nguyên hàm và tích phân

nguyên hàm và tích phân tài liệu, giáo án, bài giảng , luận văn, luận án, đồ án, bài tập lớn về tất cả các lĩnh vực kinh...

A.MỘTSỐBÍQUYẾTTÌMNGUYÊNHÀMVÀTÍCHPHÂN Rấtnhiềubạnkhákhókhănkhitìmnguyênhàmvàtíchphânmànguyênnhânchínhlà thườngkhôngbiếtsửdụngphépbiếnđổiviphân.Cácbạnhãyđọcbàiviếtnàyvàtựrènluyện theohướngdẫn,chắcchắncácbạnsẽthấy:tìmnguyênhàmvàtíchphânthậtlàkhôngđáng ngại. Địnhnghĩa:Viphâncủahàmsốy=f(x)làbiểuthứcf’(x).d(x).Nếukýhiệudyhayd[f(x)]làvi phâncủayhayf(x)thìdy=f’(x).dxhayd[f(x)]=f’(x).dx. Chúý:Nhiềubạnhiểusailà:đểtínhviphânf(x),tatínhf’(x)vàviếtthêmdx,sẽcóf’(x)dx. Thựcrakhôngphảilà“viếtthêm”màlà“nhânvới”,nghĩalàf’(x)nhânvớid(x),viếtf’(x).dx. Cácviphâncơ bản: 1) ( ) ( ) 1 d u 1 .u .du a+ a = a + 2)d(sinu)=cosu.du 3)d(cosu)= sinudu 4)d(tgu)= 2 du cos u 5)d(cotgu)= 2 du sin u - 6)d(e u )=e u .du 7)d(lnu )= du u ; d(lnu)= du u . 8) ( ) d u v du dv a + b = a + b 9)d(u+c)=duvớiclàhằngsố. Cácphépbiếnđổiviphâncơbản: 1) 1 u u .du d 1 a+ a æ ö = ç ÷ a + è ø 2)cosu.du=d(sinu) 3)sinu.du=d(cosu) 4) 2 du d(tgu) cos u = 5) 2 du d( cotgu) sin u = - 6)e u .du=d(e u ) 7) du d(ln | u |) u = www.laisac.page.tl ChuyênĐề: N N N G G G U U U Y Y Y Ê Ê Ê N N N H H H À À À M M M V V V À À À T T T Í Í Í C C C H H H P P P H H H Â Â Â N N N TS.LêThốngNhất Cácthídụluyệnphépbiếnđổiviphân. Thídụ1:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào? 1. x dx 2.(x+2) 5 .dx 3.cosx.sin 4 x.dx Giải: 1. 1 3 3 1 1 2 2 2 2 x 2x 2x x dx x .dx d d d C 1 3 3 1 2 + æ ö æ ö æ ö ç ÷ ç ÷ ç ÷ = = = = + ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ + è ø è ø è ø 2.(x+2) 5 .dx=(x+2) 5 .d(x+2)= ( ) ( ) 6 6 x 2 x 2 d d C 6 6 é ù é ù + + = + ê ú ê ú ê ú ê ú ë û ë û 3.cosx.sin 4 x.dx=sin 4 x.d(sinx)= 5 5 sin x sin x d d C 5 5 é ù é ù = + ê ú ê ú ë û ë û Thídụ2:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào? 1. x 1 .dx x + æ ö ç ÷ è ø 2.(2x+1)(x 2 +x+1).dx 3. cosxsinx .dx sinx+cosx æ ö ç ÷ è ø 4. 2 xdx x 1 + Giải: 1. x 1 .dx x + æ ö ç ÷ è ø = 1 1 2 2 1 x .dx x x .dx x - æ ö æ ö + = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø = 3 1 1 1 2 2 2 2 2x x dx x .dx d d 2x 3 - æ ö æ ö ç ÷ + = + ç ÷ ç ÷ è ø è ø = 3 1 2 2 2x d 2x C 3 æ ö ç ÷ + + ç ÷ è ø 2.(2x+1)(x 2 +x+1).dx =(x 2 +x+1).d(x 2 +x+1) = ( ) 2 2 x x 1 d 2 é ù + + ê ú ê ú ë û = ( ) 2 2 x x 1 d C 2 é ù + + + ê ú ê ú ë û Lưuý:d(x 2 +x+1)=(2x+1).dx 3. ( ) 2 2 2 2 2 d x 1 x.dx 1 1 1 d ln(x 1) d ln(x 1) C x 1 2 x 1 2 2 + é ù = = + = + + é ù ë û ê ú + + ë û Lưu ý:d(x 2 +1)=2x.dxhayx.dx= 1 2 d(x 2 +1) Thídụ3:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào? 1. 3 x.dx (x 1) + 2. 2 dx x 3x 2 - + 3. dx x.ln x Giải: 1. 3 x.dx (x 1) + = ( ) ( ) ( ) 3 x 1 1 d x 1 x 1 + - + + =(x+1) 2 .d(x+1)– (x+1) 3 .d(x+1) = ( ) ( ) 1 2 x 1 x 1 d d 1 2 - - é ù é ù + + - ê ú ê ú - - ê ú ê ú ë û ë û = ( ) 2 1 1 d C x 1 2 x 1 é ù - + ê ú + + ê ú ë û 2. 2 dx x 3x 2 - + = 1 1 dx x 2 x 1 æ ö - ç ÷ - - è ø = dx dx x 2 x 1 - - - = 2(x 2) 2(x 1) x 2 x 1 - - - - - = [ ] d ln | x 2 | ln | x 1| - - - = x 2 d ln C x 1 - é ù + ê ú - ë û 3. ( ) [ ] d ln x dx d ln(ln x) C x.ln x ln x = = + Thídụ4:Biểuthứcsaulàviphâncủahàmsốnào? 1.cosx.cos3x.dx 2.sin 5 x.dx Giải: 1.cosx.cos3x.dx= ( ) 1 cos4x+cos2x .dx 2 = [ ] 1 cos4x.dx +cos2x.dx 2 = 1 1 1 cos4x.d(4x)+ cos2x.d(2x) 2 4 2 é ù ê ú ë û = 1 1 1 (sin4x)+ d(sin 2x) 2 4 2 é ù ê ú ë û = 1 1 d sin 4x sin 2x C 8 4 é ù + + ê ú ë û Lưu ý:Cáccôngthứcbiếnđổitíchthànhtổngkhigặptíchcáchàmsốlượnggiác. 2.sin 5 x.dx=sin 4 x.sinx.dx= sin 4 x.d(cosx) =(1–cos 2 x) 2 .d(cosx) =[1+2cos 2 x–cos 4 x].d(cosx) =d(cosx)+2cos 2 x.d(cosx)– cos 4 x.d(cosx) = 3 5 2 1 d cosx + cos x cos x +C 3 5 é ù - ê ú ë û Thídụdướiđâysẽsửdụngnhiềusaunày: Thídụ5: Tính. 1. 2 d ln x k x é ù + + ë û 2. x a d ln x b - é ù ê ú - ë û Giải: 1. 2 d ln x k x é ù + + ë û = ( ) 2 2 d x k x x k x + + + + = 2 2 1 x . 1 .dx x k x x k é ù + ê ú + + + ë û = 2 dx x k + Lưu ý: 2 dx x k + = 2 d ln | x k x | é ù + + ë û 2. 2 x a d x a x b a b (a b).dx x b d ln . .dx x a x b x a (x b) (x a)(x b) x b - æ ö ç ÷ - - - - é ù - è ø = = = ê ú - - - - - - ë û - Lưu ý:Nếu a b ¹ thì dx 1 x a d ln (x a)(x b) a b x b - é ù = ê ú - - - - ë û Thídụ6:Biểuthứcsauđâylàviphâncủahàmsốnào? 1. 2 dx x 2x 3 - - 2. 2 dx x 2x 3 + + Giải. 1. 2 dx x 2x 3 - - = dx (x 1)(x 3) + - = 1 1 1 .dx 4 x 3 x 1 æ ö - ç ÷ - + è ø = ( ) d x 3 1 2(x 1) 4 x 3 x 1 - é ù + - ê ú - + ë û = 1 x 3 d ln 4 x 1 - é ù ê ú + ë û = 1 x 3 d ln C 4 x 1 - é ù + ê ú + ë û 2. 2 dx x 2x 3 + + = ( ) 2 dx x 1 2 + + = ( ) 2 d x 2 (x 1) 2 + + + = ( ) 2 d ln x 1 2 (x 1) C é ù + + + + + ê ú ë û Bàitậptựluyện. Biểuthứcsauđâylàviphâncủahàmsốnào? 1.(2x+1)(x 2 +x+5) 7 dx 2.sinx.cos 7 x.dx 3. ln x.dx x 4.sin 3 x.cos 2 x.dx 5.tgx.dx 6.tg 2 x.dx 7.tg 3 x.dx 8.sin 2 x.dx 9.cos 3 x.dx 10. 2 x x 1 .dx x - + æ ö ç ÷ è ø 11. dx x. x 1 + 12. ( ) 2 2 3 x .dx x 1 + 13. 2 3 xdx x 1 + 14. 2 dx x 4x + 15. 2 2 dx sin x.cos x 16. 2 dx x 4 - 17. dx sin 2x 18. dx sin x 19. dx sin x cos x + 20.(1+tgx). 2 dx cos x 21. 4 dx cos x 22. 4 dx sin x 23. x x e .dx e 1 + 24. x 2x e .dx e 1 + 25. 3 4 x .dx x 1 + B.TÌMNGUYÊNHÀMCỦAHÀMSỐ Cácbạnxemđịnhnghĩa,cáctínhchấtcủa nguyênhàmvàbảngcácnguyênhàmcơbảntrong SGK.Ởđâychỉtổngkết cácphươngpháptìmnguyênhàmcủamộthàmsố. 1.Sử dụngbảngnguyênhàmcơbản Nếu 1 f (x) , 2 f (x), , n f (x) làcáchàmcónguyênhàmcơbảnthì 1 1 2 2 n n f (x) f (x) f (x) f (x) = a + a + + a cónguyênhàmtìm đượcnhờtínhchất: 1 1 2 2 n n f (x)dx f (x)dx f (x)dx f (x)dx. = a +a + + a ò ò ò ò Khisửdụngtínhchấtnàycầnlưuýcáchviết: 1 a a -a a = ; 1 k k a a = Thídụ1:Tìmcácnguyênhàm 1. 2 x 1 dx x + ò ;2. 2 3 x (x 1) dx + ò Giải: 1. 3 1 5 1 2 2 2 2 2 x 1 2 dx x x dx x 2x C 5 x - æ ö + ç ÷ = + = + è ø ò ò 2. 1 7 4 1 10 7 4 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 3 6 3 x (x 1) x (x 2x 1)dx x 2x x dx x x x C 10 7 4 æ ö ç ÷ + = + + = + + = + + + è ø ò ò ò 2.Sửdụngviphânđểtìmnguyênhàm Bảngnguyênhàmcơbảnvẫnđúngnếuthaykýhiệuđốisốx,bởibấtcứkýhiệunàokhác.Kết hợpvớiphéptínhviphân,cácbạncóthểtìm đượcnguyênhàmcủacáclớphàmphongphúhơn. Thídụ2:Tìmnguyênhàm: 2 2 x dx x 1 - ò . Giải: 2 2 2 x dx 1 1 1 1 1 x 1 1 dx 1 dx x ln C 2 x 1 x 1 2 x 1 x 1 x 1 é ù - æ ö æ ö = + = + - = + + ç ÷ ç ÷ ê ú - + + è ø - - è ø ë û ò ò ò Chúý: 1 1 1 1 1 1 1 dx d(x 1) d(x 1) 2 x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 é ù æ ö - = - - + ç ÷ ê ú - + - + è ø ë û ò ò ò 1 1 1 x 1 ln x 1 ln x 1 ln C 2 2 2 x 1 - = - - + = + + Thídụ3:Tìmnguyênhàm: 1. 2 6 x dx x 1 - ò ;2. 10 x(x 2) dx + ò Giải: 1. 2 3 3 3 6 3 2 3 3 3 x dx 1 d(x ) 1 1 1 1 1 x 1 d(x ) ln C 3 3 2 6 x 1 (x ) 1 x 1 x 1 x 1 - æ ö = = - = + ç ÷ - - - + + è ø ò ò ò 2. 10 10 x(x 2) dx [(x 2) 2](x 2) .d(x 2) + = + - + + ò ò = 11 10 12 11 1 2 [(x 2) 2(x 2) ]d(x 2) (x 2) (x 2) C 12 11 = + - + + = + - + + ò Thídụ4:Tìmnguyênhàm 1. 2 sin 2xdx 1 cos x + ò ;2. dx sin 2x ò Giải: 1. 2 2 2 2 sin 2xdx d(1 cos x) ln(1 cos x) C 1 cos x 1 cos x + = - = - + + + + ò ò 2. 2 dx 1 dx 1 dx 1 d(tgx) 1 ln | tgx | C sin 2x 2 sin x.cos x 2 2 tgx 2 tgx.cos x = = = = + ò ò ò ò Thídụ5:Tìmnguyênhàm 2 4 (x 1)dx x 1 - + ò . Giải: 2 2 4 2 2 1 1 dx (x 1)dx x . 1 x 1 x x æ ö - ç ÷ - è ø = + + ò ò Đặt 1 u x x = + Þdu= 2 1 1 dx x æ ö - ç ÷ è ø và 2 2 2 1 x u 2. x + = - Dođó: 2 4 2 (x 1)dx du 1 1 1 1 u 2 du ln C 2 2 u 2 u 2 2 2 u 2 x 1 u 2 - - æ ö = = - = + ç ÷ - + + è ø + - ò ò ò 2 2 1 x 2 1 1 x 2x 1 x ln C ln C 1 2 2 2 x 2x 1 x 2 x + - - + = + = + + + + + 3.Phươngphápnguyênhàmtừngphần Cácbạnsửdụngcôngthức udv uv vdu. = - ò ò Nhưvậyđểtìm f (x)dx ò thìphảinhìnf(x)dxlà udv.Giảsửf(x)dx= 1 2 f (x).f (x)dx với 1 f (x) làđathứcthìviệclựachọnu,dv,hoàntoànphụ thuộcvào 2 f (x).Nếu 2 f (x) làcáchàmlượnggiácngược,hàmlogarit,hàmvôtỉthìđặt 2 u f (x) = . Nếu 2 f (x) làcáchàmlượnggiác,hàmmũthìđặtu= 1 f (x) .Tuynhiên,đóchỉlàgợiýchính, trongtừngbàicụthểvànhữngtìnhhuốngphứctạphơncácbạnphảithửvậndụngtheonhiều cáchđểchọncáchthíchhợp. Thídụ6:Tìmnguyênhàm: 1. 2 x 1dx - ò 2. 2 x(ln x) dx ò Giải: 1.Đặt 2 u x 1 = - Þ 2 xdx du x 1 = - ;dv=dx Üv=x(chúýchiềumũitênnày,hiệnnayđangbị viếtngượcrấtnhiều!).Tacó: I= 2 2 2 2 2 2 2 x dx dx x 1dx x x 1 x x 1 x 1dx x 1 x 1 - = - - = - - - - - - ò ò ò ò Lưuý: ( ) 2 2 x d x 1 x 1 dx x 1 æ ö ç ÷ - + = + ç ÷ - è ø Þ 2 2 2 dx d( x 1 x) x 1 x 1 x - + = - - + ,tacó 2 2 2 2 2 1 1 d( x 1 x) 1 1 I x x 1 x x 1 ln x 1 x C 2 2 2 2 x 1 x - + = - - = - - - + + - + ò 2.Đặt 2 u (ln x) = Þ 2ln xdx du x = ;dv=xdx Ü 2 1 v x 2 = .Khiđó: 2 2 1 I x(ln x) dx (x ln x) x ln xdx. 2 = = - ò ò Lạiđặtu=lnx Þ dx du x = ;dv=xdx Ü 2 1 v x 2 = ,tacó: 2 2 2 1 1 1 1 x ln xdx x ln x xdx x ln x x C 2 2 2 4 = - = - + ò ò Vậy 2 2 2 1 1 1 I (x ln x) x ln x x C 2 2 4 = - + - . Bàitậptươngtự Tìmcácnguyênhàmcủacáchàmsố: 1. 5 6 x f (x) x 1 = + ; 2. 2 4 3 2 x 1 f (x) x 2x x 2x 1 + = - - + + ; 3. 2 2 sin x cosx f (x) asin x bcos x = - 4.f(x)=sin( x ) ; 5. 3 2 x f (x) x 4x 3 = - + . 6. 1999 2000 1000 x f (x) x 2x 3 = - - ; 7. 4 1 f (x) cos x = . C.CÁCPHƯƠNGPHÁPTÍNHTÍCHPHÂN Cácbạncầnnắmchắc cácphươngphápđượctrìnhbày dướiđây. 1.Sử dụngđịnhnghĩa(địnhlýNewton Leibnitz) ŸĐịnhlý:Nếuhàmsốy=f(x)liêntụctrên[a;b]vàF(x)làmộtnguyênhàmcủaf(x) thì b b a a f (x)dx F(x) F(b) F(a) = = - ò ŸChúý: Giảthiếty=f(x)liêntụctrên[a;b]làđiềukiệnbắtbuộcphảicóđểđượcsửdụngđịnh lý.NhiềubạncứtưởngcóđượcF(x)làtínhđượctíchphân.Chẳnghạn,cóbạnviết: 3 3 4 4 0 2 0 dx I tgx 1 cos x p p = = = - ò (?) Lưuý: 2 1 f (x) cos x = khôngxácđịnhtại 3 x 0; 2 4 p p é ù = Î ê ú ë û nênI khôngtồntại. Thídụ1:Tính 7 3 3 0 (x 1)dx I 3x 1 + = + ò (ĐềĐH NgoạingữHN 1999) Giải: 7 7 2 1 3 3 3 3 3 0 0 1 [(3x 1) 2]dx 1 I [(3x 1) 2(3x 1) ]d(3x 1) 3 9 3x 1 - + + = = + + + + + ò ò 7 5 2 3 3 3 0 1 3 46 (3x 1) 3(3x 1) 9 5 15 é ù ê ú = + + + = ê ú ë û Thídụ2:Tính 1 2 2 0 dx I (x 3x 2) = + + ò (ĐềĐH NgoạithươngHN 1999) Giải: 1 1 1 1 2 2 0 0 0 0 1 1 dx dx 1 1 I dx 2 dx x 1 x 2 x 1 x 2 (x 1) (x 2) é ù é ù = - = + - - ê ú ê ú + + + + ë û ë û + + ò ò ò ò 1 1 1 0 x 1 2 3 (x 1) (x 2) 2ln 2ln x 2 3 4 - - é ù + = - + - + - = + ê ú + ë û . Chúý:Khigặpcáchàmsốcóchứadấutrịtuyệtđốithìcầntáchcậntíchphânđểkhửdấutrị tuyệtđối. Thídụ3:Tính 3 2 1 I x x 2x .dx - = - ò Giải: 3 0 2 3 2 2 2 2 1 1 0 2 I x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx - - = - = - + - + - ò ò ò ò ( ) ( ) ( ) 0 2 3 2 2 2 1 0 2 4 3 4 3 4 3 x x 2x .dx x x 2x .dx x x 2x .dx 0 2 3 x 2x x 2x x 2x 4 1 0 2 4 3 4 3 4 3 - = - + - + + - æ ö æ ö æ ö = - + - + + - = ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ ç ÷ - è ø è ø è ø ò ò ò 2.Phươngphápbiếnđổisố: Nut=u(x)niutrờn[ab]thỡ u(b) b a u(a) f[u(x)].u'(x)dx f (t)dt = ũ ũ Thớd4:Tớnh 4 2 7 dx I x x 9 = + ũ (Hc vinKTQS 1999) Gii:t 1 t x = 1 x t = ị 2 dt dx t = - . icn:x 7 = ị 1 t 7 = x=4 ị 1 t 4 = . Doú: 1 1 1 7 4 7 2 2 2 1 1 1 4 4 7 dt 1 d(3t) 1 1 7 1 7 I ln (3t) 1 3t ln ln 3 3 3 2 6 4 9t 1 (3t) 1 - ộ ự = = = + + = = ở ỷ + + ũ ũ Thớd5:Tớnh 1 4 x 1 x dx I 1 2 - = + ũ (Hc vinBCVT1999) Gii:tt= -x x= -t ịdx= -dt. icn:x= -1 ịt=1x=1 ịt= -1tacú: 1 1 1 1 4 t 4 4 1 4 5 1 4 t t 1 1 1 1 ( t) .( dt) 2 .t dt t dt 1 2 I t dt t I I 5 5 1 2 1 2 1 2 - - - - - - - = = = - = - = - + + + ũ ũ ũ ũ ị 1 I 5 = . Chỳý:tớnh b a f (x)dx ũ khụngnhtthitphitỡmnguyờnhmF(x)caf(x). Cỏchtớchphõndng x g(x)dx a 1 a -a + ũ via>0vg(x)lhmschn,ulmnhtrờn. Thớd6:Tớnh 1 1 2 x ln dx 2 x - - + ũ Gii:tt= xthỡdx=dt.Vix=1thỡt=1,vix=1thỡt=1.Doú: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 x 2 t 2 t I ln dx ln ( dt) ln dt 2 x 2 t 2 t 2 t 2 t ln dt ln dt I. 2 t 2 t - - - - - - - + + = = - = + - - - - ổ ử ổ ử = = - = - ỗ ữ ỗ ữ + + ố ứ ố ứ ũ ũ ũ ũ ũ Suyra:I=0. Chỳý:+Tớchphõntrờnmtminixngcamthmslluụnbng0. +Tớchphõnkhụngphthuckýhiuis: . A.MỘTSỐBÍQUYẾTTÌMNGUYÊNHÀMVÀTÍCHPHÂN Rấtnhiềubạnkhákhókhănkhitìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhânchínhlà thườngkhôngbiếtsửdụngphépbiếnđổivi phân. Cácbạnhãyđọcbàiviếtnày và tựrènluyện theohướngdẫn,chắcchắncácbạnsẽthấy:tìm nguyên hàm và tích phân thậtlàkhôngđáng ngại. Địnhnghĩa:Vi phân của hàm sốy=f(x)làbiểuthứcf’(x).d(x).Nếukýhiệudyhayd[f(x)]làvi phân củayhayf(x)thìdy=f’(x).dxhayd[f(x)]=f’(x).dx. Chúý:Nhiềubạnhiểusailà:đểtínhvi phân f(x),tatínhf’(x) và viếtthêmdx,sẽcóf’(x)dx. Thựcrakhôngphảilà“viếtthêm”màlà“nhânvới”,nghĩalàf’(x)nhânvớid(x),viếtf’(x).dx. Cácvi phân cơ. + B.TÌMNGUYÊNHÀMCỦAHÀMSỐ Cácbạnxemđịnhnghĩa,cáctínhchấtcủa nguyên hàm và bảngcác nguyên hàm cơbảntrong SGK.Ởđâychỉtổngkết cácphươngpháptìm nguyên hàm củamột hàm số. 1.Sử. A.MỘTSỐBÍQUYẾTTÌMNGUYÊNHÀMVÀTÍCHPHÂN Rấtnhiềubạnkhákhókhănkhitìm nguyên hàm và tích phân mà nguyên nhânchínhlà thườngkhôngbiếtsửdụngphépbiếnđổivi phân. Cácbạnhãyđọcbàiviếtnày và tựrènluyện theohướngdẫn,chắcchắncácbạnsẽthấy:tìm nguyên hàm và tích phân thậtlàkhôngđáng ngại. Địnhnghĩa:Vi phân của hàm sốy=f(x)làbiểuthứcf’(x).d(x).Nếukýhiệudyhayd[f(x)]làvi phân củayhayf(x)thìdy=f’(x).dxhayd[f(x)]=f’(x).dx. Chúý:Nhiềubạnhiểusailà:đểtínhvi phân f(x),tatínhf’(x) và viếtthêmdx,sẽcóf’(x)dx. Thựcrakhôngphảilà“viếtthêm”màlà“nhânvới”,nghĩalàf’(x)nhânvớid(x),viếtf’(x).dx. Cácvi phân cơ