50 bài toán về phương trình lôgarit (có đáp án 2022) – toán 12

PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I LÝ THUYẾT a Phương trình lôgarit cơ bản Phương trình lôgarit cơ bản có dạng alog x b= , a, b 0, a 1  Theo định nghĩa logarit ta có b alog x b x a=  = b Phương pháp gi[.]

PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT I LÝ THUYẾT a Phương trình lơgarit bản: Phương trình lôgarit bản có dạng: log a x = b , a, b  0, a  Theo định nghĩa logarit ta có log a x = b  x = a b b Phương pháp giải phương trình lôgarit Biến đổi, quy số:  a 1  log a f ( x ) = log a g ( x )   f ( x ) = g ( x )  Đặt ẩn phụ:  t = log a g ( x ) f log a g ( x )  = 0(0  a  1)   f t = ( )  Mũ hóa hai vế:   g(x)  log a g ( x ) = f ( x ) (0  a  1)   f (x) g x = a ( )   Giải phương pháp đồ thị: Giải phương trình: log a x = f ( x ) (  a  1) ( *) Xem phương trình (*) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị y = loga x (  a  1) y = f ( x ) Khi đó ta thực hai bước: Bước Vẽ đồ thị hàm số y = loga x (  a  1) y = f ( x ) Bước Kết luận nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Sử dụng đánh giá II CÁC DẠNG BÀI VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Phương trình loogarit bản A Phương pháp giải Xét phương trình lôgarit bản: log a f (x) = b , a, b  0, a  Bước 1: Nêu điều kiện để f(x) có nghĩa Bước 2: Giải phương trình log a f (x) = b  f (x) = a b Bước 3: Kết luận nghiệm phương trình B Ví dụ minh họa Câu 1: Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x − ) = A S = 16 B S = 18 C S = 10 D S = 14 Hướng dẫn giải Chọn B Ta có  x −  x  x  log ( x − ) =      x = 18   2 x = 18 log x − = log x − = ( )    Vậy tập nghiệm phương trình S = {18} Câu 2: Số nghiệm phương trình log ( x − 1) = A B C D số khác Hướng dẫn giải Chọn A x x Điều kiện x  x = 11 2 Ta có log ( x − 1) = = log102  ( x − 1) = 100   (thỏa mãn)  x = −9 Vậy phương trình có hai nghiệm Câu 3: Số nghiệm phương trình log  x ( x − 1)  = A B C Hướng dẫn giải D Chọn C Điều kiện xác định: x x – x x pt  x ( x − 1) =  x − x − =  x = −1 x = (thỏa mãn) Vậy phương trình có hai nghiệm Câu 4: Gọi x1 , x nghiệm phương trình log  x ( x + 3)  = Khi đó x1 + x bằng: A −3 B −2 C 17 D −3 + 17 Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận]  x  −3 Điều kiện:  x  log  x ( x + 3)  =  x ( x + 3) =  x + 3x − = x x 17 (thỏa mãn) 17 Vậy x1 + x = −3 [Phương pháp trắc nghiệm] Dùng chức SOLVE máy tính bỏ túi tìm nghiệm lưu nghiệm vào A B Tính A + B = – Câu 5: Gọi x1 , x nghiệm phương trình log  x ( x − 1)  = Khi đó tích x1.x bằng: A −2 B C −1 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện x  x   x1 = −1 log  x ( x − 1)  =  x − x − =    x1.x = −2 x =  Dạng Phương pháp đưa số A Phương pháp giải Xét phương trình số: log a f ( x ) = log a g ( x ) ,0  a  f (x)  Bước 1: Nêu điều kiện  g(x)  Bước Giải phương trình: log a f ( x ) = log a g ( x )  f ( x ) = g ( x ) Bước 3: So sánh với điều kiện kết luận B Ví dụ minh họa Câu 1: Tập nghiệm phương trình log ( x − 1) = log ( 2x )   A + B {2; 41} D   C − 2;1 + 1 +  D     Hướng dẫn giải Chọn A x = − x −   x  Khi đó PT  x − = 2x   Điều kiện:   x = +  2x    Đối chiếu điều kiện ta tập nghiệm phương trình + Câu 2: Cho phương trình log ( x + ) + log ( x − ) = (1) Mệnh đề đúng? x3 +   A (1)   x −  x3 − x + =   x −  C (1)    x − x + =  x +  B (1)   x − x + =  ( x + )( x − )  D (1)    x − x + = Hướng dẫn giải Chọn A  x +  Điều kiện phương trình   x −  Khi đó (1)  log5 ( x + ) − log5 ( x − ) =  log x3 + = = log x2 − x3 +  =1 x −6  x3 − x + = x3 +   Vậy phương trình cho tương đương với  x −  x3 − x + =  Câu 3: Số nghiệm phương trình ln ( x − 6x + ) = ln ( x − 3) là: A Chọn D B C Hướng dẫn giải D [Phương pháp tự luận] x  x −    Điều kiện    x  +  x 3+  x − 6x +   x  −   Khi đó, ta có: ln ( x − 6x + ) = ln ( x − 3)  x − 6x + = x −  x − 7x + 10 = x =  x = Kết hợp với điều kiện, x = giá trị cần tìm [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính ln ( X − 6X + ) − ln ( X − 3) = Ấn SHIFT CALC nhập X = (chọn X thỏa điều kiện xác định phương trình), ấn = Máy X = Ấn Alpha X Shift STO A ln ( X − 6X + ) − ln ( X − 3) Ấn AC Viết lại phương trình: =0 X−A Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn = Máy không giải nghiệm Vậy hết nghiệm Câu 4: Phương trình log ( x + 1) + log ( x + ) = có tập nghiệm tập sau đây?  1 1  B 3;  C  ;9   9 3  Hướng dẫn giải A 1;2 D 0;1 Chọn D log ( x + 1) + log ( x + ) =  log ( x + ) = log 3 + log ( x + 1)  log3 ( 4x + 5) = log3 3( 2x + 1)  4x + = 3( 2x + 1)  2x = x =  ( ) − 3.2 + =   x  x = 2 = Câu 5: Tìm tất cả giá trị thực tham số m để phương trình log3 x − log3 ( x − ) = log m có nghiệm? x A m  x B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện x  2;m  log3 x − log3 ( x − ) = log m 2m2  x = ( x − ) m  x = x.m − 2.m  x.(m − 1) = 2m  x = m −1 Vì x > nên ( m − 1) 2m 2m 2m 2 2 −20 − 0   m2 −  2 m −1 m −1 m −1 m −1 m −1  m  −1 m2    m  Kết hợp với điều kiện m > 0, ta m > Phương trình có nghiệm x  m  ,chọn đáp án A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay m = (thuộc C, D) vào biểu thức log m không xác định, loại C, D, 2 2 Thay m = (thuộc B) ta phương trình tương đương x = x − vô nghiệm Vậy chọn đáp án A Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ A Phương pháp giải Xét phương trình: f log a g ( x )  = 0(0  a  1) Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > Bước 2: Đặt t = log a g ( x ) Giải phương trình f(t) = 0, tìm t Bước 3: Thay vào phương trình: t = log a g ( x ) , tìm x Bước 4: Kết hợp với điều kiện kết luận B Ví dụ minh họa Câu 1: Nếu đặt t = log2 x thì phương trình phương trình nào? A t − 5t + = C t − 6t + = Chọn A + = trở thành − log x + log x B t + 5t + = D t + 6t + = Hướng dẫn giải Đặt t = log2 x + t + 2(5 − t) + =1 =  + t + 2(5 − t) = (5 − t)(1 + t) PT  − t 1+ t (5 − t)(1 + t)  11 − t = + 4t − t  t − 5t + = + = Khi đó Câu 2: Gọi x1 , x nghiệm phương trình + log x − log x x1.x bằng: 1 A B C D 4 Hướng dẫn giải Chọn B [Phương pháp tự luận]  x   Điều kiện:  x   x  16   t  −4 Đặt t = log2 x ,điều kiện  Khi đó phương trình trở thành: t    x =  t = −1  1 2 x1.x = + =  t + 3t + =    Vậy 4+t 2−t  t = −2  x =  [Phương pháp trắc nghiệm] 1 Dùng chức SOLVE máy tính bỏ túi tìm nghiệm Câu 3: Phương trình log5 (2x − 1) − 8log5 2x − + = có tập nghiệm là: A −1; −3 B 1;3 C 3;63 D 1;2 Hướng dẫn giải Chọn C [Phương pháp tự luận] Điều kiện : x  log52 (2x − 1) − 8log 2x − + =  log 52 (2x − 1) − 4log ( 2x − 1) + = log5 ( 2x − 1) = x =   log5 ( 2x − 1) =  x = 63 [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = 1(thuộc B, D) vào vế trái ta = vô lý, loại B, D, Thay x = −1vào log ( 2x − 1) ta log ( −3) không xác định, nên loại A Vậy chọn đáp án C Câu 4: Gọi x , x nghiệm phương trình log 22 x − 3log x + = Giá trị biểu thức P = x12 + x 22 bao nhiêu? A 20 B C 36 D 25 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện x  Giải phương trình bậc hai với ẩn log x ta được: log x = x = log 22 x − 3log x + =    log x = x =   2 2 Khi đó, P = x1 + x = + 42 = 20 Câu 5:Tìm tất cả giá trị tham số m để phương trình log 2 x + 2log x − m = có nghiệm x  A m  −1 B m  C m  D m  Hướng dẫn giải Chọn D log 2 x + 2log x − m = (1) Đặt t = log2 x , phương trình (1) trở thành: t + 2t − m =  t + 2t = m (2) Phương trình (1) có nghiệm x   phương trình (2) có nghiệm t  ( t = log x  log 2 = ) Xét hàm số y = t + 2t  y' = 2t + 2, y' =  t = −1 ( loại) Bảng biến thiên x y + + + y Từ Bảng biến thiên suy phương trình (2) có nghiệm t   m  Dạng Phương pháp mũ hóa A Phương pháp giải Xét phương trình: log a g ( x ) = f ( x ) (0  a  1) Bước 1: Đặt điều kiện g(x) > Bước 2: Giải phương trình: f x log a g ( x ) = f ( x ) (0  a  1)  g ( x ) = a ( ) Bước 3: Kết hợp với điều kiện, kết luận nghiệm  5.2x −  Câu 1: Cho x thỏa mãn phương trình log  x  = − x Giá trị biểu thức +   P = x log2 4x A P = B P = C P = Hướng dẫn giải D P = Chọn C Ta có  5.2x −  5.2 −  2x +   x   5.2 −   2x +  x log  x = − x    x   2x = −  =  x =   +2   5.2 − =   x + 2 x  x   = Vậy P = 2log2 ( 4.2) = Câu 2: Phương trình log ( 3.2x − 1) = 2x + 1có nghiệm? x A B C Hướng dẫn giải D Chọn B [Phương pháp tự luận] Điều kiện 3.2x 2x x log  2x = x = log ( 3.2 x − 1) = 2x +  3.2 x − = 22x +1  2.4 x − 3.2 x + =   x   2 =  x = −1  (thỏa mãn) Vậy phương trình cho có nghiệm [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 3x2X − 1) − 2X − = Ấn SHIFT CALC nhập X=5, ấn = Máy X=0 Ấn Alpha X Shift STO A log ( 3x2X − 1) − 2X − Ấn AC Viết lại phương trình: =0 X−A Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi X? Ấn = Máy X=-1 Ấn Alpha X Shift STO B log ( 3x2X − 1) − 2X − Ấn AC Viết lại phương trình: =0 ( X − A )( X − B ) Ấn SHIFT CALC Máy hỏi A? ẤN = Máy hỏi B? Ấn = Máy hỏi X? Ấn 1= Máy không giải nghiệm Vậy hết nghiệm Câu 3: Số nghiệm nguyên dương phương trình log ( 4x + ) = x − log ( x +1 − 3) là: A B C Hướng dẫn giải D Chọn B Điều kiện: 2x +1 −   x  log − Ta có: log ( + ) = x − log ( x x +1 4x + 4x + − 3)  log x +1 = x  x +1 = 2x −3 −3 (1) Đặt t = , t  Ta có x  t = −1(L)  t = t = 4(TM)  (1)  t + = 2t − 3t  t − 3t − =    2x = 22  x = (thỏa mãn điều kiện) Vậy nghiệm phương trình cho x = Câu 4: Tìm tất cả giá trị m để phương trình log5 ( 25x − log5 m ) = x có nghiệm A m = B m = m  C  m =  Hướng dẫn giải Chọn C Điều kiện 25x − log5 m  t =5 0 → t − t = log5 m PT  25x − log m = 5x ⎯⎯⎯ Xét g ( t ) = t − t ( 0;+ ) ta có bảng biến thiên: x D m  1   m= log m = −   PT cho có nghiệm  4    m  log m  Dạng Phương pháp hàm số, đồ thị đánh giá A Phương pháp giải Giải phương pháp đồ thị: Giải phương trình: log a x = f ( x ) (  a  1) ( *) Xem phương trình (*) phương trình hoành độ giao điểm hai đồ thị y = loga x (  a  1) y = f ( x ) Khi đó ta thực hai bước: ➢ Bước Vẽ đồ thị hàm số y = loga x (  a  1) y = f ( x ) ➢ Bước Kết luận nghiệm phương trình cho số giao điểm hai đồ thị Sử dụng tính đơn điệu hàm số: Sử dụng đánh giá B Ví dụ minh họa Câu 1: Phương trình: ln ( x + x + 1) − ln ( 2x + 1) = x − x có tổng bình phương nghiệm bằng: A B C Hướng dẫn giải Chọn B Ta có ln ( x + x + 1) − ln ( 2x + 1) = x − x  ln ( x + x + 1) − ln ( 2x + 1) = ( 2x + 1) − ( x + x + 1)  ln ( x + x + 1) + ( x + x + 1) = ln ( 2x + 1) + ( 2x + 1) Nhận xét: x + x +  0, x  2x +  0, x  D 25 Xét hàm số f ( t ) = ln t + t với t  ( 0; + ) Ta có f  ( t ) = +  0, t  ( 0; + ) , nên hàm số f ( t ) = ln t + t đồng biến t ( 0;+ ) x = Do đó f ( x + x + 1) = f ( 2x + 1)  x + x + = 2x +   x = Vậy tổng bình phương nghiệm Câu 2: Tìm tất cả giá trị m để phương trình log x − − log ( x + 1) = m có ba nghiệm phân biệt A m  B m  C m  Hướng dẫn gải: Chọn B Điều kiện: −1  x  Phương trình cho tương đương với log x − + log ( x + 1) = m D m = m 3  log ( x − ( x + 1) ) = m  x − ( x + 1) =   (*) 2 Phương trình (*) phương trình hoành độ giao điểm đồ thị hàm số m 3 f ( x ) = x − ( x + 1) đường thẳng y =   (cùng phương với trục hoành) 2 Xét hàm số f ( x ) = x − ( x + 1) xác định ( −1;2 )  ( 2; + )  x  h ( x ) = ( x − )( x + 1) = x − x − Ta có f ( x ) = x − ( x + 1) =   g ( x ) = − ( x − )( x + 1) = − x + x + −  x  Đồ thị Dựa vào đồ thị, ta thấy để phương trình (*) có ba nghiệm phân biệt m 3     max g ( x ) ( −1;2) 2 m 3     m2 2 Chọn B x − 2x + Câu 3: Cho phương trình log3 + x + = 3x có tổng tất cả nghiệm x A B C D Hướng dẫn giải Chọn B Điều kiện x  x  x − 2x + log3 + x + = 3x  log3 ( x − 2x + 1) − log x + x − 2x + − x = x log3 ( x − 2x + 1) + ( x − 2x + 1) = log x + x (*) Xét hàm số f ( t ) = log t + t với t  t  1 +  với với t  t  nên f ( t ) đồng biến với với t  Nên f  ( t ) = t ln t 1 3 Do đó: f ( x − 2x + 1) = f ( x )  x − 2x + = x  x − 3x + =  x = Khi đó tổng nghiệm phương trình III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tìm nghiệm phương trình log ( x − 1) = A x = B x = C x = D x = 10 Câu 2: Phương trình log ( x − ) = có tất cả nghiệm thực? A B C D Câu 3: Số nghiệm phương trình log2 x.log3 (2x − 1) = 2log2 x là: A B C D Câu 4: Tìm tập nghiệm S phương trình log ( x − 4x + 3) = log ( 4x − ) A S = 1 ;7 C S =   B S =   D S =  3;7 Câu 5: Số nghiệm phương trình log ( 5x ) − log 25 ( 5x ) − = là: A B C D Câu 6: Gọi x1 , x nghiệm phương trình log3 ( x − x − 5) = log3 ( 2x + ) Khi đó x1 − x bằng: A B C −2 Câu 7: Số nghiệm phương trình log ( x + 12 ) log x = là: A B C Câu 8: Giải phương trình log ( x + 1) + log ( x − 3) = D D A x =  17 B x = + 17 C x = 33 D x = Câu 9: Phương trình log (5x − 3) + log (x + 1) = có nghiệm x1 , x đó x1  x Giá trị P = 2x1 + 3x A B 14 Vậy 2x1 + 3x = 2.1 + 3.4 = 14 C D 13 Câu 10: Số nghiệm phương trình log (x + 1) − log (x − x + 1) − 2log x = là: A B C D Câu 11: Với giá trị m thì phương trình log 2+ (mx + 3) + log 2− (m + 1) = có nghiệm −1? m = m = A  B  C m  D m   m = −2  m = −1 Câu 12: Phương trình log a3 + − log 4−a = có nghiệm ? A B C D Câu 13: Tìm tất cả giá trị m để phương trình log x − − log ( x + 1) = m có ba nghiệm phân biệt A m  B m  C m  D m = Câu 14: Nếu đặt t = log2 x thì phương trình log ( 4x ) − log x = trở thành phương trình nào? A t − t − = B 4t − 3t − = C t + = D t 2t − = t + = có tích nghiệm là: Câu 15: Phương trình − ln x + ln x A e B C e D e Câu 16: Nghiệm lớn phương trình − log x + 2log x = − log x : A 100 B C 10 D 1000 x x Câu 17: Nếu đặt t = log ( − 1) thì phương trình log ( − 1).log ( 2.5x − ) = trở thành phương trình nào? A t + t − = B 2t = Câu18:Nghiệm nguyên phương trình ( ) ( C t − t − = D t = ) log x − x − log x + x − = log x − x − là: A x = B x = −1 C x = D x = Câu19: Điều kiện cần đủ tham số m để phương trình log 22 x − (m − 1)log x + − m = có hai nghiệm phân biệt thuộc 1;4  10 10  m  A  m  B  m  C D 3 10 3 m  Câu 20Cho phương trình 4.5log(100 x ) + 25.4log(10 x) = 29.101+log x Gọi a b nghiệm phương trình Khi đó tích ab bằng: 1 A B C D 10 100 Câu 21: Với giá trị m thì phương trình log (4 x + 2m3 ) = x có nghiệm phân biệt? 1 4x A m  B m  − C  m  D 2 m0 Câu 22: Phương trình log3 ( x + x + 1) = x ( − x ) + log3 x có nghiệm A nghiệm B nghiệm C nghiệm D.Vô nghiệm Câu 23: Số nghiệm phương trình log x − 2x = log x − 2x + ( ) A B C D x Câu 24: Tập hợp giá trị m để phương trình m  ln (1 − ) − x = m có nghiệm thuộc ( −;0 ) A ( ln 2;+ ) B ( 0;+ ) Câu 25: Biết phương trình log5 D ( −;0 ) C (1;e )  x x +1  = 2log  −  có nghiệm x 2 x   x = a + b đó a,b số nguyên Tính a + b ? A B −1 C Đáp án 1A 2B 3A 4B 5C 6D 7D 11B 12B 13B 14A 15A 16A 17A 21C 22A 23B 24B 25A D 8B 18A 9B 19D 10A 20B ... chọn đáp án A Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ A Phương pháp giải Xét phương trình: f log a g ( x )  = 0(0  a  1) Bước 1: Đặt điều kiện: g(x) > Bước 2: Đặt t = log a g ( x ) Giải phương. .. log m  Dạng Phương pháp hàm số, đồ thị đánh giá A Phương pháp giải Giải phương pháp đồ thị: Giải phương trình: log a x = f ( x ) (  a  1) ( *) Xem phương trình (*) phương trình... Vậy chọn đáp án C Câu 4: Gọi x , x nghiệm phương trình log 22 x − 3log x + = Giá trị biểu thức P = x12 + x 22 bao nhiêu? A 20 B C 36 D 25 Hướng dẫn giải Chọn A Điều kiện x  Giải phương