Nguyên hàm và cách giải bài tập cơ bản A LÝ THUYẾT 1 Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số f(x) xác định trên K Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K nếu ( ) ( )F'''' x f x= với mọi x thuộc[.]
Nguyên hàm cách giải tập A LÝ THUYẾT Khái niệm nguyên hàm - Cho hàm số f(x) xác định K Hàm số F(x) gọi nguyên hàm hàm số f(x) K F' ( x ) = f ( x ) với x thuộc K F'(x) = f (x) , x K Định lí: 1) Nếu F(x) nguyên hàm f(x) K với số C, hàm số G ( x ) = F ( x ) + C nguyên hàm f(x) K 2) Nếu F(x) nguyên hàm hàm số f(x) K nguyên hàm f(x) K có dạng F ( x ) + C , với C số Do F ( x ) + C,C họ tất nguyên hàm f(x) K Tính chất nguyên hàm - Nếu F(x) có đạo hàm thì: d ( F(x) ) = F(x) + C - kf ( x ) dx = k f ( x ) dx với k số khác - f ( x ) g ( x ) dx = f ( x ) dx g ( x ) dx Sự tồn nguyên hàm Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục K có nguyên hàm K Bảng nguyên hàm hàm số thường gặp 0dx = C x dx = +1 x + C ( −1) +1 1 dx = − +C x x x dx = ln x + C ex dx = ex + C dx = x + C ( ax + b ) 16 ( ax + b ) dx = a +1 x2 17 xdx = +C 18 dx ax + b = a ln ax + b + c 19 eax + bdx = eax + b + C a +1 + c, −1 a kx + b dx = +C k ln a ax a dx = +C ln a 20 a cos xdx = sin x + C 21 cos ( ax + b ) dx = sin ( ax + b ) + C a sin xdx = − cos x + C 22 sin ( ax + b ) dx = − cos ( ax + b ) + C a 10 tan x.dx = − ln | cos x | +C 23 tan ( ax + b ) dx = − ln cos ( ax + b ) + C a 11 cot x.dx = ln | sin x | +C 24 cot ( ax + b ) dx = ln sin ( ax + b ) + C a x 12 1 25 cos ( ax + b ) dx = a tan ( ax + b ) + C dx = − cot x + C sin x 26 sin ( ax + b ) dx = − a cot ( ax + b ) + C 27 1 + tan ax + b dx = tan ( ax + b ) + C ( ) ( ) a x 14 (1 + tan x ) dx = tan x + C 15 dx = tan x + C cos 13 kx + b (1 + cot x ) dx = −co t x + C 2 1 2 28 (1 + cot ( ax + b ) ) dx = − co t ( ax + b ) + C a B CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức nguyên hàm nêu phần lý thuyết để giải toán sau Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) D Ví dụ Cho hàm số f (x) = x + Khẳng định sau đúng? x3 + 3x + C A f (x)dx = x + 3x + C B f (x)dx = C f (x)dx = x + 3x + C D f (x)dx = 2x + C Lời giải x3 f (x)dx = ( x + 3)dx = x dx + 3 dx = + 3x + C 2 Chọn B Bài tốn 2: Tìm F(x) nguyên hàm hàm f(x) D x −3 + Hỏi F(x) nguyên hàm hàm số Ví dụ Cho F ( x ) = ln x + 12 đây? x −9 x + C f ( x ) = x − 12 A f ( x ) = x −9 x + D f ( x ) = x + 12 B f ( x ) = Lời giải Ta có: 1 x − F' ( x ) = ln + x + 12 1 1 = ln x − − ln x + + 12 6 = − ln x + + ln x − ( ) 6( ) 12 1 1 (x + 3) − (x − 3) = − +0= x −3 x +3 (x + 3)(x − 3) = = 6(x − 9) x − Chọn A Bài toán 3: Xác định nguyên hàm hàm số với điều kiện cho trước Ví dụ Cho hàm số f(x) thỏa mãn f ' ( x ) = − 5sin x f ( ) = 10 Mệnh đề đúng? A f ( x ) = 3x + 5cos x + B f ( x ) = 3x + 5cos x + D f ( x ) = 3x − 5cos x + 15 C f ( x ) = 3x − 5cos x + Lời giải Ta có f ( x ) = f ' ( x ) dx = ( − 5sin x ) dx = 3 dx − 5 s inxdx = 3x − 5(− cos x ) + C = 3x + 5cos x + C Do f ( ) = 10 nên 3.0 + 5cos0 + C = 10 + C = 10 C = Vậy f ( x ) = 3x + 5cos x + Chọn A Bài toán 4: Tìm giá trị tham số để F(x) nguyên hàm f(x) Ví dụ Cho kết (x + 2x ) dx có dạng a b x + x + C , a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: B A C D 32 Lời giải Theo đề, ta cần tìm (x + 2x ) dx Sau đó, ta xác định giá trị a Ta có: (x 1 + 2x ) dx = x 2dx + x 3dx = x + x + C Suy để (x + x ) dx có dạng a b x + x + C a = 1, b = Chọn B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Nguyên hàm hàm số f (x) = x + x A x + x + C B 3x + + C C x + x + C D x + x + C Câu Nguyên hàm f ( x ) = x − x + x là: A 4 x − x3 + x + C B 4 x − x + x +C 3 C x − x3 + x + C D 3 x − x + x +C 3 Câu Nguyên hàm f ( x ) = + + là: x x A x + 3 x + 3x + C C x + 3 x + 3x + C B x + D 43 x + 3x + C x + x + 3x + C Câu Hàm số f ( x ) có nguyên hàm K nếu: A f ( x ) xác định K B f ( x ) có giá trị lớn K C f ( x ) có giá trị nhỏ K D f ( x ) liên tục K Câu Mệnh đề sau sai? A Nếu F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a;b ) C số f ( x ) dx = F ( x ) + C B Mọi hàm số liên tục ( a;b ) có nguyên hàm ( a;b ) C F ( x ) nguyên hàm f ( x ) ( a;b ) F ( x ) = f ( x ) , x ( a;b ) D ( f ( x ) dx ) = f ( x ) Câu Gọi F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = 4x + ( m − 1) x + m + , với m tham số thực Tìm nguyên hàm f ( x ) biết F (1) = F ( ) = A F ( x ) = x + 2x + 6x + B F ( x ) = x + 6x + C F ( x ) = x + 2x + D Đáp án A B Câu Họ nguyên hàm I = ex dx là: A 2e x + C B e x C e2x + C D e x + C Câu Cho ( ( 2a + 1) x + bx ) dx , a, b hai số hữu tỉ Biết ( ( 2a + 1) x 3 + bx ) dx = x + x + C Giá trị a, b bằng: A 1; B 3; C − ; D 2; Câu Tính (2 + e3x )2 dx A 3x + e3x + e6x + C B 4x + e3x + e6x + C C 4x + e3x − e6x + C D 4x + e3x + e6x + C Câu 10 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x – 3x + x x 3x A − − ln x + C x 3x B − + ln x + C x 3x C − + ln x + C x 3x D + + ln x + C 1 Câu 11 Nguyên hàm hàm số y = 3x − ; + là: 3 A x −x+C B ( 3x − 1) C x −x +C D ( 3x − 1) 3 +C +C Câu 12 Hàm số F(x) = e x + e − x + x nguyên hàm hàm số sau ? A f (x) = e − x + e x + 1 B f (x) = e x − e− x + x 2 C f (x) = e x − e − x + 1 D f (x) = e x + e− x + x 2 Câu 13 Tính 22x.3x.7 x dx 84 x A +C ln 84 22x.3x.7 x B +C ln 4.ln 3.ln C 84x + C D 84x ln84 + C Câu 14 Tính (x − 3x + )dx x A x − 3x + ln x + C x3 B − x + ln x + C x3 C − x + +C x x3 D − x + ln | x | +C 3 Câu 15 Tính 2x +1 dx A 2x +1 +C ln B 2x +1 + C C 3.2x +1 +C ln D 2x +1.ln + C x3 − Câu 16 Tìm nguyên hàm F(x) f (x) = biết F(1) = x x2 1 A F(x) = − + x x2 B F(x) = + + x x2 1 C F(x) = − − x x2 D F(x) = + − x Câu 17 Tìm hàm số F(x) biết F’(x) = 4x3 – 3x2 + F(-1) = A F ( x ) = x – x − 2x − B F ( x ) = x – x +2x + C F ( x ) = x – x − 2x + D F ( x ) = x + x + 2x + Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = : + x x A x + 3ln x + C B x + 3ln x + C ( C x ) −1 + 3ln x + C Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = D 16 x − 3ln x + C : 3x − A ln 3x − + C B −1 ln 3x − + C C −1 ln 3x − + C D ln 3x − + C Câu 20 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = e x − e − x : A e x + e− x + C B e x − e− x + C C −e x + e− x + C D e x + e x + C Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 32x − −3x : A 32x 2−3x + +C 2.ln 3.ln B 32x 2−3x − +C 2.ln 3.ln C 3−2x 23x + +C 2.ln 3.ln D 3−2x 23x − +C 2.ln 3.ln 2 x2 + Câu 22 Nguyên hàm F(x) hàm số f (x) = hàm số x hàm số sau? x3 A F(x) = − + 2x + C x x3 B F(x) = + + 2x + C x x3 +x +C C F(x) = x2 x3 +x D F(x) = +C x Câu 23 Nguyên hàm F ( x ) hàm số f ( x ) = 2x + x − thỏa mãn điều kiện F ( ) = là: x4 x + − 4x A 2x − 4x B C x3 − x + 2x D Đáp án khác Câu 24 Biết F(x) nguyên hàm hàm số bao nhiêu: F(2) = Khi F(3) x −1 A e + ln B C ln D ln 2e Câu 25 Hàm số f ( x ) có nguyên hàm K A f ( x ) xác định K B f ( x ) có giá trị lớn K C f ( x ) có giá trị nhỏ K D f ( x ) liên tục K Câu 26 Cho hai hàm số f (x),g(x) hàm số liên tục, có F(x),G(x) nguyên hàm f (x),g(x) Xét mệnh đề sau: (I): F(x) + G(x) nguyên hàm f (x) + g(x) (II): k.F ( x ) nguyên hàm kf ( x ) ( k R ) (III): F(x).G(x) nguyên hàm f (x).g(x) Mệnh đề mệnh đề ? A I B I II C I, II, III D II Câu 27 Trong khẳng định sau khẳng định sai? A 0dx = C ( C số) C x dx = +1 x + C ( C số) +1 B x dx = ln x + C ( C số) D dx = x + C ( C số) 1 Câu 28 3x − x dx bằng: 3x ln A − x +C ln 3 3x B − x +C ln 3 ln 9x − − 2x + C C x 2ln 2.9 ln D x 9 + x 2ln − 2x + C Câu 29 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A F ( x ) = x nguyên hàm f ( x ) = 2x B F ( x ) = x nguyên hàm f ( x ) = x C Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F ( x ) − G ( x ) = C (hằng số) D f1 ( x ) + f ( x ) dx = f1 ( x ) dx + f ( x ) dx Đáp án 10 11 12 13 14 15 D A A D C B D A D C B C A D A 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 D B A D A A A D D D B C C B ... B CÁC DẠNG BÀI TOÁN HAY GẶP VÀ VÍ DỤ Phương pháp giải: Áp dụng cơng thức nguyên hàm nêu phần lý thuyết để giải toán sau Bài toán 1: Tìm nguyên hàm F(x) hàm số f(x) D Ví dụ Cho hàm số f (x)... Chọn B Bài tốn 2: Tìm F(x) nguyên hàm hàm f(x) D x −3 + Hỏi F(x) nguyên hàm hàm số Ví dụ Cho F ( x ) = ln x + 12 đây? x −9 x + C f ( x ) = x − 12 A f ( x ) = x −9 x + D f ( x ) = x + 12 B f... ) = x – x +2x + C F ( x ) = x – x − 2x + D F ( x ) = x + x + 2x + Câu 18 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = : + x x A x + 3ln x + C B x + 3ln x + C ( C x ) −1 + 3ln x + C Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số