chuyên đề nguyên hàm -tích phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh...
NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN TRẦN ĐỨC NGỌC – GV TRƯỜNG THPT TÂN KỲ I I-Nguyên hàm hàm hữu tỷ - NGHỆ AN 1/Nguyên hàm hàm số Đa thức : Dựa vào định nghĩa,tính chất cơng thức nguyên hàm hàm số thường gặp để tính Ví dụ : Tính I = = 2/Nguyên hàm hàm số phân thức :Ta tìm cách tính ngun hàm dạng Trong h(x) , g(x) đa thức biến số x I= *1.Nếu bậc tử thức cao hay bậc mẫu thức chia đa thức ,tách hàm số thành tổng hai hàm số : hàm số đa thức hàm phân thức có bậc tử thức nhỏ bậc mẫu thức ,hoặc tử thức số .Trong q(x) , r(x) đa thức Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) r(x) = q(x) + số Như ta cần phải nghiên cứu cách tính nguyên hàm I = Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) r(x) số .Bậc r(x) nhỏ bậc g(x) r(x) số *2 Tính nguyên hàm I = + Dạng I: với a I1 = + Dạng II: với a I2 = + Dạng III: với a (Đổi biến số - đặt U = ax+b) = = ln (Đổi biến số - đặt U = ax+b ) = = +C , h(x) nhị thức bậc số Tùy vào có nghiệm hay vô nghiệm g(x) = ax2+bx+c Ta I3 = cần xét với a = Vì a phân.Có I3 = +C = mẫu thức lấy a làm nhân tử ,đưa số dấu tích Với b1 = , c1 = Xét I3 = a -Nếu x2+bx+c = (x- x1)(x- x2) Thì dùng phương pháp “hệ số bất định” tìm số A , B TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (1) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN cho : = + Do : I3 = =A + = Aln(x-x1)+Bln(x-x2) + C b -Nếu x2+bx+c = (x- x0)2 (x0 nghiệm kép mẫu thức ) Hai trường hợp : * Trường hợp h(x) số a,ta có : I3 = (Dạng I2 = Dạng đặc biệt,hay gặp ,nên nhớ) *Trường hợp h(x) = px+ q nhị thức bậc (Với p Biến đổi: I3 = = = = + (q - ) = =- +C 0) Do ta có: + = +( - q) +C c -Nếu x2+bx+c = vô nghiệm Ta biến đổi: = Do đó: = + (q - = I= + Dạng IV : I4 = dạng I = + ) + C + (q - Nguyên hàm : J = Nguyên hàm I = = ) , với u = x + a = Đặt u = atant ,Thì du = a(1 + tan2t)dt u2+a2 = a2(1 + tan2t) Ta có: = = = +C Trong h(x) đa thức có bậc nhỏ h(x) số a-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c có nghiệm phân biệt x3+ax2+bx+c = (x – x1)(x – x2)(x – x3) Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : = + + Do : TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (2) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I4 = =A +B +C = A.ln +B.ln + C.ln +D b-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x- x0)2 với x1 x0 (1 nghiệm kép nghiệm đơn) Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : Do : I4 = =A =A + =A + = + + dx + = A.ln + ln + (Bx0-C) + D (Đổi dấu rồi,yên tâm) c-Nếu g(x) = x3+ax2+bx+c = (x- x1)(x2+px + q) x2+px+q = vơ nghiệm Thì Bằng phương pháp hệ số bất định,tìm số A , B , C cho : = + Do : I4 = = =A + = A.ln(x-x1) + Trong đó: J = + + + + ln(x2+px+q) + (C - ) +D (Đã nói rõ Dạng III: c -Nếu mẫu thức vô nghiệm) = Trường hợp tử thức bậc biến đổi Do đó: I4 = = = = + Với p1= p- ; q1 = q - Bài tập: Tính nguyên hàm I = I = ; I= ; I= ; I= ; I= ;I= ; I= ;I= ;I= ;I= ;I= ;I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (3) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I = ;I= ;I= ;I= I= ;I= ; I= ;I= a/ I= Chú ý: b/ I= dx x x ; ;I= ;I= ; I= ; I= =(x-1)(x-2)(x-3) Chú ý: c/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) d/ I = Chú ý: = (3x-2)(x2+2x+3) e/ I = = g/ I= + + = (x-2)(x2+4x+4) Chú ý: a/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) b/ I = Chú ý: = (2x-1)(x2+4x+4) c/ I = Chú ý: d/ I = Chú ý : =(x-1)(x-2)(x-3) = (x+1)(x2-x+1) I = Hướng dẫn : I = Tìm số A,B,C,D,E để = = + + , đặt x = tant ) dx ( I = I = I= I= I= TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (4) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN II.Nguyên hàm hàm số Lượng giác 1.Nguyên hàm hàm hợp 1/ I = = 2/ I = = sin(ax+b) +C = =- 3/ I = = = 4/ I = = cos(ax+b) +C tan(ax+b) + C = - cot(ax+b) + C Nguyên hàm hàm số f(x) = cosmx.sinnx Hoặc f(x) = , f(x) = (Với m,n N) -Đổi biến số ,đưa nguyên hàm hàm số hữu tỷ 1/ Nếu số mũ cosx lẻ (m số lẻ) đặt sinx = t Ngược lại số mũ sinx lẻ (n số lẻ) đặt cosx = t.(Nếu m n số lẻ đặt cosx = t sinx = t được) Ví dụ : I = - Đặt sinx = t Ta có I = = = - +C - Chú ý :Có thể hạ bậc biến đổi tích thành tổng đưa nguyên hàm f(x) = cosmx.sinnx nguyên hàm hàm hợp.Chẳng hạn ví dụ ta giải cách 2: I= = I= = =- Ví dụ : cos3x - cosx + C I= - Đặt sinx = t Ta có I = Ví dụ : I = = =I= = = (Mặc dù đặt sinx = t cosx mẫu thức ,đặt cosx = t) -Đặt cosx = t.Ta viết I = = =I= = t2 - ln =I= +C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (5) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN Ví dụ : I = = = - + C (Đã đặt cosx = t) = - ln 2/Nếu số mũ cosx sinx số chẵn (m n chẵn) *Nếu f(x) = cosmx.sinnx Trong m n số tự nhiên chẵn hạ bậc biến đổi tổng thành tích đưa nguyên hàm hàm hợp Ví dụ 5: I = =I= 2cos2xdx = = dx = = dx - = x+ sin2x - sin4x - sin6x - = x+ sin2x - sin4x - sin6x + C , đặt tanx = t ;Nếu f(x) = *Nếu f(x) = Ví dụ : sin2x + C , đặt cotx=t (với m n sỗ chẵn ) I= -Ta có : I = = = - = = tanx – x + C - (Đã đặt tanx = t) (Vì mẫu thức sin2 x,chính mẫu thức cot2x nên ta đặt cotx = t) Ví dụ : I = -Ta có : I = =I= d(cotx) = - cot3x + C =- (Thực chất đặt cotx = t viết tắt cho gọn thơi) (Vì mẫu thức cos2x,chính mẫu thức tan2x nên ta đặt tanx = t) Ví dụ : I = -Ta có : I = = =I= - = = + = tanx + sin2x - x+C TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (6) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3.Nguyên hàm hàm số f(x) = Với h(x) g(x) biểu thức bậc sinx,cosx *Nếu thay cosx (-cosx) mà hàm số đổi dấu đặt sinx = t *Nếu thay sinx (-sinx) mà hàm số đổi dấu đặt cosx = t *Nếu thay cosx (-cosx) sinx (-sinx) mà hàm số không đổi đặt tanx = t cotx = t -Có dùng phương pháp liên kết 1/ Nếu thay cosx (-cosx) mà hàm số đổi dấu đặt sinx = t Ví dụ : I = = = = = = … (Nguyên hàm Hàm số hữu tỷ) - 2/ Nếu thay sinx (-sinx) mà hàm số đổi dấu đặt cosx = t Ví dụ : I = = -2 = -2 =… = -2 3/Nếu thay cosx (-cosx) sinx bởi(-sinx) mà hàm số khơng đổi đặt tanx = t cotx = t Ví dụ : I = (Đặt tanx = t dx = -Ta có I = (Dạng = , sinx = cosx = = = Với u = + tanx) 4/Nếu không thỏa mãn dấu hiệu đặt t = tan Ta có dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = , có sinx = Ví dụ 10 : , cosx = Tính nguyên hàm I = Đặt t = tan Ta có : dt = (1+ tan2 ).dx Nên dx = Do : I= =I= , có sinx = ,cosx = = =- +C 5/Tính nguyên hàm : I = -Tách tử thức thành tổng, có số hạng đạo hàm mẫu thức : TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (7) ) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN I= =I= = + = dx + = ln dx + dx dx xét dấu hiệu trình bày Nếu khơng thỏa mãn Tính : J = dấu hiệu nào(trong 1/ , 2/ , 3/) đặt t = tan Ví dụ 11 : I = J= k= Nguyên hàm f(x) = cosax.cosbx , f(x) = cosax.sinbx , f(x) = sinax.sinbx : -Biến đổi tích thành tổng , đưa nguyên hàm hàm hợp Ví dụ 12 : Tính I = = sin8x + sin2x) +C Ví dụ 13 : Tính I = = = =- = cos9x + cos7x - cos3x + cosx + C ****************************************************************************** 2 Bài tập : 1/ sin x cos4 xdx 2 sin x cos3 xdx sin x cos5 xdx 2/ cos x(sin x cos4 x)dx ; (2 sin x sin x cos x cos2 x)dx ; 0 (sin x cos3 )dx dx ; sin x dx sin x TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (8) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 3/ dx 2 sin x cos x cos2 x sin x cos x dx cos x 2 4/ (sin10 x cos10 x cos4 x sin x)dx ; 0 2 cos x dx ; cos x ; sin x dx sin x sin x dx cos2 x dx cos x ; dx sin x cos x cos3 x dx cos x 5/ 2 dx sin x cos x cot g xdx tg xdx 4 dx tgx 0 sin x dx cos x cos(x dx sin 3x dx sin x sin x cos x 7/ dx ) tg xdx 6/ 4 cos xdx (1 cos x) 0 4 sin x dx 13 cos x dx sin x cos x sin x(1 sin x) dx sin x sin x dx dx sin x cos x sin xtgx 3 8/ cos x sin x dx sin x dx a sin x b cos x cos x 4 sin xdx 9/ dx sin x cos xdx cos2 x sin x cos x sin x sin xdx cos x dx cos3 x sin xdx dx sin x 10/ dx sin x cos x sin xdx 11/ cos x) (sin x dx sin x sin( x sin x (2 sin x) ) dx sin x cos(x ) 2 ) dx 0 x cos xdx sin x dx sin xdx tgxtg ( x cos6 x sin x.e x dx xdx 2 cos x 2 12/ sin x x e dx cos x sin 3x sin x dx tgx cot g x sin xdx sin x sin x cos(ln x)dx 6 13/ cos x sin x dx cos x dx sin x ln(sin x) dx cos2 x 4 x sin x cos2 xdx xtg xdx tg xdx (2 x 1) cos2 xdx 0 TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (9) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN 14/ e x sin xdx e sin x sin x cos3 xdx 0 15/ (1 sin x) cos x dx cos2 x) (1 sin x )(2 dx cos x) (sin x ln(1 tgx)dx I= cos8 x cos7 x dx cos5 x cos x sin x cos3 xdx III.Nguyên hàm hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm hàm số vô tỷ nguyên hàm hàm số hữu tỷ hàm số lượng giác.Ta tiến hành với số dạng sau 1.Nguyên hàm hàm số chứa x thức : -Thơng thường : Đặt t biểu thức t Ví dụ : I = dx = t Ta có x + = t2 nên dx = 2t.dt - Đặt Do : I = dx = I = =2 Cách : Đặt (x+2) = t dx = dt , (x + 1) Do : I = – = (t2 – 1).t = (t – 1) = = - +C Ví dụ : I = -Đặt -Do : I = Ví dụ : I = = t , x + = t2 nên dx = 2t.dt = Đặt = = …(Đây nguyên hàm hàm hữu tỷ) =t 2.Nguyên hàm hàm số phân thức chứa nhiều căn,bậc khác :bậc m, n …mà biểu thức giống : Đặt bậc r t với r BSCNN m,n … Ví dụ : I = TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (10) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN = t ,ta có x + = t nên dx = t5dt, Đặt Do : I = = t 3, = t2 (đây nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) =6 3.Nguyên hàm hàm số phân thức chứa x a,b,c 0:Đổi biến số đưa nguyên hàm hàm số Lượng giác (Đã nói trên) R,a -Ta có = Gọi (x + ) = u = = Hai trường hợp : 1/Nếu : Thì = = (a > , < nên a > thức có nghĩa ) Như , đưa trường hợp sau : *1 Hàm số chứa u , đặt u = tant 2/Nếu 0,Nếu z I= dx , I= dx = dx ****************************************************************************** Chúc bạn thành công nghiệp TRẦN ĐỨC NGỌC * ĐT 0985128747 * YÊN SƠN , ĐÔ LƯƠNG , NGHỆ AN * GV THPT TÂN KỲ I NGHỆ AN * (13) ... III .Nguyên hàm hàm số Vô tỷ (Hàm số có chứa thức) Bằng cách đổi biến số, đưa nguyên hàm hàm số vô tỷ nguyên hàm hàm số hữu tỷ hàm số lượng giác.Ta tiến hành với số dạng sau 1 .Nguyên hàm hàm số chứa... (10) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN = t ,ta có x + = t nên dx = t5dt, Đặt Do : I = = t 3, = t2 (đây nguyên hàm hàm hàm số hữu tỷ) =6 3 .Nguyên hàm hàm số phân thức chứa x a,b,c 0:Đổi biến số đưa nguyên hàm. .. (4) NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN II .Nguyên hàm hàm số Lượng giác 1 .Nguyên hàm hàm hợp 1/ I = = 2/ I = = sin(ax+b) +C = =- 3/ I = = = 4/ I = = cos(ax+b) +C tan(ax+b) + C = - cot(ax+b) + C Nguyên hàm hàm