Các bài toán thực tế ứng dụng tích phân và cách giải A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG 1 Phương pháp giải Với bài toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời của vật là v(t) thì ( ) ( )v t s t[.]
Các tốn thực tế ứng dụng tích phân cách giải A BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ VẬN TỐC, QUÃNG ĐƯỜNG Phương pháp giải Với toán chuyển động, giả sử vận tốc tức thời vật v(t) v ( t ) = s ( t ) với s(t) quãng đường Gia tốc tức thời vật: a ( t ) = v ( t ) = s ( t ) t2 Do quãng đường vật từ thời điểm t đến t S = v ( t ) dt t1 Vận tốc tức thời vật: v ( t ) = a ( t ) dt Ví dụ minh hoạ Ví dụ Một tơ chạy với vận tốc 10m/s tài xế đạp phanh; từ thời điểm đó, tơ chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -5t + 10 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, tơ cịn di chuyển mét? A 0,2 m B m C 10 m D 20 m Lời giải Nguyên hàm hàm vận tốc quãng đường s(t) mà ô tô sau quãng đường t giây kể từ lúc tài xế đạp phanh xe Vào thời điểm người lái xe bắt đầu đạp phanh ứng với t = Khoảng thời gian t kể từ lúc ô tô đạp phanh đến dừng lại -5t + 10 = → t = (s) Vậy từ lúc đạp phanh đến dừng lại quãng đường ô tô −5 s = (-5t +10)dt = t + 10t 0 −5 −5 = 22 + 10.2 − 02 + 10.0 = 10(m) Chọn C Ví dụ Một vật chuyển động với vận tốc đầu 0, vận tốc biến đổi theo quy luật, có gia tốc a = 0,3 (m/s2) Xác định quãng đường vật 40 phút A 12000m B 240 m C 864000 m D 3200 m Phân tích Biểu thức gia tốc đạo hàm biểu thức vận tốc, đến đây, kết hợp với ví dụ đầu ta kết luận: “Biểu thức gia tốc đạo hàm cấp biểu thức vận tốc, đạo hàm cấp hai biểu thức quãng đường” Từ ta có lời giải: Lời giải Đổi 40 phút = 2400s Ta có v(t ) = 0,3dt = 0, 3t (do ban đầu vận tốc vật 0) Vậy quãng đường vật 40 phút là: 2400 S= 2400 0,3 0,3tdt = t 0,3 0,3 24002 − = 864000 (m) 2 Chọn C = Bài tập tự luyện Câu Một vật chuyển động với vận tốc thay đổi theo thời gian tính cơng thức v(t) = 3t + 2, thời gian tính theo đơn vị giây, quãng đường vật tính theo đơn vị m Biết thời điểm t = 2s vật quãng đường 10m Hỏi thời điểm t = 30s vật quãng đường bao nhiêu? A 1410 m B 1140 m C 300 m D 240 m Câu Một tàu lửa chạy với vận tốc 200 m/s người lái tàu đạp phanh; từ thời điểm đó, tàu chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = 200 – 20t (m/s) Trong t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi thời gian tàu quãng đường 750 m (kể từ lúc bắt đầu đạp phanh) giây so với lúc tàu dừng hẳn? A s B s C 15 s D 10 s Câu Giả sử vật từ trạng thái nghỉ t = (s) chuyển động thẳng với vận tốc v(t) = t(5 - t) (m/s) Tìm quãng đường vật dừng lại A 125 (m) 12 B 125 (m) C 125 (m) D 125 (m) Câu Một người xe đạp dự định buổi sáng hết quãng đường 60 km Khi quãng đường, thấy vận tốc vận tốc dự định, đạp nhanh vận tốc dự định 3km/h, đến nơi chậm 45 phút Hỏi vận tốc dự định người xe đạp bao nhiêu? A km/h B 12 km/h C km/h D 18 km/h Câu Một ôtô chạy với vận tốc 10 m/s người lái đạp phanh; từ thời điểm đó, ôtô chuyển động chậm dần với vận tốc v = -5t + 15 (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh Hỏi từ lúc đạp phanh đến dừng hẳn, ơtơ cịn di chuyển mét? A 20m B 10 m C 22,5m D 5m Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = 2t − t + , t tính giây S tính mét Gia tốc chuyển động t = 2s là: A 63 m/s2 B 64 m/s2 C 23 m/s2 D 24 m/s2 + (t t tính giây, S tính mét) Vận tốc chuyển động thẳng t = 2s là: Câu Cho vật chuyển động có phương trình là: S = 2t − A m/s B 49 m/s C 12 m/s D 47 m/s Câu Cho chuyển động thẳng xác định phương trình S = 2t − t + , t tính giây S tính mét Vận tốc chuyển động t = s là: A 24 m/s B 23 m/s C m/s D m/s Câu Một ôtô chạy đường với vận tốc tăng dần với vận tốc v = 10t (m/s), t khoảng thời gian tính giây, kể từ lúc bắt đầu chạy Hỏi quãng đường xe phải từ lúc xe bắt đầu chạy đến đạt vận tốc 20 (m/s)? A 10m B 20m C 30m D 40m Câu 10 Một ôtô chạy với vận tốc 19m/s người lái hãm phanh, ôtô chuyển động chậm dần với vận tốc v(t) = -38t + 19 (m/s), t khoảng thời gian tính giây kể từ lúc bắt đầu hãm phanh Hỏi từ lúc hãm phanh đến dừng hẳn, ơtơ cịn di chuyển mét? A 4,75m B 4,5m C 4,25m D 5m Câu 11 Một ô tô chạy với vận tốc 15 m/s phía trước xuất chướng ngại vật nên người lái đạp phanh gấp Kể từ thời điểm đó, ô tô chuyển động chậm dần với gia tốc -a m/s2 Biết ô tô chuyển động thêm 20 m dừng hẳn Hỏi a thuộc khoảng đây: A (3;4) B (4;5) C (5;6) D (6;7) Câu 12 Một ô tô bắt đầu chuyển động nhanh dần với vận tốc v1 ( t ) = 7t ( m/s ) Đi s, người lái xe phát chướng ngại vật phanh gấp, ô tô tiếp tục chuyển động chậm dần với gia tốc a = −70 ( m/s ) Tính quãng đường S (m) ô tô từ lúc bắt đầu chuyển bánh dừng hẳn A S = 87,50 ( m ) B S = 94,00 ( m ) C S = 95,70 ( m ) D S = 96, 25 ( m ) Câu 13 Một viên đạn bắn theo phương thẳng đứng với vận tốc ban đầu 29,4 m/s Gia tốc trọng trường 9,8 m/s2 Tính quãng đường S viên đạn từ lúc bắn lên chạm đất A S = 88,2 (m) B S = 88,5 (m) C S = 88 (m) D S = 89 (m) Câu 14 Một chất điểm chuyển động với vận tốc vo = 15 m/s tăng vận tốc với gia tốc a (t ) = t + t (m/s2) Tính quãng đường chất điểm khoảng thời gian giây kể từ lúc bắt đầu tăng vận tốc A 68,25 m B 70,25 m C 69,75 m D 67,25 m Câu 15 Một vật chuyển động với vận tốc v (km/h) phụ thuộc thời gian t (h) có đồ thị vận tốc hình Trong khoảng thời gian kể từ bắt đầu chuyển động, đồ thị phần đường parabol có đỉnh I(2; 9) trục đối xứng song song với trục tung, khoảng thời gian lại đồ thị đoạn thẳng song song với trục hồnh Tính qng đường s mà vật di chuyển (kết làm trịn đến hàng phần trăm) A s = 23,25 (km) B s = 21,58 (km) C s = 15,50 (km) D s = 13,83 (km) Đáp án 10 11 12 13 14 15 A A D B C D B C B A C A A C B B BÀI TOÁN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH Phương pháp giải + Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x) liên tục, trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b tính theo công thức b S = f ( x ) dx (1) a + Cho hai hàm số y = f(x) y = g(x) liên tục đoạn [a; b] Khi diện tích S hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); y = g(x) b hai đường thẳng x = a, x = b S = f ( x ) − g ( x ) dx a Ví dụ minh hoạ Ví dụ Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/1m2 Hỏi ông An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn.) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng Lời giải Nhận thấy tốn áp dụng ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên: Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp lần diện tích phần gạch chéo, ta cần tìm diện tích phần gạch chéo x y2 Gọi phương trình elip là: + = a b Theo ta có: 2a = 16; 2b = 10 suy a = 8; b = x y2 Ta có phương trình đường elip cho + = Xét 0;4 nên y nên ta có: y = − x2 8 − x dx Khi Scheo = Vậy diện tích trồng hoa ơng An mảnh đất là: S = 4. 82 − x dx 76,5289182 Lưu ý: Để giải S: Cách 1: Sử dụng máy tính cầm tay Cách 2: Dùng cách đổi biến số: đặt x = 8sint với t [ − ; ] dx = 8costdt 2 Đổi cận: t= x = sin t = t = x = sin t = Khi đó: − (8sin t) 8cos tdt = 20 82 (1 − sin t) cos tdt 0 S = 4 0 = 20 cos t cos tdt = 160 cos tdt = 160 (1 + cos 2t)dt = 80(x + sin 2t) 2 0 = 80( + sin ) − 80(0 + sin 0) = 80( + ) 6 (Do t [0; ] cost > 0) Khi số kinh phí phải trả ơng An 76,5289182.100000 7.653.000 đồng Chọn B Ví dụ Ơng An muốn làm cửa rào sắt có hình dạng kích thước hình vẽ bên, biết đường cong phía Parabol Giá (m2) rào sắt 700.000 đồng Hỏi ông An phải trả tiền để làm cửa sắt (làm trịn đến hàng phần nghìn) 2m 1,5m 5m A 6.520.000 đồng B 6.320.000 đồng C 6.417.000 đồng D 6.620.000 đồng Lời giải Chọn hệ trục tọa độ hình vẽ Trong A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) Giả sử đường cong Parabol có dạng y = ax + bx + c , với a, b, c Do Parabol qua điểm A(-2,5; 1,5), B(2,5; 1,5), C(0; 2) nên ta có hệ phương trình: -2 a.(-2,5) + b.(-2,5) + c = 1,5 a = 25 a.(2,5) + b.(2, 5) + c = 1, b = c=2 c = Khi phương trình Parabol y = −2 x + 25 Diện tích S cửa rào sắt diện tích phần hình phẳng giới đồ thị hàm số −2 y= x + , trục hoành hai đường thẳng x = -2,5; x = 2,5 25 Ta có : 2,5 x3 2 S = − x + dx = − + 2x 25 25 −2,5 −2,5 2,5 2,53 (−2,5)3 55 = − + 2.2,5 − − + 2.(−2,5) = 25 25 Vậy ông An phải trả số tiền 55 S.700000 = 700000 6.417.000 (đồng) Chọn C để làm cửa sắt Bài tập tự luyện Câu Một mảnh vườn hình elip có trục lớn 100m, trục nhỏ 80m Người ta thiết kế mảnh nhỏ hình thoi có bốn đỉnh bốn đỉnh eip để trồng hoa, phần lại trồng rau Biết lợi nhuận thu 5000 đồng m2 trồng rau 10.000 đồng m2 trồng hoa Hỏi thu nhập từ mảnh vườn bao nhiêu? (Kết làm trịn đến hàng nghìn) A 25.708.000 đồng B 51.416.000 đồng C 31.415.000 đồng D 17.635.000 đồng Câu Ở quảng trường thành phố A có miếng đất hình trịn đường kính 30m Trong lịng hình trịn người ta dự định trồng hoa hồng miếng hình elip có trục lớn đường kính trục bé phần ba đường kính đường trịn ( âm đường tròn elip trùng nhau), phần lại làm hồ Biết chi phí để trồng 1m2 hoa hồng 500.000 đồng, chi phí làm 1m2 hồ 2.000.000 đồng Hỏi thành phố phải bỏ chi phí bao nhiêu? (Kết làm trịn đến hàng nghìn) A 706.858.000 B 514.160.000 C 1.413.717.000 D 680.340.000 Câu Một mảnh vườn hình elip có trục lớn 100 m , trục nhỏ 80m chia thành phần đoạn thẳng nối hai đỉnh liên tiếp elip Phần nhỏ trồng phần lớn trồng rau Biết lợi nhuận thu 2000 m2 trồng 4000 m2 trồng rau Hỏi thu nhập từ mảnh vườn bao nhiêu? (Kết làm trịn đến hàng nghìn) A 31.904.000 B 23.991.000 C 10.566.000 D 17.635.000 Câu Cho mảnh vườn hình chữ nhật ABCD có chiều rộng 2m, chiều dài gấp ba chiều rộng Người ta chia mảnh vườn cách dùng hai đường parabol, đường parabol có đỉnh trung điểm cạnh dài qua hai mút canh dài đối diện Tính tỉ số diện tích phần mảnh vườn nằm miền hai parabol với diện tích phần cịn lại A B 3 C D 2+3 Câu Ơng An có mảnh vườn hình elip có độ dài trục lớn 16m độ dài trục bé 10m Ông muốn trồng hoa dải đất rộng 8m nhận trục bé elip làm trục đối xứng (như hình vẽ) Biết kinh phí để trồng hoa 100.000 đồng/m2 Hỏi ơng An cần tiền để trồng hoa dải đất đó? (Số tiền làm trịn đến hàng nghìn) A 7.862.000 đồng B 7.653.000 đồng C 7.128.000 đồng D 7.826.000 đồng 8m Câu Trên cánh đồng cỏ có hai bò cột vào hai cọc khác Biết khoảng cách hai cọc mét hai sợi dây cột hai bò dài mét mét Tính phần diện tích mặt cỏ lớn mà hai bị ăn chung (lấy giá trị gần nhất) A 1,034 m2 B 1,574 m2 C 1,989 m2 D 2,824 m2 Câu Cho đường trịn có đường kính đường Elip nhận đường kính vng góc đường tròn làm trục lớn, trục bé Elip Diện tích S phần hình phẳng bên đường trịn bên ngồi Elip (phần gạch carơ hình vẽ) gần với kết kết đây? A S = 4,8 B S = 3,9 C S = 3,7 D S = 3,4 Câu Một cổng chào có dạng hình parabol chiều cao 18m chiều rộng chân đế 12m Người ta căng hai sợi dây trang trí AB, CD nằm ngang đồng thời chia hình giới hạn parabol mặt đất thành ba phần có diện tích (xem hình AB vẽ bên) Tỉ số bằng? CD A B 18 m D C 12 m A C B D 1+ 2 Câu Trong Cơng viên Tốn học có mảnh đất mang hình dáng khác Mỗi mảnh trồng lồi hoa tạo thành đường cong đẹp tốn học Ở có mảnh đất mang tên Bernoulli, tạo thành từ đường Lemmiscate có phương trình hệ tọa độ Oxy 16y2 = x ( 25 − x ) hình vẽ Tính diện tích S mảnh đất Bernoulli biết đơn vị hệ tọa độ Oxy tương ứng với chiều dài mét y x A S = 125 m2 ) ( B S = 125 m2 ) ( C S = 250 m2 ) ( D S = 125 m2 ) ( Câu 10 Bác Năm làm cửa nhà hình parabol có chiều cao từ mặt đất đến đỉnh 2,25 mét, chiều rộng tiếp giáp với mặt đất mét Giá thuê mét vuông 1500000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33.750.000 đồng B 12.750.000 đồng C 6.750.000 đồng D 3.750.000 Đáp án 10 B B B D B C C C D C C BÀI TỐN THỰC TẾ TÍNH THỂ TÍCH Phương pháp giải a) Thể tích vật thể Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; S(x) diện tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm a a ≤ x ≤ b Giả sử S(x) hàm số liên tục đoạn [a; b b] Thể tích B là: V = S ( x ) dx a b) Thể tích khối trịn xoay Cho hàm số y = f(x) liên tục; không âm [a; b] Hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f(x); trục hoành hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục b Ox tạo nên khối trịn xoay Thể tích là: V = f ( x ) dx a - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường x = g(y), trục tung hai đường thẳng y = c; y = d quay quanh trục Oy d là: V = g ( y ) dy c - Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f(x); y = g(x) hai đường thẳng x = a; x = b quay quanh trục Ox: b V = f ( x ) − g ( x ) dx a Ví dụ minh hoạ Ví dụ: Một đồng hồ cát hình vẽ, gồm hai phần đối xứng qua mặt nằm ngang đặt hình trụ Thiết diện thẳng đứng qua trục hai parabol chung đỉnh đối xứng qua mặt nằm ngang Ban đầu lượng cát dồn hết phần đồng hồ chiều cao h mực cát chiều cao bên (xem hình) Cát chảy từ xuống với lưu lượng không đổi 2.90 cm3/phút Khi chiều cao cát cịn 4cm bề mặt cát tạo thành đường tròn chu vi 8π cm (xem hình) Biết sau 30 phút cát chảy hết xuống phần bên đồng hồ Hỏi chiều cao khối trụ bên cm ? A 8cm B 12cm C 10cm D 9cm Lời giải Xét thiết diện chứa trục theo phương thẳng đứng đồng hồ cát parabol Gọi (P) đường Parabol phía Chọn hệ trục Oxy hình vẽ Đường trịn thiết diện có chu vi 8π = 2πR → R = Do (P) có đỉnh O(0; 0) nên phương trình (P) : y = ax (P) qua A(4; 4) nên ta có: = a.42 a = Vậy phương trình (P) : y = x Thể tích phần cát ban đầu thể tích khối trịn xoay sinh quay nhánh phải (P) quay quanh trục Oy lượng cát chảy thời gian 30 phút h ( ) Ta có V = y dy = 2h Lượng cát chảy 30 phút 2,9.30 = 87 (m3) Vậy V = 87 2h = 87 h = 87 2 Chiều cao hình trụ bên ngồi l = 87 10cm 2 Chọn đáp án C Bài tập tự luyện Câu Một đào hình cầu có đường kính 6cm Hạt khối trịn xoay sinh hình Elip quay quanh đường thẳng nối hai tiêu điểm F1, F2 Biết tâm Elip trùng với tâm khối cầu độ dài trục lớn, trục nhỏ a 4cm, 2cm Thể tích phần cùi (phần ăn được) đào (cm3) với a, b b a số thực tối giản, a - b b A 97 B 36 C D 103 55 Người ta cắt miếng tơn theo đường hình sin hình vẽ bên để hai miếng tơn nhỏ Biết AM = 20cm, CN = 15cm, BE = 5πcm Tính thể tích lọ hoa tạo thành cách quay miếng tôn lớn quanh trục AD (kết làm trịn đến hàng trăm) Câu Từ tơn hình chữ nhật ABCD với AB = 30cm, AD = A 81 788 cm3 B 87 388 cm3 C 83 788 cm3 D 883 cm3 Câu Một bồn hình trụ chứa dầu, đặt nằm ngang, có chiều dài bồn 5m, có bán kính đáy 1m, với nắp bồn đặt mặt nằm ngang mặt trụ Người ta rút dầu bồn tương ứng với 0,5m đường kính đáy Tính thể tích gần khối dầu lại bồn (theo đơn vị m ) A 11,781 m B 12,637 m C 114,923 m3 D 8,307 m3 Câu Một Bác thợ gốm làm lọ có dạng khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đường y = x + trục Oxquay quanh trục Ox biết đáy lọ miệng lọ có đường kính dm dm, thể tích lọ là: A 8 dm2 C 14 dm B 15 dm3 D 15 dm Câu Trong chương trình nơng thơn mới, xã X có xây cầu bê tơng hình vẽ Tính thể tích khối bê tơng để đổ đủ cầu (Đường cong hình vẽ đường Parabol) 0,5m 2m 5m 0,5m A 19m3 19m B 21m3 0,5m C 18m3 D 40m3 Câu Người ta dựng lều vải (H) có dạng hình “chóp lục giác cong đều” hình vẽ bên Đáy (H) hình lục giác cạnh 3m Chiều cao SO = 6m (SO vng góc với mặt phẳng đáy) Các cạnh bên (H) sợi dây c1,c2 ,c3 ,c4 ,c5 ,c6 nằm đường parabol có trục đối xứng song song với SO Giả sử giao tuyến (nếu có) (H) với mặt phẳng (P) vng góc với SO lục giác (P) qua trung điểm SO lục giác có cạnh 1m Tính thể tích phần khơng gian nằm bên lều (H) S c6 c1 1m c5 c4 c2 c3 O 3m A 135 (m ) B 96 (m3 ) C 135 (m3 ) D 135 (m ) Câu Một khối cầu có bán kính dm, người ta cắt bỏ hai phần khối cầu hai mặt phẳng song song vng góc đường kính cách tâm khoảng dm để làm lu đựng nước (như hình vẽ) Tính thể tích mà lu chứa A 100 ( dm ) B 43 ( dm ) C 41 ( dm3 ) D 132 ( dm3 ) Câu Bổ dọc dưa hấu ta thiết diện hình elip có trục lớn 28cm, trục nhỏ 25cm Biết 1000cm3 dưa hấu làm cốc sinh tố giá 20.000 đ Hỏi từ dưa thu tiền từ việc bán nước sinh tố? (Biết bề dày vỏ dưa khơng đáng kể, kết quy trịn) A 183.000 đ B 180.000 đ C 185.000 đ D 190.000 đ Đáp án A C B B D D D A ... thuê mét vuông 1500 000 đồng Vậy số tiền bác Năm phải trả là: A 33. 750. 000 đồng B 12. 750. 000 đồng C 6. 750. 000 đồng D 3. 750. 000 Đáp án 10 B B B D B C C C D C C BÀI TỐN THỰC TẾ TÍNH THỂ TÍCH Phương... giải Nhận thấy toán áp dụng ứng dụng tích phân vào tính diện tích hình phẳng Ta có hình vẽ bên: Ta thấy, diện tích hình phẳng cần tìm gấp lần diện tích phần gạch chéo, ta cần tìm diện tích phần gạch... (km) B s = 21,58 (km) C s = 15 ,50 (km) D s = 13,83 (km) Đáp án 10 11 12 13 14 15 A A D B C D B C B A C A A C B B BÀI TỐN THỰC TẾ VỀ DIỆN TÍCH Phương pháp giải + Diện tích S hình phẳng giới hạn đồ