Mặt cầu và phương pháp giải bài tập I Lý thuyết trọng tâm 1 Định nghĩa mặt cầu Tập hợp các điểm trong không gian cách điểm O cố định một khoảng R không đổi gọi là mặt cầu tâm O, bán kính R (R > 0), kí[.]
Mặt cầu phương pháp giải tập I Lý thuyết trọng tâm Định nghĩa mặt cầu - Tập hợp điểm không gian cách điểm O cố định khoảng R không đổi gọi mặt cầu tâm O, bán kính R (R > 0), kí hiệu S(O; R) Khi đó: S(O; R) = {M | OM = R} - Dây cung đoạn thẳng nối hai điểm nằm mặt cầu Ví dụ: dây cung CM, MD, CD - Đường kính dây cung qua tâm mặt cầu Khi độ dài đường kính 2R Ví dụ: CD đường kính mặt cầu S(O; R) CD = 2R Vị trí tương đối mặt cầu điểm Khối cầu Cho mặt cầu S(O; R) điểm A khơng gian Nếu: - Nếu OA = R điểm A thuộc mặt cầu S(O; R) Khi đoạn OA bán kính mặt cầu Nếu OA OB hai bán kính cho A, O, B thẳng hàng đoạn AB đường kính mặt cầu - Nếu OA > R điểm A nằm mặt cầu S(O; R) - Nếu OA < R điểm A nằm mặt cầu S(O; R) - Định nghĩa khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính R Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a Gọi H hình chiếu I lên a hay d (I; a) = IH Nếu: +) IH > R: a không cắt mặt cầu hay mặt cầu S(I; R)và đường thẳng a khơng có điểm chung +) IH = R: a với mặt cầu S(I; R)có điểm chung H Ta nói a tiếp tuyến mặt cầu S(I; R)và H tiếp điểm - Điều kiện cần đủ để đường thẳng a tiếp xúc với mặt cầu S(I; R) điểm H a vng góc với bán kính OH điểm H +) IH < R: a cắt mặt cầu S(I; R) hai điểm A, B phân biệt Nhận xét: Tam giác IAB cân I, H trung điểm đoạn AB AB R = IH + AH = IH + 2 2 +) Đặc biệt: IH = 0: a qua tâm I mặt cầu Khi I H - Định lí: Nếu điểm A nằm ngồi mặt cầu S(O; R) qua A có vơ số tiếp tuyến với mặt cầu Khi đó: a Độ dài đoạn thẳng nối A với tiếp điểm b Tập hợp tiếp điểm đường trịn nằm mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc I lên (P) hay d ( I; ( P ) ) = IH Nếu +) IH > R: Mặt cầu S(I; R)và mặt phẳng (P) khơng có điểm chung +) IH = R: Mặt phẳng (P) tiếp xúc mặt cầu S (I; R) Ta nói mặt phẳng (P) mặt phẳng tiếp diện mặt cầu H tiếp điểm - Điều kiện để mặt phẳng (P) tiếp xúc với mặt cầu S(I; R)là: (P) vuông góc với bán kính IH điểm H +) IH < R: Mặt phẳng (P) cắt mặt cầu theo thiết diện đường trịn có tâm H bán kính: r = R − IH2 +) Đặc biệt: IH = mặt phẳng (P) qua tâm I mặt cầu, mặt phẳng gọi mặt phẳng kính Giao tuyến mặt phẳng kính với mặt cầu đường thẳng có bán kính R, đường trịn gọi đường tròn lớn mặt cầu Khái niệm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện - Mặt cầu ngoại tiếp hình đa diện tất đỉnh hình đa diện nằm mặt cầu Diện tích mặt cầu thể tích khối cầu Cho mặt cầu S(I; R) Diện tích mặt cầu: S = 4R Thể tích khối cầu: V = R 3 Chú ý: - Diện tích S mặt cầu bán kính R bốn lần diện tích hình trịn lớn mặt cầu - Thể tích V khối cầu bán kính R thể tích khối chóp có diện tích đáy diện tích mặt cầu có chiều cao bán kính khối cầu II Các dạng tập phương pháp giải Dạng 1: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Phương pháp giải: - Xác định trục d đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy (d đường thẳng vng góc với đáy tâm đường trịn ngoại tiếp đa giác đáy) - Xác định mặt phẳng trung trực (P) cạnh bên (hoặc trục ∆ đường tròn ngoại tiếp đa giác mặt bên) - Giao điểm I (P) d (hoặc ∆ d) tâm mặt cầu ngoại tiếp - Kết luận: I tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp Dạng 1.1: Hình chóp có điểm nhìn cạnh hình chóp góc vng +) Hình chóp tam giác: A, B nhìn SC góc vng Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC trung điểm I SC Bán kính là: R = SC +) Hình chóp tứ giác A, B, D nhìn SC góc vng Tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD trung điểm J SC Bán kính mặt cầu là: R = SC Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng, SA vng góc với mặt phẳng đáy, SC = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp S.ABCD Lời giải BC ⊥ AB ( hinh vuong ABCD ) Ta có: BC ⊥ SA ( SA ⊥ ( ABCD ) ) BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SB Tương tự: CD ⊥ SD Lại có: SA ⊥ (ABCD) SA ⊥ AC Suy ra: A, B, D nhìn SC góc vng Vậy bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD là: R = SC 2a = = a 2 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) , tam giác ABC vuông B Biết SA = 4a, AB = 2a, BC = 4a Tính bán kính R mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải BC ⊥ AB Ta có: BC ⊥ (SAB) BC ⊥ SA BC ⊥ SB Ta có: SA ⊥ (ABC) SA ⊥ AC Suy hai điểm A, B nhìn SC góc vng Vậy tâm mặt cầu ngoại tiếp chóp S.ABC trung điểm SC, bán kính R = SC Ta có: AC2 = AB2 + BC2 (Định lý Py – ta – go tam giác vuông ABC) AC2 = 20a SC = SA2 + AC2 = 6a (Định lý Py – ta – go tam giác vuông SAC) Vậy R = 3a Dạng 1.2: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Phương pháp giải: Phương pháp tự luận: Cho hình chóp có đỉnh S, gọi O tâm đáy Suy SO trục đường tròn ngoại tiếp đa giác đáy Trong mặt phẳng xác định SO cạnh bên, chẳng hạn mặt phẳng (SAO) (các hình dưới), ta vẽ đường trung trực cạnh SA cắt SO I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Ta có: SNI ∽ SOA SN SI = SO SA SA SA SA SN.SA IS= = = (với N trung điểm SA) SO SO 2SO SA Suy bán kính R = IS = 2SO Cụ thể: - Hình chóp S.ABC - Hình chóp S.ABC có SA = SB = SC Phương pháp trắc nghiệm: Giả sử hình chóp có cạnh bên SA, đường cao SO bán kính mặt cầu là: SA R= 2SO Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hình chóp tam giác S.ABC có AB = a cạnh bên SA = 2a Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp Lời giải Gọi O tâm tam giác ABC Vì S.ABC hình chóp tam giác nên SO vng góc với mặt phẳng (ABC) Suy ra: R= SA SA = 2SO SA − AO R= SA SA − AB R= 33 a 11 Vậy diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC S = 4R = 48 a 11 AB2 + AC2 SA R= + R = 5a Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABC có SA vng góc với đáy, ABC cạnh a, SA = 2a Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Gọi O trọng tâm tam giác ABC, N trung điểm SA Suy O tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Dựng trục d đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC Trong mặt phẳng (SA, d) vẽ trung trực cạnh SA cắt d I Khi NI đường trung trực SA Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC bán kính R = IA = IB =IC = IS Ta có tứ giác NIOA hình chữ nhật Xét tam giác NAI vng N có: SA R = IA = NI + NA R = AO + 2 2 a 2a 2 2a R= + = 2 Dạng 1.4: Hình chóp có mặt bên vng góc với mặt phẳng đáy Phương pháp giải: Gọi h chiều cao hình chóp R b , R d bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên, mặt đáy độ dài cạnh chung mặt bên vng góc với đáy bán kính mặt cầu là: R = Rb + Rd 2 − 2 Ví dụ minh họa Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân A Mặt bên (SAB) ⊥ (ABC) tam giác SAB cạnh Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Lời giải Gọi H, M trung điểm AB, BC Do (SAB) ⊥ (ABC) ; (SAB) (ABC) = AB ; SH ⊥ AB (SAB tam giác đều) Khi SH ⊥ (ABC) Có M tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC (do tam giác ABC vng A) Dựng d trục đường trịn ngoại tiếp tam giác ABC (d qua M song song SH) Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB ∆ trục đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB, ∆ cắt d I Suy I tâm mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC Suy bán kính R = SI Xét tam giác SGI có: SI = GI2 + SG Mà SG = AC AB 1 = = , GI = HM = 2 Nên: R = SI = 1 21 + = Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, tam giác SAB nằm mặt phẳng vng góc với đáy Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD Lời giải Gọi G tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác SAB đều, O giao điểm AC BD Tam giác SAB nên SG = a 3 Ta có bán kính đường trịn ngoại tiếp đáy Rd = AC AB2 + BC2 a2 + a2 a = = = 2 2 Bán kính đường trịn ngoại tiếp mặt bên R b = SG = a 3 Cạnh chung mặt bên (SAB) mặt đáy = AB = a Theo công thức lý thuyết, bán kính mặt cầu 2 a a a 2 a 21 R= + − = Dạng 2: Mặt cầu nội tiếp khối đa diện Phương pháp giải: Nếu đặt V thể tích khối chóp Stp tổng diện tích mặt đáy mặt bên chóp bán kính r mặt cầu nội tiếp khối chóp: r = 3V Stp Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tứ diện ABCD cạnh a Tính diện tích S mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Lời giải Gọi H trọng tâm tam giác BCD; I trung điểm CD Suy AH vng góc (BCD) (do ABCD tứ diện đều) Ta có: BI = a a BH = Có: AH = AB2 − BH = a 1 a2 a a3 Thể tích tứ diện ABCD là: V = SBCD AH = = 3 12 Gọi G tâm mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD ta có: d ( G, ( ACD ) ) = d ( G, ( ABC ) ) = d ( G, ( ABD ) ) = d ( G, ( BCD ) ) = r Với r bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD Mặt khác: VG.ACD + VG.ABC + VG.ABD + VG.BCD = VABCD SACD = SABC = SABD = SBCD a2 = Suy ra: VG.ACD = VG.ABC = VG.ABD = VG.BCD 4VG.BCD = VABCD a3 SBCD d ( G, ( BCD ) ) = 12 d ( G, ( BCD ) ) = a =r 12 Vậy diện tích mặt cầu nội tiếp tứ diện ABCD là: a a S = 4r = 4 = 12 Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy tam giác vng B có AB = 8, BC = 6, SA = 6, SA vng góc với mặt phẳng (ABC) Tính thể tích khối cầu có tâm thuộc phần khơng gian bên hình chóp tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Lời giải Gọi I r tâm bán kính hình cầu tiếp xúc với tất mặt hình chóp S.ABC Khi đó: VS.ABC = VI.ABC + VI.SBC + VI.SAB + VI.SAC VS.ABC = r ( SABC + SSAB +SBC +SSAC ) VS.ABC = r= rSTP (với STP tổng diện tích mặt hình chóp) 3VS.ABC STP 1 Ta có: VS.ABC = SA.SABC == .6.8 = 48 3 Ta tính được: SABC = SSAB = 24 ; SSBC = SSAC = 30 (do tam giác SBC, tam giác SAC vuông B A, sử dụng định lý Py – ta – go ta tính cạnh góc vng, từ tính diện tích) STP = SABC + SSAB +SBC +SSAC = 108 Vậy r = 3VS.ABC = STP 256 Thể tích khối cầu cần tính là: Vmc = r = 81 Dạng 3: Mặt cầu ngoại tiếp, nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình hộp chữ nhật, hình lập phương Phương pháp giải: a Mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình hộp chữ nhật, hình lập phương + Phương pháp tìm tâm bán kính mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ: Gọi O1 ,O tâm đường tròn ngoại tiếp hai đáy lăng trụ Suy O1O trục đường tròn ngoại tiếp hai đa giác đáy Gọi I trung điểm O1O IA = IB = IC = IA ' = IB' = IC' ( = ID = ID' ) Suy trung điểm I O1O tâm mặt cầu ngoại tiếp lăng trụ OO Bán kính R = IA = A 'O + IO = A 'O + 2 2 + Cơng thức tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật có kích thước a, b, c R = a + b2 + c2 b Mặt cầu nội tiếp hình lăng trụ đứng tam giác, hình lập phương - Hình cầu nội tiếp hình lập phương cạnh a, bán kính r = a ...- Định nghĩa khối cầu: Tập hợp điểm thuộc mặt cầu S(O; R) với điểm nằm mặt cầu gọi khối cầu hình cầu tâm O, bán kính R Vị trí tương đối mặt cầu đường thẳng Cho mặt cầu S(I; R )và đường thẳng a... với mặt cầu đường thẳng có bán kính R, đường trịn gọi đường tròn lớn mặt cầu Khái niệm mặt cầu nội tiếp, ngoại tiếp - Mặt cầu nội tiếp hình đa diện mặt cầu tiếp xúc với tất mặt hình đa diện - Mặt. .. trịn nằm mặt cầu Vị trí tương đối mặt cầu mặt phẳng Cho mặt cầu S(I; R )và mặt phẳng (P) Gọi H hình chiếu vng góc I lên (P) hay d ( I; ( P ) ) = IH Nếu +) IH > R: Mặt cầu S(I; R )và mặt phẳng (P)