Mặt trụ và phương pháp giải bài tập I Lý thuyết ngắn gọn 1 Khái niệm về mặt tròn xoay a Định nghĩa trục của đường tròn • Trục của đường tròn (O; R) là đường thẳng đi qua O và vuông góc với mặt phẳng c[.]
Mặt trụ phương pháp giải tập I Lý thuyết ngắn gọn Khái niệm mặt tròn xoay a Định nghĩa trục đường trịn • Trục đường tròn (O; R) đường thẳng qua O vng góc với mặt phẳng chứa đường trịn • Khi điểm M không nằm đường thẳng Δ có đường trịn qua M có trục Δ, ta kí hiệu đường trịn (CM) (xem hình vẽ) b Định nghĩa mặt trịn xoay • Trong khơng gian, cho hình (H) đường thẳng Δ Hình gồm tất đường trịn (CM) với M thuộc (H) gọi hình trịn xoay sinh (H) quay quanh Δ • Đường thẳng Δ gọi trục hình trịn xoay • Khi (H) đường hình trịn xoay sinh cịn gọi mặt trịn xoay Định nghĩa mặt trụ tròn xoay Cho hai đường thẳng l Δ cho l song song Δ; d(l, ∆) = R Khi ta quay l quanh trục Δ góc 360° l tạo thành mặt trụ trịn xoay (T) (mặt trụ) • Δ gọi trục mặt trụ (T) • l gọi đường sinh mặt trụ (T) • R gọi bán kính mặt trụ (T) Tính chất a Mặt trụ (T) tập hợp điểm M cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi b Nếu M1 điểm nằm mặt trụ đường thẳng l1 qua M1 song song với ∆ nằm mặt trụ Cho mặt trụ (T) mặt phẳng (P), ∆ trục mặt trụ tròn xoay, d ( ( P ) , ) = h Khi đó: - Nếu (P) ⊥ a (P) (T) = C(I;R) - Nếu (P) // ∆ thì: + Nếu h < R: (P) cắt (T) theo hai đường sinh thiết diện hình chữ nhật + Nếu h = R: (P) tiếp xúc (T), (P) gọi tiếp diện mặt trụ (T) Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt trụ (T) là: d ( ( P ) ; ) = R (∆ trục trụ tròn xoay) + Nếu h > R: (P) (T) = Điều kiện để mặt phẳng (P) không cắt trụ (T) là: d ( ( P ) ; ) R (∆ trục trụ tròn xoay) Định nghĩa hình trụ khối trụ trịn xoay a Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ (T) trục ∆, bán kính R hai mặt phẳng phân biệt (P) (P’) vng góc với ∆, ta hai giao tuyến hai đường tròn (C) (C’) Phần mặt trụ (T) nằm hai mặt phẳng với hai hình trịn xác định (C) (C’) gọi hình trụ Khi đó: hai đường tròn (C) (C’) gọi hai đường tròn đáy, OO’ gọi trục hình trụ, độ dài OO’ gọi chiều cao hình trụ, phần mặt trụ hai đáy gọi mặt xung quanh hình trụ b Định nghĩa khối trụ: Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích hình trụ thể tích khối trụ - Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq = 2Rh - Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy: Stp = Sxq + Sd = 2Rh + 2R - Thể tích V khối trụ trịn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: V = R h II Các dạng tập phương pháp giải Dạng 1: Xác định mặt trụ Phương pháp giải: Nếu điểm M di động không gian có hình chiếu vng góc M’ ( ) di động đường trịn (C) cố định M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) có trục vng góc với ( ) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho ( ) điểm O nằm ( ) Gọi O’ điểm nằm ngồi ( ) cho hình chiếu H O’ lên ( ) không trùng với O Một điểm M di động ( ) cho OO'M = O'MH Chứng minh M nằm mặt trụ có trục OO’ Lời giải Ta có H hình chiếu O’ lên ( ) O'H ⊥ () O'H ⊥ HM Suy tam giác O’HM vuông H Từ M kẻ MK ⊥ OO' K Xét hai tam giác vuông O’HM MKO’ có: O’M cạnh chung OO'M = O'MH Suy hai tam giác O’HM MKO’ Suy MK = O’H không đổi Vậy điểm M nằm mặt trụ có trục OO’ bán kính O’H Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính R chiều cao R Một hình vng ABCD có hai cạnh AB CD dây cung hai đường tròn đáy, cạnh AD BC khơng phải đường sinh hình trụ a Tính độ dài cạnh hình vng ABCD b Kẻ đường sinh DH Chứng minh năm điểm A, B, C, D, H thuộc mặt cầu Lời giải a Gọi a độ dài cạnh hình vng ABCD Kẻ đường sinh DH DH = OO' = R Ta có : AB ⊥ AD AB ⊥ (AHD) AB ⊥ DH AB ⊥ AH HB = 2R Tam giác AHD vuông H AH = AD2 − HD2 = a − R (1) Tam giác AHB vuông A AH = HB2 − AB2 = 4R − a (2) Từ (1) (2) suy ra: a − R = 4R − a 5 R a2 = R2 a = 2 AB ⊥ AD b Ta có: HB ⊥ HD CB ⊥ CD Suy năm điểm A, B, C, D, H thuộc mặt cầu đường kính BD Dạng 2: Diện tích xung quanh hình trụ, thể tích khối trụ Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức sau - Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq = 2Rh - Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy: Stp = Sxq + Sd = 2Rh + 2R - Thể tích V khối trụ trịn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: V = R h Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Bên hình trụ vẽ hình vng ABCD cạnh a có hai cạnh AB CD thuộc hai đáy hình trụ Mặt phẳng chứa hình vng tạo với đáy hình trụ góc 45 độ Tính diện tích xung quanh thể tích hình trụ Lời giải Vẽ đường kính BH đường trịn đáy AB ⊥ AH Ta có: AB ⊥ AD ( ( ABCD ) ; ( ABH ) ) = HAD = 45 Suy tam giác AHD vuông cân H HA = HD = a Suy chiều cao hình trụ là: h = HD = a Tam giác HAB vuông A, theo Py – ta – go: HB2 = AB2 + AH2 a2 HB = a + = a 2 2 HB = a Bán kính đáy hình trụ là: R = HB a = 2 Vậy: Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq = 2Rh = a 3a Thể tích khối trụ là: V = R h = 2 Ví dụ 2: Cho hình trụ bán kính đáy R nội tiếp lăng trụ tứ giác có đường chéo hợp với đáy góc Tính thể tích diện tích xung quanh hình trụ thể tích lăng trụ ngoại tiếp Lời giải Hình vng ABCD ngoại tiếp đường trịn đáy hình trụ bán kính R nên có cạnh: AB = 2R AC = 2R Đường chéo A’C hợp với đáy góc ACA' = Tam giác AA’C vuông A: tan = AA ' AC AA' = AC.tan AA' = 2R tan = OO' Thể tích khối trụ là: Vkhtru = R OO' = 2R tan Diện tích xung quanh hình trụ là: Sxq = 2R.OO' = 2R tan Thể tích khối lăng trụ là: Vlangtru = AB2 AA ' = 2R tan Dạng 3: Thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng Phương pháp giải: - Các thiết diện qua trục hình trụ hình chữ nhật - Thiết diện vng góc với trục hình trụ hình trịn hình trịn đáy - Nếu điểm M di động khơng gian có hình chiếu M’ lên mặt phẳng ( ) di động đường trịn (C) cố định M thuộc mặt trụ cố định (T) chứa (C) có trục vng góc với ( ) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình trụ có diện tích xung quanh 4 Thiết diện qua trục hình vng Một mặt phẳng ( ) song song với trục, cắt hình trụ theo thiết diện tứ giác ABB’A’, biết cạnh thiết diện dây cung đường trịn đáy hình trụ căng cung có số đo 120 Tính diện tích thiết diện ABB’A’ Lời giải Thiết diện qua trục hình trụ hình có hai kích thước h, 2R h = 2R h = 2R R = Theo ta có: 2Rh = 4 h = Sxq = 4 Thiết diện song song với trục OO’ hình chữ nhật ABB’A’ Dây cung AB căng cung 120 AOB = 120 Tam giác OAB có: AB = OA + OB2 − 2.OA.OB.cosAOB = Vì AA’ đường sinh AA' = h = Diện tích thiết diện: SABB'A' = AB.AA' = 3R Mặt phẳng R ( ) song song với trục hình trụ cách trục khoảng Tính diện tích thiết diện hình trụ cắt mặt phẳng ( ) Ví dụ 2: Cho hình trụ có bán kính đáy R chiều cao Lời giải Thiết diện song song với trục OO’ hình chữ nhật ABB’A’ OO’ // (ABB’A’) d ( OO'; ( ) ) = d ( O; ( ) ) = d ( O;AB ) Gọi H trung điểm AB Mà OA = OB OH ⊥ AB Tam giác OAH vuông H AH = OA2 − OH2 AH = R AB = 2AH = R Vậy SABB'A ' = 3 R Dạng 4: Bài toán cực trị Phương pháp giải: Áp dụng bất đẳng thức AM – GM cho số thực dương: a + b2 (a + b)2 Dạng số: a + b ab ab ab a + b + c3 (a + b + c)3 Dạng số: a + b + c abc abc abc 27 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một hình trụ có độ dài đường cao 3, đường tròn đáy (O; 1) (O’; 1) Giả sử AB đường kính cố định (O; 1) CD đường kính thay đổi (O’; 1) Tìm giá trị lớn Vmax thể tích khối tứ diện ABCD Lời giải Gọi số đo góc AB CD Ta có: VABCD = AB.CD.d ( AB;CD ) sin V = 2.2.3.sin V = 2sin Do Vmax = AB ⊥ CD Ví dụ 2: Cần sản xuất vỏ hộp sữa hình trụ tích V cho trước Để tiết kiệm vật liệu bán kính đáy phải bao nhiêu? Lời giải Giả sử vỏ hộp sữa có bán kính đáy R, chiều cao h (R, h > 0) Vì thể tích vỏ hộp V nên ta có: V = R h h = V R Để tiết kiệm vật liệu hình trụ vỏ hộp sữa phải có diện tích toàn phần nhỏ Stp = 2Rh + 2R = Stp = 2V + 2R nhỏ R V V + + 2R 3 2V R R Stp nhỏ V V = 2R R = R 2 III Bài tập áp dụng Bài 1: Một mặt phẳng qua trục hình trụ, cắt hình trụ theo thiết diện hình vng cạnh a Tính thể tích khối lăng trụ A a a B a C D a Bài 2: Cho hình lập phương cạnh a.Tính thể tích hình trụ ngoại tiếp hình lập phương 3a A a B C a D a Bài 3: Cho hình thang cân ABCD có đáy nhỏ AB = 1, đáy lớn CD = 3, cạnh bên BC = DA = Cho hình thang quay quanh AB vật trịn xoay tích A B C D Bài : Cho hình trụ có bán kính đáy R = cm, chiều cao h = cm Tính diện tích xung quanh hình trụ A 85(cm ) B 70(cm ) C 35(cm ) D 35 (cm ) Bài 5: Cho hình trụ có chiều cao 2cm Biết mặt phẳng khơng vng góc với đáy cắt hai mặt đáy theo hai dây cung song song với AB, A’B’ Mà AB = A’B’ = 6cm Diện tích tứ giác ABB’A’ 60cm Tính bán kính đáy hình trụ A cm B cm C 2cm D 2cm Bài 6: Trong tất khối trụ có thể tích 330 Xác định bán kính đáy khối trụ có diện tích tồn phần nhỏ A 165 B 330 C 165 D 330 Bài 7: Thể tích lớn khối trụ nội tiếp hình cầu có bán kính R 4R 3 A 8R 3 B 8R 3 C 8R D 27 Bài 8: Một hình trụ có thiết diện qua trục hình chữ nhật có chu vi 12 cm Thể tích lớn mà hình trụ nhận là: A 8cm3 B 32cm3 C 16cm3 D 64cm3 Bài 9: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, biết góc mặt phẳng (A’BC) (ABC) 45 độ Diện tích tam giác A’BC a Tính diện tích xung quanh hình trụ ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A’B’C’ A 4a 3 B 8a 3 C 2a D 4a Bài 10: Các hình trụ trịn xoay có diện tích tồn phần S khơng đổi, gọi chiều cao hình trụ h bán kính đáy hình trụ r Thể tích khối trụ đạt giá trị lớn khi: A h = 4r B h = 3r C h = 2r D h = r ... gọi trục mặt trụ (T) • l gọi đường sinh mặt trụ (T) • R gọi bán kính mặt trụ (T) Tính chất a Mặt trụ (T) tập hợp điểm M cách đường thẳng ∆ cố định khoảng R không đổi b Nếu M1 điểm nằm mặt trụ. .. trụ, phần mặt trụ hai đáy gọi mặt xung quanh hình trụ b Định nghĩa khối trụ: Hình trụ với phần bên gọi khối trụ Diện tích hình trụ thể tích khối trụ - Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính... trụ (T) là: d ( ( P ) ; ) R (∆ trục trụ trịn xoay) Định nghĩa hình trụ khối trụ trịn xoay a Định nghĩa hình trụ Cắt mặt trụ (T) trục ∆, bán kính R hai mặt phẳng phân biệt (P) (P’) vng góc