1. Trang chủ
  2. » Giáo Dục - Đào Tạo

Bài tập nguyên hàm và tích phân

20 758 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 20
Dung lượng 1,52 MB

Nội dung

Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số... MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.. Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần...

Trang 1

I Tìm nguyên hàm bằng định nghĩa và các tính chất 1/ Tìm nguyên hàm của các hàm số.

1 f(x) = x2 – 3x + 1x ĐS F(x) = xx  lnxC

2

3 3

2 3

2 f(x) = 2 42 3

x

x  ĐS F(x) = C

x

x

 3 3

2 3

f(x) = 2

1

x

x 

ĐS F(x) = lnx + 1x + C

4 f(x) = ( 2 21)2

x

x  ĐS F(x) = C

x x

x

2 3

3

5 f(x) = x 3 x 4 x ĐS F(x) = xxxC

5

4 4

3 3

5 3

4 2 3

6 f(x) = 1 32

x

x  ĐS F(x) = 2 x 33 x2 C

7 f(x) =

x

x 1 ) 2

(  ĐS F(x) = x 4 x lnxC

8 f(x) = x 3 x1 ĐS F(x) = xx3 C

2 3 5

9 f(x) = 2 sin 2 2x

ĐS F(x) = x – sinx + C

10 f(x) = tan2x ĐS F(x) = tanx – x + C

11 f(x) = cos2x ĐS F(x) = x sin 2xC

4

1 2

1

12 f(x) = (tanx – cotx)2 ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C

13 f(x) =

x

2 cos sin

1

ĐS F(x) = tanx - cotx + C

14 f(x) =

x x

x

2

2 cos sin

2 cos

ĐS F(x) = - cotx – tanx + C

15 f(x) = sin3x ĐS F(x) =  cos 3x  C

3

1

16 f(x) = 2sin3xcos2x ĐS F(x) =  cos 5x cosxC

5 1

17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = e x e x C

2

2

1

18 f(x) = ex(2 + )

cos 2x

ex

ĐS F(x) = 2ex + tanx + C

19 f(x) = 2ax + 3x ĐS F(x) = C

a

a x x

 3 ln

3 ln

2

20 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = e x C

1 3

3 1

2/ Tìm hàm số f(x) biết rằng

1 f’(x) = 2x + 1 và f(1) = 5 ĐS f(x) = x2 + x + 3

2 f’(x) = 2 – x2 và f(2) = 7/3 ĐS f(x) = 1

3

2  x3 

3 f’(x) = 4 x  x và f(4) = 0 ĐS f(x) =

3

40 2 3

x x x

Trang 2

4 f’(x) = x - 12  2

x và f(1) = 2 ĐS f(x) =

2

3 2

1 2

2

x

x

5 f’(x) = 4x3 – 3x2 + 2 và f(-1) = 3 ĐS f(x) = x4 – x3 + 2x + 3

6 f’(x) = ax + 2, f' ( 1 )  0 , f( 1 )  4 , f(  1 )  2

x

b

ĐS f(x) =

2

5 1 2

2

x x

II MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số.

Tính I = f[u(x)].u' (x)dx bằng cách đặt t = u(x)

 Đặt t = u(x) dtu' (x)dx

 I = f[u(x)].u' (x)dxf(t)dt

BÀI TẬP Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 ( 5x 1 )dx 2 ( 3 2x) 5

dx

3  5  2x dx 4 

 1

2x

dx

5 ( 2x2  1 ) 7xdx 6 (x3  5 ) 4x2dx 7 x2 1 xdx

  8 x2x5dx

9 

dx x

x

3 2

2

5

3

10  x( 1 x) 2

dx

11 dx

x

x

3

ln 12 x e x2  1dx

.

13 sin 4 x cos xdx

14 cos 5x x dx

sin

15 cotgxdx 16 costgxdx2 x

17 sindx x 18 cosdx x 19 tgxdx 20  dx

x

e x

21 

 3

x

x

e

dx

e

22  e x dx

tgx

2 cos 23 1  x 2 dx 24 

 2

4 x dx

25 x2 1  x2 dx 26 1 x 2

dx

27 

 2

2

1 x

dx x

28 x2 x1

dx

29 cos 3xsin 2 xdx 30 x x 1 dx 31 e x 1

dx

32 x3 x2 1 dx

2 Phương pháp lấy nguyên hàm từng phần.

Nếu u(x) , v(x) là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên I

u(x).v' (x)dxu(x).v(x)  v(x).u' (x)dx

Hay

udvuv vdu ( với du = u’(x)dx, dv = v’(x)dx)

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

1 x sin. xdx 2 x cos xdx 3 (x2  5 ) sinxdx

4(x2  2x 3 ) cosxdx

5 xsin 2xdx 6 xcos 2xdx 7 x.e x dx 8 lnxdx

9 x ln xdx 10 ln2 x dx 11 lnxdx x 12 e x dx

13 cosx2 x dx 14 xtg2xdx 15 sin x dx 16 ln(x2  1 )dx

17 e x cosxdx 18 x3e x2dx 19 xln( 1 x2 )dx

20 2x xdx

21 x lg xdx 22 2xln( 1 x)dx 23  x2 x dx

) 1 ln(

24 x2cos2xdx

Trang 3

TÍCH PHÂN

I TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN:

1

1

3

0

(x  x 1)dx

2 1

1 1

e

2

3

1

2

xdx

2

1 1

xdx

4

2

3

(2sinx 3cosx x dx)

1

0

(e xx dx)

6

1

3 0

(xx x dx)

 7.

2

1

( x 1)(xx 1)dx

8

2

3

1 (3sinx 2cosx )dx

x

 9

1

2 0

(e xx  1)dx

10

2

1

(xx xx dx)

 11.

2

1 ( x 1)(xx 1)dx

12

3

3

1

2

2

2 -1

x.dx

x 

14

2

e

1

7x 2 x 5

dx x

x 2

5

2

dx

16

2

2 1

x 1 dx

ln

3

6

x dx x

cos sin

18 4

2 0

tgx dx x

cos

0

20

0

e dx

2

2 1

dx 4x 8x

22

3

0

dx

ln

0

dx

1 sinx

24 

 1

1

2 1 ) 2

2

0

3

2 2

( x x dx

26 

 2

2

) 3 (x dx

4

3

2 4 ) (x dx

x x

 2

1

3 2 1 1

2

1 3

2 2

dx x

x x

Trang 4

30 

e

e

x dx

1

1

31 

16

1

.dx

x

x

x x

e

  

2

1

7 5

x x

 

 8

1 4

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ:

1

2

3

sin xcos xdx

 2

2

3

sin xcos xdx

3 2

0

sin

1 3

x dx cosx

 3

4

0

tgxdx

4 4

6

cot gxdx

 5 6

0

1 4sin xcosxdx

6

1

2 0

1

x xdx

 7

1

2 0

1

xx dx

8

1

3 2

0

1

 9

1 2 3

x dx

x 

10

1

0

1

 11

2 3 1

1

1dx

x x 

12

1

2 0

1

1 x dx

 13

1 2 1

1

2 2dx

  

14

1

2 0

1

1dx

x 

 15

1

2 2 0

1 (1 3 )  x dx

16

2

sin

4

x

e cosxdx

 17

2

4

sin

cosx



18 2

1

2 0

x

exdx

 19

2

3

sin xcos xdx

20

2

sin

4

x

e cosxdx

 21

2

4

sin

cosx

22 2

1

2 0

x

exdx

2

3

sin xcos xdx

24

2

3

sin xcos xdx

 25 2

0

sin

1 3

x dx cosx

Trang 5

26 4

0

tgxdx

 27

4

6

cot gxdx



28 6

0

1 4sin xcosxdx

1 2 0

1

30

1

2 0

1

xx dx

 31

1

3 2 0

1

32

1 2

3

x dx

x 

 33

1

0 1

34

2

3 1

1

1dx

x x 

1

1 ln

e

x dx x

36

1

sin(ln )

e

x dx x

 37

1

1 3ln ln

e

dx x

38

2ln 1

1

e x

e

dx x

 39

2 1 ln 2 ln

e

e

x dx

40

2

2

1 (1 ln )

e

e

dx

 41

2

x dx x

 

42

1

0 2 1

x dx

x 

 43

1

0

1

x xdx

44

1

0

1

 45

1

0

1

46

3

1

1

x dx x

1

1 ln

e

x dx x

47

1

sin(ln )

e

x dx x

 48

1

1 3ln ln

e

dx x

49

2ln 1

1

e x

e dx x

 50

2 1 ln 2 ln

e

e

x dx

51

2

2

1 (1 ln )

e

e

dx

1

0

5

2

4

0

sin  1 cos

54

4

2

0

4 x dx

55

4

2

0

4 x dx

1

2

0 1

dx x

57 e x dx

 

0

1

3

1

0

dx

e x

Trang 6

59

1

3

0

x dx

(2x 1) 

 60

1

0

x dx 2x 1 

61

1

0

x 1 xdx 

 62

1 2 0

4x 11 dx

x 5x 6

 

63

1

2

0

2x 5 dx

x 4x 4

 

 64

2 0

x  2x 1 

0

(sin x cos x)dx

3 2

0

4sin x dx

1 cosx

0

1 sin2xdx

cos x

2 4 0 cos 2xdx

69

2

6

1 sin 2x cos2xdx

sin x cosx

1 x 0

1 dx

e 1 

71 4(cos x sin x)dx

0

4 4

 

72 

4

2 cos

dx x

x

73 

2

3

sin

dx x

2

cos

dx x

x

75 

 0

2

2 2

x x

x

76 

1

dx

0

cos xsin xdx

2 5 0 cos xdx

0

sin 4x dx

1 cos x

1

0

x 1 x dx 

0

sin 2x(1 sin x) dx

4 4 0

1 dx cos x

83

e

1

1 ln xdx

x

0

1 dx cosx

85

1

1 ln xdx

x

1

5 3 6 0

x (1 x ) dx 

0

cosx dx

6 5sin x sin x

3 4

0

tg x dx cos2x

89 4

0

cos sin

3 sin 2

x

2

0 cos2 4 sin2

2 sin

dx x x

Trang 7

91 

 

5

ln

3

dx

2

0 ( 2 sin )2

2 sin

dx x x

93 

3

4

2

sin

) ln(

dx x

tgx

0

1 (

dx x

tg

95 

2

cos sin

dx x

x x

2

sin 2

sin

dx x

x

97 

2

cos 2

sin

dx x

x

0

(

xdx x

99 

2

x

x

x x

1

ln ln 3

101 

4

0

2

2 sin

1

sin

2

1

dx x

1

2 0

1 x dx 

103

1

2

0

1 dx

1 x 

1

2 0

1 dx

4 x 

105

1

2

0

1 dx

x  x 1 

1

4 2 0

x  x 1 

107 2

0

1

1 cosx sinx dx

2 2 2

2 0

x dx

1 x 

109

2

1

x 4 x dx 

2 3 2 2

1 dx

x x 1 

101

2

1

9 3x dx

x

1

5 0

1 (1 x dx)

x

113

2

2

2

3

1

1dx

x x 

0

cos

7 cos2

x

115

6

0

1

1 x dx

x

0

cos

1 cos

x

117 

0

dx

118 

1

dx

119 

 2

1

dx x

x

8 2 3

1

1dx

x x 

121

7 3

0 1

x

 122

3

0 1

Trang 8

123

ln2

x 0

1 dx

e  2

7 3 3 0

1

3 1

x

125

2

2 3 0

1

 126 

3 2

5 x x2 4

dx

II PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN:

Công thức tích phân từng phần : u( )v'(x) x ( ) ( ) ( ) '( )

b a

Tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv

@ Dạng 1

sin ( )

ax

ax

f x cosax dx e

cos

     

@ Dạng 2: f x( ) ln( )ax dx

Đặt ln( )

dx du

@ Dạng 3: .sin 

e ax cosax ax dx

Ví dụ 1: tính các tích phân sau

a/

1 2

2

0 ( 1)

x

x e

dx

x 

2

2 ( 1)

x

u x e

dx dv

x

 

b/

3 8

4 3

2 ( 1)

x dx

x 

5 3

4 3 ( 1)

u x

x dx dv

x

 

 c/

1 2

1

 

Tính I 1

1 2

0 1

dx x

 bằng phương pháp đổi biến số Tính I 2 =

1 2

2 2

0 (1 )

x dx x

 bằng phương pháp từng phần : đặt

2 2 (1 )

u x

x

x

Bài tập

Trang 9

1

3

3 1

ln

e

x dx x

1

ln

e

x xdx

3

1

2

0

ln( 1)

x xdx

 4 2

1

ln

e

x xdx

5

3

3 1

ln

e

x dx x

1

ln

e

x xdx

7

1

2

0

ln( 1)

x xdx

 8 2

1

ln

e

x xdx

9 2

0

(x cosx)sinxdx

1 ( ) ln

e

x

11

2

2

1

ln(xx dx)

3

2

4

tan

13

2

5 1

ln x dx x

2

0

cos

x xdx

15

1

0

x

xe dx

2

0

cos

x

e xdx

 Tính các tích phân sau

1) 

1

0

3

.e dx

x x

2)

  2

0

cos ) 1 (

xdx

6

0

3 sin ) 2 (

xdx

x 4) 

2

0

2 sin

xdx x

5) 

e

xdx

x

1

ln 6)  

e

dx x x

1

2 ) ln 1

3

1

ln

4x x dx 8)

1

0

2 ).

3

ln(

x 9)  

2

1

2 1 ) (x e x dx 10) 

 0

cos x dx

2

0

2 cos

dx

x

2

0

2 2 ) sin (

dx x x x

13)

2

5

1

ln xdx

x

0

x cos xdx

1 x 0

e sin xdx

2

0 sin xdx

17)

e

2

1

x ln xdx

2 0

x sin xdx cos x

 19) 0xsin x cos xdx2

0 x(2 cos x 1)dx

21)

2

2

1

ln(1 x)dx

x

1

2 2x 0

(x 1) e dx 

e

2 1

(x ln x) dx

0 cosx.ln(1 cosx)dx

Trang 10

25) 2

1

ln

( 1)

e

e

x dx

x 

1 2 0

xtg xdx

 27)  

1 0

2

) 2 (x e x dx 28)  

1 0

2) 1 ln( x dx

29) 

e

dx

x

x

1

ln

30)

 

2 0

3 )sin cos

(

xdx x

2 0

) 1 ln(

) 7 2

2

ln(x x dx

III TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ:

1    

5

3

1

x x

x

b

a

dx b x a

( 1

3   

1

0

3

1

1dx

x

x x

x

x x

 

1

0 2

3

1 1

5  

1

0

3 2

) 1 3

x

6   

1

0

2

2 ( 3 ) )

2 (

x x

7  

2

1

2008

2008 ) 1

(

1

dx x

x

x

8 

 0

1 2

2 3

2 3

9 9 6 2

dx x

x

x x x

9  

3

2

2 2

4 ) 1

x

10  

 1

0

2

3 2

) 1

x

n n

11    

2

1

2 4

2

) 2 3 (

3

dx x

x x

x

12  

2

1

4 ) 1 (

1

dx x x

13  

2

0

2

4

1

dx

1

0 4

1 x dx x

x x

  

2

0

1

16  

1

0

3

2 ) 1

x

17   

4

2

2

3 2

1

dx x x

3

2 3 2

2 3

3 3 3

dx x

x

x x

19 

2

1

4

2 1

1

dx x

x

20  

1

0 3

1

1

dx x

21    

1

0

6

4 5 6

1

2

dx x

x x x

22.  

1

0

2

4

1

2

dx x x

23



1

0

6

4 1

1

dx x

1

2 0

4 11

5 6

x

dx

 

25

1

2

dx

x   x

3

2

dx x

x

x

x

1

0

3 1

2 2

28 

 0

1

1 2 1 2

2

dx x

x

x

x

x

2

0

1 2

1 3

x

x x

  

1

0

2

3

3 2

x

x x



0

1

2

1 2 1

1

x

x x



1

0

2

1 1

2 2

Trang 11

33   

1

0

2 4x 3

x dx

IV TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC:

1 2 x 4 xdx

0

2 cos sin

2.

2

0

3

2 cos sin

xdx x

2

0

5

4 cos sin

4

  2

0

3

3 cos ) (sin

dx x

5

2

0

4

4 cos ) (sin

2 cos

dx x x

2

0

2

2 sin cos cos ) sin

2 (

dx x x

x x

7 

2

3

sin

1

dx

2

0

4 4 10

10 cos cos sin ) (sin

dx x x x

x

9  

2

0 2 cos

x

2

0 2 sin 1

dx x

11 

2

0

2

3 cos 1

sin

dx x

3

6

4 cos sin

dx

4

0

2

2 2 sin cos cos sin

x x

x x

2

0 1 cos cos

dx x x

15

 

2

0 2 cos

cos

dx x

 

2

0 2 sin sin

dx x x

17  

2

0

3 cos 1

cos

dx x

2

0 sin cos 1

1

dx x x

19  

2

3

2 ) cos 1 (

cos

xdx

20 

 2

2

3 cos 2 sin

1 cos sin

dx x x

x x

21 

4

0

3

xdx

4

6

3 cot

23 

3

4

4

xdx

 

4

0 1 1

dx tgx

25 

4

4 cos(

cos

x x

dx

26

  

2

0 4 sin 5 cos 5

6 cos 7 sin

dx x x

x x

Trang 12

27  

2

0

sin

4

0 2 sinx 3 cosx 13

dx

29



4

0

4

3

cos

1

sin

4

dx x

  

2

0 sin cos

2 sin 2 cos 1

dx x x

x x

31  

2

0 1 cos

3

sin

dx x

2

4

sin 2

sin

dx

33 

4

0

2

3

cos

sin

dx

x

2

0

3

2 ) sin 1 ( 2 sin

dx x x

35 

0

sin

3

4

3

3 3 sin

sin sin

dx xtgx

x x

37   

2

0 1 sin cos

x x

2

0 2 sin 1

x dx

39 

2

4

5

3 sin

cos

xdx



4

0

2 cos 1

4 sin

x xdx

41

 

2

0 5 sin 3

x

6

6

4 cos sin

dx

43 

 3

6 sin(

sin

dx

4. 

 3

4 cos(

sin

x x dx

45 

3

4

6

2

cos

sin

xdx

46 tgxtg x )dx

6 ( 3

6

47  

3

0

3 ) cos (sin

sin

4

x x

0

2

2 ) sin 2 (

2 sin

x

49

2

0

3

sin

dx

2

0

2 cos

xdx x

2

0

1 2

2

sin

dx e

x

x x

 

2

0 1 cos

sin 1

53  

4

6

2 cot

4 sin

3

sin

dx x g tgx

x x

2

0

2 5 sin 6 sin

2 sin

x x

xdx

Trang 13

55 

2

1

)

3

6

2

cos

) ln(sin

dx x x

57  xx dx

2

0

2 cos ) 1 2 (

58 

 0

2

cos sinx xdx x

59

4

0

2

xdx

 0

2

2 sin xdx

e x

61 

2

0

3 sin2 sin cos

xdx x

  4

0

) 1

ln(

dx tgx

63

 

4

0

2 ) cos 2 (sin

x x

   

2

0

2 ) cos 2 )(

sin 1 (

cos ) sin 1 (

dx x x

x x

65

2

2

sin 2 sin 7

66

2

0

cos (sin  cos )

67

0

4sin

1 cos 

x

68. 

 2

2

3 cos 5 cos

xdx

69 

2

2

2 sin 7 sin

xdx

4

0

cos 2 sin

xdx

x

71

4

0

2 sin

xdx

V TÍCH PHÂN HÀM Vễ TỶ:

b

a

dx x f x

R( , ( )) Trong đó R(x, f(x)) có các dạng:

+) R(x,

x a

x a

) Đặt x = a cos2t, t ]

2

; 0 [ 

+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a sin t hoặc x = a cos t

+) R(x, n

d cx

b ax

 ) Đặt t = n

d cx

b ax

+) R(x, f(x)) =

ax ) 2

(

1

Với (x2  x )’ = k(ax+b) Khi đó đặt t = x2  x , hoặc đặt t =

b

ax 

1

+) R(x, a 2 x2 ) Đặt x = a tgt , t ]

2

; 2 [   

Trang 14

+) R(x, x 2 a2 ) §Æt x =

x

a

2 {

\ ]

; 0

+) Rn 1 n 2 n i 

x; x; ; x Gäi k = BCNH(n1; n2; ; ni)

§Æt x = tk

1 

3

2

5 x x2 4

dx

2 

 2

3

2 x x2 1

dx

3 

2

1

2

1 ( 2x 3 ) 4x2 12x 5

dx

4 

2

1 x x3 1

dx

2

1

2 2008dx

2

1 x2 2008

dx

1

0

2

2 1 x dx

1

0

3

2 ) 1

3

1 2 2

2

1

1 dx

x x

x

10

 

2 2

0 1

1

dx x x

11 

1

0 ( 1 x2)3

dx

12 

2 2

0 ( 1 x2)3

dx

13  

1

0

2

2 2

2

1 x

dx x

15

 

2

0 7 cos 2

cos

x

2

0

2 cos cos

sin

dx x x

x

17

2

0 2 cos2

cos

x

  

2

0 1 3 cos

sin 2 sin

dx x

x x

19 

7

0 3 2

3

1 x

dx x

3

0

2

3 10 x dx x

1

0 2x 1

xdx

22 

1

3

1

x x

dx x

7

2 2x 1 1

dx

24 xx dx

1

0

8

15 1 3

25

 

2

0

5

6 1 cos 3 sin cos

xdx x

3 ln

0 e x 1

dx

27 

1

1 1 x x2 1

dx

2 ln

0

2

1

x

x

e

dx e

1

4

5

2 8 4

 

e

dx x

x x

1

ln ln 3 1

Trang 15

31 

3

3 5

1 x dx

x x

32  xxx dx

4

0

2

3 2

33 

 0

1

3

3 ln

2 ln

2 1 ln

ln

dx x x x

35

 3

0

2

2 cos

3 2 cos

2 cos

dx x

tgx x

x

36 

2 ln

0 ( x 1 )3

x

e

dx e

37

 

3

0 2 cos 2

cos

x

2

0 1 cos2 cos

x xdx

x

x

 

7

0 3 3

2

40  

a

dx a x

2

0

2 2

VI MỘT SỐ TÍCH PHÂN ĐẶC BIỆT:

Bài toán mở đầu: Hàm số f(x) liên tục trên [-a; a], khi đó:

a

a

a

dx x f x f dx

x

f

0

)]

( ) ( [ )

(

Ví dụ: +) Cho f(x) liên tục trên

[-2

3

; 2

3  

] thỏa mãn f(x) + f(-x) = 2  2 cos 2x,

Tính: 

2 3

2 3 ) (

dx x f

+) Tính 

 1

1

2

4 1

sin

dx x

x x

Bài toán 1: Hàm số y = f(x) liên tục và lẻ trên [-a, a], khi đó:

a

a

dx x

f ( ) = 0.

Ví dụ: Tính: 

 1

1

2 ) 1

 2

2

2 ) 1 ln(

cos

dx x x

x

Bài toán 2: Hàm số y = f(x) liên tục và chẵn trên [-a, a], khi đó:

a

a

dx x

f( ) = 2

a

dx

x

f

0

)

(

Ví dụ: Tính 

1

1

2

x

dx

2

2

cos

4 sin

x

Bài toán 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục, chẵn trên [-a, a], khi đó:

a a

a

x dx f x dx

b

x

f

0

) ( 1

)

(

(1 b>0, a)

Ngày đăng: 02/07/2014, 17:24

HÌNH ẢNH LIÊN QUAN

13) Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1  quay quanh trục a) 0x; b) 0y - Bài tập nguyên hàm và tích phân
13 Hình tròn tâm I(2;0) bán kính R = 1 quay quanh trục a) 0x; b) 0y (Trang 22)

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w