CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI I LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) và bán kính R có phương trình là ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2S x a y b z c R− + − + − = (1)[.]
CÁC DẠNG TỐN VỀ PHƯƠNG TRÌNH MẶT CẦU VÀ CÁCH GIẢI I LÝ THUYẾT Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) tâm I (a; b; c) bán kính R có phương trình (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R (1) 2 Phương trình mặt cầu nói viết dạng (S) : x + y + z + 2ax + 2by + 2cz + d = (2) với d = a + b2 + c2 − R Từ ta có phương trình (2) với điều kiện a + b2 + c2 − d phương trình mặt cầu tâm I (-a; -b; -c) có bán kính R = a + b2 + c2 − d tâm O ( 0;0;0 ) Đặc biệt mặt cầu (S) có phương trình mặt cầu (S) bán kính R ( S) : x + y2 + z = R II PHƯƠNG PHÁP GIẢI VÀ VÍ DỤ MINH HỌA Dạng 1: Xác định tâm bán kính mặt cầu – Điều kiện để (S) mặt cầu Phương pháp giải: Xét phương trình ( S ) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 Khi mặt cầu có tâm I (a; b; c), bán kính R +) Xét phương trình (S) : x + y + z − 2ax − 2by − 2cz + d = tâm I ( a;b;c ) Khi mặt cầu có 2 bán kính R = a + b + c − d Điều kiện để (S) phương trình mặt cầu a + b + c2 − d tâm O ( 0;0;0 ) +) Đặc biệt: (S) : x + y2 + z = R , suy (S) có bán kính R Ví dụ 1: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu ( S) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = Tính tọa độ tâm I bán kính R (S) 2 A I (-1; 2; 1) R = B I (1; -2; -1) R = C I (-1; 2; 1) R = D I (1; -2; -1) R = Hướng dẫn giải Dựa vào phương trình mặt cầu ( S ) : ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = , ta có tâm 2 I(−1;2;1) R = = Chọn A Ví dụ 2: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt cầu (S) có phương trình x + y + z + 2x − 4y + 6z − = Tính tọa độ tâm I bán kính R (S) A Tâm I (-1; 2; -3) bán kính R = B Tâm I (1; -2; 3) bán kính R = C Tâm I (-1; 2; 3) bán kính R = D Tâm I (1; -2; 3) bán kính R = 16 Hướng dẫn giải Dựa vào phương trình mặt cầu (S) : x + y + z + 2x − 4y + 6z − = , ta có: tâm I ( −1;2; −3) 2 bán kính R = (−1) + + (−3) − (−2) = 16 = Chọn A Ví dụ 3: Cho phương trình (S) : x + y2 + z2 + (3 − m ) x − ( m + 1) y − 2mz + 2m2 + = Tìm tất giá trị m để (S) phương trình mặt cầu m A m3 B m m C m m = D m = Hướng dẫn giải Gọi tâm mặt cầu I (a ; b ; c) bán kính R Ta có : a = m – 3, b = m + 1, c = m, d = 2m + (S) mặt cầu a + b + c2 − d ( m − 3) + ( m + 1) + m − 2m − 2 m − 4m + m m Chọn C Dạng 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính Phương pháp giải: Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c) Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Thế vào phương trình (S): Dạng phương trình mặt cầu (S) có tâm I (a; b; c) bán kính R (S) : (x − a) + ( y − b) + (z − c) = R 2 Ví dụ 4: Trong không gian Oxyz cho điểm A (-1; 2; 0), viết phương trình mặt cầu tâm A bán kính A (S) : ( x + 1) B (S) : ( x + 1) C (S) : ( x − 1) + ( y − ) + z = 16 D (S) : ( x − 1) + ( y − 2) + z2 = + ( y − ) + z = 16 + ( y − 2) + z2 = 2 2 Hướng dẫn giải Dạng phương trình mặt cầu (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 Tâm A suy a = -1, b = 2, c = R = Thế vào phương trình mặt cầu (S) ta (S) : ( x + 1) + ( y − ) + z = 16 2 Chọn A Ví dụ 5: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm B qua điểm A A (S) : ( x − ) + ( y + 1) + (z − 2) = 24 2 B (S) : ( x − ) + ( y + 1) + (z − 2) = 24 2 C (S) : ( x + ) + ( y − 1) + z = 24 2 D (S) : ( x − ) + ( y − 1) + (z − 2) = 24 2 Hướng dẫn giải Dạng phương trình mặt cầu (S) : ( x − a ) + ( y − b ) + ( z − c ) = R 2 2 Tâm B (2; -1; 2) Bán kính R = AB = ( + ) + ( −1 − 1) + ( − ) 2 = 24 Vậy phương trình mặt cầu là: (S) : ( x − ) + ( y + 1) + (z − 2) = 24 2 Chọn B Dạng 3: Viết phương trình mặt cầu biết tâm tiếp xúc với mặt phẳng Phương pháp giải: Cho điểm I (a; b; c) mặt phẳng (P): Ax + By + Cz + D = Vì mặt cầu tiếp xúc với mặt phẳng nên ta có R = d ( I; ( P ) ) = | Aa + Bb + Cc + D | A + B2 + C Từ viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R tính phía Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) A ( x – ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 B ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 C ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 D ( x − ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 Hướng dẫn giải : Vì mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt phẳng (P) nên bán kính mặt cầu R = d ( A; ( P ) ) = | 2.2 − + 2.1 + 1| + ( −1) + 2 = 2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x – ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 Chọn A Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm tiếp xúc với đường thẳng Phương pháp giải: Cho điểm I (a; b; c) đường thẳng d Gọi H tiếp điểm đường thẳng d mặt cầu tâm I Tìm H Khi bán kính mặt cầu R = IH Ví dụ 7: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng x +1 y − z + điểm I (1; -2; 3) Phương trình mặt cầu có tâm I tiếp d: = = −1 xúc với d A ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 2 2 B ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 3) = 50 2 D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 50 2 Hướng dẫn giải Gọi H tiếp điểm đường trịn lớn tâm I đường thẳng d Vì H thuộc d nên H (-1 + 2t; + t; -3 – t) Suy IH = ( 2t − 2;t + 4; − t − ) Vectơ phương d u d = ( 2;1; − 1) Vì IH vng góc với đường thẳng d nên IH.u d = (2t – 2).2 + (t + 4).1 + (-t – ).(-1) = t = -1 Suy IH = ( −4;3; − ) Vì mặt cầu tiếp xúc với đường thẳng nên bán kính mặt cầu: R = IH = ( −4 ) + 32 + ( −5 ) = 2 Vậy phương trình mặt cầu ( x − 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 50 2 Chọn B Dạng 5: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I đường thẳng d cắt mặt cầu theo dây cung AB Phương pháp giải: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến đường thẳng d Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính độ dài dây cung AB Suy độ dài AH (với H trung điểm AB) Bước 3: Tính IA theo định lý Pytago cho tam giác vng AIH Suy bán kính R = IA Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) tâm I bán kính R tính bên Ví dụ 8: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (2; 3; -1) cắt đường thẳng x +1 y −1 z d: = = hai điểm A, B với AB = 16 −4 A ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 76 2 B ( x − ) + ( y + 3) + ( z + 1) = 76 2 C ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 56 2 D ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 66 2 Hướng dẫn giải: Gọi H hình chiếu vng góc I đường thẳng d Vì H thuộc d nên H (-1 + t; – 4t; t) Suy IH = ( t − 3; − 4t − 2;t + 1) Đường thẳng d có vectơ phương u d = (1; − 4;1) Vì IH vng góc với đường thẳng d nên IH.u d = (t – 3).1 + (-4t – 2).(-4) + (t + 1).1 = t = − 2 10 2 10 Suy IH = − ; − ; nên IH = − + − + = 3 3 3 3 Vì AB = 16 nên HA = AB = Áp dụng định lí Py – ta – go tam giác vng IAB ta có: ( IA = IH + HA = ) + 82 = 76 IA = 19 Vậy bán kính mặt cầu R = IA = 19 Khi phương trình mặt cầu ( x − ) + ( y − 3) + ( z + 1) = 76 2 Chọn A Dạng 6: Viết phương trình mặt cầu (S) biết tâm I mặt cầu cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến đường tròn (C) Phương pháp giải: Bước 1: Tính khoảng cách từ tâm I đến mặt phẳng (P) Bước 2: Dựa vào giả thuyết đề cho, ta tính bán kính r đường trịn giao tuyến Suy bán kính mặt cầu R = d (I,(P)) + r Bước 3: Kết luận phương trình mặt cầu (S) Ví dụ 9: Cho mặt cầu (S) có tâm I (1; 0; 1) mặt phẳng (Q): 2x – y + z + = Viết phương trình mặt cầu (S) cho (Q) cắt (S) theo hình trịn có diện tích 20 110 110 2 B ( x − 1) + y + ( z − 1) = 100 2 C ( x − 1) + y + ( z − 1) = A ( x − 1) + y + ( z + 1) = 2 D ( x − 1) + y + ( z − 1) = 110 2 Hướng dẫn giải: Ta có : d ( I, ( Q ) ) = | 2.1 − + + | 22 + ( −1) + 12 = Gọi r bán kính đường trịn giao tuyến (S) mặt phẳng (Q) Ta có diện tích đường tròn giao tuyến 20 = r r = Gọi R bán kính mặt cầu (S) cần tìm 5 Theo giả thiết: R = d ( I, ( Q ) ) + r = + Vậy (S): ( x − 1) + y + ( z − 1) = 2 ( ) = 330 110 Chọn B Dạng 7: Phương trình mặt cầu biết tâm thuộc đường thẳng thỏa mãn điều kiện cho trước Phương pháp giải: Bước 1: Rút tọa độ tâm I theo đường thẳng d cho trước x = x + at Giả sử điểm I tâm mặt cầu đường thẳng d có phương trình d : y = y + bt z = z + ct Khi I d ta có I(x0 + at;y0 + bt;z0 + ct) Bước 2: Dựa vào u cầu tốn lập phương trình theo biến t để giải Tọa độ tâm I Bước 3: Xác định bán kính R mặt cầu Bước 4: Viết phương trình mặt cầu (S) x = t Ví dụ 10: Viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I thuộc đường thẳng : y = −1 z = − t (S) tiếp xúc với hai mặt phẳng ( ) : x + 2y + 2z + = ( ) : x + 2y + 2z + = 4 2 B ( x − 3) + ( y − 1) + ( z + 3) = 2 C ( x + 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = 2 D ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = Hướng dẫn giải: A ( x + 3) + ( y + 1) + ( z − 3) = 2 Do I thuộc d nên tâm mặt cầu có tọa độ dạng I (t; -1; -t) Khi (S) tiếp xúc với (P), (Q) nên khoảng cách từ I tới (P), (Q) bán kính mặt cầu d ( I; ( P ) ) = d ( I; ( Q ) ) t + 2.( −1) + 2.( − t ) + 12 + 22 + 22 t + 2.( −1) + 2.( − t ) + = 12 + 22 + 22 =R −t + = −t + Hay − t + = − t + t = I (3; -1; -3) −t + = t − Thay vào phương trình khoảng cách ta R = ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + 3) = 2 Vậy phương trình mặt cầu: Chọn D III BÀI TẬP ÁP DỤNG Câu : Mặt cầu ( S) : ( x − 1) + ( y + ) + z = có tâm I : A I (1 ; -2 ; 0) B I (-1 ; ; 0) C I (1 ; ; 0) D I (-1 ; -2 ; 0) Câu : Mặt cầu (S) : x + y2 + z − 8x + 2y + = có tâm I : A I (8 ; -2 ; 0) B I (-4 ; ; 0) C I (-8 ; ; 0) D I (4 ; -1 ; 0) Câu : Mặt cầu (S) : x + y2 + z2 − 4x + = có tọa độ tâm I bán kính R : A I (2; 0; 0), R = B I (2; 0; 0), R = C I (0; 2; 0), R = D I (-2; 0; 0), R = Câu 4: Phương trình sau phương trình mặt cầu? A x + y + z − 2x = B x + y − z + 2x − y + = C 2x + 2y = ( x + y ) − z + 2x − D ( x + y ) = 2xy − z − Câu 5: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, giả sử tồn mặt cầu (S) có phương trình x + y + z − 4x + 8y − 2az + 6a = Nếu (S) có đường kính 12 a nhận giá trị nào? a = −2 A a = a = B a = −8 a = −2 C a = a = D a = −4 Câu 6: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz Mặt cầu tâm I (1; 3; 2), bán kính R = có phương trình A (x − 1) + (y − 3) + (x − 2) = B (x − 1) + (y − 3) + (x − 2) = 16 C (x − 1) + (y − 3) + (x − 2) = 16 D (x − 1) + (y − 3) + (x − 2) = Câu 7: Trong không gian Oxyz cho A (-2; 1; 0), B (2; -1; 2) Viết phương trình mặt cầu (S) có đường kính AB A (S) : x + y + (z − 1) = 24 B (S) : x + y2 + (z − 1)2 = C (S) : x + y + (z − 1) = D (S) : x + y2 + (z − 1)2 = 24 Câu 8: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; -3) qua A (1; 0; 4) A ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 53 2 B ( x − 1) + ( y − ) + ( z + 3) = 53 2 C ( x + 1) + ( y + ) + ( z − 3) = 53 2 D ( x + 1) + ( y + ) + ( z + 3) = 53 2 Câu 9: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; 1) tiếp xúc với mặt phẳng (P): x – 2y – 2z – = A ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 B ( x + 1) + ( y − ) + ( z − 1) = 2 C ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 D ( x + 1) + ( y − ) + ( z + 1) = 2 Câu 10: Trong không gian Oxyz, mặt cầu (S) : x + y2 + z2 − 2x + 4y − = cắt mặt phẳng (P): x + y – z + = theo giao tuyến đường trịn (C) Tính diện tích S hình trịn giới hạn (C) A S = 6 B S = 2 78 C S = 26 D S = 6 Câu 11: Viết phương trình mặt cầu (S) qua hai điểm A (2; 6; 0), B (4; 0; 8) có x −1 y z + tâm thuộc d : = = −1 2 2 2 32 58 44 A x − + y + + z + = 932 3 3 244 2 B ( x − 1) + y + ( z + ) = 32 58 44 C x + + y − + z − = 932 3 3 D ( x − 3) + ( y + 1) + ( z + ) = 932 2 ĐÁP ÁN Câu Đáp án A D A A A B C B B 10 A 11 D ... 2: Viết phương trình mặt cầu biết tâm bán kính Phương pháp giải: Bước 1: Xác định tâm I (a; b; c) Bước 2: Xác định bán kính R (S) Bước 3: Thế vào phương trình (S): Dạng phương trình mặt cầu (S)... phẳng (P) nên bán kính mặt cầu R = d ( A; ( P ) ) = | 2.2 − + 2.1 + 1| + ( −1) + 2 = 2 Vậy phương trình mặt cầu : ( x – ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 2 Chọn A Dạng 4: Viết phương trình mặt cầu biết tâm... viết phương trình mặt cầu tâm I bán kính R tính phía Ví dụ 6: Trong khơng gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A (2; 1; 1) mặt phẳng (P): 2x – y + 2z + = Phương trình mặt cầu tâm A tiếp xúc với mặt