Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng và cách giải A LÝ THUYẾT 1 Diện tích hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của hàm số y = f(x[.]
Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng cách giải A LÝ THUYẾT Diện tích hình phẳng giới hạn đường cong trục hoành Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b tính theo cơng thức b S = f ( x ) dx (1) a Chú ý: Để tính diện tích S ta phải tính tích phân (1), muốn ta phải phá dấu giá trị tuyệt đối: b b a a b b a a Nếu f ( x ) 0, x a;b S = f ( x ) dx = f ( x ) dx Nếu f ( x ) 0, x a;b S = f ( x ) dx = ( −f ( x ) ) dx Muốn xét dấu biểu thức f(x) ta thường có số cách làm sau: Cách 1: Sử dụng bảng xét dấu cho f(x) với ghi nhớ qua nghiệm bội lẻ f(x) đổi dấu, qua nghiệm bội chẵn f(x) không đổi dấu Cách 2: Dựa vào đồ thị hàm số y = f(x) đoạn [a; b] để suy dấu f(x) đoạn đó: - Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục hồnh f ( x ) 0, x a;b - Nếu đoạn [a; b] đồ thị hàm số y = f(x) nằm phía trục hồnh f ( x ) 0, x a;b b b a a Cách 3: Nếu f(x) khơng đổi dấu [a; b] ta có: S = f ( x ) dx = f ( x ) dx Cách 4: Sử dụng máy tính CASIO, nhiên xu hướng đề thi THPT Quốc gia hạn chế CASIO nên cần ý cách giải tổng quát hiểu rõ chất! Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục đoạn [a; b] Khi diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) b hai đường thẳng x = a, x = b S = f ( x ) − g ( x ) dx a Tương tự ý tốn ta phải xét đoạn mà dấu f ( x ) − g ( x ) không đổi Chú ý: - Giả sử phương trình có hai nghiệm c;d ( c d ) Khi f ( x ) − g ( x ) không đổi dấu đoạn a;b , c;d , d;b Trên đoạn đó, chẳng hạn đoạn a;c ta có c c a a f ( x ) − g ( x ) dx = f ( x ) − g ( x ) dx - Khi tính diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số ta có: b b a a S = f ( x ) − g ( x ) dx = h ( x ) dx ta xét dấu cách làm hoàn toàn tương tự phần - Nếu đề không cho đường thẳng giới hạn x = a; x = b ta giải phương trình f(x) = g(x) (hoặc f(x) = trường hợp g(x) trục hồnh) để tìm cận tích phân Ứng dụng tính diện tích hình trịn hình Elip a) Tính diện tích hình trịn Trong hệ tọa độ Oxy cho đường trịn có phương trình: x + y2 = r ( r ) Khi hình trịn có diện tích là: S = r Ta có x + y = r y = r − x Với y , ta có: y = r − x có đồ thị nửa đường trịn phía trục hồnh r Bằng cách đặt x = rsin t ta có diện tích S1 = −r r r − x dx = 2 2 r r − x dx = 2 Do S = 2S1 = r b) Tính diện tích hình Elip x y2 Trong hệ tọa độ Oxy cho elip có phương trình: + = 1,0 b a a b Chứng minh tương tự ta có diện tích elip là: S = ab (đvdt) B VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ Tính diện tích hình phẳng (hình tơ màu) biểu diễn hình Lời giải Nhận thấy a;c d;b f1 ( x ) f ( x ) ; c;d f1 ( x ) f ( x ) Do b c d a a c S = f1 ( x ) − f ( x ) dx = ( f1 ( x ) − f ( x ) ) dx + ( f ( x ) − f1 ( x ) ) dx b + ( f1 ( x ) − f ( x ) ) dx d (Trên cách bỏ dấu giá trị tuyệt đối) Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + 2x − , trục hoành đường thẳng x = 0; x = Lời giải Diện tích S hình phẳng S = − x + 2x − dx Ta có: −x + 2x − 0, x 0;3 x3 2 S = − x + 2x − dx = ( x − 2x + ) dx = − x + 2x = (đvdt) 0 0 3 Ví dụ Diện tích hình phẳng giới hạn hai đồ thị hàm số y = x − x + 1, y = x + A − 4 B C D Lời giải Phương trình hồnh độ giao điểm đồ thị là: x = x − x + = x + x − 2x = x = 2 2 Diện tích cần tìm là: S = x − x + − x − dx = x − 2x dx = ( 2x − x ) dx 2 0 x3 = x2 − = 0 Chọn B Ví dụ Tính diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x + x đường thẳng x − y + = 0, x = ln A S = − ln B S = − ln5 C S = + ln5 D S = + ln Lời giải Ta có: x − y + = y = x + Phương trình hồnh độ giao điểm hai đồ thị là: e x + x = x + e x = x = Diện tích hình phẳng cần tìm là: ln S= ln e − dx = x (e x − 1) dx = ( e x − x ) ln = − ln Chọn B Ví dụ Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi: Parabol y = x − 2x + , tiếp tuyến điểm M(3; 5) trục tung A 10 B C Lời giải Ta có: y = x − 2x + y' = 2x − 2; y' ( 3) = phương trình tiếp tuyến M(3; 5) là: y − = ( x − 3) hay y = 4x − Diện tích cần tìm là: S = ( x − 2x + ) − ( 4x − ) dx 3 = ( x − 6x + ) dx = ( x − 3) dx 2 0 D 12 ( x − 3) = 3 ( − 3) = 3 ( − 3) − 3 =9 Chọn C C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Viết cơng thức tính diện tích hình thang cong giới hạn đồ thị hàm số y = f(x), trục hoành hai đường thẳng x = a, x = b (a < b) là: b b B S = f ( x ) dx A S = f ( x ) dx a a b C S = f b ( x ) dx D S = f ( x ) dx a a Câu Cho đồ thị hàm số y = f(x) Diện tích S hình phẳng (phần tơ đậm hình dưới) là: y y=f(x) x O -2 3 A S = f ( x ) dx −2 −2 −2 0 0 −2 B S = f ( x ) dx + f ( x ) dx C S = f ( x ) dx + f ( x ) dx D S = f ( x ) dx + f ( x ) dx Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = x + y = 3x là: 1 C S = D S = Câu Kết diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x + 3x − a a , trục hoành, trục tung đường thẳng x = có dạng (với phân số tối giản) b b Khi mối liên hệ a b là: A a − b = B a − b = C a − b = −2 D a − b = −3 Câu Kết việc tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị ( C) : y = x − 2x + trục Ox gần với giá trị sau đây? A S = B S = C S = D S = 2 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x + x , trục hoành đường thẳng x = là: 2 −1 2 +1 C S = D S = 2 − A S = B S = 3 Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x x − 2y = với diện tích hình sau đây: A Diện tích hình vng có cạnh B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng C Diện tích hình trịn có bán kính 24 D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh Câu Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = , trục hoành, ( x + 1) đường thẳng x = đường thẳng x = là: 8 A S = − B S = C S = D S = 5 25 25 Câu Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = xlnx, trục hoành đường thẳng x = e e2 + e2 + e2 + e2 + A S = B S = C S = D S = Câu 10 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = e x + x , trục hoành, trục tung đường thẳng x = là: A S = B S = ( ) 1 A S = e + B S = e − C S = e + D S = e − 2 Câu 11 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = ( e + 1) x y = (1 + e x ) x Giá trị S cần tìm là: e+2 e−2 e−2 e B S = C S = D S = 2 Câu 12 Tính diện tích hình phẳng giới hạn nửa đường tròn y = − x A S = đường thẳng d qua hai điểm A(− 2;0) B(1; 1) (phần tô đậm hình vẽ) A +2 B 3 + 2 C −2 D 3 − 2 Câu 13 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − y = −1, đường thẳng y = trục tung tính sau: A S = − dx x −1 1 B S = − −1 1 đường thẳng x2 dx x2 −1 D S = dy − y − y −1 −1 Câu 14 Diện tích hình phẳng giới hạn hai đường cong có phương trình x − y = x + 2y − 12 = bằng: A S = 15 B S = 32 C S = 25 D S = 30 Câu 15 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = sin x + 1, trục 7 hoành hai đường thẳng x = x = C S = A 7 + −1 B 7 + +1 C 7 + +1 D 7 + −1 Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x A 12 B C D 15 Câu 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = 2x y = x − 2x miền x > A 34 15 B 14 15 C 64 15 D 32 15 Câu 18 Tính diện tích hình phẳng giới hạn parabol: y = x + , tiếp tuyến với đường điểm M(2; 5) trục Oy A B 11 C D Câu 19 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = x ; y = x; y = 2x A B C D Câu 20 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường cong y = 2x + 1; y = x − A B 16 C 21 11 D y = ex Câu 21 Tính diện tích giới hạn y = e − x x =1 A 2e + − e B e + −1 e Câu 22 Tính diện tích giới hạn bởi: y = từ M ( 3; −2 ) C e + − e D 2e + e ( x − 4x + 3) hai tiếp tuyến xuất phát A B C 13 D 11 Câu 23 Gọi (D) miền giới hạn bởi: y = −3x + 10 ; y = 1, y = x ( x ) (D) ( P ) : y = x A 11 12 B C 34 13 D 17 D y = x − x , y = Câu 24 Tính diện tích giới hạn bởi: x = 0, x = A B C Câu 25 Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn đồ thị hàm số y = ( x + 1) sin x với đường thẳng x = −; x = trục Ox A − 2sin1 C B − D − sin1 Câu 26 Tính diện tích phần mặt phẳng bị giới hạn đồ thị hàm số y = e x cos 2x với đường thẳng x = 0; x = trục Ox A e −1 B e −1 C e −1 D e −1 Câu 27 Cho (H) hình phẳng giới hạn parabol y = 3x2 nửa đường trịn có phương trình y = - x với -2 ≤ x ≤ (phần tơ đậm hình vẽ) Diện tích (H) bằng? y x -2 A 2 + B 4 + O C 4 + D 2 + Câu 28 Kí hiệu S1, S2, S3 diện tích hình vng có cạnh 1, hình trịn có bán kính 1, hình phẳng giới hạn hai đường y = 1- x ; y = 2(1- x) S +S Tính tỉ số S2 A B C D Đáp án 10 11 12 13 14 15 B C D B B B D B A B C D C B B 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 A C C C B C A D A A D D C ... tích hình sau đây: A Diện tích hình vng có cạnh B Diện tích hình chữ nhật có chiều dài, chiều rộng C Diện tích hình trịn có bán kính 24 D Diện tích tồn phần khối tứ diện có cạnh Câu Diện tích hình. .. tìm cận tích phân Ứng dụng tính diện tích hình trịn hình Elip a) Tính diện tích hình trịn Trong hệ tọa độ Oxy cho đường trịn có phương trình: x + y2 = r ( r ) Khi hình trịn có diện tích là:... 7 + −1 B 7 + +1 C 7 + +1 D 7 + −1 Câu 16 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = x y = x A 12 B C D 15 Câu 17 Tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hai hàm số y = 2x y =