Công thức và bài tập nguyên hàm và tích phân

Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN CÁC CÔNG THỨC ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM Bảng đạo hàm hàm số sơ cấp bản: m m- 1/ ( c) ' = (c số) 2/ x ' = mx ( ) 4/ ( cosx) ' = - sin x 5/ ( tan x) ' = ( ) 3/ ( sin x) ' = cosx cos2 x ( ) x x 7/ a ' = a lna 6/ ( cot x) ' = 9/ ( ln x) ' = x x 8/ e ' = e sin2 x x Các nguyên hàm bản: ( 1) ò dx = x + c ( 3) ò dx = ln x + c x ( 4) ò e dx = e x x ( 5) ò axdx = xn+1 ( 2) ò x dx = n + + c ( n ¹ - 1) dx ( 3') ò ax + b = a ln ax + b + c ( 4') ò eax+bdx = a1 eax+b + c ( a ¹ 0) n +c ax +c lna ( 6) ò sin xdx = - cosx + c ( 6') ò sin( ax + b) dx = - cos( ax + b) + c a ( 7) ò cosxdx = sin x + c ( 7') ò cos( ax + b) dx = a1 sin( ax + b) + c dx = tan x + c ( 8) ò cos x ( 9) ò sindxx = - ( 10) ò tan xdx = - ln cosx + c ( 10') ò cot xdx = ln sin x + c ( 11) ò x dx- = 21 ln xx -+ 11 + c ( 11') ò x dx - a ( 12) ò ( 13) ò ( 14) ò dx x +k cot x + c = x- a ln +c 2a x + a = ln x + x2 + k + c x x + + ln x + x2 + + c 2 x k x2 + kdx = x + k + ln x + x2 + k + c 2 x2 + 1dx = Tính chất: ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx ∫  f ( x ) ± g( x ) dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g( x )dx Trang Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN AD: Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa x 3x 2 f(x) = x – 3x + ĐS F(x) = − + ln x + C x 2x + 2x3 f(x) = ĐS F(x) = − +C x x2 x −1 f(x) = ĐS F(x) = lnx + +C x x ( x − 1) x3 f(x) = ĐS F(x) = − 2x + + C x x f(x) = f(x) = x+ x+ x −3 x x ( x − 1) f(x) = x x −1 f(x) = x x f(x) = sin 2 10 f(x) = tan x 11 f(x) = cos2x 12 f(x) = (tanx – cotx)2 13 f(x) = sin x cos x cos x 14 f(x) = sin x cos x 15 f(x) = sin3x 16 f(x) = 2sin3xcos2x 17 f(x) = ex(ex – 1) ĐS F(x) = x − 33 x + C ĐS F(x) = x − x + ln x + C ĐS F(x) = x − x + C ĐS F(x) = x – sinx + C ĐS F(x) = tanx – x + C 1 ĐS F(x) = x + sin x + C ĐS F(x) = tanx - cotx – 4x + C ĐS F(x) = tanx - cotx + C ĐS F(x) = - cotx – tanx + C ĐS F(x) = − cos x + C ĐS F(x) = − cos x − cos x + C 2x x ĐS F(x) = e − e + C e−x 18 f(x) = e (2 + ) cos x ĐS F(x) = 2ex + tanx + C 19 f(x) = e3x+1 ĐS F(x) = x 2/ Tìm hàm số f(x) biết f’(x) = 2x + f(1) = f’(x) = – x2 f(2) = 7/3 f’(x) = x − x f(4) = ĐS F(x) = x + x + x + C x +1 e +C ĐS f(x) = x2 + x + x3 ĐS f(x) = x − +1 x x x 40 ĐS f(x) = − − 3 Trang Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀM 1.Phương pháp đổi biến số Tính I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx cách đặt t = u(x) Đặt t = u(x) ⇒ dt = u ' ( x)dx I = ∫ f [u ( x)].u ' ( x)dx = ∫ f (t )dt Tìm nguyên hàm hàm số sau: dx ∫ (5 x − 1)dx ∫ (3 − x) ∫ (2 x 3x ∫ + 1) xdx + 2x3 13 ∫ sin 17 ∫ sin x dx x cos xdx dx e x dx 21 ∫ 25 ∫x 29 ∫ cos e −3 − x dx 10 ∫ (x + 5) x dx dx ∫ x (1 + x ) sin x dx 14 ∫ cos x dx 18 ∫ cos x e tgx 22 ∫ dx cos x x x sin xdx dx 26 ∫ 1+ x2 30 ∫x ∫ − x dx ∫ x + 1.xdx ln x 11 ∫ dx x ∫ cot gxdx 19 ∫ tgxdx 23 ∫ − x dx ∫ x dx 1− x dx 31 ∫ x e +1 dx ∫ 2x −1 x dx ∫ x +5 12 15 27 x − 1.dx ∫ x.e x +1 dx tgxdx x x e dx 20 ∫ x dx 24 ∫ − x2 16 ∫ cos 28 ∫x 32 ∫x dx + x +1 x + 1.dx Phương pháp lấy nguyên hàm phần Nếu u(x) , v(x) hai hàm số có đạo hàm liên tục I ∫ u( x).v' ( x)dx = u ( x).v( x) − ∫ v( x).u ' ( x)dx Hay: ∫ udv = uv − ∫ vdu Tìm nguyên hàm hàm số sau: ∫ x sin xdx ∫ x cos xdx ∫ ( x + 5) sin xdx ∫ x.e dx ln xdx 11 ∫ x ∫ x sin xdx ∫ x ln xdx 10 ∫ ln 14 ∫ xtg xdx 15 18 ∫ x e dx ∫ x ln(1 + x)dx 19 x ∫ cos x dx 17 ∫ e cos xdx 21 ∫ x lg xdx 13 x 22 ∫ x cos xdx x2 23 Trang ∫ ( x + x + 3) cos xdx ∫ ln xdx 12 ∫e ∫ sin x dx ∫ x ln(1 + x )dx 16 ∫ 24 ∫ ln( x + 1)dx ∫ xdx ∫ x cos xdx x xdx 2 ln(1 + x) dx x2 20 x dx x Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ù, F x nguyên hàm f x Tích phân Cho hàm số f x lên tục đoạn é êa, bû ú ë ùlà số thực Kí hiệu: f ( x) đoạn é ê ëa, bú û b ò f ( x) dx xác định : a b ò f ( x) dx = F ( b) - F ( a) a ( ) b ( ) ù (hoặc F x Người ta thường dùng kí hiệu é êF x û úa ë b Khi đó: b a ( ) b ò f ( x) dx = éëêF ( x) ùûúa a Các phương pháp tính tích phân: b a Dùng định nghĩa: Sử dụng công thức éF ( x) ùb f x dx = ( ) ò ê ú ë ûa a b Phương pháp đổi biến Tính I = ∫ b a f [u( x )].u '( x )dx cách đặt u = u(x) Đặt u = u(x) ⇒ du = u '( x )dx Đổi cận: x a b u u(a) u(b) I = ∫ b a u( b ) f [u( x )].u '( x )dx = ∫u a f ( u ) du ( ) c Dùng công thức tích phân phần: Ta kí hiệu: du = u'dx ; b b ò udv = éëêuvùûú a a ( ) dv = v'dx b ò vdu a *Chú ý: Kí hiệu P x đa thức x : ésin x ù ê ú ê údx + Nếu gặp ò P ( x) êcosxú đặt u = P ( x) êx ú e ú ê ë û + Nếu gặp ò P ( x) ln( x) dx đặt u = ln x Trang ( ) ) để F b - F a Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e 1 2 ∫ ( x + + + x )dx x x ∫ ( x + x + 1)dx π ∫ (2 sin x + 3cosx + x)dx π ∫ ( x + 1)( x − x + 1)dx 1 ∫ (e + x )dx x π ∫ (3sin x + 2cosx + ) dx x π ∫ x + 1dx 1 ∫ ( x + x x )dx x ∫ (e + x + 1)dx 10 ∫ ( x + x x + x )dx x.dx 13 ∫ x +2 -1 ( x + 1).dx 16 ∫ x + x ln x 11 ∫ ( x − 1)( x + x + 1)dx ∫ 12 ( x + 1).dx e −1 7x − x − 14 ∫ dx x 15 18 e x − e− x dx 19 ∫ x e + e− x ln ∫ 22 dx x e + e− x 20 π e x + e− x dx 22 ∫0 + sin x 2 25 ∫ (2 x − x − )dx ∫ e x dx ∫ x( x − 3)dx π ∫ tgx dx cos2 x 21 dx ∫ 4x + 8x 1 24 ∫ (2 x + x + 1) dx −1 26 ∫ dx x+2 + x−2 π cos3 x.dx 17 ∫ sin x π 27 ∫ (x − 4)dx −3 −2   28 ∫  + dx x  1 x 29 e2 16 31 ∫ x − 2x ∫1 x dx x dx 32 e 2 x + − 7x dx ∫1 x Trang 30 ∫ e dx x  33 ∫  x − 3 x 1  dx   Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN BÀI 2: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN: π ∫ sin xcos xdx π π 2 ∫ sin xcos xdx π π x2 + 1 dx 15 ∫ (1 + 3x ) π 16 ∫ e sin x x 18 ∫ e π π ∫ ∫ x x + 1dx ∫ x − x dx ∫x x + 1dx ∫ x3 + 1 10 ∫x − x dx 2 11 ∫x x +1 dx 12 ∫ + x2 1 13 dx ∫−1 x + x + 2dx 25 31 x + 1dx ∫x − x dx ∫x x + 1dx x2 ∫ x3 + dx 33 34 ∫x ∫x e +2 35 xdx ∫ e 36 − x dx dx x3 + 1 + ln x dx x sin(ln x) dx x e 37 ∫ ∫ e 24 ∫ sin xcos xdx π π ∫x 23 ∫ sin xcos xdx π π 29 π dx 32 x2 + 4sin xcosxdx cosx 21 ∫ e sin xdx x 22 ∫ e ∫ π π π π π 30 sin x 20 ∫ e cosxdx 27 ∫ cot gxdx xdx π π +2 19 ∫ sin xcos xdx 0 π π + 4sin xcosxdx 26 tgxdx ∫ 28 π π cosxdx π π cosx 17 ∫ e sin xdx ∫ cot gxdx ∫ dx π π sin x ∫ + 3cosx dx tgxdx ∫ 14 + 3ln x ln x dx x e 2ln x +1 dx 38 ∫ x e2 sin x ∫ + 3cosx dx 39 + ln x ∫e x ln x dx e2 40 ∫ cos e 41 ∫ 1+ Trang dx (1 + ln x) x dx x −1 Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 42 x dx 2x +1 ∫ −x 58 ∫ e dx 1 43 ∫x x + 1dx 59 44 dx x +1 + x ∫ 45 dx x +1 − x ∫ 46 e 47 e e + 3ln x ln x dx x ∫ e + ln x dx 51 ∫ x ln x e 52 ∫ x x + 5dx π 53 ∫ ( sin x + 1) cos xdx − x dx 55 ∫ − x dx 57 ∫ ∫e x +3 π ∫ cos 78 x3 dx 64 ∫ x + 2x + π sin 4x x dx 65 (sin x + cos6 x)dx ∫ π 80 ∫ x − x dx 0 67 + sin 2xdx ∫0 cos2 x π π 81 sin 2x(1 + sin x)3dx ∫ 4sin3 x ∫0 + cos xdx π 68 π e ∫ 83 2xdx π + sin 2x + cos 2x dx sin x + cos x π ∫ 1 dx e +1 70 ∫ π 4 x dx + ln x dx x ∫ cos xdx 84 e + ln x dx 85 ∫ x 1 x ∫ cos 82 69 xdx ∫ + cos 79 π 66 86 ∫ x (1 − x ) dx 71 ∫ (cos x − sin x)dx 4 87 π dx + x2 0 4x + 11 dx + 5x + 2x − dx 63 ∫ x − 4x + π 56 ∫x 77 cos3 x sin xdx ∫ ∫ π ∫ cos 54 61 ∫ x − xdx e 2ln x +1 dx 50 ∫ x e sin(ln x) dx 48 ∫ x 49 x dx 2x + ∫ 62 + ln x dx x ∫ x +1 dx x ∫ x 60 cos x dx − sin x 75 2x + dx 75 ∫ x + 2x − −2 dx 76 ∫ −1 x + 2x + 74 ∫ ∫ (2x + 1) dx 0 π cos x dx + sin x 72 ∫ π sin x dx cos x + 73 ∫ dx −1 Trang π cos x ∫ − 5sin x + sin 88 ∫ tg x dx cos 2x x dx Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 89 π π 101 ∫ − sin x dx + sin x cos x + sin x ∫0 + sin x dx π sin x 90 ∫ cos x + sin x ln dx 91 ∫ x −x −3 ln e + 2e 2 dx π sin x dx ( + sin x ) 92 ∫ π ln(tgx ) dx 93 ∫ π sin x sin x − cos x + sin x dx − x2 1 dx 105 ∫ x − x +1 + cos x π ∫0 + cos x + sin x dx 2 dx − x2 110 ∫x 98 ∫ (e sin x + cos x) cos xdx 101 dx 1+ x −1 e + ln x ln x 100 ∫ dx x ∫ 112 ∫ 113 ∫ dx + 3x dx x2 (1 + x )5 dx + cos2 x dx ∫ −1 x + 2x + dx ∫ + + 3x x x −1 dx 120 ∫ x−5 dx x2 + ∫x x3 ∫ + x2 3 ∫x 123 124 x x2 −1 ex + Trang ∫ ∫x dx x +1 dx 3x + 125 x + 1dx 126 dx + x dx ∫ dx dx ln x −1 1− x 119 122 118 dx 2 109 ∫ x − x dx x x ∫ 117 121 π 97 ∫ sin x cos x dx + cos x 99 ∫ ∫ cos x ∫ 0 108 π 2 π 116 104 dx sin x + sin x ∫ + x dx 107 96 ∫ 103 x dx x + x + 94 ∫ (1 − tg x)dx π π 1+ x4 dx 115 ∫ 1+ x6 − x dx 106 ∫ π 95 ∫ ∫ cos x dx + cos x ∫ π 102 114 π ∫ dx x x2 + Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài 3: PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN: e ∫ 15 e ∫ x ln xdx ∫ x ln( x + 1)dx ∫x ln xdx 3x ∫ x.e dx 17 18 ∫ x ln xdx ∫ (2 − x) sin 3xdx ∫x ln xdx π ∫ ( x + cosx)s inxdx 10 ∫ ( x + ) ln xdx x 11 ∫ ln( x π 12 + x )dx xdx π 13 ∫ ln( x − x )dx 2 ∫ ∫ x ln(3 + x ).dx ∫ (x 2 2x 38 ∫ (x + 1) e dx π 40 cos x.ln(1 + cos x)dx ∫ e π ∫x ∫ ( x + 1) 42 ∫ xtg xdx 27 cos x.dx π ln x 41 e dx 2x 43 ∫ ( x − 2)e dx 0 x cos xdx + 1).e x dx ∫ x cos x.dx ln(1 + x) dx x ∫ 39 ∫ (x ln x) dx π xdx e 1 25 ∫ x ln x.dx 28 ( x + x) sin x.dx ∫ π 14 37 22 ∫ (1 − x ) ln x.dx 24 ∫ x sin x cos e 26 ∫ x tan 35 ∫ x ln xdx e π 36 x(2 cos2 x − 1)dx ∫ e 23 x + sin x dx cos x ∫ π 21 π ∫ x sin xdx + 1)dx e π 20 33 ∫ x ln xdx 34 π 1 xdx e ∫ ( x − 1) cos xdx 19 ∫ sin π e ∫ x ln( x π2 32 x 31 ∫ e sin xdx ln x ∫ dx x 16 ∫ ( x + cos x ) sin xdx e π e 30 x cos2 xdx ∫ xe x dx 1 π ln x ∫ dx x 29 ∫ (2 x + 7) ln( x + 1)dx Trang 44 ∫ x ln(1 + x )dx e ln x x 45 ∫ dx ... 2 ln(1 + x) dx x2 20 x dx x Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TÍCH PHÂN Định nghĩa: ( ) ( ) ( ) ù, F x nguyên hàm f x Tích phân Cho hàm số f x lên tục đoạn é êa, bû ú ë ùlà số thực... u = ln x Trang ( ) ) để F b - F a Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Bài TÍNH TÍCH PHÂN BẰNG CÁCH SỬ DỤNG TÍNH CHẤT VÀ NGUYÊN HÀM CƠ BẢN: e 1 2 ∫ ( x + + + x )dx x x ∫ ( x + x + 1)dx...Tài liệu: Võ An Thư NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN AD: Tìm nguyên hàm hàm số định nghĩa x 3x 2 f(x) = x – 3x + ĐS F(x) = − + ln x + C x 2x + 2x3