ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN KÈM ĐÁP ÁN

. Câu 4. Giá trị dương của tham số m sao cho diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y x   2 3 và các đường thẳng y x x m    0, 0, bằng 10 là A. 7 2 m  . B. m  5. C. m  2 . D. m 1. Lời giải Vì m  0 nên 2 3 0, 0; x x m     . Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x   2 3 và các đường thẳng y x x m    0, 0, là:     2 2 0 0 2 3 .d 3 3 m m S x x x x m m        . Theo giả thiết ta có:   2 2 2 10 3 10 3 10 0 2 do 0 5 m S m m m m m m m                   .

Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN Chuyên đề 27 TÀI LIỆU DÀNH CHO ĐỐI TƯỢNG HỌC SINH KHÁ MỨC 7-8 ĐIỂM Dạng Ứng dụng tích phân để tìm diện tích (C1 ) : y  f ( x) b   Hình phẳng ( H ) giới hạn (C2 ) : y  g ( x) diện tích S   f ( x)  g ( x) dx a  x  a , x  b ( a  b)  (C1 ) : y  f ( x) b  Hình phẳng ( H ) giới hạn (C2 ) : Ox : y  diện tích S   f ( x) dx a  x  a , x  b ( a  b)  Selip   ab x2 y  1 a2 b2 (E) :  Hình thức đề thường hay cho Hình thức 1: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x), x  a, x  b (a  b)} b casio    f ( x)  g ( x) dx  kết quả, so sánh với bốn đáp án a Hình thức 2: Khơng cho hình vẽ, cho dạng ( H ) :{ y  f ( x), y  g ( x)} xi casio Giải f ( x)  g ( x) tìm nghiệm x1 , , xi , với x1 nhỏ nhất, xi lớn    f ( x)  g ( x) dx x1 Hình thức 3: Cho hình vẽ, giải phương trình tìm tọa độ giao điểm (nếu chưa cho hình), chia diện tích nhỏ, xổ hình từ xuống, ghi cơng thức bấm máy tính Hình thức 4: Cho ba hàm trở lên, chẳng hạn y  f ( x), y  g ( x), y  h( x) ta nên vẽ hình (Đề Tham Khảo 2018) Cho  H hình phẳng giới hạn parabol y  3x , cung trịn có phương trình y   x (với  x  ) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích 4  C 4    2 O B D A IL Lời giải U 4  12 IE A N T H I N E T  H Chọn B T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Phương trình hồnh độ giao điểm parabol cung tròn ta  x  nên ta có x  1 2 3  x dx  x    x2 dx     x2 dx 3 1 Ta có diện tích S   3x dx   2 3x2   x2  x  1 với Đặt: x  sin t  dx  cos tdt ; x   t   ; x   t      4    t  sin 2t     S Câu Diện tích phần hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên tính theo cơng thức đây?  x  A 2 1  x C 2  2 x dx  x x dx D 1 1   x x dx B 2  x dx 1 Lời giải Diện tích hình phẳng tơ đậm hình vẽ bên là:   1 Câu  x    x dx     x  x  dx ( x   1;1   x  x  ) 1 (Sở Bắc Giang 2019) Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng x  e e2  B e2  C D e2  T e2  Lời giải Phương trình hồnh độ đường cong y  x ln x trục hoành A N T H I N E x  x    x ln x     x     x   x   ln x   x    e 1 IE e U O Vậy diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y  x ln x , trục hoành đường thẳng x  e T A IL S   x ln x dx   x ln xdx Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021  du  dx  e 1e u  ln x x2 e2 x e e2   x Đặt   Suy S  ln x  x d x    2 1 2 4 dv  xdx v  x  Câu Giá trị dương tham số m cho diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  đường thẳng y  0, x  0, x  m 10 A m  B m  C m  D m  Lời giải Vì m  nên x   0, x   0; m  Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  đường thẳng y  0, x  0, x  m là: m S    x  3 dx   x  x   m  3m m 0 Theo giả thiết ta có: m  S  10  m  3m  10  m2  3m  10     m   m    m  5 7  x  x  (Chuyên KHTN 2019) Cho hàm số f  x    Tính diện tích hình phẳng    x x  giới hạn đồ thị hàm số f  x  đường thẳng x  0, x  3, y  A 16 B 20 C 10 D T H I N E T Lời giải O U IE IL A  3 x3   x3  7 x  x |  4 x  |    x|       10     3 3 3  N S   7  x dx   4  x  dx    x  4 dx T Câu Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Câu (Chuyên Quốc Học Huế 2019) Tính diện tích S hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y  x  12x y   x A S  937 12 B S  343 12 C S  793 D S  397 Lời giải Xét phương trình hoành độ giao điểm đường cong: x   x  12 x   x  x( x  x  12)    x  3  x  2 ⇒ Diện tích cần tìm là: S   x  x  12 x dx  3   x   x  12 x dx  3  Câu   3 x  x  12 x dx   x  x  12 x dx 0  x x3   x x3  x  x  12 x dx     x      x    3  0  99 160 937   12 (Việt Đức Hà Nội 2019) Cho  H  hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  trục hồnh Diện tích  H  y y x O A B x 10 Lời giải C D 16 y  x y  x    Xét hình phẳng  H  :  y   H  :  y   x  2, x   x  0, x     H    H1  \  H  Ta có   H    H    H1  4  x2  16 10 x x    2x      3 2 x  y 10  Cách khác: Ta có  H  :  x  y  Suy S  H    y   y   dy   y  0, y   T Do S  H   S  H1   S  H    xdx    x   dx  B 15 Lời giải C Trang https://TaiLieuOnThi.Net D I N H T U O N 15 IL 15 A A IE Diện tích hình phẳng giới hạn đường y  x  x  y  x  x  T Câu E Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Phương trình hoành độ giao điểm y  x  x  y  x  x  x   x  x 1  x  x 1  x  x   x   x  1 2 4 Diện tích hình phẳng cần tìm S   x  x dx  1   x  x  dx  1 x  x3 x5   x3 x  2  x  dx             1   15 15 15 (THPT Nghĩa Hưng NĐ- 2019) Gọi S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số ( H ) : y  trục tọa độ Khi giá trị S A S  ln  B S  2ln  C S  ln  Lời giải Phương trình trục (Ox ) (Oy ) y  x  Phương trình hồnh độ giao điểm hàm số ( H ) trục Ox: Ta có: S   S   D S  2ln  x 1   x  x 1 x 1 x 1 dx Vì  0, x   0;1 nên diện tích cần tìm là: x 1 x 1 1 x 1   d x    1   dx    x  ln x    ln  x 1 x 1 0 (THPT Gia Lộc Hải Dương 2019) Tính diện tích phần hình phẳng gạch chéo hình vẽ sau: A 10 B 13 Lời giải C D 11 Hình phẳng cho giới hạn đường: x  y (với y  ); x  y  2; y  IL IE U O N T H I N E T Cách 1: Coi x hàm số theo biến số y A Câu 10 x 1 x 1 T Câu  1 x  x dx   x  x dx Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  y  1 (loai) Ta có: y  y   y  y      y  (t / m) 2 0 Diện tích hình phẳng cần tìm S   y   y dy    y   y  dy  10 (đvdt) Cách 2: Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x , y  x  :  x  x  x  x2    x     x  5x    x   x   4 Diện tích hình phẳng cần tìm S   x dx    x   dx  Câu 11 10 (đvdt) (HSG Bắc Ninh 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn bới parabol y  phương trình y   x2 đường cong có 12 x2 (tham khảo hình vẽ bên ) Diện tích hình phẳng  H  bằng: Xét phương trình B 4  4  3 Lời giải C D  T  x  12 x2 x2 x4 x2 x4 x2  4   4   40   12 144 144  x   12 E  I N  4  H A T Trang https://TaiLieuOnThi.Net O N IE U  12 x dx  dx    12  A   12  12  x2 x2  x2 x2  x2   dx  2     dx 2     4 12  0   12  12     12 IL S T Diện tích hình phẳng  H  bằng: Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 12  x2  Xét I1      dx    Đặt x  4sin t  dx  4cos xdx Đổi cận: x   t  0; x  12  t    3 I1  8 cos tdt   1  cos 2t  dt  0 Xét I   12  4  3 x dx  12 Vậy S  I1  I   4   Câu 12 Cho hàm số f  x  xác định liên tục đoạn  5;3 có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích hình phẳng  A ,  B  ,  C  ,  D  giới hạn đồ thị hàm số y  f  x  trục hoành 6; 3; 12; Tính tích phân A 27 3  f  x  1  1dx C 17 Hướng dẫn giải 1 D 21 3 2 f  x  1  1dx  23 f  x  1 dx  x 3  5 f  x  dx   f  x  dx  S O N T H I N E T  f  x  1  1dx  21 U 3 IE  S B   SC   S D     12   17 IL  A A 5 T Vậy B 25 Ta có Mà  Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Câu 13   Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  nửa đường tròn x  y  bằng? A   B  1 C  Lời giải 1 D  1  x  x  y  x 1   1  x x  x  y   y    x tính nửa đường tròn nên ta lấy y   x Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  nửa đường tròn x  y  phần tơ màu vàng hình vẽ Diện tích hình phẳng là: 1  x2  S     x  1  x   dx    x dx    x  1 dx  I1    x   I1     0 0 1 Tính I1    x dx E I N H     2 0  cos 2t dt T  N Đổi cận x   t  ; x   t  T    Đặt x  sin t , t    ;  ; dx  cos t.dt  2 Trang https://TaiLieuOnThi.Net T A IL   1  sin 2t    t    Vậy S   2 0 4 U IE O I1    x dx    sin t cos t.dt   cos t cos t.dt   cos t.dt   Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Câu 14 [Kim Liên - Hà Nội - 2018] Cho  H  hình phẳng tơ đậm hình vẽ giới hạn đường có phương trình y  11 14 D Lời giải Hoành độ giao điểm hai đồ thị hàm số y   x y  x  là:  x  x   x  A 11  x x  10 Diện tích  H  bằng? x  x2 , y    x  x  B 13 C Diện tích hình phẳng cần tính là:  10   10  S    x  x  x  dx    x  x  x   dx 3   0 1 3  13  7   S    x  x  dx    x  x   dx 3   0 1  13  7   S    x  x  dx    x  x   dx 3   0 1  13 x3   S   x2   3 6 7  x3 13   x2   2x   6 1 C S  3,7 N B S  3, D S  3, O A S  4,8 T H I N E T (THCS&THPT Nguyễn Khuyến - Bình Dương - 2018) Cho đường trịn có đường kính Elip nhận đường kính vng góc đường trịn làm trục lớn, trục bé Elip Diện tích S phần hình phẳng bên đường trịn bên ngồi Elip (phần gạch carơ hình vẽ) gần với kết kết đây? Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ x2 y2 x2 y    E2  :  1 1 A Hai Elip có phương trình:  E1  : IL IE U Lời giải T Câu 15 Trang https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Tọa độ giao điểm hai Elip góc phần tư thứ nghiệm phương trình: x2 1   x2   x  x2  5 Diện tích hình phẳng cần tìm: S   2   2.1  5  Câu 16  x2   x2      dx  3, 71   (THPT Trần Quốc Tuấn - 2018) Tính diện tích S miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   ax  bx  c , đường thẳng x  , x  trục hồnh (miền gạch chéo) cho hình A S  51 B S  52 C S  50 53 D S  Lời giải Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số f  x   ax  bx  c , đường thẳng x  1 , x  trục hoành chia thành hai phần:  Miền D1 hình chữ nhật có hai kích thước  S1   f  x   ax  bx  c   Miền D2 gồm:  y   x  1; x   Dễ thấy C  qua điểm A  1;1 , B  0;3 , C  2;1 nên đồ thị C  có phương trình 3 x  x  2 27 1   S    x  x   1dx  2  1  f  x  E (Chuyên Thoại Ngọc Hầu - 2018) Cho hàm số f liên tục đoạn  6; 5 , có đồ thị gồm đoạn I N Câu 17 51 T Vậy diện tích hình phẳng cần tìm S  S1  S2    f  x   2 dx H thẳng nửa đường trịn hình vẽ Tính giá trị I  T A IL IE U O N T 6 Trang 10 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group A S  32 Ta có: B S  10 Mà  x2 x parabol y  2 x2 x dx    dx 1 3x3 x dx   6 Ta có: I     D S  21 x2  x  3x  x    x   x  (theo hình vẽ x  ) Vậy T   TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 x2 x2  y2   y    4 Hoành độ giao điểm (E’) y   1 C S  15 Lời giải  x dx    x2 dx    x dx Đặt x  cos t ta có: 21   3 0 4sin t  2sin t  dt   sin tdt   1  cos 2t  dt  2  3 1 Do T    nên S  15 12 Câu 50 Cho hàm số y  x  ax  bx  c  a , b, c    có đồ thị  C  y  mx  nx  p  m, n, p    có đồ thị  P  hình vẽ Tính diện tích hình phẳng giới hạn  C   P  có giá trị nằm C  2;3 D  3;  E B 1;  I N A  0;1 T khoảng sau đây? T H Lời giải O N Căn đồ thị ta thấy IE IL A T  y 1   2a  b   a     2a  b   b  3  y  1  U + Hàm số y  x3  ax  bx  c đạt cực trị x  1 nên ta có Trang 35 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group + Hàm số y  mx  nx  p đạt cực đại x  1  P  cắt  C  hai điểm có hồnh độ x  1 nên ta có 2m  n  n  2   1  a  b  c  m  n  p  m  1 1  a  b  c  m  n  p p c 1   Suy S    mx  nx  p  x  ax  bx  x  dx    x 1  x  x  1 dx   1;  T A IL IE U O N T H I N E T 1 Trang 36 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Dạng Ứng dụng tích phân để tìm thể tích  Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b, S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x, (a  x  b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] Khi đó, thể tích vật thể B b xác định: V   S ( x) dx a  Thể tích khối trịn xoay a) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), trục hoành hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : y y  f ( x) O a b (C ) : y  f ( x )  b (Ox ) : y  Vx     f ( x ) dx  x x  a a  x  b b) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x  g ( y ), trục hoành hai đường thẳng y  c, y  d quanh trục Oy : y d O c x (C ) : x  g ( y )  (Oy ) : x   y  c  y  d d Vy    g (y ) dy c T c) Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y  f ( x), y  g ( x) (cùng nằm phía so với Ox) hai đường thẳng x  a, x  b quanh trục Ox : b y V    f ( x)  g ( x ) dx f ( x) a I N H T (Đề Minh Họa 2017) Kí hiệu  H  x b O a hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  2( x  1)e x , trục O N tung trục hồnh Tính thể tích V khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh Lời giải Chọn A IE C V  e2  D V   2e IL B V    2e   A A V   e    U trục Ox T Câu E g ( x) Trang 37 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Phương trình hoành độ giao điểm  x  1 e x   x  Thể tích khối trịn xoay thu quay hình  H  xung quanh trục Ox là:  du   x  1 dx u   x  12  V      x  1 e  dx  4   x  1 e dx Đặt   e2 x 2x 0  dv  e dx v   1 x 2x 1 2x e2 x e2 x e  V  4  x  1  4   x  1 dx  4  x  1  4   x  1 e x dx 2 0 u  x   du  dx  Gọi I1    x  1 e dx Đặt  e2 x 2x  dv  e dx  v   2x 1 e2 x e2 x  I1  4  x  1  4  dx  2   e x  2   e    3   e 2 Vậy V  4  x  1 Câu 2 e2 x  I1  2  3   e   e      (THPT An Lão Hải Phòng 2019) Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay xung quanh trục hồnh elip có phương trình A 550 B 400 x2 y   V có giá trị gần với giá trị sau đây? 25 16 C 670 D 335 Lời giải Chọn D Quay elip cho xung quanh trục hoành quay hình phẳng:   x2 H   y   , y  0, x  5, x  5 25   Vậy thể tích khối trịn xoay sinh H quay xung quanh trục hoành là:   16 x  16 x  320 V    16  dx   16 x    335,1   5 25  75  5   Câu (THPT Cẩm Giàng 2019) Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  x , trục hoành đường thẳng x  Tính thể tích V hình trịn xoay sinh H  quay  H  quanh trục Ox B V  16 15 C V  7 D V  15 T 4 E A V  I N Lời giải T A IL IE U O N T H Chọn B Theo đề, ta có hình vẽ sau: Trang 38 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 y x 1 y  x  2x 2 O x Nhận xét: Khi nhìn vào hình vẽ Đường thẳng x  chia hình phẳng giới hạn đường y  x  x trục hoành làm phần Dễ thấy lúc hình phẳng  H  khơng thể xác định phần hình giới hạn x  đến x  x  đến x  chưa rõ ràng Nếu xét phần tròn xoay xoay hình phẳng quanh trục Ox x  đến x  khơng có đáp án bài, đồng thời đề cho thêm đường thẳng x  khơng cần thiết Do để tốn có đáp án rõ ràng ta điều chỉnh đề sau: Cho hình phẳng  H  giới hạn đường y  x  x , trục hồnh Tính thể tích V hình tròn xoay sinh  H  quay  H  quanh trục Ox  y  x2  2x Hình phẳng  H  giới hạn  y  Ta có phương trình hoành độ giao điểm y  x  x y  (trục hoành) là: x  x2  2x    x  Khi thể tích V hình trịn xoay sinh  H  quay  H  quanh trục Ox là: VOx     x  x  dx  (Chun Lê Q Đơn Quảng Trị 2019) Cho hình phẳng  D  giới hạn hai đường y   x  1 ; y   x Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành  D  quay quanh trục Ox 32 15 Lời giải C D 64 15 U O N T H I N E T 32 15 IE B IL 64 15 A A T Câu 16 15 Trang 39 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y   x  1 y   x  x  1   x  x  1 Lấy đối xứng đồ thị hàm số y   x  1 qua trục Ox ta đồ thị hàm số y  1  x  Ta có 1  x    x , x   1;1 Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm 64 15 V      x  1  dx  1 Câu (Chuyên Bắc Giang -2019) Cho hình phẳng giới hạn đường y  tan x , y  , x  ,  quay xung quanh trục Ox Thể tích khối tròn xoay tạo thành bằng: 3   1  A B  1   C D       4 2  x Lời giải Chọn B   0 t2   dt   1   t 1  4 V    tan xdx    sin xd  tanx    Câu (Chuyên Lê Hồng Phong Nam Định -2019) Cho hình phẳng giới hạn đường y x  , y  x  quay xung quanh trục Ox Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành A V  B V  5 C V  7 11 11 D V  Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x  trục hoành: x    x   x  Thể tích khối tròn xoay tạo thành là:  x2 8x x  V    x  dx    x  x  dx      x   4  4  81   16 64  11     72  36       16          (Chuyên Lê Quý Dôn Diện Biên 2019) Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình  H  quanh Ox với  H  giới hạn đồ thị hàm số y  Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  35 T D H I N C T 32 E 34 Lời giải Điều kiện xác định: x  x    x  B x  x trục hoành Trang 40 https://TaiLieuOnThi.Net IE IL A T Thể tích vật thể trịn xoay quay hình  H  quanh Ox : U x  x  x   x  x2    x  N hoành 31 A x  x trục O Câu  Tài Liệu Ôn Thi Group V   4x  x  TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 32 dx     x  x dx   Vậy thể tích vật thể trịn xoay quay hình  H  quanh Ox Câu (Chuyên Nguyễn Tất Thành Yên Bái 2019) Cho hình phẳng 32  H  giới hạn đồ thị y  x  x2 trục hồnh Tính thể tích V vật thể tròn xoay sinh cho  H  quay quanh Ox A V   B V  16  15 C V  16 15 D V  Lời giải x  Phương trình hồnh độ giao điểm  H  với trục hoành: x  x     x2  Vậy thể tích khối trịn xoay sinh  H  quay quanh Ox là: V    2x  x  4 x5 dx     x  x  x  dx    x  x  3  2  16    15 0 Tính thể tích vật trịn xoay tạo miền hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  x  , y   x  , x  xoay quanh trục Ox 41  Lời giải C 40  D U O N T H I N E T 43  IE B IL 41  A A T Câu  2 Trang 41 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  x3  Xét phương trình x    x     x  3  x   1 Xét hình  H  giới đồ thị hàm số y  x   3  x  2  , y  x   2  x  1 , y  x  Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm thể tích vật thể trịn xoay thu quay quanh hình  H  quanh trục Ox Do 2 43 V     x   dx     x  3 dx    3  2  Câu 10 (THPT Quang Trung Đống Đa Hà Nội 2019) Ký hiệu ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y  f ( x)  x e x , trục hoành, đường thẳng x  Tính thể tích V khối tròn xoay thu quay ( H ) quanh trục hoành 1 C V   e2  D V   e2  4 Lời giải Hoành độ giao điểm đồ thị hàm số y  f ( x ) trục hồnh nghiệm phương trình    B V   e2  A V  e   E 2 I N H  N (THPT Yên Khánh - Ninh Bình 2019) Cho vật thể T  giới hạn hai mặt phẳng x  0; x  O Câu 11 T  T x e x   x  Khi thể tích khối trịn xoay tạo thành là: 1 1 1 V    x e x dx    xe x dx    e x d(2 x )   e x   (e  1) 40 0 IL A T hình vng có cạnh  x  1 e x Thể tích vật thể T  IE U Cắt vật thể T  mặt phẳng vng góc với trục Ox x   x   ta thu thiết diện Trang 42 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  13e  1 TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 A 13e  4 B D 2 e2 C 2e Lời giải Diện tích thiết diện S  x    x  1 e 2x 2 0 Thể tích vật thể T  V   S  x dx    x  1 e x dx V 2 2  9e4   x  x  e   e2 x dx   x  1 e2 x    x  1 e2 x dx    2 20 0    Câu 12 9e  3e  1 x 1 13e    e  3e  e4   2 4 4 Cho hai mặt cầu  S1  ,  S2  có bán kính R  thỏa mãn tính chất tâm  S1  thuộc  S2  ngược lại Tính thể tích V A V  45 B V  phần chung hai khối cầu tạo  S1  ,  S2  45 C V  45 D V  45 Lời giải Phần chung hai khối cầu tạo  S1  ,  S2  khối trịn xoay, tương đương phần hình phẳng OAO  quay quanh trục OO hay hai lần phần mặt phẳng tạo AHO  quay quanh trục OO Đặt hệ trục hình phương trình đường trịn  O  x  y   y   x , điểm H E I N 45  H  T  A tung tạo nên vật thể trịn xoay tích IL IE (Tốn Học Tuổi Trẻ - 2018) Hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  x y  x quay quanh trục T Câu 13  dx      x dx  U  9 x N V  O T ; O có hồnh độ nên thể tích : có hồnh độ Trang 43 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group A  B  2 15 Lời giải C D 4 15 x   y  Phương trình hồnh độ giao điểm x  x    x  1  y  Ta có đồ thị hai hàm số y  x y  x đối xứng qua Oy nên hình phẳng giới hạn hai đồ thị y  x y  x quay quanh trục tung tạo nên vật thể trịn xoay tích thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn hai đường x  y x  y quay xung quanh trục Oy Thể tích vật thể trịn xoay cần tìm là:   1 V    y  y dy     y  y  dy    y  y   0 2 0 Câu 14 (Chuyên Nguyễn Thị Minh Khai - Sóc Trăng - 2018) Cho hình ( H ) giới hạn đồ thị hàm số 3 x , cung tròn có phương trình y   x (với  x  2) trục hồnh (phần tơ đậm hình vẽ) Trang 44 https://TaiLieuOnThi.Net I N N O U IE IL D P  34 A Lời giải T phân số tối giản Tính T c a c  a V      , a, b, c, d  * , b d d  b P  abcd A P  52 B P  40 C P  46 quanh trục hồnh H Biết thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) E T y Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 3 Phương trình hồnh độ giao điểm: x   x2  x    2 V      x  dx  0      x dx   27  x7    27    x2   dx      x  dx    x3    4x   3     3  20 16        3   a  20, b  7, c  16, d   P  a  b  c  d  46 Câu 15 (HSG Tỉnh Bắc Ninh 2019) Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường cong y  m  x ( m tham số khác ) trục hoành Khi ( H ) quay xung quanh trục hoành khối trịn xoay tích V Có giá trị nguyên m để V  1000 A 18 B 20 C 19 Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đường cong trục hoành là: D 21 m2  x2   x  m m 4 m m 2 ( m  x ) dx   ( m x  x ) |   3 m m m Thể tích vật thể trịn xoay cần tính là: V   Ta có: V  1000  Ta có 4 m m 3  1000  m  750   750  m  750 750  9, 08 m  Vậy có 18 giá trị nguyên m Câu 16 Cho hàm số y  f  x   ax  bx  cx  d ,  a, b, c, d  , a   có đồ thị  C  Biết đồ thị C  tiếp xúc với đường thẳng y  điểm có hồnh độ âm đồ thị hàm số y  f '  x  C 6 Lời giải IE  35 D đáp án khác IL B A 725  35 T A U O N T H I N E T cho hình vẽ Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị  C  trục hoành quay xung quanh trục Ox Chọn D Trang 45 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group Dựa vào đồ thị hàm số y  f '  x   f '  x    x  1 Khi f  x    f '  x dx  x  3x  C Điều kiện đồ thị hàm số f  x  tiếp xúc với đường thẳng y  là:  f  x    x  1  x  x  C  suy f  x   x  x   C     C   f '  x   3  x  1  +  C   Ox  hoành độ giao điểm x  2; x  +Khi V    x  3x   dx  2 Câu 17 729  35 (THPT Gang Thép Thái Nguyên 2019) Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y  x , y  x  quanh trục Ox Đường thẳng x  a   a   cắt đồ thị hàm số y  x M (hình vẽ) Gọi V1 thể tích khối tròn xoay tạo thành quay tam giác OMH quanh trục Ox Biết V  2V1 Khi B a  2 A a  C a  D a  Lời giải Ta có: V    xdx   x  8 Mà V  2V1  V1  4 Gọi K hình chiếu M Ox  OK  a, KH   a, MK  a Khi xoay tam giác OMH quanh Ox ta khối tròn xoay lắp ghép hai khối nón sinh tam giác OMK , MHK , hai khối nón có mặt đáy có tổng chiều cao OH  nên thể tích khối trịn xoay V1   Câu 18  a  (Chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương 2019) Cho hình phẳng 4 a , từ suy a   D giới hạn đường y  x   , y  sin x x  Gọi V thể tích khối tròn xoay tạo thành  D  quay quanh trục E A T hoành V  p ,  p    Giá trị 24 p C 24 D 12 Lời giải Xét phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị hàm số y  x   y  sin x : N T H I N B U O x    sin x  x    sin x  1 Ta thấy x   nghiệm phương trình 1 IL IE Xét hàm số f  x   x    sin x  f   x    cosx  0, x   T A  f  x  đồng biến  nên x   nghiệm phương trình f  x   Trang 46 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group TÀI LIỆU ÔN THI THPTQG 2021 Cách 1: Xét hàm số g  x     x  sin x, x   0;   g   x   1  cosx  0, x   0;   , suy hàm số g  x     x  sin x nghịch biến  0;   x   0;   : g  x   g      x  sin x      sin      x  sin x   Do thể tích khối trịn xoay tạo thành quay  D  quanh trục hồnh thể tích khối nón quay tam giác vng OAB quanh trục hồnh 1 1 V   OB OA        p  Vậy 24 p  24  3 3   Cách 2: Từ   ta có V     x    dx     x    d  x      x   3   4  p Vậy 24 p  24  N T H I N E T  x2 y   x  y  16   x2  Câu 19 Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ,  H1  :  y   ,  H  :  x   y    Cho    x  4, x   x   y       H1  ,  H  xoay quanh trục Oy ta vật thể tích V1 ,V2 Đẳng thức sau U Lời giải IE D V1  V2 IL C V1  2V2 A B V1  V2 T A V1  V2 O Trang 47 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ôn Thi Group  Ta có V1   42         4y   dy   96  4 4 2  64 3 Suy V1  V2 V2  Câu 20 3 (THPT Chu Văn An -Thái Ngun - 2018) Cho hình thang ABCD có AB song song CD AB  AD  BC  a, CD  2a Tính thể tích khối trịn xoay quay hình thang ABCD quanh trục đường thẳng AB A a B a C 3 2 a D  a3 Lời giải Dễ thấy ABCE hình bình hành nên AE  BC  a Vậy ADE tam giác Có AH  a Xét hệ trục tọa độ Oxy hình vẽ Có phương trình CD : y   Phương trình AD : y  3x  a a  ; xD  0, xC  2a ; A  ;0  2  a a a 2 a 3   a  3 a 3a  Vậy V        2   3x    2a  2   x  3ax     0 0   2a  3 a 3a 3a  2  x  x  2  a  3 a a3 x   2   a 0 E a a a trừ thể tích hai khối nón có chiều cao bán kính đáy Vậy 2 I N kính đáy U O N T H a 3 a 3 a V     2a      a     IE (Chuyên Lê Hồng Phong - Tphcm - 2018) Cho đồ thị  C  : y  f  x   x Gọi  H  hình IL Câu 21 T Cách 2: Thể tích khối trịn xoay tạo theo đề thể tích khối trụ có chiều cao 2a bán T A phẳng giới hạn đồ thị  C  , đường thẳng x  trục Ox Cho điểm M thuộc đồ thị  C  điểm A  9;  Gọi V1 thể tích khối trịn xoay cho  H  quay quanh trục Ox , V2 thể tích Trang 48 https://TaiLieuOnThi.Net Tài Liệu Ơn Thi Group TÀI LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 khối trịn xoay cho tam giác AOM quay quanh trục Ox Biết V1  2V2 Tính diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C  đường thẳng OM B S  A S  27 16 C S  3 D S  Lời giải Ta có V1  π   x  dx  812   Gọi H hình chiếu M lên trục Ox , đặt OH  m (với  m  ), ta có M m; m , MH  m AH   m 1 Suy V2  π.MH OH  π.MH AH  π.MH OA  3mπ 3 Theo giả thiết, ta có V1  2V2 nên  27 3  81π 27  6mπ  m  Do M  ;  4   x Diện tích S phần hình phẳng giới hạn đồ thị  C  đường thẳng OM Từ ta có phương trình đường thẳng OM y  27 IL IE U O N T H I N E T 2   27 x   x  dx   x x  16 3 0  A  S    x   T 27 Trang 49 https://TaiLieuOnThi.Net ... LIỆU ƠN THI THPTQG 2021 Dạng Ứng dụng tích phân để tìm thể tích  Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a b, S ( x) diện tích thiết diện vật thể bị... và diện tích hình phẳng giới hạn d , đồ thị  C  hai đường thẳng x  ; x  có diện tích 28 (phần tơ màu hình vẽ) Diện tích hình phẳng giới hạn  C  hai đường thẳng x  1 ; x  có diện tích A... Do đó: 15 15 c   O  IE U Tích phân  cos x f  5sin x  1 dx A IL T  A ,  B  N T H Câu 35 Cho hàm số f  x  liên tục  có đồ thị hình vẽ bên Biết diện tích phần Trang 23 https://TaiLieuOnThi.Net