Ứng dụng tích phân để giải bài toán thực tiễn - Trần Văn Tài 1.PDF

TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN PHẦN 8: CHUYÊN ĐỀ ỨNG DỤNG THỰC TIỄN CHỦ ĐỀ 8: ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Bài Tính thể tích thùng chứa rượu hình trịn xoay có đáy hình trịn chiều cao bình 16cm Đường cong bình cung trịn đường trịn bán kính Hướng dẫn giải: Khơng tính tổng qt ta xem tâm đường trịn tâm O gốc tọa độ, ta có phương trình x  y  81 , thể tích bình hình tròn xoay bị giới hạn đường tròn x  y  81 và, y  0;x  8;x  Vậy thể tích V    8  81  x   dx    81  x dx  2864 2 8 onthithpt.net Bài Một Chi đoàn niên dự trại đơn vị bạn, họ dự định dựng lều trại có dạng parabol (nhìn từ mặt trước, lều trại căng thẳng từ trước sau, mặt sau trại parabol có kích thước giống mặt trước) với kích thước: trại hình chữ nhật có chiều rộng mét, chiều sâu mét, đỉnh parabol cách mặt đất mét Hãy tính thể tích phần khơng gian phía trại để cử số lượng người tham dự trại cho phù hợp Hướng dẫn giải: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Giả sử trại hình chữ nhật ABCD có AB  mét, BC  mét, đỉnh parabol I Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho: O trung điểm cạnh AB ,   3  A  ; 0, B  ; 0 , I 0; 3 , phương trình parabol có dạng: y  ax  b a  0 , Do     42 I , A, B thuộc P  nên ta có: y   x  y  xVậy thể tích phần khơng gian phía trại 3     là: V  6.2   x  3dx  36 m     Bài Để trang trí cho phịng tịa nhà, người ta vẽ lên tường sau: cạnh hình lục giác có cạnh dm cánh hoa hình parabol, đỉnh parabol cách cạnh dm nằm phía ngồi hình lục giác, hai đầu mút cạnh hai điểm giới hạn đường parabol Hãy tính diện tích hình nói (kể hình lục giác đều) để mua sơn trang trí cho phù hợp Hướng dẫn giải: onthithpt.net Giả sử ABCDEF hình lục giác có cạnh dm, ta tính diện tích cánh hoa: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho O trung điểm cạnh AB , A 1; 0, B 1; 0, I 0; 3 đỉnh I parabol Phương trình parabol có dạng: y  ax  b a  0 , Do I , A, B P  thuộc nên ta có: S1   3x   y  3x  Do đó: diện tích cánh hoa là:  dx  dm  1  22    4   24  34, 39 dm    Vậy: Diện tích hình là: S     Bài Tính thể tích hình xuyến tạo thành quay hình trịn (C): x2 + (y–2)2  quanh trục Ox Hướng dẫn giải: Hình trịn C  có tâm I 0;2 , bán kính R  x  y  2  2 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN  y    x Ta có: y  1   x 1  x  1   y    x  2 Thể tích  V      x  1   cần 2    x  dx  4     tính:  Bài t  3t , t tính giây, s tính mét Tìm vận tốc chuyển động t  (giây) Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S  A v  140 m/s B v  150 m/s   C v  200 m/s onthithpt.net D v  m/s THPT NGUYỄN TRƯỜNG TỘ Hướng dẫn giải: Ta có vận tốc chuyển động t (giây): , t  v t     t   2t  3t  v 4   140m / s  2  Chọn đáp án A Bài Bạn Minh ngồi máy bay du lịch giới với vận tốc chuyển động máy báy v(t )  3t  5(m / s ) Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 : A 36m B 252m C   134m D 966m THPT SỐ TUY PHƯỚC Hướng dẫn giải: Quãng đường máy bay bay từ giây thứ đến giây thứ 10 : ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG 10 S  3t BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN   dt  966m Chọn đáp án D Bài Một vật chuyển động chậm dần với vận tốc v(t )  160  10t (m / s ) Quãng đường mà vật chuyển động từ thời điểm t  0(s ) đến thời điểm mà vật dừng lại là: A 1028 m B 1280 m C 1308 m D 1380 m Hướng dẫn giải: Gọi t0 thời điểm vật dừng lại Ta có v t0   Suy t  16 16 Vậy S   160  10t  dt  1280 m  Chọn đáp án A Bài onthithpt.net Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v(t )  3t  2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị m Biết thời điểm t  2s vật quãng đường 10 m Hỏi thời điểm t  30s vật quãng đường bao nhiêu? A 1410 m B 1140 m C 300 m D 240 m CHUYÊN HẠ LONG Hướng dẫn giải:    3t  2dt  23 t Quãng đường thời gian t : S t    Mà S  10  c   S t   2t  c t  2t Tại thời điểm t  30s : S 30  1410 Chọn đáp án A | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài Dòng điện xoay chiều chạy dây dẫn có tần số góc  Điện lượng chuyển qua tiết diện thẳng dây dẫn chu kì dịng điện kể từ lúc dịng điện khơng Q1 Cường độ dịng điện cực đại là: A 6Q1 B 2Q1 C Q1 D Q  THPT LẠC HỒNG Hướng dẫn giải: Cường độ dòng điện thời điểm t i  i0 sin wt T Q1  i sin wtdt  i0 2  i0  2Q1w với T  w 2w Chọn đáp án B onthithpt.net Bài 10 Giả sử vât chuyển động có vận tốc thay đổi theo thời gian, v  f t  0  t  T  Chứng minh quãng đường L vật khoảng thời gian từ thời điểm t  a 0  a  b  T  khoảng 0;T  đến thời điểm t  b hàm f là: L  F b   F a  , F nguyên (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: Gọi s  s t  quãng thời đường vật thời điểm t Quãng đường vật khoảng thời gian từ thời điểm t  a đến thời điểm t  b L  s b   s a  Mặt khác, ta biết s ' t   f t , s  s t  nguyên hàm f Thành thử, tồn số C cho s t   F t   C Vậy L  s b   s a   F b   C   F a   C   F b   F a      ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 11 Một ô tô chạy với vận tốc 20 m / s  người người đạp phanh (cịn gọi “thắng”) Sau đạp phanh, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v t   40t  20 m / s , t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu đạp phanh Gọi T thời điểm ô tô dừng Ta có v T   suy 20  40T  T  0, Như vậy, khoảng thời gian từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn ô tô 0,5 giây Trong khoảng thời gian 0,5 giây đó, tơ di chuyển 0,5 quãng đường L    20  40t  dt  20t  20t  0,5  m  Bài 12 Một vật chuyển động với vận tốc v t    sin 2t m / s  Tính quãng đường vật onthithpt.net di chuyển khoảng thời gian từ thời điểm t  s  đến thời điểm t  3 s  (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: 3 Quãng đường S   1  sin 2t  dt  3  Bài 13 Một vật chuyển động với vận tốc 10 m / s  tăng tốc với gia tốc   a t   3t  t m / s Tính quãng đường vật khoảng thời gian 10 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN 3t t  C Gọi v t  vận tốc vật Ta có v ' t   a t   3t  t Suy v t   3t t Vì v 0  10 nên suy C  10 Vậy v t     10 10 Thành thử quãng đường vật S      3t  t  10 dt  4300   3  m  Bài 14 Một viên đạn bắn lên theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu   25 m / s  Gia tốc trọng trường 9, m / s a) Sau viên đạn đạt tới độ cao lớn nhất? b) Tính quãng đường viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất (tính xác đến hàng phần trăm) (SGK 12 NC) onthithpt.net Hướng dẫn giải: a) Gọi v t  vận tốc viên đạn Ta có v ' t   a t   9, Suy v t    9, 8dt  9, 8t C Vì v 0  25 nên C  25 Vậy v t   9, 8t  25 b) Gọi T thời điểm viên đạn đạt độ cao lớn Tại viên đạn có vận tốc Vậy v T   Suy T  25  2, 55 (giây) 9, Vậy quãng đường viên đạn rơi xuống đất 2S  31, 89 m  Bài 15 Giả sử vật từ trạng nghỉ t  s  chuyển động thẳng với vận tốc v t   t 5  t  m / s  Tìm quảng đường vật dừng lại (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG Vật dừng lại S  t 5  t  dt  thời 125 BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN điểm t  Quãng đường vật m  Bài 16 Một chất điểm A xuất phát từ vị trí O, chuyển động thẳng nhanh dần đều; giây sau đạt đến vận tốc m / s  Từ thời điểm chuyển động thẳng Một chất điểm B xuất phát từ vị trí O chậm 12 giây so với A chuyển động thẳng nhanh dần Biết B đuổi kịp A sau giây (kể từ lúc B xuất phát) Tìm vận tốc B thời điểm đuổi kịp A (SGK 12 NC) Hướng dẫn giải: Thời điểm A B gặp 20 giây kể từ lúc A xuất phát Đồ thị vận tốc A đường gấp khúc OMN Qng đường A diện tích hình thang OMNQ onthithpt.net   62  96 , Diện tích 20  12 lúc gặp B , A 96 m  Đồ thị vận tốc B đường thẳng HP Vì B xuất phát vị trí với A nên quãng đường B 96 m  Mặt khác, quãng đường B diện tích hình tam giác HPQ với HQ  PQ vận tốc B thời điểm đuổi kịp A Suy 96  8PQ  4PQ nên PQ  24 Vậy vận tốc B thời điểm đuổi kịp A 24 m / s  | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 17 Một đám vi trùng ngày thứ t có số lượng N t  Biết N ' t   4000  0, 5t lúc đầu đám vi trùng có 250000 Hỏi sau 10 ngày số lượng vi trùng bao nhiêu? SGK BT 12 NC Hướng dẫn giải: dt  8000 ln 1  0, 5t   250 000    4000 0, 5t Ta có: N t  N 10  8000 ln  250 000  264334 Kết quả:  264334 Bài 18 Một vật chuyển động với vận tốc v t  m / s  có gia tốc v ' t   t 1 m / s  Vận tốc ban đầu vật m / s  Hỏi vận tốc vật sau 10 giây (làm tròn kết onthithpt.net đến hàng đơn vị) SGK BT 12 NC Hướng dẫn giải:    t 3 dt  ln t  1  c Ta có: v t  mà v 0   c   v t   ln t  1  v 10  ln 11   13 m / s  Kết quả:  13 m / s  ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 19 sin t   m / s  Tính quãng 2  đường di chuyển vật khoảng thời gian 1, giây (làm tròn kết đến Vận tốc vật chuyển động v t   hàng phần trăm) SGK BT 12 NC Hướng dẫn giải: 1,5 Quãng đường S       sin t dt    0, 34     4   2  Bài 20 t2  Vận tốc vật chuyển động v t   1,  t 3 m / s  Tính quãng đường di chuyển vật khoảng thời gian giây (làm tròn kết đến hàng phần trăm) onthithpt.net SGK BT 12 NC Hướng dẫn giải: Quãng đường S     1,  t  dt  0,  13 ln  13 ln  11, 81  t    Bài 21 Một nhà sản xuất máy ghi âm với chi phí 40 đơla/cái Ơng ước tính máy ghi âm bán với giá x đơla/cái tháng khách hàng mua 120  x  Biểu diễn lợi nhuận hàng tháng nhà sản xuất hàm theo giá bán (gọi hàm lợi nhuận f(x) giá bán x), hàm cần tìm A f x   x  120x B f x   x  120x  40 C f x   x  120x  40 D f x   x  160x  4800 Hướng dẫn giải: Lợi nhuận hàng tháng nhà sản xuất f x   120  x  x  120  x  40  x  160x  4800 Chọn đáp án D 10 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TỐN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN  y  x  x  2 Phương trình hồnh độ giao điểm ta được:   2 x  y   4 x   S1     x  dx  2  ; S  Shinhtron  S1  6     Suy S1  0, 435 S2 Chọn đáp án C Bài 39 Diện tích hình phẳng giới hạn hàm số y  x x  , trục Ox đường thẳng x  a b  ln(1  b ) với a, b, c số nguyên dương Khi giá trị c a  b  c A 11 B 12 C 13 D 14 onthithpt.net Hướng dẫn giải: Ta có S x 2 x  1dx  0  2  3S    (x  x )d   1 x   (x  x ) x    x  1(3x  1)dx x  1dx Tiếp tục sử dụng cơng thức tích phân phần để tính T   x  1dx a  3, b  2, c  Chọn đáp án C 22 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TỐN VÀO THỰC TIỄN Bài 40 Trong Giải tích, với hàm số y  f (x ) liên tục miền D  [a, b ] có đồ thị đường cong C độ dài L xác định công thức: L  b a   f (x ) dx Với thông tin đó, độ dài đường cong C cho y   ln A B 31  ln 24 C x2  ln x [1;2]  ln D 55 48 Hướng dẫn giải: x  nên áp dụng cơng thức cho x Ta có f (x )    f (x ) 2 Do L    x 2  x 2 x             với x  [1;2] x  x   x  onthithpt.net    x     dx   x  ln x    ln    x   Chọn đáp án C Bài 41 Một xe chở hàng chạy với vận tốc 25 m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, xe chuyển động chậm dần với vận tốc v t   2t  25 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, xe di chuyển mét? A 625 m B 625 m C 2m D 25 m Hướng dẫn giải: Xe chở hàng thêm 25 giây 25 Quãng đường cần tìm là: s   2t  25dt  625 ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 23 | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Chọn đáp án B Bài 42 Một ô tô chạy với tốc độ 36km / h hãm phanh, chuyển động chậm dần với phương trình vận tốc v  10  0, 5t m / s  Hỏi ô tô chuyển động quãng đường dừng lại? B 200m A 100m C 300m D 400m Hướng dẫn giải: Ta có: vo  36km / h  10m / s ứng với to  v1  10  0, 5t1  nên t1  20 Do đó: quãng đường s  20  10  0, 5t dt  100 m  Chọn đáp án A Bài 43 Vi khuẩn HP (Helicobacter pylori) gây đau dày ngày thứ m với số onthithpt.net lượng F(m), biết phát sớm số lượng vi khuẩn không vượt 4000 bệnh nhân cứu chữa Biết F'(m) = 1000 ban đầu bệnh 2t  nhân có 2000 vi khuẩn Sau 15 ngày bệnh nhân phát bị bệnh Hỏi có vi khuẩn dày ( lấy xấp xỉ hàng thập phân thứ hai) bệnh nhân có cứu chữa không ? A 5433,99 không cứu B 1499,45 cứu C 283,01 cứu D 3716,99 cứu Hướng dẫn giải: Vi khuẩn F m   HP gây đau dày ngày thứ m với số lượng 1000  2t  dt  500 ln 2t  Suy số vi khuẩn dày bệnh nhân sau 15 ngày bệnh nhân phát bị bệnh F 15  500 ln 31  2000  3716, 99  4000 Chọn đáp án D 24 | THBT –THẦY TÀI: 0977.413.341 HẠNH PHÚC NHƯ BĨNG MÌNH TRONG GƯƠNG TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 12 – CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 45 Một ô tô xuất phát với vận tốc v1  t   2t  10  m / s  sau khoảng thời gian t1 bất ngờ gặp chướng ngại vật nên tài xế phanh gấp với vận tốc v2  t   20  4t  m / s  t thêm khoảng thời gian dừng lại Biết tổng 4s thời gian từ lúc xuất phát đến lúc dừng lại Hỏi xe quãng đường mét A 57m B 64m C 50m D 47m Hướng dẫn giải: Đến lúc phanh vận tốc xe là: 2t1  10 vận tốc khởi điểm cho quãng đường đạp phanh; sau thêm t2thì vận tốc nên 2t1  10  20  4t2  t1  2t2  t  3s Lại có t1  t2  lập hệ   onthithpt.net t2  1s  Tổng quãng đường là: S  0  2t  10dt   20  4t dt  57m Chọn đáp án A Bài 46 Một ô tô chạy với vận tốc 20m / s người lái xe đạp phanh cịn gọi “thắng” Sau đạp phanh, tô chuyển động chậm dần với vận tốc v  t   40t  20  m / s  Trong t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Quãng đường ô tô di chuyển từ lúc đạp phanh đến dừng bao nhiêu? B 3m C 4m D 5m A 2m Hướng dẫn giải: Lấy mốc thời gian lúc ô tô bắt đầu phanh t  0 Gọi T thời điểm ô tô dừng lại Khi vận tốc lúc dừng v T     Vậy thời gian từ lúc đạp phanh đến lúc dừng v T   40T  20   T  Gọi s(t) quãng đường ô tô khoảng thời gian T Ta có v T   s ' t  suy s t  nguyên hàm v T  ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 25 | THBTN ... Vật Lí ứng dụng đời sống Ta theo dõi ví dụ ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 15 | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 1 2- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 29... diện có diện tích S x  (xem hình) ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 13 | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 1 2- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Dễ thấy NP...  9.8 Chọn đáp án A ADMIN TRẦN VĂN TÀI – 0977.413.341 - TOÁN HỌC BẮC–TRUNG–NAM 11 | THBTN TÀI LIỆU HỌC TẬP TOÁN 1 2- CHẤT LƯỢNG BÀI GIẢNG: ỨNG DỤNG TOÁN VÀO THỰC TIỄN Bài 24 Một khối cầu có bán