Nguyên hàm và tích phân

He thong cac phuong phap tinh tich phan, tich phan ham phan thuc, ham so luong giac

chuyên đề 5 nguyên hàm và tích phân I. Các phơng pháp tính tích phân 1. Phơng pháp đổi biến số a. Đổi biến số dạng 1. Tính tích phân ( ) b a dxxf Đặt x = u(t) dx = u(t)dt Đổi cận: Với x = a t = với u() = a Với x = b t = với u() = b Biến đổi f(x)dx = f(u(t))u(t)dt = g(t)dt Tính ( ) b a dxxf = ( ) dttg Ví dụ 2: Tính các tích phân sau: a. dxx1 1 0 2 b. + 1 0 2 x1 dx * ứng dụng: Đổi biến số dạng 1 thờng đợc dùng để khử các dạng đặt biệt của hàm số trong dấu tích phân nh 22 xa ; 22 ax ; 1 + x 2 b. Đổi biến số dạng 2. Tính tích phân ( ) b a dxxf Đặt t = u(x) dt = u(x)dx Đổi cận: Với x = a t = u(a) Với x = b t = u(b) Biểu thị f(x)dx theo t và dt. Giả sử f(x)dx = g(t)dt Tính ( ) b a dxxf = ( ) ( ) ( ) bu au dttg Ví dụ 3: Tích các tích phân sau a. ( ) + 1 0 3 12 dxx b. 3 2 3 3 2 3cos dx x c. 2 ln e e xx dx d. 2 1 12x dx e. ( ) 2 1 2 12x dx f. + 2 0 dx 3cosx1 sinx g. + e 1 dx x lnx1 * ứng dụng: dùng để chuyển tích phân về dạng công thức tích phân, các tích phân mà biểu thức trong dấu tích phân có dạng f(u(x)).u(x)dx 2. Phơng pháp tính tích phân từng phần. Nếu u(x) và v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên đoạn [a; b] thì: ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) = b a b a b a dxx.u'xvx.vxudxxv'xu Hay = b a b a b a vduuvudv Ví dụ 4. Tính các tích phân sau: a. 2 1 5 dx x lnx b. 2 0 x.cosxdx c. 1 0 x dxxe 3. Bài tập tổng hợp 1. + 4 2 2 1 dx x x 2. ( ) 5 2 4 43 dxx 3. + + 1 0 2 1 3 dx x e x 4. + 3 2 1 xx dx 5. dx e ee x xx + 5ln 0 3 1 6. 4 0 3 4sin x xdxe 7. ( ) + 2 1 1ln dxx 8. ( ) + e e dx x x 1 2 1 ln 9. ( ) ++ 1 0 2 1ln dxxxx 10. 1 0 2 dxxe x 11. 2 0 cos x xdxe 12. 1 0 x2 dxex II. Tích phân của các hàm số phân thức 1. Phơng pháp chung: Phân thức hữu tỷ có dạng: ( ) ( ) xQ xP , trong đó P(x), Q(x) là những đa thức của biến số x. 1. Cho hàm số f(x) = ( ) ( ) xQ xP , bậc của P(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) a. Trờng hợp 1: Q(x) = (x - a) m (x - b) n (hay Q(x) = 0 có nghiệm) Biến đổi f(x) thành tổng của các phân thức đơn giản và xác định các hệ số A 1 ; A 2 ; ; A m , B 1 ; B 2 ; ; B n sao cho: f(x) = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) n n 2 21 m m 2 21 bx B . bx B bx B ax A . ax A ax A ++ + + ++ + Việc tính các hệ số A 1 ; A 2 ; ; A m , B 1 ; B 2 ; ; B n thờng đợc thực hiện bằng cách đồng nhất thức các hệ số. b. Trờng hợp 2; Q(x) có các nghiệm , , ta phân tích Q(x) = (x - ) n (x - ) m và chuyển về trờng hợp 1 c. Trờng hợp 3: Q(x) = x 2 + bx + c mà Q(x) = 0 vô nghiệm , ta biến đổi Q(x) = x 2 + bx + c = + + 42 2 2 b c b x và đổi biến: t = x + 2 b d. Trờng hợp 4: f(x) = ( ) ( )( ) ''' 22 cxbxacbxax xP ++++ Trong trờng hợp này, ta thờng biến đổi nh sau: f(x) = ( ) ( )( ) ''' 22 cxbxacbxax xP ++++ = cbxxa DCx cbxax BAx ++ + + ++ + 22 ' Việc tính các hệ số A, B, C, D bằng cách đồng nhất các hệ số. e. Trờng hợp 5: ++ + dx cbxax nmx 2 Ta thực hiện các phép biến đổi: ( ) cbxax B cbxax baxA cbxax nmx ++ + ++ + = ++ + 222 2 Hay mx + n = A(2ax + b) + B Các hệ số A, B đợc xác định bằng phơng pháp đồng nhất thức. 2. Cho hàm số f(x) = ( ) ( ) xQ xP , bậc của P(x) lớn hơn hoặc bằng bậc của Q(x) Ta thực hiện phép chia tử cho mẫu: f(x) = ( ) ( ) xQ xP = g(x) + ( ) ( ) xQ xh , bậc của h(x) nhỏ hơn bậc của Q(x) 2. Các bài tập vận dụng Bài 1. Tính các tích phân sau: a. 3 2 32x dx b. ( ) 1 0 3 32x dx c. 3 2 2 1x dx d. ( )( ) 3 2 12x1x dx e. + 1 0 2 65xx dx Bài 2. Tính các tích phân sau: a. + 1 0 2 1x dx b. + a 0 22 ax dx c. ++ 1 0 2 22xx dx Bài 3. Tính các tích phân sau: a. + 3 2 2 dx 13x2x 34x b. dx 54xx 12x 1 0 2 ++ c. + ++ 0 1 2 2 dx 23xx 33x3x d. ++ ++ 1 0 2 2 dx 92xx 103xx e. ++ +++ 1 0 2 23 dx 92xx 110x2xx g. ( )( ) + 2 1 0 2 1x1x xdx h. ( ) ( ) + ++ 1 0 22 2 dx 1x3x 96x5x i. ( ) ( ) ++ 1 0 2 dx 1x2x 24x Bài 4. Tính các tích phân sau: a. ( ) ( ) ++ + 1 2 2 2 54 1 xx dxx b. ( ) ( ) dx xx x ++ 1 0 2 12 24 c. ++ 1 0 24 34xx dx d. dx xx xx + ++ 0 1 3 2 23 333 e. + 3 1 3 3xx dx f. ( ) ++ + 1 0 2 65 114 dx xx x 3. Bài tập về nhà: Tính các tích phân sau: 1. + 1 0 2 dx x1 2x 2. + 3 1 3 3xx dx a. + 1 0 2 dx 65xx 35x b. ( ) + + 0 1 2 23xx dx1x c. ( ) + 1 0 2 2 x1 xdx d. dx 1x 2x 3 2 2 3 e. + 1 0 2 2 dx x1 x f. + 2 1 4 2 dx x1 1x g. + 2 1 4 x1 dx h. + 0 1 2 34xx dx Bài 2. Tính các tích phân sau: 1. ++ 1 0 x1x dx 2. 1 0 2 2 x4 dxx 3. + 1 0 x 1e dx 4. + 1 0 2 dx 1x x 5. 1 0 xx 4ee dx 6. ( )( ) +++ dx 13xx15xx 1x 22 2 7. + 1 0 12x xdx 8. a 0 222 dxxax với a > 0 9. 1 0 23 dxx1x 10. ++ + 1 0 2 dx 65xx 114x 11. + + 1 2 1 4 2 dx x1 x1 12. + 1 0 2 dx1x 13. ++ 2 0 2 3 dx 12xx x 14. 2 2 0 2 2 dx x1 x 15. + + 1 0 6 4 dx 1x 1x 16. ++ 1 0 24 dx 1xx x 17. + 2 1 4 2 dx x1 x1 18. ( ) ++ 1 0 n nn x1x1 dx , n = 1, 2, 19. + + + 2 51 1 24 2 dx 1xx 1x 20. + 7 0 3 2 3 x1 dxx 21. + ln2 0 x x dx e1 e1 22. ( ) + 4 1 2 1xx dx 23. 3 2 2 dx1x 24. + 1 0 2 dx1x 25. + 32 5 2 4xx dx 26. + 2 1 dx 1x1 x 27. + e 1 dx x lnx3lnx1 28. ( ) 3 2 2 dxxxln 29. + ln5 ln3 xx 32ee dx 30. ( ) 1 0 2x dxe2x 31. + 3 1x xdx 32. + ln2 0 x 2x dx 1e e 33. ( ) e 1 2 dxxlnx 34. + e 1 3 2 dx x xln2lnx 35. dx 21 x 1 1 x 4 + 36. 10 1 2 xdxxlg 37. ++ 7 2 1x2 dx 38. + 1 0 x 2e dx 39. dx 13x 1x 3 7 0 3 + + 40. 2 2 4 x dx xsin10 41. 2 1 2 dx x lnx 42. ( ) 1 0 6 35 dxx1x 43. +++ 1 1 2 x1x1 dx II. Tích phân của các hàm số lợng giác 1. Phơng pháp: 1. Tích phân dạng: b a x.dxsinmx.sinn , b a x.dxsinmx.cosn , b a x.dxcosmx.sinn với m, n Z Phơng pháp: Dùng công thức biến đổi tích thành tổng. 2. Tích phân dạng: ( ) b a dxcosxsinx,f a. Thờng đặt t = tan 2 x b. Nếu f(- sinx, - cosx) = f(sinx, cosx) thì đặt t = tanx (Chẵn đối với sinx và cosx) 3. Tích phân dạng: b a nm x.dxx.cossin a. Nếu m, n dơng - Nếu m lẻ thì đặt t = cosx - Nếu n lẻ thì đặt t = sinx b. Nếu m, n chẵn thì dùng công thức hạ bậc. c. Nếu m, n âm và cùng chẵn, cùng lẻ thì đặt t = tanx. 4. TÝch ph©n d¹ng: ∫ b a m x.dxtan (m > 0) ¸p dông c«ng thøc d(tanx) = (1 + tan 2 x)dx BiÕn ®æi ∫ b a m x.dxtan = ∫∫       −= −− b a 2 2m b a 22m dx1 xcos 1 xtanx.dxx.tantan = ( ) ∫∫ −− − b a 2m b a 2m xdxtantanxxdtan 2. Bµi tËp minh ho¹: Bµi 1. TÝnh c¸ch tÝch ph©n sau: 1. ∫ 4 π 0 cos4xdx 2. ∫ 4 π 0 3 xcosxdxsin 3. ∫ 4 π 0 xsin9xsinxd 4. ∫ 2 π 0 dxcos3xsin5x 5. ∫ 2 π 0 2 3xdxcosx.cos 6. ∫ π 0 4 xdxcos 7. ∫ 2 π 0 3 xdxsin 8. ∫ 3 π 4 π 3 xdxtan 9. ∫ 4 π 0 42 xdxxcossin 10. ∫ ++ ++ 2 π 0 dx 53cosx4sinx 67cosxsinx Bµi 2. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1. ∫ 4 π 0 4 xcos dx 2. ∫ 2 π 0 310 xdxxcossin 3. ( ) ∫ + 4 π 0 44 dxxcosxsincos2x 4. ∫ + 2 π 0 3 dx cosx1 x4sin 5. ∫ + 2 π 0 2 3 dx xcos1 xsin 6. ∫ + π 0 2 dx xcos1 xsinx 7. ∫ 3 π 0 cosx dx 8. ∫ 4 π 0 2 xdxxtan 9. ∫ + 2 π 0 dx 1cosx sin3x 10. ( ) ∫ − + 2 π 3 π 4 tanxdxxcos1 11. dx xcos x2cot1 3 π 6 π 2 2 ∫ + 12. ∫ 4 π 0 2 dx 2 x cos 13. ∫ 3 π 4 π 22 dx xxcossin cos2x Bµi 3. Cho hµm sè f(x) = sinxcosx sinx + a. T×m hai sè A, B sao cho f(x) = A + B       + − sinxcosx sinxcosx b. TÝnh ( ) ∫ 2 π 0 dxxf Bµi 4. a. Cho hµm sè f liªn tôc trªn (0; 1). Chøng minh r»ng ( ) ( ) ∫∫ = 2 π 0 2 π 0 dxcosxfdxsinxf b. Sö dông kÕt qu¶ ®Ó tÝnh I = ∫ + 2 π 0 3 cosxsinx xdxcos vµ J = ∫ + 2 π 0 3 cosxsinx xdxsin III. Bµi tËp vÒ nhµ: Bµi 1. TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1. ( ) ∫ + 2 π 0 dxsin2x3x 2. ∫ − 3 π 0 dx 4cos2x7 sin2x 3. ( ) ∫ + 2 π 0 sinxdx1x 4. ∫ + 4 π .0 dx 2sin2x1 cos2x 5. ∫ 4 π 0 7 5 dx xcos xsin 6. ∫ 2 π 0 2 sin2xdxx 7. ∫ 2 π 0 xcosxdx 8. ( ) ∫ + 4 π 0 2 2cosxsinx dx 9. ∫ 2 π 0 3 xdxsinx.cos 10. ∫ + 2 π 0 sinx1 cosxdx 11. ∫ 2 π 0 4 xdxsin Bµi 2. (Gi¶i ®Ò thi). TÝnh c¸c tÝch ph©n sau: 1. ( ) ∫ + 2 π 0 33 dxxsinxcos 2. ( ) ∫ + 2 π 0 44 dxxcosxsincos2x 3. ∫ + 2 π 0 3 dx 1cosx xcos 4. ∫ + 4 π 0 44 dx xcosxsin sin4x 5. ∫ + 2 π 0 2 3 dx xcos1 xsinx.cos 6. ∫ + 2 π 0 2 xcos1 cosxdx 7. ∫ + 2 π 0 dx sinx1 cosx 8. ( ) dx 14x 1 12xsin x 5 9 1 0 5 2 3x ∫         − + + + 9. ∫ −         − 2 2 4 x dxsinπi10 10. ∫ − − + 2 π 2 π 2 dx xsin4 cosxx 11. ( ) ∫ + − 2 π 0 3 dx sinxcosx 4sinx5cosx 12. ∫ 2 π 0 3xsin xdxsinx.cose 2 13. ( ) dxxsin 3 3 π 0 3 ∫ 14. cotx.dx xsin sinxxsin 2 π 3 π 3 3 3 ∫ − 15. dx2xcotxtan 3 π 6 π 22 ∫ −+ 16. ∫ − + + 4 π 4 π x 66 dx 16 xcosxsin 17. ∫ π 0 2 xdxxsinx.cos 18. ∫ 2 π 0 2 xcos4xdxcos 19. ( ) ∫ ++ 4 π 0 3 dx 2cosxsinx cos2x 20. ∫       + 4 π 0 66 dx xcosxsin sin4x 21. ( ) ∫ −− π 0 22 dxxcossinxcosxx2sin 22. ∫ + ++ 2 π 6 π dx cosxsinx cos2xsin2x1 23. ∫ 2 π 4 π 4 6 dx xsin xcos 24. ∫ + 2 π 0 2 3 dx xcos1 xsin 25. ∫       +       + dx 6 π xcot 3 π xtan 26. ∫ 2 π 0 32 xdxx.cossin 27. ( ) ∫ −+ 2 π 0 441010 dxxxcossinxsinxcos 28. ∫ π 0 4 xdxcos 29. ( ) ∫ + 4 π 0 2 2cosxsinx dx 30. ( ) ∫ + + + 2 π 0 cosx1 dx cosx1 sinx1 ln 31. ∫ − 3 π 3 π 2 dx xcos xsinx 32. ∫ + + 3 π 4 π dx sin2x3 sinxcosx 33. ( ) ∫ + 2 π 0 3 cosxsinx 4sinxdx 34. ( ) ∫ + 4 π 0 dxtanx1ln 35. ∫ 3 4π π 2 x sin dx 36. ∫ 3 π 4 π 4 xdxtan 37. ∫ − 2 π 0 2 xcos2 dx 38. ∫ + − 4 π 0 2 dx sin2x1 x2sin1 39. ∫ + + 2 π 0 dx 3cosx1 sinxsin2x 40. ∫ + 2 π 0 dx cosx1 sin2x.cosx 41. ( ) ∫ + 2 π 0 sinx cosxdxcosxe 42. ∫ + 2 π 0 22 dx x4sinxcos sin2x 41. ∫ + + 3 π 0 dx 3sin2x cosxsinx Bµi 3. Cho tÝch ph©n I n = ∫ 4 π 0 n xdxxtan (n lµ sè nguyªn d¬ng bÊt kú) 1. TÝnh I n khi n = 2. 2. Chøng minh r»ng I n > 2n 4 π 2n 1 +       + (§H B¸ch khoa HN A - 1997)– Bµi 4. Cho hµm sè g(x) = sinx.sin2x.cos5x 1. T×m hä nguyªn hµm cña g(x) 2. TÝnh tÝch ph©n I = ( ) ∫ − + 2 π 2 π x dx 1e xg (§H B¸ch khoa HN A - 1999)– Bài 5. Xét tích phân I n = 1 0 n xdxsin , với n là nguyên dơng Chứng minh ( ) [ ] 1n 1 I 1n 1sin n 1n + << + + (ĐH Huế A - 1998) Bài 6. Cho hai tích phân sau: I = 2 0 22 2x.dxx.coscos J = 2 0 22 2x.dxx.cossin 1. Tính I + J và I - J 2. Tính I và J (HV Ngân hàng TP HCM D - 1998) Bài 7. Đặt I = + 6 0 2 cosx3sinx xdxsin và J = + 6 0 2 cosx3sinx xdxcos 1. Tính I 3J và I + J. 2. Từ các kết quả trên, hãy tính các giá trị của I, J và K = 3 5 2 3 sinx3cosx cos2xdx III. Tích phân và khai triển nhị thức niu tơn Bài 1. Tính các tích phân sau: 1. + ln6 ln4 xx 2x dx 56ee e 2. ( ) + 2 2 225 dxx4xx 3. + 8 3 2 dx 1x 1x 4. dx 2 1 xsinsinx. 2 6 2 + 6. + + 2 0 x dxe cosx1 sinx1 7. ( ) dx cosxsinx sinx 2 0 3 + 8. ( ) 2 0 23 xdxcos1xcos 9. + 8 3 dx 1x lnx 10. 6 0 dx cos2x sinx 11. dx xln1x xlog e 1 2 3 2 + 12. + + 1 0 dx x1 x1 13. dx xsin3cosx sinx 3 0 2 + 14. ++ 4 4 2 dx xx1 sinx 15. ( ) ++ 3 0 2 dxx1xln 16. 3 3 2 dx xcos xsinx 17. + 2 0 dx 12sinx 3cosxsin2x 18. ( )( ) ++ 1 1 2x 1x1e dx 19. dx 4 xx.sinsin xcos 4 6 3 2 + 20. + 2 1 3 x1x dx 22. 2x ln 3 x x ln 2 e dx I e 1 e 2 = + 23. 1 2 0 I = xln(x + x +1)dx 25. ( ) + 2 0 cos 2sin.sin xdxxe x 26. + + = 5 1 2 13 1 dx xx x I 27. x ln10 b 3 x e dx e 2 28. 2 3 0 7sin x 5cos x dx (sin x cos x) + 29. dx. .cos.sin. 3 2 0 sin 2 xxe x 30. + + = e dxxx xx x I 1 2 ln3 ln1 ln 31. = xx dx I 53 cos.sin 32. ( ) 2 3 0 sinxdx sinx + 3 osxc 33. 6 6 4 x 4 sin x cos x dx 6 1 + + 34. = 2 1 xdxln)2x(I 35. 1 2 ln xdx e I x x = + ữ 36. 4 2 4 0 sin 4x I dx cos x. tan x 1 = + 38. + = e 1 dx xln21x xln23 I 39. ( ) 3 6 2 1 dx x 1 x+ 40. 3 1 (x 4)dx 3. x 1 x 3 + + + + 41. 3 2 2 1 log 1 3ln e x I dx x x = + 42. 1 2 1 2 1 ( 1 ) x x x e dx x + + 43. 4 0 sin 4 sin 2 2(sin cos ) 2 x dx x x x ữ + + + 44. ( ) ++ + = 4 0 2 211 1 dx x x 45. + = 2ln3 0 23 )2( x e dx I Bài 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số: f(x) = x 0 dt t25 4 1 trên đoạn [7; 16] Bài 2. Cho tích phân I = ( ) + 1 0 5 dxx1 a. Tính I. b. Dựa vào I, Hãy chứng minh 5 5 4 5 3 5 2 5 1 5 0 5 C 6 1 C 5 1 C 4 1 C 3 1 C 2 1 C +++++ Bài 3. Cho tích phân I = ( ) + 2 1 5 dx1x a. Tính I. b. Dựa vào I, hãy tính tổng S = 5 5 4 5 2 3 5 3 2 5 4 1 5 5 0 5 6 C 1 12 C 2 12 C 3 12 C 4 12 C 5 12 C 6 12 + + + + + Bài 4. Tính các tổng sau: a. S = n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n 1 C 1n 2 .C 3 2 C 2 2 C 1 2 + ++++ + b. S = 100 100 101 2 100 3 1 100 2 0 100 1 C 101 3 .C 3 3 C 2 3 C 1 3 ++ c. S = n n 1n 2 n 3 1 n 2 0 n 1 C 1n 12 .C 3 12 C 2 12 C 1 12 + ++ + + + Bài 3. Chứng minh rằng: a. 1n 12 C 1n 1 .C 3 1 C 2 1 C 1n n n 2 n 1 n 0 n + = + ++++ + b. 1n 12 C 1n 1 .C 3 1 C 2 1 C 1n n n 2 n 1 n 0 n + = + ++++ + c. n n 0 1n 2 n 2n 3 1 n 1n 2 0 n n 1 C.2 1n 13 .C.2 3 13 C.2 2 13 C.2 1 13 + ++ + + + d. 202 2.315 C.3 100 2 .C.3 6 2 C.3 4 2 C.3 2 2 101101 99 100 1 100 5 100 95 6 3 100 97 4 1 100 99 2 + =++++ Bµi 3. Cho tÝch ph©n I = ( ) ∫ + 1 0 2006 2 dx1xx a. TÝnh I. b. Dùa vµo I, tÝnh tæng S = 2006 2006 2 2006 1 2006 0 2006 C 4014 1 .C 6 1 C 4 1 C 2 1 ++++ Bµi 4. Cho tÝch ph©n I = ( ) ∫ − 1 0 n 2 dx1xx , víi n ∈ N vµ n ch½n a. TÝnh I b. Dùa vµo I, chøng minh r»ng: ( ) 1n2 1 C 22n 1 .C 6 1 C 4 1 C 2 1 n n 2 n 1 n 0 n + = + +−+− Bµi 5. Cho tÝch ph©n I = ( ) ∫ − 1 0 10 dx1xx a. TÝnh I b. Dùa vµo I, chøng minh r»ng: 132 1 C 12 1 .C 4 1 C 3 1 C 2 1 10 10 2 10 1 10 0 10 −=+−+− . xln2lnx 35. dx 21 x 1 1 x 4 + 36. 10 1 2 xdxxlg 37. ++ 7 2 1x2 dx 38. + 1 0 x 2e dx 39. dx 13x 1x 3 7 0 3 + + 40. 2 2 4 x dx xsin10 41. . ∫ − 3 π 0 dx 4cos2x7 sin2x 3. ( ) ∫ + 2 π 0 sinxdx1x 4. ∫ + 4 π .0 dx 2sin2x1 cos2x 5. ∫ 4 π 0 7 5 dx xcos xsin 6. ∫ 2 π 0 2 sin2xdxx 7. ∫ 2 π 0 xcosxdx