Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần...
Trang 1I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.
1 f(x) = x2 – 3x + 1x ĐS F(x) = x x lnxC
2
3 3
2 3
2 f(x) = 2 42 3
x
x ĐS F(x) = C
x
x
3 3
2 3
f(x) = 2
1
x
x
ĐS F(x) = lnx + 1x + C
4 f(x) = ( 2 21)2
x
x ĐS F(x) = C
x x
x
2 3
3
5 f(x) = x 3 x 4 x ĐS F(x) = x x x C
5
4 4
3 3
5 3
4 2 3
6 f(x) = 1 32
x
x ĐS F(x) = 2 x 33 x2 C
7 f(x) =
x
x 1 ) 2
( ĐS F(x) = x 4 x lnxC
8 f(x) = x 3 x1 ĐS F(x) = x x3 C
2 3 5
9 f(x) = 2 sin 2 2x
ĐS F(x) = x – sinx + C
10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C
11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin 2xC
4
1 2
1
12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C
13 f(x) =
x
2 cos sin
1
ĐS F(x) = tanx - cotx + C
14 f(x) =
x x
x
2
2 cos sin
2 cos
ĐS F(x) = - cotx – tanx + C
15 f(x) = sin3x ĐS F(x) = cos 3x C
3
1
16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) = cos 5x cosxC
5 1
17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x e x C
2
2
1
18 f(x) = ex(2 + )
cos 2x
ex
ĐS F(x) = 2ex + tanx + C
19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C
a
a x x
3 ln
3 ln
2
20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e x C
1 3
3 1
2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng
1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3
2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1
3
2 x3
3 f’(x) = 4 x x và f(4) = 0 ĐS f(x) =
3
40 2 3
x x x
Trang 24 f’(x) = x - 12 2
x và f(1) = 2 ĐS f(x) =
2
3 2
1 2
2
x
x
5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3
6 f’(x) = ax + 2, f' ( 1 ) 0 , f( 1 ) 4 , f( 1 ) 2
x
b
ĐS f(x) =
2
5 1 2
2
x x
II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.
Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)
Đặt t = u(x) dt u' (x)dx
I = f[u(x)].u' (x)dxf(t)dt
BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 ( 5x 1 )dx 2 ( 3 2x) 5
dx
3 5 2x dx 4
1
2x
dx
5 ( 2x2 1 ) 7xdx 6 (x3 5 ) 4x2dx 7 x2 1 xdx
8 x2x5dx
9
dx x
x
3 2
2
5
3
10 x( 1 x) 2
dx
11 dx
x
x
3
ln 12 x e x2 1dx
.
13 sin 4 x cos xdx
14 cos 5x x dx
sin
15 cotgxdx 16 costgxdx2 x
17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20 dx
x
e x
21
3
x
x
e
dx
e
22 e x dx
tgx
2 cos 23 1 x 2 dx 24
2
4 x dx
25 x2 1 x2 dx 26 1 x 2
dx
27
2
2
1 x
dx x
28 x2 x1
dx
29 cos 3xsin 2 xdx 30 x x 1 dx 31 e x 1
dx
32 x3 x2 1 dx
2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.
Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I
u(x).v' (x)dxu(x).v(x) v(x).u' (x)dx
Hay
udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)
Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:
1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2 5 ) sinxdx
4(x2 2x 3 ) cosxdx
5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx
9 x ln xdx 10 ln2 x dx 11 lnxdx x 12 e x dx
13 cosx2 x dx 14 xtg2xdx 15 sin x dx 16 ln(x2 1 )dx
17 e x cosxdx 18 x3e x2dx 19 xln( 1 x2 )dx
20 2x xdx
21 x lg xdx 22 2xln( 1 x)dx 23 x2 x dx
) 1 ln(
24 x2cos2xdx
Trang 3TÍCH PHÂN
I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:
1
1
3
0
(x x 1)dx
2 1
1 1
e
2
3
1
2
x dx
2
1 1
x dx
4
2
3
(2sinx 3cosx x dx)
1
0
(e xx dx)
6
1
3 0
(x x x dx)
7.
2
1
( x 1)(x x 1)dx
8
2
3
1 (3sinx 2cosx )dx
x
9
1
2 0
(e xx 1)dx
10
2
1
(x x x x dx)
11.
2
1 ( x 1)(x x 1)dx
12
3
3
1
2
2
2 -1
x.dx
x
14
2
e
1
7x 2 x 5
dx x
x 2
5
2
dx
16
2
2 1
x 1 dx
ln
3
6
x dx x
cos sin
18 4
2 0
tgx dx x
cos
0
20
0
e dx
2
2 1
dx 4x 8x
22
3
0
dx
ln
0
dx
1 sinx
24
1
1
2 1 ) 2
2
0
3
2 2
( x x dx
26
2
2
) 3 (x dx
4
3
2 4 ) (x dx
x x
2
1
3 2 1 1
2
1 3
2 2
dx x
x x
Trang 4
30
e
e
x dx
1
1
31
16
1
.dx
x
x
x x
e
2
1
7 5
x x
8
1 4
II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:
1
2
3
sin xcos xdx
2
2
3
sin xcos xdx
3 2
0
sin
1 3
x dx cosx
3
4
0
tgxdx
4 4
6
cot gxdx
5 6
0
1 4sin xcosxdx
6
1
2 0
1
x x dx
7
1
2 0
1
x x dx
8
1
3 2
0
1
9
1 2 3
x dx
x
10
1
0
1
11
2 3 1
1
1dx
x x
12
1
2 0
1
1 x dx
13
1 2 1
1
2 2dx
14
1
2 0
1
1dx
x
15
1
2 2 0
1 (1 3 ) x dx
16
2
sin
4
x
e cosxdx
17
2
4
sin
cosx
18 2
1
2 0
x
e xdx
19
2
3
sin xcos xdx
20
2
sin
4
x
e cosxdx
21
2
4
sin
cosx
22 2
1
2 0
x
e xdx
2
3
sin xcos xdx
24
2
3
sin xcos xdx
25 2
0
sin
1 3
x dx cosx
Trang 526 4
0
tgxdx
27
4
6
cot gxdx
28 6
0
1 4sin xcosxdx
1 2 0
1
30
1
2 0
1
x x dx
31
1
3 2 0
1
32
1 2
3
x dx
x
33
1
0 1
34
2
3 1
1
1dx
x x
1
1 ln
e
x dx x
36
1
sin(ln )
e
x dx x
37
1
1 3ln ln
e
dx x
38
2ln 1
1
e x
e
dx x
39
2 1 ln 2 ln
e
e
x dx
40
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
41
2
x dx x
42
1
0 2 1
x dx
x
43
1
0
1
x x dx
44
1
0
1
45
1
0
1
46
3
1
1
x dx x
1
1 ln
e
x dx x
47
1
sin(ln )
e
x dx x
48
1
1 3ln ln
e
dx x
49
2ln 1
1
e x
e dx x
50
2 1 ln 2 ln
e
e
x dx
51
2
2
1 (1 ln )
e
e
dx
1
0
5
2
4
0
sin 1 cos
54
4
2
0
4 x dx
55
4
2
0
4 x dx
1
2
0 1
dx x
57 e x dx
0
1
3
1
0
dx
e x
Trang 659
1
3
0
x dx
(2x 1)
60
1
0
x dx 2x 1
61
1
0
x 1 xdx
62
1 2 0
4x 11 dx
x 5x 6
63
1
2
0
2x 5 dx
x 4x 4
64
2 0
x 2x 1
0
(sin x cos x)dx
3 2
0
4sin x dx
1 cosx
0
1 sin2xdx
cos x
2 4 0 cos 2xdx
69
2
6
1 sin 2x cos2xdx
sin x cosx
1 x 0
1 dx
e 1
71 4(cos x sin x)dx
0
4 4
72
4
2 cos
dx x
x
73
2
3
sin
dx x
2
cos
dx x
x
75
0
2
2 2
x x
x
76
1
dx
0
cos xsin xdx
2 5 0 cos xdx
0
sin 4x dx
1 cos x
1
0
x 1 x dx
0
sin 2x(1 sin x) dx
4 4 0
1 dx cos x
83
e
1
1 ln xdx
x
0
1 dx cosx
85
1
1 ln xdx
x
1
5 3 6 0
x (1 x ) dx
0
cosx dx
6 5sin x sin x
3 4
0
tg x dx cos2x
89 4
0
cos sin
3 sin 2
x
2
0 cos2 4 sin2
2 sin
dx x x
Trang 791
5
ln
3
dx
2
0 ( 2 sin )2
2 sin
dx x x
93
3
4
2
sin
) ln(
dx x
tgx
0
1 (
dx x
tg
95
2
cos sin
dx x
x x
2
sin 2
sin
dx x
x
97
2
cos 2
sin
dx x
x
0
(
xdx x
99
2
x
x
x x
1
ln ln 3
101
4
0
2
2 sin
1
sin
2
1
dx x
1
2 0
1 x dx
103
1
2
0
1 dx
1 x
1
2 0
1 dx
4 x
105
1
2
0
1 dx
x x 1
1
4 2 0
x x 1
107 2
0
1
1 cosx sinx dx
2 2 2
2 0
x dx
1 x
109
2
1
x 4 x dx
2 3 2 2
1 dx
x x 1
101
2
1
9 3x dx
x
1
5 0
1 (1 x dx)
x
113
2
2
2
3
1
1dx
x x
0
cos
7 cos2
x
115
6
0
1
1 x dx
x
0
cos
1 cos
x
117
0
dx
118
1
dx
119
2
1
dx x
x
8 2 3
1
1dx
x x
121
7 3
0 1
x
122
3
0 1
Trang 8123
ln2
x 0
1 dx
e 2
7 3 3 0
1
3 1
x
125
2
2 3 0
1
126
3 2
5 x x2 4
dx
II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:
Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )
b a
Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv
@ Dạng 1
sin ( )
ax
ax
f x cosax dx e
cos
@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx
Đặt ln( )
dx du
@ Dạng 3: .sin
e ax cosax ax dx
Ví dụ 1: tính các tích phân sau
a/
1 2
2
0 ( 1)
x
x e
dx
x
2
2 ( 1)
x
u x e
dx dv
x
b/
3 8
4 3
2 ( 1)
x dx
x
5 3
4 3 ( 1)
u x
x dx dv
x
c/
1 2
1
Tính I 1
1 2
0 1
dx x
bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 =
1 2
2 2
0 (1 )
x dx x
bằng phương pháp từng phần : đặt
2 2 (1 )
u x
x
x
Bài tập
Trang 91
3
3 1
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
3
1
2
0
ln( 1)
x x dx
4 2
1
ln
e
x xdx
5
3
3 1
ln
e
x dx x
1
ln
e
x xdx
7
1
2
0
ln( 1)
x x dx
8 2
1
ln
e
x xdx
9 2
0
(x cosx)sinxdx
1 ( ) ln
e
x
11
2
2
1
ln(x x dx)
3
2
4
tan
13
2
5 1
ln x dx x
2
0
cos
x xdx
15
1
0
x
xe dx
2
0
cos
x
e xdx
Tính các tích phân sau
1)
1
0
3
.e dx
x x
2)
2
0
cos ) 1 (
xdx
6
0
3 sin ) 2 (
xdx
x 4)
2
0
2 sin
xdx x
5)
e
xdx
x
1
ln 6)
e
dx x x
1
2 ) ln 1
3
1
ln
4x x dx 8)
1
0
2 ).
3
ln(
x 9)
2
1
2 1 ) (x e x dx 10)
0
cos x dx
2
0
2 cos
dx
x
2
0
2 2 ) sin (
dx x x x
13)
2
5
1
ln xdx
x
0
x cos xdx
1 x 0
e sin xdx
2
0 sin xdx
17)
e
2
1
x ln xdx
2 0
x sin xdx cos x
19) 0xsin x cos xdx2
0 x(2 cos x 1)dx
21)
2
2
1
ln(1 x)dx
x
1
2 2x 0
(x 1) e dx
e
2 1
(x ln x) dx
0 cosx.ln(1 cosx)dx
Trang 1025) 2
1
ln
( 1)
e
e
x dx
x
1 2 0
xtg xdx
27)
1 0
2
) 2 (x e x dx 28)
1 0
2) 1 ln( x dx
29)
e
dx
x
x
1
ln
30)
2 0
3 )sin cos
(
xdx x
2 0
) 1 ln(
) 7 2
2
ln(x x dx
III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:
1
5
3
1
x x
x
b
a
dx b x a
( 1
3
1
0
3
1
1dx
x
x x
x
x x
1
0 2
3
1 1
5
1
0
3 2
) 1 3
x
6
1
0
2
2 ( 3 ) )
2 (
x x
7
2
1
2008
2008 ) 1
(
1
dx x
x
x
8
0
1 2
2 3
2 3
9 9 6 2
dx x
x
x x x
9
3
2
2 2
4 ) 1
x
10
1
0
2
3 2
) 1
x
n n
11
2
1
2 4
2
) 2 3 (
3
dx x
x x
x
12
2
1
4 ) 1 (
1
dx x x
13
2
0
2
4
1
dx
1
0 4
1 x dx x
x x
2
0
1
16
1
0
3
2 ) 1
x
17
4
2
2
3 2
1
dx x x
3
2 3 2
2 3
3 3 3
dx x
x
x x
19
2
1
4
2 1
1
dx x
x
20
1
0 3
1
1
dx x
21
1
0
6
4 5 6
1
2
dx x
x x x
22.
1
0
2
4
1
2
dx x x
23
1
0
6
4 1
1
dx x
1
2 0
4 11
5 6
x
dx
25
1
2
dx
x x
3
2
dx x
x
x
x
1
0
3 1
2 2
28
0
1
1 2 1 2
2
dx x
x
x
x
x
2
0
1 2
1 3
x
x x
1
0
2
3
3 2
x
x x
0
1
2
1 2 1
1
x
x x
1
0
2
1 1
2 2
Trang 11
33
1
0
2 4x 3
x dx
IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:
1 2 x 4 xdx
0
2 cos sin
2.
2
0
3
2 cos sin
xdx x
2
0
5
4 cos sin
4
2
0
3
3 cos ) (sin
dx x
5
2
0
4
4 cos ) (sin
2 cos
dx x x
2
0
2
2 sin cos cos ) sin
2 (
dx x x
x x
7
2
3
sin
1
dx
2
0
4 4 10
10 cos cos sin ) (sin
dx x x x
x
9
2
0 2 cos
x
2
0 2 sin 1
dx x
11
2
0
2
3 cos 1
sin
dx x
3
6
4 cos sin
dx
4
0
2
2 2 sin cos cos sin
x x
x x
2
0 1 cos cos
dx x x
15
2
0 2 cos
cos
dx x
2
0 2 sin sin
dx x x
17
2
0
3 cos 1
cos
dx x
2
0 sin cos 1
1
dx x x
19
2
3
2 ) cos 1 (
cos
xdx
20
2
2
3 cos 2 sin
1 cos sin
dx x x
x x
21
4
0
3
xdx
4
6
3 cot
23
3
4
4
xdx
4
0 1 1
dx tgx
25
4
4 cos(
cos
x x
dx
26
2
0 4 sin 5 cos 5
6 cos 7 sin
dx x x
x x
Trang 1227
2
0
sin
4
0 2 sinx 3 cosx 13
dx
29
4
0
4
3
cos
1
sin
4
dx x
2
0 sin cos
2 sin 2 cos 1
dx x x
x x
31
2
0 1 cos
3
sin
dx x
2
4
sin 2
sin
dx
33
4
0
2
3
cos
sin
dx
x
2
0
3
2 ) sin 1 ( 2 sin
dx x x
35
0
sin
3
4
3
3 3 sin
sin sin
dx xtgx
x x
37
2
0 1 sin cos
x x
2
0 2 sin 1
x dx
39
2
4
5
3 sin
cos
xdx
4
0
2 cos 1
4 sin
x xdx
41
2
0 5 sin 3
x
6
6
4 cos sin
dx
43
3
6 sin(
sin
dx
4.
3
4 cos(
sin
x x dx
45
3
4
6
2
cos
sin
xdx
46 tgxtg x )dx
6 ( 3
6
47
3
0
3 ) cos (sin
sin
4
x x
0
2
2 ) sin 2 (
2 sin
x
49
2
0
3
sin
dx
2
0
2 cos
xdx x
2
0
1 2
2
sin
dx e
x
x x
2
0 1 cos
sin 1
53
4
6
2 cot
4 sin
3
sin
dx x g tgx
x x
2
0
2 5 sin 6 sin
2 sin
x x
xdx
Trang 1355
2
1
)
3
6
2
cos
) ln(sin
dx x x
57 x x dx
2
0
2 cos ) 1 2 (
58
0
2
cos sinx xdx x
59
4
0
2
xdx
0
2
2 sin xdx
e x
61
2
0
3 sin2 sin cos
xdx x
4
0
) 1
ln(
dx tgx
63
4
0
2 ) cos 2 (sin
x x
2
0
2 ) cos 2 )(
sin 1 (
cos ) sin 1 (
dx x x
x x
65
2
2
sin 2 sin 7
66
2
0
cos (sin cos )
67
0
4sin
1 cos
x
68.
2
2
3 cos 5 cos
xdx
69
2
2
2 sin 7 sin
xdx
4
0
cos 2 sin
xdx
x
71
4
0
2 sin
xdx
V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:
b
a
dx x f x
R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:
+) R(x,
x a
x a
) Đặt x = a cos2t, t ]
2
; 0 [
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t
+) R(x, n
d cx
b ax
) Đặt t = n
d cx
b ax
+) R(x, f(x)) =
ax ) 2
(
1
Với (x2 x )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = x2 x , hoặc đặt t =
b
ax
1
+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a tgt , t ]
2
; 2 [
Trang 14+) R(x, x 2 a2 ) §Æt x =
x
a
2 {
\ ]
; 0
+) Rn 1 n 2 n i
x; x; ; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)
§Æt x = tk
1
3
2
5 x x2 4
dx
2
2
3
2 x x2 1
dx
3
2
1
2
1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5
dx
4
2
1 x x3 1
dx
2
1
2 2008dx
2
1 x2 2008
dx
1
0
2
2 1 x dx
1
0
3
2 ) 1
3
1 2 2
2
1
1 dx
x x
x
10
2 2
0 1
1
dx x x
11
1
0 ( 1 x2)3
dx
12
2 2
0 ( 1 x2)3
dx
13
1
0
2
2 2
2
1 x
dx x
15
2
0 7 cos 2
cos
x
2
0
2 cos cos
sin
dx x x
x
17
2
0 2 cos2
cos
x
2
0 1 3 cos
sin 2 sin
dx x
x x
19
7
0 3 2
3
1 x
dx x
3
0
2
3 10 x dx x
1
0 2x 1
xdx
22
1
3
1
x x
dx x
7
2 2x 1 1
dx
24 x x dx
1
0
8
15 1 3
25
2
0
5
6 1 cos 3 sin cos
xdx x
3 ln
0 e x 1
dx
27
1
1 1 x x2 1
dx
2 ln
0
2
1
x
x
e
dx e
1
4
5
2 8 4
e
dx x
x x
1
ln ln 3 1
Trang 1531
3
3 5
1 x dx
x x
32 x x x dx
4
0
2
3 2
33
0
1
3
3 ln
2 ln
2 1 ln
ln
dx x x x
35
3
0
2
2 cos
3 2 cos
2 cos
dx x
tgx x
x
36
2 ln
0 ( x 1 )3
x
e
dx e
37
3
0 2 cos 2
cos
x
2
0 1 cos2 cos
x xdx
x
x
7
0 3 3
2
40
a
dx a x
2
0
2 2
VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:
Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:
a
a
a
dx x f x f dx
x
f
0
)]
( ) ( [ )
(
Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên
[-2
3
; 2
3
] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2 2 cos 2x,
Tính:
2 3
2 3 ) (
dx x f
+) Tính
1
1
2
4 1
sin
dx x
x x
Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f ( ) = 0.
Ví dụ: Tính:
1
1
2 ) 1
2
2
2 ) 1 ln(
cos
dx x x
x
Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:
a
a
dx x
f( ) = 2
a
dx
x
f
0
)
(
Ví dụ: Tính
1
1
2
x
dx
2
2
cos
4 sin
x
Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:
a a
a
x dx f x dx
b
x
f
0
) ( 1
)
(
(1 b>0, a)
