp nửa đờng tròn (O ; R) Hai tiếp tuyến B D cắt T a Chứng minh OT // AB b Chứng minh ba điểm O, C, T thẳng hàng c Tính chu vi diện tích tam giác TBD theo R d Tính diện tích hình giới hạn hai cạnh TB, TD cung BCD theo R 41 Bài 19: Hai đờngtròn (O) (O) có bán kính R R ( R > R) tiếp xúc C Gọi AC BC hai đờng kính qua C (O) (O) DE dây cung (O) vuông góc với AB trung điểm M AB Gọi giao điểm thứ hai đờng thẳng DC với (O) F a Tứ giác AEBD hình gì? b Chứng minh ba điểm B, E, F thẳng hàng c Chứng minh tứ giác MDBF nội tiếp d DB cắt (O) G Chứng minh DF, EG, AB đồng qui e Chứng minh MF = DE MF tiếp tuyến (O) Bài 20: Cho đờng tròn tâm O, đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B vẽ đờng tròn tâm O đờng kính BC Gọi M trung điểm AB Từ M kẻ dây cung DE vuông góc với AB, DC cắt (O) I a.Tứ giác ADBE hình ? sao? b.Chứng minh BI // AD c.Chứng minh ba điểm I, B, E thẳng hàng MD = MI d.Xác định giải thích vị trí tơng đối đờng thẳng MI với (O) Bài 21: Từ điểm A bên đờng tròn (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN đờng tròn Gọi I trung điểm dây MN a Chứng minh điểm A,B,I,O,C nằm đờng tròn b Nếu AB = OB tứ giác ABOC hình ? Tại sao? Tính diện tích hình tròn độ dài đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABOC theo bán kính R (O) Bài 22: Cho tam giác ABC nội tiếp (O) Tia phân giác góc A cắt BC D, cắt (O) E Tiếp tuyến đờng tròn A cắt đờng thẳng BC M a Chứng minh MA = MD b Gọi I điểm đối xứng với D qua M, gọi F giao điểm IA với (O).Chứng minh E, O, F thẳng hàng Bài 23: Cho tam giác ABC vuông A Trên cạnh AC lấy điểm M, dựng (O) đờng kính MC Đờng thẳng BM cắt (O) D Đờng thẳng AD cắt đờng tròn (O) S a Chứng minh tứ giác ABCD nội tiếp CA tia phân giác góc SCB b Gọi E giao điểm BC với (O) Chứng minh đờng thẳng BA, EM, CD đồng qui c Chứng minh DM phân giác góc ADE d Chứng minh M tâm đờng tròn nội tiếp tam giác ADE Bài 24: Cho tam giác ABC vuông A a Nêu cách dựng (O) qua A tiếp xúc với BC B Nêu cách dựng (O) qua tiếp xúc với BC C b Hai đờng tròn (O) (O) vị trí tơng đối nào? c Gọi M trung điểm BC Chứng minh AM tiếp tuyến chung (O) (O) d Cho AB = 36cm, AC = 48 cm Tính độ dài BC bán kính (O) , (O) 42 Bài 25: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB, bán kính OC vuông góc với AB Gọi M điểm di động cung BC ( M B, M C) AM cắt OC N a Chứng minh tích AM AN không đổi b Vẽ CD AM Chứng minh tứ giác MNOB AODC nội tiếp c Xác định vị trí điểm M cung BC để tam giác COD cân D Bài 26: Cho tam giác ABC nhọn nội tiếp (O), H trực tâm tam giác ABC, M điểm cung BC không chứa điểm A a Xác định vị trí M để tứ giác BHCM hình bình hành b Gọi N E lần lợt điểm đối xứng M qua AB AC Chứng minh ba điểm N H , E thẳng hàng c Xác định vị trí M để NE có độ dài lớn Bài 27: Cho (O,R) (O,r) tiếp xúc M ( R > r ) Đờng thẳng OO cắt (O) C, cắt (O) D Tiếp tuyến chung AB ( A (O), B (O' ) ) cắt đòng thẳng OO H Tiếp tuyến chung hai đờng tròn M cắt AB I a Chứng minh tam giác OIO AMB tam giác vuông b Chứng minh AB = R.r c Tia AM cắt (O) A, tia BM cắt (O) B Chứng minh ba điểm A, O, B A , O , B thẳng hàng CD2 = BB2 + AA2 d Gọi N N lần lợt giao điểm AM với OI BM với OI Tính độ dài đoạn thẳng MI, AB, OI, OI, OH, OH theo R r Bài 28: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB, điểm C ( khác A, B ) nằm đờng tròn Tiếp tuyến Cx (O) cắt tia AB I Phân giác góc CIA cắt OC O a Chứng minh (O, OC) vừa tiếp xúc với (O) vừa tiếp xúc với đờng thẳng AB b Gọi D,E theo thứ tự giao điểm thứ hai CA, CB với (O) Chứng minh D, O, E thẳng hàng c Tìm vị trí C cho đờng tròn ngoại tiếp tam giác OCI tiếp xúc với AC Bài 29: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R Kẻ tiếp tuyến Bx với nửa đờng tròn C D hai điểm di động nửa đờng tròn Các tia AC AD cắt Bx lần lợt E F ( F nằm B E ) a Chứng minh hai tam giác ABF BDF đồng dạng b Chứng minh tứ giác CEFD nội tiếp c Khi D C di động nửa đờng tròn , chứng tỏ : AC AE = AD AF = const Bài 30: Cho (O) Vẽ hai dây AB CD vuông góc M bên (O) Từ A vẽ đờng thẳng vuông góc với BC H, cắt CD E F điểm đối xứng C qua AB Tia AF cắt tia BD K Chứng minh rằng: a Góc MAH = góc MCB b Tam giác ADE cân c Tứ giác AHBK nội tiếp 43 Bài 31 Cho đoạn thẳng AB C điểm nằm A B Ngời ta kẻ nửa mặt phẳng bờ AB hai tia Ax By vuông góc với AB Trên tia Ax lấy điểm I Tia Cz vuông góc với tia CI C cắt By K Đờng tròn đờng kính IC cắt IK P Chứng minh: a Tứ giác CPKB nội tiếp b AI.BK=AC.CB c APB vuông d Giả sử A, B, I cố định Hãy xác định vị trí điểm C cho diện tích hình thang vuông ABKI lớn Bài 32 Cho (O) điểm A nằm (O) Từ A kẻ hai tiếp tuyến AB, AC cát tuyến AMN với (O) (B, C, M, N thuộc (O); AM R tiếp xúc C Kẻ đờng kính COA COB Qua trung điểm M AB , dựng DE AB a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? 48 b) Nối D với C cắt đờng tròn tâm O F CMR ba điểm B , F , E thẳng hàng c) Nối D với B cắt đờng tròn tâm O G CMR EC qua G d) *Xét vị trí MF đờng tròn tâm O , vị trí AE với đờng tròn ngoại tiếp tứ giác MCFE Bài 26: Cho nửa đờng tròn đờng kính COD = 2R Dựng Cx , Dy vuông góc với CD Từ điểm E nửa đờng tròn , dựng tiếp tuyến với đờng tròn , cắt Cx P , cắt Dy Q a) Chứng minh POQ vuông ; POQ đồng dạng với CED b) Tính tích CP.DQ theo R c) Khi PC= R POQ 25 CMR = CED 16 d) Tính thể tích hình giới hạn nửa đờng tròn tâm O hình thang vuông CPQD chúng quay theo chiều trọn vòng quanh CD Bài 27: Cho đờng tròn tâm O bán kính R có hai đờng kính AOB , COD vuông góc với Lấy điểm E OA , nối CE cắt đờng tròn F Qua F dựng tiếp tuyến Fx với đờng tròn , qua E dựng Ey vuông góc với OA Gọi I giao điểm Fx Ey a) Chứng minh I,F,E,O nằm đờng tròn b) Tứ giác CEIO hình ? c) Khi E chuyển động AB I chuyển động đờng ? Bài 28: Cho đờng tròn tâm O điểm A đờng tròn Qua A dựng tiếp tuyến Ax Trên Ax lấy điểm Q , dựng tiếp tuyến QB a) CMR tứ giác QBOA nội tiếp đợc b) Gọi E trung điểm QO , tìm quỹ tích E Q chuyển động Ax c) Hạ BK Ax , BK cắt QO H CMR tứ giác OBHA hình thoi suy quỹ tích điểm H Bài 29: Cho ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn tâm O Các đờng cao AD , BK cắt H , BK kéo dài cắt đờng F Vẽ đờng kính BOE a) Tứ giác AFEC hình ? Tại ? b) Gọi I trung điểm AC , chứng minh H , I , E thẳng hàng c) CMR OI = BH H ; F đối xứng qua AC Bài 30: Cho (O,R) (O ,R ) (với R>R ) tiếp xúc A Đờng nối tâm cắt đờng tròn O đờng tròn O B C Qua trung điểm P BC dựng dây MN vuông góc với BC Nối A với M cắt đờng tròn O E a) So sánh AMO với NMC ( - đọc góc) b) Chứng minh N , B , E thẳng hàng OP = R ; OP = R c) Xét vị trí PE với đờng tròn tâm O Bài 31: Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Lấy B làm tâm vẽ đờng tròn bán kính OB Đờng tròn cắt đờng tròn O C D a) Tứ giác ODBC hình ? Tại ? b) CMR OC AD ; OD AC c) CMR trực tâm tam giác CDB nằm đờng tròn tâm B Bài 32: Cho đờng tròn tâm O đờng thẳng d cắt đờng tròn hai điểm cố định A B Từ điểm M đờng thẳng d nằm đoạn AB ngời ta kẻ hai tiếp tuyến với đờng tròn MP MQ ( P, Q tiếp điểm ) a) Tính góc MPQ biết góc hai tiếp tuyến MP MQ 45 b) Gọi I trung điểm AB CMR điểm M , P , Q, O , I nằm đờng tròn c) Tìm quỹ tích tâm đờng tròn ngoại tiếp MPQ M chạy d 49 Bài 33: Cho ABC nội tiếp đờng tròn tâm O , tia phân giác góc A cắt cạnh BC E cắt đờng tròn M a) CMR OM BC b) Dựng tia phân giác Ax góc A CMR Ax qua điểm cố định c) Kéo dài Ax cắt CB kéo dài F CMR FB EC = FC EB Bài 34: Cho ABC ( AB = AC , A < 900 ), cung tròn BC nằm ABC tiếp xúc với AB , AC B C Trên cung BC lấy điểm M hạ đờng vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi P giao điểm MB , IK Q giao điểm MC , IH a) CMR tứ giác BIMK , CIMH nội tiếp đợc b) CMR tia đối tia MI phân giác HMK c) CMR tứ giác MPIQ nội tiếp đợc Suy PQ // BC Bài 35: Cho ABC ( AC > AB ; BA C > 900 ) I , K theo thứ tự trung điểm AB , AC.Các đờng tròn đờng kính AB , AC cắt điểm thứ hai D ; tia BA cắt đờng tròn (K) điểm thứ hai E; tia CA cắt đờng tròn (I) điểm thứ hai F a) CMR ba điểm B , C , D thẳng hàng b) CMR tứ giác BFEC nội tiếp đợc c) Chứng minh ba đờng thẳng AD , BF , CE đồng quy Bài 36: Cho đờng tròn (O;R) điểm A với OA = R , đờng thẳng (d) quay quanh A cắt (O) M , N ; gọi I trung điểm đoạn MN a) CMR OI MN Suy I di chuyển cung tròn cố định với hai điểm giới hạn B , C thuộc (O) b) Tính theo R độ dài AB , AC Suy A , O , B , C bốn đỉnh hình vuông c) Tính diện tích phần mặt phẳng giới hạn đoạn AB , AC cung nhỏ BC (O) Bài 37: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R , C trung điểm cung AB Trên cung AC lấy điểm F Trên dây BF lấy điểm E cho BE = AF a) AFC BEC có quan hệ với nh ? Tại ? b) CMR FEC vuông cân c) Gọi D giao điểm đờng thẳng AC với tiếp tuyến B nửa đờng tròn CMR tứ giác BECD nội tiếp đợc Bài 38: Cho đờng tròn (O;R) hai đờng kính AB , CD vuông góc với E điểm cung nhỏ BD ( E B; E D ) EC cắt AB M , EA cắt CD N a) CMR AMC đồng dạng ANC b) CMR : AM.CN = 2R2 CN c) Giả sử AM=3MB Tính tỉ số ND Bài 39: Một điểm M nằm đờng tròn tâm (O) đờng kính AB Gọi H , I lần lợt hai điểm cungAM , MB ; gọi Q trung điểm dây MB , K giao điểm AM , HI a) Tính độ lớn góc HKM b) Vẽ IP AM P , CMR IP tiếp xúc với đờng tròn (O) c) Dựng hình bình hành APQR Tìm tập hợp điểm R M di động nửa đờng tròn (O) đờng kính AB 50 Bài 40: Gọi O trung điểm cạnh BC ABC Vẽ góc xOy =600 cho tia Ox, Oy cắt cạnh AB , AC lần lợt M, N a) CMR OBM đồng dạng NCO , từ suy BC2 = BM.CN b) CMR : MO, NO theo thứ tự tia phân giác góc BMN, MNC c) CMR đờng thẳng MN tiếp xúc với đờng tròn cố định , góc xOy quay xung quanh O cho tia Ox,Oy cắt cạnh AB, AC tam giác ABC Bài 41: Cho M điểm nửa đờng tròn tâm (O) đờng kính AB=2R ( M A, B ) Vẽ tiếp tuyến Ax , By , Mz nửa đờng tròn Đờng Mz cắt Ax , By lần lợt N P Đờng thẳng AM cắt By C đờng thẳng BM cắt Ax D Chứng minh : a) Tứ giác AOMN nội tiếp đờng tròn NP = AN + BP b) N P lần lợt trung điểm đoạn thẳng AD BC c) AD.BC = 4R2 d) Xác định vị trí M để t giác ABCD có diện tích nhỏ Bài 42: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tâm (O) I điểm cung AB (cung AB không chứa C D ) Dây ID , IC cắt AB lần lợt M N a) CMR tứ giác DMNC nội tiếp đờng tròn b) IC AD cắt E ; ID BC cắt F CMR EF // AB Bài 43: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AC Trên đoạn OC lấy điểm B ( B C ) vẽ đờng tròn tâm (O) đờng kính BC Gọi M trung điểm đoạn AB Qua M kẻ dây cung DE vuông góc với AB , DC cắt đờng tròn (O) I a) Tứ giác ADBE hình ? Tại ? b) Chứng minh ba điểm I , B , E thẳng hàng c) CMR: MI tiếp tuyến đờng tròn (O) MI2 = MB.MC Bài 44: Cho đờng tròn tâm (O) đờng kính AB = 2R điểm M di động nửa đờng tròn Ngời ta vẽ đờng tròn tâm (E) tiếp xúc với đờng tròn (O) M tiếp xúc với đờng kính AB N Đờng tròn cắt MA , MB lần lợt điểm thứ hai C, D a) Chứng minh : CD // AB b) Chứng minh MN tia phân giác góc AMB đờng thẳng MN qua điểm K cố định c) CMR : KM.KN không đổi Bài 45: Cho đờng tròn đờng kính AB , điểm C , D đờng tròn cho C, D không nằm nửa mặt phẳng bờ AB đồng thời AD > AC Gọi điểm cung AC , AD lần lợt M , N ; giao điểm MN với AC , AD lần lợt H , I ; giao điểm MD với CN K a) CMR: NKD; MAK cân b) CMR tứ giác MCKH nội tiếp đợc Suy KH // AD c) So sánh góc CAK với góc DAK Bài 46: Cho ba điểm A , B , C đờng thẳng theo thứ tự đờng thẳng (d) vuông góc với AC A Vẽ đờng tròn đờng kính BC lấy điểm M Tia CM cắt đờng thẳng d D ; tia AM cắt đờng tròn điểm thứ hai N ; tia DB cắt đờng tròn điểm thứ hai P a) CMR tứ giác ABMD nội tiếp đợc b) CMR : CM.CD không phụ thuộc vị trí M c) Tứ giác APND hình ? Tại ? Bài 47: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đờng tròn P điểm cung AB không chứa C D Hai dây PC PD lần lợt cắt dây AB E F Các dây AD PC kéo dài cắt I ; dây BC PD kéo dài cắt K CMR: a) Góc CID góc CKD b) Tứ giác CDFE nội tiếp đợc c) IK // AB 51 d) Đờng tròn ngoại tiếp tam giác AFD tiếp xúc với PA A Bài 48: Cho (O;R) có dây AB = R cố định điểm M di động cung lớn AB cho tam giác MAB có ba góc nhọn Gọi H trực tâm tam giác MAB ; P , Q lần lợt giao điểm thứ hai đờng thẳng AH , BH với đờng tròn (O) ; S giao điểm đờng thẳng PB , QA a) CMR : PQ đờng kính đờng tròn (O) b) Tứ giác AMBS hình ? Tại ? c) Chứng minh độ dài SH không đổi Bài 49: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB , kẻ tiếp tuyến Ax lấy điểm P cho AP > R Kẻ tiếp tuyến PM (M tiếp điểm ) a) CMR : BM // OP b) Đờngthẳng vuông gócvới AB O cắt tia BM N Tứ giác OBNP hình ? Tại ? c) Gọi K giao điểm AN với OP ; I giao điểm ON với PM ; J giao điểm PN với OM CMR : K , I , J thẳng hàng d) Xác định vị trí P cho K nằm đờng tròn (O) Bài 50: Cho đờng tròn (O;R) , hai đờng kính AB CD vuông góc Trong đoạn thẳng AB lấy điểm M ( khác điểm O ) , đờng thẳng CM cắt đờng tròn (O) điểm thứ hai N Đờng thẳng vuông góc với AB M cắt tiếp tuyến N với đờng tròn (O) điểm P a) CMR tứ giác OMNP nội tiếp đợc b) Tứ giác CMPO hình ? Tại ? c) CMR : CM.CN không đổi d) CMR : M di động đoạn AB P chạy mộtđờng thẳng cố định Bài 51: Cho hai đờng tròn (O) , (O) cắt hai điểm A B Các đờng thẳng AO, AO cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai C , D cắt đờng tròn (O) lần lợt điểm thứ hai E , F a) CMR: B , F , C thẳng hàng b) Tứ giác CDEF nội tiếp đợc c) Chứng minh A tâm đờng tròn nội tiếp tam giác BDE d) Tìm điều kiện để DE tiếp tuyến chung đờng tròn (O) , (O) Bài 52: Cho nửa đờng tròn đờng kính AB = 2R điểm M nửa đờng tròn ( M khác A B ) Đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt đờng trung trực đoạn AB I Đờng tròn (I) tiếp xúc với AB cắt đờng thẳng d C D ( D nằm góc BOM ) a) CMR tia OC , OD tia phân giác góc AOM , BOM b) CMR : CA DB vuông góc với AB c) CMR : AMB đồng dạng COD d) CMR : AC.BD = R2 Bài 53: Cho đờng tròn (O;R) đờng kính AB điểm M đờng tròn Gọi điểm cung AM , MB lần lợt H , I Cãc dây AM HI cắt K a) Chứng minh góc HKM có độ lớn không đổi b) Hạ Chứng minh IP tiếp tuyến (O;R) c) Gọi Q trung điểm dây MB Vẽ hình bình hành APQS Chứng minh S thuộc đờng tròn (O;R) d) CMR kkhi M di động thì đờng thẳng HI luôn tiếp xúc với đờng tròn cố định Bài 54: Cho nửa đờng tròn (O) đờng kính AB hai điểm C , D thuộc nửa đờng tròn cho cung AC < 900 CO D = 900 Gọi M điểm nửa đờng tròn cho C điểm chính cung AM Các dây AM , BM cắt OC , OD lần lợt E F a) Tứ giác OEMF hình ? Tại ? 52 b) CMR : D điểm cung MB c) Một đờng thẳng d tiếp xúc với nửa đờng tròn M cắt tia OC , OD lần lợt I , K CMR tứ giác OBKM ; OAIM nội tiếp đợc Bài 55: Cho ABC (AB = AC ) , cung tròn BC nằm bên tam giác ABC tiếp xúc với AB , AC B , C cho A tâm cung BC nằm khác phía BC Trên cung BC lấy điểm M kẻ đờng vuông góc MI , MH , MK xuống cạnh tơng ứng BC , CA , AB Gọi giao điểm BM , IK P ; giao điểm CM , IH Q a) CMR tứ giác BIMK, CIMH nội tiếp đợc b) CMR : MI2 = MH MK c) CMR tứ giác IPMQ nội tiếp đợc Suy PQ MI d) CMR KI = KB IH = IC - Hết - 53 [...]... x23 = (x1 + x2)3 – 3x1x2(x1 + x2) V× ph¬ng tr×nh cã nghiƯm víi mäi k Theo hƯ thøc viÐt ta cã x1 + x2 = k – 1 vµ x1x2 = - k2 + k – 2  x13 + x23 = (k – 1)3 – 3(- k2 + k – 2)( k – 1) = (k – 1) [(k – 1)2 - 3(- k2 + k – 2)] = (k – 1) (4k2 – 5k + 7) 5 2 87 ) + ] 4 16 5 87 Do ®ã x13 + x23 > 0 ⇔ (k – 1)[(2k - )2 + ] > 0 4 16 5 87 ⇔ k – 1 > 0 ( v× (2k - )2 + > 0 víi mäi k) 4 16 ⇔k>1 = (k – 1)[(2k - VËy k >... thêng gỈp vµ c¸ch biÕn ®ỉi): *) x12+ x22 = (x1+ x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p *) (x1 – x2)2 = (x1 + x2)2 – 4x1x2 = S2 – 4p 3 3 3 *) x1 + x2 = (x1 + x2) – 3x1x2(x1 + x2) = S3 – 3Sp *) x14 + x24 = (x12 + x22)2 – 2x12x22 *) x + x2 1 1 S + = 1 = x1 x 2 x1 x 2 p *) x1 x 2 x1 + x 2 S2 − 2p = + = x 2 x1 x1 x 2 p 2 2 *) (x1 – a)( x2 – a) = x1x2 – a(x1 + x2) + a2 = p – aS + a2 *) x1 + x 2 − 2a 1 1 S − 2a + = = x1 − a... ≥ 0 ⇔ k + 5k – 2 ≥ 0 (*) 2 Ta cã x1 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 Theo bµi ra ta cã (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 10 Víi ®iỊu kiƯn(*) , ¸p dơng hƯ trøc vi Ðt: x1 + x2 = - b = - 2k vµ x1x2 = 2 – 5k a VËy (-2k)2 – 2(2 – 5k) = 10 ⇔ 2k2 + 5k – 7 = 0 (Cã a + b + c = 2+ 5 – 7 = 0 ) => k1 = 1 , k2 = - 7 2 §Ĩ ®èi chiÕu víi ®iỊu kiƯn (*) ta thay lÇn lỵt k1 , k2 vµo ∆/ = k2 + 5k – 2 + k1 = 1 => ∆/ = 1 + 5 – 2 = 4 > 0 ;... Víi -3< m < 3 th× ph¬ng tr×nh v« nghiƯm Bµi 2: Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh: (m- 3) x2 – 2mx + m – 6 = 0 Híng dÉn • NÕu m – 3 = 0 ⇔ m = 3 th× ph¬ng tr×nh ®· cho cã d¹ng - 6x – 3 = 0 ⇔ x=- 1 2 * NÕu m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 Ph¬ng tr×nh ®· cho lµ ph¬ng tr×nh bËc hai cã biƯt sè ∆/ = m2 – (m – 3)(m – 6) = 9m – 18 - NÕu ∆/ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0 ⇔ m = 2 ph¬ng tr×nh cã nghiƯm kÐp / x1 = x 2 = - b = 2 a 2−3 =-2 - NÕu ∆/... = 0 Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 cã a + b + c = 1 + 3m – 5 – 3m + 4 = 0 Suy ra : x1 = 2 Hc x2 = m +1 3 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 (*) * m- 3 = 0 ⇔ m = 3 (*) trë thµnh – 4x – 4 = 0 ⇔ x = - 1  x1 = −1 * m – 3 ≠ 0 ⇔ m ≠ 3 (*) ⇔   x 2 = 2m − 2 m−3  Bµi 5: Gäi x1 , x2 lµ c¸c nghÞªm cđa ph¬ng tr×nh : x2 – 3x – 7 = 0 a) TÝnh: A = x12 + x22 B = x1 − x2 C= 1 1 + x1 − 1 x 2 − 1 D... ) x2 –( 3 - 2 7 )x - 6 7 = 0 cã : ac = - 6 7 < 0 Do ®ã ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 ¸p dơng hƯ thøc ViÐt ,ta cã x 1 + x 2 = 3 - 2 7  x 1 x 2 = - 6 7 = 3(-2 7 ) VËy ph¬ng tr×nh cã 2 nghiƯm x1 = 3 , x2 = - 2 7 Bµi 4 : Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau b»ng c¸nh nhÈm nhanh nhÊt (m lµ tham sè) a) x2 + (3m – 5)x – 3m + 4 = 0 b) (m – 3)x2 – (m + 1)x – 2m + 2 = 0 Híng dÉn : a) x2 + (3m – 5)x – 3m... 9x1x2 + 3(x12 + x22) + x1x2 = 10x1x2 + 3 (x12 + x22) = 10p + 3(S2 – 2p) = 3S2 + 4p = - 1 b)Ta cã : S= 1 1 1 + = − (theo c©u a) x1 − 1 x 2 − 1 9 22 1 1 1 = =− ( x1 − 1)( x 2 − 1) p − S + 1 9 1 1 VËy vµ lµ nghiƯm cđa h¬ng tr×nh : x1 − 1 x2 − 1 1 1 X2 – SX + p = 0 ⇔ X2 + X - = 0 ⇔ 9X2 + X - 1 = 0 9 9 p= Bµi 6 : Cho ph¬ng tr×nh : x2 – ( k – 1)x - k2 + k – 2 = 0 (1) (k lµ tham sè) 1 Chøng minh ph¬ng tr×nh... ph¬ng tr×nh bËc 2 cã c¸c nghiƯm lµ 1 1 vµ x1 − 1 x2 − 1 Gi¶i ; Ph¬ng tr×nh b©c hai x – 3x – 7 = 0 cã tÝch ac = - 7 < 0 , suy ra ph¬ng tr×nh cã hai nghiƯm ph©n biƯt x1 , x2 Theo hƯ thøc ViÐt ,ta cã : S = x1 + x2 = 3 vµ p = x1x2 = -7 a)Ta cã + A = x12 + x22 = (x1 + x2)2 – 2x1x2 = S2 – 2p = 9 – 2(-7) = 23 + (x1 – x2)2 = S2 – 4p => B = x1 − x2 = S 2 − 4 p = 37 2 +C= 1 1 (x + x ) − 2 S −2 1 + = =− = 1 2 x1... 4 = x1x2 = => x2 = : x1 = :3= 9 m 9 9 9 9 − 4 C¸ch 3: Thay m = - Bµi 10: Cho ph¬ng tr×nh : x2 + 2kx + 2 – 5k = 0 (1) víi k lµ tham sè 1.T×m k ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp 2 Tim k ®Ĩ ph¬ng tr×nh (1) cã 2 nghiƯm x1 , x2 tho¶ m·n ®iỊu kiƯn : x12 + x22 = 10 Gi¶i 1.Ph¬ng tr×nh (1) cã nghiƯm kÐp ⇔ ∆/ = 0 ⇔ k2 – (2 – 5k) = 0 ⇔ k2 + 5k – 2 = 0 ( cã ∆ = 25 + 8 = 33 > 0 ) − 5 − 33 − 5 + 33  k1 = ; k2 = 2... cđa tham sè t×m ®ỵc vµo ph¬ng tr×nh råi gi¶i ph¬ng tr×nh (nh c¸ch 2 tr×nh bÇy ë trªn) +) C¸ch 2 :Thay gi¸ trÞ cđa tham sè t×m ®ỵc vµo c«ng thøc tỉng 2 nghiƯm sÏ t×m ®ỵc nghiƯm thø 2 +) C¸ch 3: thay gi¸ trÞ cđa tham sè t×m ®ỵc vµo c«ng thøc tÝch hai nghiƯm ,tõ ®ã t×m ®ỵc nghiƯm thø 2 B Bµi tËp ¸p dơng Bµi 1: Gi¶i vµ biƯn ln ph¬ng tr×nh : x2 – 2(m + 1) +2m +10 = 0 Gi¶i 2 2 / Ta cã ∆ = (m + 1) – 2m + 10