BẤT PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT I LÝ THUYẾT 1 Định nghĩa Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số trong biểu thức dưới dấu lôgarit 2 Phương trình và bất phương trình lôga[.]
BẤT PHƯƠNG TRÌNH LƠGARIT I LÝ THUYẾT Định nghĩa Bất phương trình lôgarit là bất phương trình có chứa ẩn số biểu thức dưới dấu lôgarit Phương trình và bất phương trình lôgarit bản: cho a, b 0, a Bất phương trình lôgarit bản có dạng: loga f (x) b; loga f (x) b; loga f (x) b; log a f (x) b Phương pháp giải phương trình và bất phương trình lôgarit + Đưa về cùng số g(x) Nếu a thì log a f (x) log a g(x) f (x) g(x) f (x) Nếu a thì log a f (x) log a g(x) f (x) g(x) + Đặt ẩn phụ + Mũ hóa + Phương pháp hàm số và đánh giá II CÁC DẠNG BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Dạng Bất phương trình logarit bản A Phương pháp giải Ta có BPT log a x x x am a x am a m log a x m,log a x m,log a x m B Ví dụ minh họa Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình log log x là: 1 A ( 0;1) B ;1 C (1;8 ) 8 Hướng dẫn giải 1 log log x log x x x 2 1 Vậy tập nghiệm BPT ;1 8 1 D ;3 8 Chọn B Câu 2: Bất phương trình log ( x − 2x + 3) có tập nghiệm A \ 1 B C 1 Hướng dẫn giải D Chọn A log ( x − 2x + 3) x − 2x + 21 x − 2x + ( x − 1) x Vậy tập nghiệm S = \ 1 Câu 3: Tập nghiệm bất phương trình log ( 2x − 1) −1 là: 3 1 3 B ; + C ; 2 2 2 Hướng dẫn giải 3 A 1; 2 3 D −; 2 Chọn C x 2x − Ta có: log ( 2x − 1) −1 x 2 2x − x 1 3 Vậy tập nghiệm BPT là: S = ; 2 2 x2 −1 Câu 4: Điều kiện xác định bất phương trình ln là: x −1 x x −1 A B x −1 C x D x x Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] −1 x x2 −1 Điều kiện: 0 x x [Phương pháp trắc nghiệm] X2 − Nhập vào hình máy tính ln X Nhấn CALC cho X = −0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081 Vậy loại đáp án C và D Nhấn CALC cho X = 0,5 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, Chọn A Câu 5: Bất phương trình log ( 2x − x + 1) có tập nghiệm là: 3 A S = 0; 2 3 B S = −1; 2 1 C S = ( −;0 ) ; + 2 3 D S = ( −;1) ; + 2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] x log ( 2x − x + 1) 2x − x + x 1 Vậy tập nghiệm BPT S = ( −;0 ) ; + 2 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( 2X − X + 1) 2 Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277… Vậy loại đáp án A B Nhấn CALC cho X = 1(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,709511291 Chọn C 4x + là: Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình log3 x 3 A S = −2; − B S = −2;0 ) 2 C S = ( −;2 D S = \ − ;0 Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] 4x + x x − x 4x + log3 0 −2 x − x 4x + −2 x x 3 Vậy tập nghiệm BPT S = −2; − 2 [Phương pháp trắc nghiệm] 4X + Nhập vào hình máy tính log3 X Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = −1(thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B Dạng Phương pháp đưa về cùng số A Phương pháp giải Xét bất phương trình loga f (x) logag(x) (a 0,a 1) Nếu a loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) (cùng chiều a > 1) Nếu a loga f (x) loga g(x) f (x) g(x) (ngược chiều a 1) f (x) 0;g(x) Nếu a chứa ẩn log a f (x) log a g(x) (hoặc chia trường (a − 1) f (x) − g(x) hợp sớ) B Ví dụ minh họa Câu 1: Điều kiện xác định bất phương trình log (4x + 2) − log (x − 1) log x là: A x − 2 D x −1 C x B x Hướng dẫn giải Chọn C x x BPT xác định khi: 4x + x − x x − x Câu 2: Điều kiện xác định bất phương trình log2 (x + 1) − 2log4 (5 − x) − log2 (x − 2) là: A x B x C x Hướng dẫn giải Chọn A D −4 x x + x −1 BPT xác định khi: 5 − x x x x − x Câu 3: Điều kiện xác định bất phương trình log (x − 2) + log (x + 2) log x − là: A x B x C x −2 Hướng dẫn giải D x Chọn B [Phương pháp tự luận] x − x Điều kiện: x + x −2 x x x [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log5 (X − 2) + log (X + 2) − log5 X + Nhấn CALC cho X = máy tính khơng tính Vậy loại đáp án C và D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án B) máy tính hiển thị 1,065464369 Câu 4: Điều kiện xác định bất phương trình log 0,5 (5x + 15) log 0,5 ( x + 6x + 8) là: A x −2 x −4 B C x −3 x − Hướng dẫn giải D −4 x −2 [Phương pháp tự luận] x −3 5x + 15 x −2 x −2 Điều kiện: x + 6x + x −4 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log0,5 (5X + 15) − log0,5 (X2 + 6X + 8) Nhấn CALC cho X = −3,5 máy tính khơng tính Vậy loại đáp án C và D Nhấn CALC cho X = −5 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, Chọn A Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 6x + ) + log ( x − 1) là: A S = 1;6 B S = ( 5;6 C S = ( 5; + ) Hướng dẫn giải D S = (1; + ) [Phương pháp tự luận] log ( x − 6x + ) + log ( x − 1) log3 ( x − 1) log3 ( x − 6x + ) x − 6x + x − x − 6x + x x 5 x 6 x Vậy tập nghiệm BPT S = ( 5;6 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log ( X − 6X + ) + log ( X − 1) Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án A và D) máy tính khơng tính Vậy loại đáp án A và D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 0,6309297536 Vậy loại C, Chọn B Câu 6: Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log 0,2 x − log5 ( x − ) log 0,2 là: A x = B x = C x = D x = Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x log 0,2 x − log5 ( x − ) log 0,2 log 0,2 x ( x − ) log 0,2 x −1 x − 2x − x So điều kiện suy x Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất BPT x = [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log 0,2 X − log5 ( X − ) − log 0,2 Nhấn CALC cho X = (nhỏ nhất) máy tính hiển thị Vậy loại đáp án B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị -0.6094234797 Chọn D Dạng Phương pháp đặt ẩn phụ A Phương pháp giải Tương tự với phương pháp giải phương trình logarit phương pháp đặt ẩn phụ lưu ý tới chiều biến thiên hàm sớ B Ví dụ minh họa Câu :Nghiệm nguyên lớn nhất bất phương trình x3 32 log 42 x − log 21 + 9log 4log 22−1 ( x ) là: x 2 A x = B x = C x = Hướng dẫn giải Chọn A [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 32 x log x − log + 9log 4log 22−1 ( x ) x 2 D x = log 42 x − ( 3log x − 3) + ( − 2log x ) − 4log 22 x log 42 x − 13log 22 x + 36 4 x log x log x 1 x −3 log x −2 8 Vậy giá trị nguyên lớn nhất x thỏa mãn ĐK là: x = [Phương pháp trắc nghiệm] Lần lượt thay x = 7;x = 8;x = 4;x = thấy x = Câu 2: Bất phương trình log0,2 x − 5log0,2 x −6 có tập nghiệm là: 2 1 ; A S = 125 25 Chọn A [Phương pháp tự luận] C S = 0; 25 Hướng dẫn giải B S = ( 2;3) D S = ( 0;3) Điều kiện: x log 0,2 − 5log 0,2 x −6 log 0,2 x 1 x 125 25 1 ; Vậy tập nghiệm BPT S = 125 25 [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính ( log 0,2 X ) − 5log 0,2 X + Nhấn CALC cho X = 2,5 (thuộc đáp án B và D) máy tính hiển thị 9.170746391 Vậy loại đáp án B và D Nhấn CALC cho X = (thuộc đáp án C) máy tính hiển thị 0,3773110048 200 Câu 3: Nghiệm nguyên nhỏ nhất bất phương trình log x − log x là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = [Phương pháp tự luận] Điều kiện: x 0;x 1;x log3 x 0 x −1 0 log3 x.( log x − 1) x log3 x Vậy nghiệm nguyên nhỏ nhất BPT x = [Phương pháp trắc nghiệm] Loại B, A x 1;x Loại C x = log − log log x − log x Chọn D x −1 x −1 x +1 bất phương trình log log trở log log x +1 x +1 x −1 thành bất phương trình nào? t2 −1 t2 −1 t2 + A B t − C D t t t Hướng dẫn giải Điều kiện: x (−; −1) (1; +) Sau đưa số 4, tiếp tục biến đổi số ta bất phương trình x −1 log3 − 0 x + log x − x +1 Chọn A Câu 4: Nếu đặt t = log Dạng Phương pháp mũ hóa A Phương pháp giải Tương tự với giải phương trình logarit phương pháp mũ hóa B Ví dụ minh họa ( ) Câu 1: Bất phương trình log x log3 ( 9x − 72 ) có tập nghiệm là: A S = log3 73;2 C S = log 73;2 ( ( B S = log 72;2 D S = ( −;2 Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Điều kiện x log3 73 ( ) log x log3 ( 9x − 72 ) log3 ( 9x − 72 ) x 9x − 3x − 72 3x x Kết hợp với điều kiện log3 73 x ( Vậy tập nghiệm BPT là: S = log 73;2 Chọn A [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = log3 73 (thuộc B, C, D) vào biểu thức log x log3 ( 9x − 72 ) log x (0) ( ) không xác định, loại B, C, D Chọn A Câu 2: Điều kiện xác định phương trình log 3log ( 3x − 1) − 1 = x là: +1 A x B x 3 C x D x (0; +) \ {1} Hướng dẫn giải [Phương pháp tự luận] Biểu thức log 3log ( 3x − 1) − 1 = x xác định khi: 1 x + 3x − log ( 3x − 1) 3log ( 3x − 1) − 23 + x 3x − x x x 3 [Phương pháp trắc nghiệm] Thay x = (thuộc B, C, D) vào biểu thức log ( 3x − 1) log (0) không xác định, loại B, C, D Chọn A Câu 3: Nghiệm nguyên lớn nhất bất phương trình log3 ( 4.3x −1 ) 2x − là: A x = B x = C x = Hướng dẫn giải D x = −1 [Phương pháp tự luận] log3 ( 4.3x −1 ) 2x − 4.3x −1 32x −1 32x − 4.3x 3x x log3 Vậy nghiệm nguyên lớn nhất BPT là: x = [Phương pháp trắc nghiệm] Nhập vào hình máy tính log3 ( 4.3X−1 ) − 2X + Nhấn CALC cho X = (lớn nhất) máy tính hiển thị –1.738140493 Vậy loại đáp án A Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị – 0.7381404929 Vậy loại B Nhấn CALC cho X = máy tính hiển thị 0.2618595071 Chọn C Dạng Phương pháp hàm số, đánh giá A Phương pháp giải Cho hàm số y = f ( t ) xác định liên tục D: Nếu hàm số f ( t ) đồng biến D u,v D f ( u ) f ( v ) u v Nếu hàm số f ( t ) nghịch biến D u,v D f ( u ) f ( v ) u v B Ví dụ minh họa Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 4x + 16 ) − log (x) −5x + 40x − 74 là: A ( −4;4 ) Tập xác định: D = ( 0; + ) B ( 4;+ ) C 4 Hướng dẫn giải D ( −;4 ) Bất phương trình log ( x − 4x + 16 ) − log (x) −5x + 40x − 74 tương đương với: x − 4x + 16 log −5x + 40x − 78 x x − 4x + 16 log − 5( x − 4) x 16 log x + − − 5(x − 4) (1) x VT(1) Theo Bất đẳng thức Cauchy ta có: VP(1) x = 16 Khi đó dấu “=” (1) xảy x=4 x − = So với điều kiện xác định ta nhận nghiệm x = So bốn đáp án, có đáp án C thỏa mãn Chọn C x + 2x + Câu 2: Cho bất phương trình log −2x + Phát biểu nào sau là Sai: x + 3x + A Bất phương trình cho có tập nghiệm T = ( −; −2 ) ( −1;1 B Bất phương trình cho có tập nghiệm T = ( −;0 ) (1; + ) C Tập xác định phương trình cho là ( −; −2 ) ( −1; + ) D Bất phương trình cho không có nghiệm nguyên Hướng dẫn giải x + 2x + Bất phương trình log −2x + xác định khi: x + 3x + x + 3x + x −1, x −2 x −1 x + 2x + 0 x −2 x + 3x + x + 3x + Tập xác định: D = ( −; −2 ) ( −1; + ) x + 2x + Bất phương trình log −2x + tương đương với: x + 3x + x + 2x + log −2x + x + 3x + log ( x + 2x + 3) − log ( x + 3x + ) ( x + 2x + 3) − ( x + 3x + ) log ( x + 2x + 3) + ( x + 3x + ) log ( x + 3x + ) + ( x + 2x + 3) Xét f (t) = log t − 2t với t ( −; −2 ) ( −1; + ) f '(t) = − −2 t ( −; −2 ) ( −1; + ) f (t) nghịch biến t ln t ( −; −2 ) ( −1; + ) Khi đó: log ( x + 2x + 3) + ( x + 3x + ) log ( x + 3x + ) + ( x + 2x + 3) x + 2x + x + 3x + x So với điều kiện ta nhận nghiệm ( −; −2 ) ( −1;1 Chọn B Câu 3: Bất phương trình log (2x + 1) + log (4 x + 2) có tập nghiệm là: A [0; +) B (−;0) C (−;0] D ( 0;+ ) Hướng dẫn giải Chọn C Xét x 2x 20 = 2x + log ( 2x + 1) log 2 = 1(1) x 4x 40 = 4x + + = log3 ( 4x + ) log 3 = 1( ) Cộng vế với vế (1) ( ) ta được: log (2x + 1) + log (4 x + 2) Mà BPT: log (2x + 1) + log (4 x + 2) nên x ( loai ) Xét x 2x 20 = 2x + log ( 2x + 1) log 2 = 1( 3) x 4x 40 = 4x + + = log3 ( 4x + ) log 3 = 1( ) Cộng vế với vế ( ) ( ) ta được: log (2x + 1) + log3 (4x + 2) ( tm ) Vậy x hay x ( −;0 III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Tập nghiệm bất phương trình log x −1 ) ) ( B − 2;0 0; D 0; Câu 2: Tìm tập nghiệm S bất phương trình: log x − A 2; + C − 2; ( C S = (1 + ( ) B S = (1; ) A S = 1;1 + ) D S = ( 9; + ) 2; + Câu 3: Tìm tập nghiệm bất phương trình log ( x − 3x + ) −1 D 0; ) C ( −;2 D 2;+ ) A ( −; 1) B 0; 1) ( 2; 3 C 0; ) ( 3; Câu 4: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 1) là: A (1;2 ) B (1;2 Câu 5: Tập nghiệm bất phương trình log ( log ( 2x − 1) ) là: 3 3 A S = 1; B S = 0; C S = ( 0;1) 2 2 Câu 6: Tập nghiệm bất phương trình log (x − 3x + 1) là: 3− 3+ A S = 0; ;3 2 3 − + ; C S = D S = 3 D S = ;2 2 3− 3+ B S = 0; ;3 2 Câu 7: Tìm số nghiệm nguyên bất phương trình log −1 (x − 2x + 1) A Vô số B C D Câu 8: Điều kiện xác định bất phương trình log log (2 − x ) là: A x [ − 1;1] C x ( −1;1) ( 2; + ) D x ( −1;1) B x ( −1;0 ) ( 0;1) Câu 9: Tìm tất cả giá trị thực tham số m để bất phương trình log (5x − 1) m có nghiệm x 1? A m B m C m D m Câu 10: Tìm tất cả giá trị thực tham sớ m để phương trình log ( mx − x ) = vô nghiệm? m C D m −4 m −4 Câu 11: Bất phương trình log ( x − x − ) log 0,5 ( x − 1) + có tập nghiệm là: B −4 m A m ) ) A S = 1 − 2; + B S = 1 + 2; + C S = −;1 + D S = −;1 − Câu 12: Tập nghiệm bất phương trình log ( 2x + 3x + 1) log ( 2x + 1) là: ( ( 1 1 A S = ;1 B S = 0; C S = − ;1 D S = − ;0 2 2 Câu 13: Bất phương trình log (2x + 1) log (x + 2) có tập nghiệm S 4 A S = − ;1 B S = ( −2;1) C S = − ;1 D S = − ;1 Câu 14: Xác định tập nghiệm S bất phương trình ln x ln(4x − 4) A S = (1; + ) \ 2 B S = \ 2 C S = ( 2; + ) D S = (1; + ) Câu 15: Tập nghiệm bất phương trình log ( x + 25) log (10x ) A ( 0;+ ) B \ 5 C ( 0;5 ) ( 5; + ) D Câu 16: Tìm tập nghiệm S bất phương trình log ( x + 1) log ( 2x − 1) 2 1 C S = ;2 D S = ( −1;2 ) Câu 17: Tập nghiệm bất phương trình log0,8 ( x + x ) log 0,8 ( −2x + ) là: A S = ( 2; + ) B S = ( −;2 ) A (1;2 ) B ( −; −4 ) (1;2 ) C ( −; −4 ) (1; + ) D ( −4;1) Câu 18: Tập nghiệm bất phương trình log ( x − 2x + 1) log ( x − 1) A ( 3; + ) B (1; + ) 3 C (1;2 ) D ( 2; + ) Câu 19: Nghiệm bất phương trình log x + log ( x + ) log ( 2x + 3) A x − B x − D − x −1 Câu 20: Tìm tập nghiệm bất phương trình log x + log ( x + ) log C −1 x x A S = − ; −1 3 B S = −; − 2 ( 2x + 3) D S = − ; + Câu 21: Tìm m để bất phương trình + log5 ( x + 1) log5 ( mx + 4x + m ) thoã mãn với x A −1 m B −1 m C m D m Câu 22: Tập nghiệm bất phương trình C S = −1; + ) (16x − 4x+1 − 5) log ( 4x − 1) + log 32 16 x +1 − 16 x là: B ;log 16 1 A ; + 4 1 1 5 C ;log \ D ; 4 16 16 Câu 23: Tập nghiệm bất phương trình (9 x − − ) log ( 2x − 1) + log 81 x x +1 − x là: 1 2 1 1 2 2 A ;log \ B ;log C ; D ; + 2 3 2 2 3 3 x x x Câu 24: Tập nghiệm bất phương trình ( − − ) log ( x − 1) + log − 4x (1) 3 B T = −; 2 A T = (1; + ) C T = ( 3 D T = 1; 2 ) Câu 25: Cho a số nguyên dương lớn nhất thỏa mãn 3log + a + a 2log a Tìm phần nguyên log ( 2017a ) A 14 B 22 ĐÁP ÁN 1B 11B 21C 2D 12D 22C 3B 13A 23A 4B 14A 24D 5A 15C 25B C 16 6A 16C 7B 17B D 19 8D 18D 9A 19C 10B 20A ... (thuộc đáp án A và D) máy tính hiển thị – 9,9277… Vậy loại đáp án A B Nhấn CALC cho X = 1(thuộc đáp án C) máy tính hiển thị – 1,7095 1129 1 Chọn C 4x + là: Câu 6: Tập nghiệm bất phương. .. (thuộc đáp án C và D) máy tính hiển thị 2,095903274 Vậy loại đáp án C D Nhấn CALC cho X = −1(thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B Dạng Phương pháp đưa về cùng số A Phương pháp... = −0,5 (thuộc đáp án A và B) máy tính hiển thị 0,4054651081 Vậy loại đáp án C và D Nhấn CALC cho X = 0,5 (thuộc đáp án B) máy tính khơng tính Vậy loại B, Chọn A Câu 5: Bất phương trình