Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc I. Hệ phơng trình bậc nhất hai ẩn 1. Giải các phơng trình 1) 2x + 3y = 5 2) 3x y = 2 x + 4y = 5 x + 3y = 4 3) 2x + y = 4 4) 2x + y = 3x + 4y + 1 4x 3y = -2 4x + 3y = 2x + 2y -2 2. Giải và biện luận 1) ax + y = 1 2) (a 1) x + ay = a 2x + (a + 1) y = 2 ax + (a + 1) y = a 3. Cho hệ phơng trình: (a 1) x + ay = a + 1 ax + (a + 1) y = a + 2 a) Chứng minh rằng với mọi a hệ luôn có nghiệm duy nhất. b) Tìm a để nghiệm duy nhất (x, y) của hệ thoả mãn x + y = 2008. 4. Cho hệ phơng trình: (m 1) x + y = 5 X + (m 1) y = 4 Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x + y < 1. 5. Cho hệ phơng trình: (a 1) x + ay = a + 1 ax + (a 1) y = a 2 a) Giải hệ với a = 3 b) Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất (x, y) thoả mãn x + y < 2008 II. Giải hệ bằng phơng pháp thế. 1. Hệ có một phơng trình là bậc nhất 2 ẩn. 1) x 2y = 3 2) 2x + 3y = 5 x 2 + 2y 2 + x y = 5 2x 2 + y 2 xy + 3y = 5 3) x + 2y = 3 4) 2 2 1 3 2x y x y+ + + = x 3 y 2 + 3y = 3 3x + 2y = 5 5) 2 1 2 2 2 3 8 x y y x y + + = + = 6) Giải và biện luận x y + m = 0 x 2 + y 2 = 4 2. Hệ rút ngay đợc 1 ẩn theo ẩn còn lại từ 1 phơng trình. 1) 4x 2 x y 2 = 0 2) x 3 + x y 1 = 0 x 2 + 2x + y 4 = 0 x 2 + 2x + y 4 = 0 3) ( 3) 3 1 y x x x y x + + = + = + 4) 2 4 1 2 1 0 yx x y = + = 5) (x + 1) 2 y 3 (x + 1) y + 4 = 0 6) x 2 y 2 + 3xy x 1 = 0 xy + y x 2 = 0 xy x 1 = 0 3. Hệ có một phơng trình đa về dạng tích. 1) x 2 x 2 y + 4y = 4 2) 6x 2 3xy + x = 1 - y x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 = 1 Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 3) xy - x - 2y + 2 = 0 4) 2 2 1 1 x y x y x y x y + + = + + = x 2 + 2xy = 3 5) x 2 + y 2 = 2 6) x 2 + 3x 2y 2 = 0 x + y + 2xy xy (x + y) = 2 x 2 (4x 2 + 4y 1) = y (3y + 4x) 7) =++ ++=++ 4322 )5)(3()3)(1( yx yyxx *8) =+ =++ 122212 1223 2222 yx xyyxyxxyyx 4. Hệ đa về các dạng trên bằng phép cộng đại số 1) x 2 + 2y 2 3x + 2y = 10 2) 4x 2 - x y 6 + 4xy = 0 2x 2 + 4y 2 + x 3y = 13 x 2 + 2x + y 5 + xy = 0 3) x 2 + 2xy = 3 4) x 2 y + 2xy 2 = y + 2x 2x + x 2 y = 3 x 2 y 2 + 2xy = y + 2x 5) x 2 y + 2x + 3y = 6 6) 3y 2 + 4x 2y 5 = 0 3xy + x + y = 5 2x 2 + 3y 2 2xy + 2x 5 = 0 III. Giải hệ bằng phép đặt ẩn phụ 1. Hệ đối xứng loại 1: 1) x + y + 2xy = 4 2) x 2 + x 2 + y 2 + y = 4 x 2 + y 2 + x + y = 4 x (x + y + 1) + y (y + 1) = 5 3) x 2 + y 2 + xy = 7 4) x + y + xy = 3 x 2 + y 2 + xy + x + y = 10 x 3 + y 3 + x 2 + y 2 = 4 5) x 2 y + y 2 x = 20 6) 4x y xy+ = x 3 + y 3 = 65 5 5 6x y+ + + = 7) 2 2 2 8 2x y xy+ + = 8) 2 5 =+ x y y x 4x y+ = 2 2 21x y xy+ + = 9) 2 2 1 1 4x y x y + + + = 10) (x y) xy = 2 2 x y y x + = x 2 + y 2 +x + y = 8 2. Một số phép thế biến cơ bản 1) 2 (x y) + xy = 1 2) x y + xy = 2 x 2 + y 2 = 2 x 2 + y 2 = 5 3) 26 5 x y y x + = 4) 2 2 1 1 4x x y y + + + = x 2 y 2 = 24 2 2 1 1 ( )( ) 4x x y y + + = Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 5) x 2 + y 2 = 1 6) 2x x y y xy+ = 2x y x y+ + = 2x y+ = 7) x + y + x 2 y 2 = 3xy 8) x 2 + y 2 + xy = 3x 2 y 2 1 1 1xy x y + = x 2 + y 2 xy = x 2 y 2 9) 4 x y x y y x + + + = 10) x 2 y 2 + xy 2 + y + 1 = 4y 2 2 2 4 x y x y y x + + + = x 2 y 2 + 2x 2 y + 2x + 1 = 4y 2 11) x 2 xy + y 2 = 3 (x y) 12) 1 ( )(1 ) 4x y xy + + = x 2 + xy + y 2 = 7 (x y) 2 2 2 1 4 x y xy xy xy + + + = 13) 1 ( )(1 ) 5x y xy + + = 14) 1 ( )(1 ) 6x y xy + + = 1 4xy xy + = 2 2 2 1 ( )(1 ) 18x y xy + + = 15) 2 2 2 1 1 3 x y x y + = + + 16) x 2 y 2 + y 4 +1 = 3y 2 ) 1 1)(( xy yx ++ =6 xy 2 + x = 2y 17) 1 2 4x y x + + = 18) x 2 + y 2 + x + y = 4xy 2 1 3x xy x + + = 2 2 1 1 4 y x x y x y + + + = 3. Vui chơi cùng toán. 1) 2 (x 2 + y 2 ) + 2 (x + y) + xy (x + 1) (y + 1) = 12 x 4 + y 4 + 2x 3 + 2y 3 = 3 + x + y 2) 4x 2x 2 2y 2 = 1 3) x 2 + y 2 + x y + xy = 2 2x (x 2 y 2 ) = 6 (x + y) (xy x + y 1) = 2 4) (x 2 + x) (1 2y) + y 2 + 4y = 18 5) 2x 2 12x + 2xy + x 2 y + y = -2 x 4 + 2x 3 x 4y = -14 x 4 + x 2 y 2 + x 3 y + xy = 10x 2 1 V. Sử dụng phơng pháp cộng đại số và biến đổi đẳng thức. 1. Hệ đối xứng loại 2: 1) x 2 + y = 2 2) x 2 + xy + x = 10 y 2 + x = 2 y 2 + xy + y = 10 Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 3) x 2 2y 2 = 7x 4) x 3 = 2y - x y 2 2x 2 = 7y y 3 = 2x y 5) 3x 3 = x 2 + 2y 2 6) 2 2 2 3 y y x + = 3y 3 = y 2 + 2x 2 2 2 2 3 x x y + = 7) x 3 + 3y 2 x = 4 8) 5 3x y + = y 3 + 3x 2 y = 4 5 3y x + = 9) 5 2 7x y+ + = 10) 5 1x y+ + = 2 5 7x y + + = 5 1y x+ + = 11) 3 2x y+ = 12) 2 1 3 2x y + = 2 3 =+ xy 2 1 3 2y x + = 13) 1 2 1x y + = 14) Giải và biện luận x 2 + y = m 1 2 1y x + = y 2 + x = m 2. Giải hệ bằng phơng pháp cộng đại số. 1) 3x 2 + 2x + 2y 7 = 0 2) -x 2 + 3y 2 + 2x + y = 5 x 2 + 6x + y 8 = 0 -2x 2 + 6y 2 + 4x y = 7 3) xy + 2y 2 + x 4y = 0 4) x 2 + y 2 + xy (x + y) = 4xy 2xy y 2 + x 2y = 0 x 2 + y 2 = xy (x + 1) 5) xy 2 + x 2 + xy 4x = -1 6) x 2 + 2xy + y = 4 xy 2 x 2 + 2xy 3x = -1 x 2 + xy + 4x 7y = 3 7) 3x 2 + 3xy + 4x 7y = 3 8) 2x 2 + y = 3 y 2 + 2x 2 + 2x 3y = 2 x 2 + xy + x = 3 3. Hệ đẳng cấp. a) Hệ đẳng cấp. 1) x 2 + y 2 + xy = 3 2) x 3 + y 3 = 2x x 2 y 2 + xy = 1 x 3 y 3 = x 3) x 2 + y 2 + 2xy = 4 4) 2 2 ( ) 2 x x y y + = x 2 y 2 + xy = 1 2 2 ( ) 1 y x y x = 5) x 2 + 3y 2 3xy = 1 6) 2x 2 y + xy 2 = 15 2x 2 + y 2 xy = 2 8x 3 + y 3 = 35 7) 2x 2 + 3y 2 3xy = 8 8) x 3 + 3y 2 x = 4 Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 2x 2 + y 2 + xy = 2 y 3 + 3x 2 y = 4 9) 4x 2 + 2xy = 3 10) (x y) (x 2 y 2 ) = 7 y 2 + 2xy = -2 (x + y) (x 2 + y 2 ) = 175 11) (x y) (x 2 + y 2 ) = 13 12) xy (x + y) = 6 (x + y) (x 2 y 2 ) = 25 x 3 + y 3 = 9 b. Hệ đa về dạng đồng bậc. 1) x 2 + y 2 xy = 1 2) x 2 + y 2 + xy = 3 2x 3 = x + y x 3 + 2y 3 = y + 2x 3) x 3 + 2y 3 = 2x 4) x 3 + y 3 = 2x 2 y 2 2x 3 y 3 = x 2y + x = 3xy 5) 2x 2 + 2y 2 = 1 + 2x + y 6) x 2 + y 2 + xy + 2y + x = 2 6xy 2y 2 = 1 + 2x + y x 2 = 1 + y 2 + y 7) x 2 (1 + y 2 ) = 2 8) x 2 + 2y 2 + 2x + 8y + 6 = 0 x 2 y 2 + xy = 3x 2 1 x 2 + xy + y + 4x + 1 = 0 9) 2x 2 + 2xy + y = 5 10) x 2 + y 2 + xy + x + 2y = 2 y 2 + xy + 5x = 7 2x 2 y 2 + xy + x 2y = 1 V. Giải hệ bằng phơng pháp đánh giá 1) 1 1x x y+ + + = 2) x 2 + y 2 = 1 1 1y y x+ + + = x 10 + y 10 = 1 3) 1x y+ = 4) 2 2 2x y+ = x 4 + y 4 = 1 2 2 2y x+ = 5) 2 2 1 1 2 2x x y y y+ + = + + x 2 + 2y 2 + 3xy + 2y = 4 6) 1 3 8 3 6 11x x x y y y+ + + + + = + + + + + x 2 + y 2 xy + 3x 10 = 0 7) =+ +=+ 212 22 2424 yx yyxx 8) =++ ++++=++ 7 8448 2 22 yyx yyyyxx 9) =+ +++=++ 20122010 )2010) (2)(1()2009) (1( yx yyyxxx 10) =++++++ =+ 12)233( 2 33 22 yxyxxyyx yx VI. Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh. A. Hệ phơng trình trong các đề thi tuyển sinh ĐH- CĐ 2002-2009 1) (KB 2002) 3 x y x y = 2) KA 2003 1 1 x y x y = 2x y x y+ = + + 2y = x 3 + 1 3) KB 2003 2 2 2 3 y y x + = 4) KD 2004 (Tìm m để hệ có nghiệm) 1x y+ = Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 2 2 2 3 x x y + = 3x x y y m+ = 5) TK 2 1 1x y x y+ + + = 6) TK x 2 + y 2 + x + y = 4 3x + 2y = 4 x (x + y + 1) + y (y + 1) = 2 7) KA 2006 3x y xy+ = 8) TK x 2 + 1 + y (x + y) = 4y 1 1 4x y+ + + = (x 2 + 1) (y + x 2) = y 9)TK x 3 - 8x = y 3 + 2y 10) TK x 2 xy + y 2 = 3 (x y) x 2 3 = 3 (y 2 + 1) x 2 + xy + y 2 = 7 (x y) 2 11) TK 2x 2 y + xy 2 = 15 12) TK xy + x 2 = 1 + y 8x 3 + y 3 = 35 xy + y 2 = 1 + x 13) KA 2008 2 3 2 5 4 x y x y xy xy+ + + + = 14) KB 2008 x 4 + 2x 3 y + x 2 y 2 = 2x + 9 4 2 5 (1 2 ) 4 x y xy x+ + + = x 2 + 2xy = 6x + 6 15) KD 2008 xy + x + y = x 2 2y 2 16) TK x + y + xy = 3 2 1 2 2x y y x x y = x 2 y + y 2 x = 2 17) TK 3( ) 4x y xy+ = 18) TK x 2 + y 2 + x + y = 8 xy = 9 xy + x + y = 5 19) TK x 2 + y 2 + 4 (x + y) = -7 20) TK x 2 + y 2 = 3 xy = 6 x 3 1 4 2y xy+ + = + 21) TK x 3 + 1 = 2y 22) TK 2 2 2 8 2x y xy+ + = y 3 + 1 = 2x 4x y+ = 23) TK 2 3 2x y x + = 24) TK 5 2 x y y x + = 2 3 2y x y + = 2 2 21x y xy+ + = 25) KB2009 xy+x+1=7y 26) KD2009 x(x+y+1)+3=0 x 2 y 2 +xy+1=13y 2 (x+y) 2 - 2 5 x +1=0 B. Hệ phơng trình trong các đề thi vào các trờng ĐH - CĐ trớc 2002 1) 9 9x y+ + = 2) 1 1 1 x y + = 3) 2 2x y+ = 9 9x y+ + = 2 2 12x xy y+ + = 2 2x y + = Năm học 2009-2010 Chuyªn ®Ò HÖ Ph¬ng Tr×nh NguyÔn V¨n §¾c 4) 11 4 =−+ yx 5) 4 3 y x y x − = 6) x 3 – y 3 = 7 4 1−+ xy =1 4 3 x y x y − = xy (x – y) = 2 7) x 3 = 3x + 8y 8) x + xy + y = 3 9) 30x y y x+ = y 3 = 3y + 8x xy (x + y) = 2 35x x y y+ = 10) / 2x – y / - 2 / y – x / = 1 11) x 2 – xy + y 2 = 19 3 / 2x – y / + / x – y / = 10 x + xy + y = -7 12) x 2 + y 2 – 3x + 4y = 1 13) 2 2 4 1 5 2 x xy x y + + = − + 3x 2 – 2y 2 – 9x – 8y = 3 3 2 x x y = − + 14) (2x + y) 2 – 5 (4x 2 – y 2 ) + 6 (2x – y) 2 = 0 15) 2y (x 2 – y 2 ) = 3x 1 2 3 2 x y x y + + = − x (x 2 + y 2 ) = 10y 16) x 2 y + y 2 x = 30 17) 1 1x y+ − = x 3 + y 3 = 35 2 2 2x y y− + = − 18) 2 2 1 1 18x x y x y x y y+ + + + + + + + + = 19) 1 ( )(1 ) 5x y xy + + = 2 2 1 1 2x x y x y x y y+ + + − + + + + − = 2 2 2 2 1 ( )(1 ) 49x y x y + + = 20) x + xy + y = 1 21) (x – y) (x 2 – y 2 ) = 3 y + yz+ z = 4 (x + y) (x 2 + y 2 ) = 15 z+ zx + x = 9 22) 1 7 4x y+ + − = 23) x 2 y 2 – 2x + y 2 = 0 1 7 4y x+ + − = 2x 2 – 4x + y 3 + 3 = 0 24) 2 2 12x y x y+ − = − 25) 7 1 x y y x xy + = + 2 2 12x y x− = ( ) 78x y xy+ = 26) 1 3 2x y x + = 27) x + y = 9 28) x (x + 2) (2x + y) = 9 1 3 2y x y + = x 2 + y 2 = 41 x 2 + 4x + y = 6 N¨m häc 2009-2010 Chuyªn ®Ò HÖ Ph¬ng Tr×nh NguyÔn V¨n §¾c 29) 2 1 2x y y = + 30) x – xy – y = 1 31) x 3 + y 3 = 8 2 1 2y x x = + x 2 y – xy 2 = 6 x + y + 2xy = 2 32) x 2 – 2xy + 3y 2 = 9 33) x 2 + y 2 = 1 34) x 3 – 3x = y 3 – 3y 2x 2 – 13xy + 15y 2 = 0 x 3 + y 3 = 1 x 6 + y 6 = 1 35) (x – y) 2 y = 2 36) x – y = 6 37) 2x y+ = x 3 – y 3 = 19 x 3 – y 3 = 126 3 3 4x y+ + + = 38) x + y = 4 39) 2x y x y+ − − = 40) x 4 + y 4 = 1 (x 2 + y 2 ) (x 3 + y 3 ) = 280 2 2 2 2 4x y x y+ + − = x 6 + y 6 = 1 41) x 3 + 1 = 2y 42) 1 + x 3 y 3 = 19 x 3 43) 1 7 4x y+ + − = y 3 + 1 = 2x y + xy 2 = - 6 x 2 1 7 4y x+ + − = 44) x 5 + y 5 = 1 45) / xy – 10 / = 20 – x 2 46) 5 4 x y xy+ + = x 9 + y 9 = x 4 + y 4 xy = 5 + y 2 2 2 1 4 x y y x+ = 47) 6x y y x+ = 48) 9 7 4x y+ + − = 49) x 2 + xy + y 2 = 4 2 2 20x y y x+ = 9 7 4y x+ + − = x + xy + y = 2 50) 2 2 3 x y y x + = 51) 2xy = x + y + 1 3x y xy− + = 2yz = y + z + z 2zx = z + x + 2 53. 2 2 1 ( ) x xy y m xy x y m m + + = + + = + a) CMR hÖ lu«n cã nghiÖm ∀ x 1 b) T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 54. T×m m ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 5( ) 4 4 1 x y xy x y xy m + − = + − = − 55. T×m a ®Ó hÖ cã nghiÖm duy nhÊt 2 3 2 2 3 2 4 4 y x x ax x y y ay = − + = − + N¨m häc 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 56. Cho 2 ( 1) ( 2) y y m x y xy m y + = + + = + a) Giải hệ với m =4 b) Tìm m để hệ có nhiều hơn 2 nghiệm. 57. 2 2 2 2 3 2 11 2 3 17 x xy y x xy y m + + = + + = + a) Giải hệ với m = 0 b) Tìm m để hệ có nghiệm 58. Tìm k để hệ có nghiệm duy nhất. x 2 + y 2 = 1 x y = k 59. Cho a 0 xét hệ phơng trình. 3 2 3 2 7 0 0 a x y x a x fy y + = + = CMR hệ có nghiệm duy nhất khi a > 0. Điều đó còn đúng không khi a < 0? 60. Giải và biện luận. 3 2 0 x y m y xy = + = 61. Giải và biện luận: 1 2 5 2 2 2 x y x y x y a x y + + = + = 62. Tìm m để hệ (m + 1) x my = 4 có nghiệm (x, y) thoả mãn x - y < 2 3x -5y = m 63. Cho xy + x 2 = m (y 1) a) Giải hệ với m = -1 xy + y 2 = m (x 1) b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất. 64. (x 2 y 2 + a (x + y ) = x y + a a) Giải hệ với a = b = 1 x 2 + y 2 + bxy = 3 b) Tìm tất cả các giá trị của a và b để hệ có nhiều hơn nghiệm phân biệt. 65. Tìm a, b để hệ có nghiệm. (a + b) x + (a b) y = 2a (a 2 + b 2 ) x + (a 2 b 2 ) y = 2a 2 66. x + y + x 2 + y 2 = 8 a) Giải hệ với m = 12 xy (x + 1) (y + 1) = m b) Tìm m để hệ có nghiệm 67. Biết hệ = =+++ bxy byxyxa )( 22 có nghiệm với mọi giá trị của b. Chứng minh a = 0 68. Tìm b để với mọi giá trị của b hệ có nghiệm. x + 2ay = b ax + (1 a) y = b 2 69. x 2 + y 2 = m a) Giải hệ với m = 1 x + y xy = 1 b) Tìm m để hệ có nghiệm Năm học 2009-2010 Chuyên đề Hệ Phơng Trình Nguyễn Văn Đắc 70. Tìm m để hệ có nghiệm. 4 1 4 3 x y x y m + = + = 71. Tìm m để hệ có nghiệm. 5 (x + y) 4xy = 4 x + y xy = 1 m 72. Tìm m để hệ có nghiệm . x + y = 4 x 2 + y 2 = m 73. x + y = m + 1 a) Giải hệ với m = 3 x 2 y + y 2 x = 2m 2 m 3 b) CMR với mọi m hệ trên luôn có nghiệm. 74. Tìm m để hệ có nhiều duy nhất. 3 2 2 3 2 2 7 7 x y x mx y x y my = + = + 75. Tìm a để hệ có đúng 1 nghiệm. 2 2 2 3 / / 5 / / 5 3 x y a y x x a + + = + + = + + 76. Tìm a để hệ sau có nghiệm. 2 2 ( 1) 2 x y x y x y a + + + + = 77. 2 2 1 ( 1) 1 1 x y R x y x y xy + + = + = + a) Giải hệ với R = 0 b) Tìm R để hệ có nghiệm duy nhất 78. Tìm a để hệ có nghiệm duy nhất. 2 2 ( 1) ( 1) x y a y x a + = + + = + 2 2 ( 1) ( 1) x y a y x a + = + + = + 79. Tìm m để hệ có nghiệm. 2 2 2 2 5 2 3 2 2 2 1 x xy y m x xy y m + + + 80. Tìm a để hệ có nghiệm (x, y) thoả x 4. 3 5 5 x y x y a + = + + + 81. 1 2 1 2 x y m y x m + + = + + = (m 0) a) Giải hệ với m = 9 b) Tìm m để hệ có nghiệm? 82. 2 2 2 6 x y a x y a + = + = a) Giải hệ với a = 2 b)Tìm min của F = xy + 2 (x + y) với (x, y) là nghiệm của hệ trên. 83. 3 3 ( ) 1 x y m x y x y = + = Tìm m để hệ có 3 nghiệm (x 1 ; y 1 ), (x 2 ; y 2 ), (x 3 , y 3 ) với x 1 , x 2 , x 3 lập thành cấp số cộng và trong 3 nghiệm đó có 2 số có trị tuyệt đối > 1. Năm học 2009-2010 . y x y + + = + = 6) Giải và biện luận x y + m = 0 x 2 + y 2 = 4 2. Hệ rút ngay đợc 1 ẩn theo ẩn còn lại từ 1 phơng trình. 1) 4x 2 x y 2 = 0 2) x 3 + x y 1 = 0 x 2 + 2x + y 4 =