Mặt nón và phương pháp giải bài tập I Lý thuyết ngắn gọn 1 Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng ∆ Xét một đường thẳng l cắt ∆ tại O và không vuông góc với ∆ Mặt tròn xoay sinh bởi đường thẳng l như thế[.]
Mặt nón phương pháp giải tập I Lý thuyết ngắn gọn Định nghĩa mặt nón Cho đường thẳng ∆ Xét đường thẳng l cắt ∆ O khơng vng góc với ∆ Mặt trịn xoay sinh đường thẳng l quay quanh ∆ gọi mặt nón trịn xoay (hay mặt nón) + ∆ gọi trục mặt nón + l gọi đường sinh mặt nón + O gọi đỉnh mặt nón - Nếu gọi góc l ∆ 2 gọi góc đỉnh mặt nón (0 2 180) - Nếu M điểm tùy ý mặt nón khác điểm O đường thẳng OM nằm hồn tồn mặt nón OM gọi đường sinh mặt nón Hình nón khối nón - Cho mặt nón (N) với trục ∆, đỉnh O góc đỉnh 2 Gọi (P) mặt phẳng vng góc với ∆ I khác O Mặt phẳng (P) cắt mặt nón theo đường trịn tâm I Lại gọi (P’) mặt phẳng vng góc với ∆ O Khi đó, phần mặt nón (N) giới hạn hai mặt phẳng (P) (P’) với hình trịn tâm I xác định gọi hình nón - Khối nón: Một hình nón chia không gian thành hai phần: phần bên phần bên ngồi Hình nón với phần bên gọi khối nón Thiết diện cắt mặt phẳng a Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo đường sinh thiết diện tam giác cân Trên hình vẽ thiết diện tam giác SAB - Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh (Q) mặt phẳng tiếp diện hình nón b Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q) vng góc với trục hình nón giao tuyến đường trịn Trên hình vẽ, thiết diện đường tròn tâm O’ - Mặt phẳng (Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến nhánh hypebol - Mặt phẳng (Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến đường parabol - Mặt phẳng (Q) cắt đường sinh hình nón giao tuyến đường elip Diện tích hình nón thể tích khối nón Một hình chóp gọi nội tiếp hình nón nếu: - Đáy hình chóp đa giác nội tiếp đáy hình nón - Đỉnh hình chóp đỉnh hình nón a Định nghĩa Diện tích xung quanh hình nón giới hạn diện tích xung quanh hình chóp nội tiếp hình nón số cạnh đáy tăng lên vơ hạn Thể tích khối nón giới hạn thể tích khối chóp nội tiếp khối nón số cạnh tăng lên vơ hạn b Diện tích xung quanh, diện tích tồn phần hình nón Hình nón có chiều cao h, bán kính đáy r độ dài đường sinh l - Diện tích xung quanh: Sxq = rl - Diện tích đáy: Sd = r - Diện tích tồn phần: Stp = Sxq + Sd = rl + r c Thể tích khối nón: 1 - Thể tích khối nón có bán kính r chiều cao h là: V = Sd h = r h 3 d Mối liên hệ chiều cao, đường sinh bán kính đáy Tam giác SAO vng A, có SA = SO2 + OA Do đó: l2 = h + R (tham khảo hình vẽ dưới) II Các dạng tập Dạng 1: Tính diện tích xung quanh, diện tích tồn phần, thể tích Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức: Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = rl Diện tích tồn phần hình nón: Stp = rl + r 1 Thể tích khối nón: V = Sd h = r h 3 Trong đó: h chiều cao, r bán kính đáy l độ dài đường sinh hình nón Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Tính diện tích xung quanh hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có diện tích 2? Lời giải Tam giác OAB vng cân có diện tích OA = OA = 2 Khi đó: AB2 = 2OA = 2.22 = (định lý Py – ta – go) AB = 2 h=R = AB = 2 Vậy diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = Rl = .R.OA = 2 Ví dụ 2: Cho hình nón đỉnh S, đường cao SO, A B hai điểm thuộc đường tròn a đáy cho khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) SAO = 30,SAB = 60 Độ dài đường sinh hình nón theo a bằng? Lời giải Gọi I trung điểm AB Dựng OH vng góc SI Ta có: OH = a 3 Do SAB = 60 nên tam giác SAB Suy ra: SA = SB = AB Ta có: SAO = 30 SO = SA.sin 30 = SA Lại có: OA = SA.cos30 OA = Xét tam giác SOI ta có: SA 1 = + 2 OH OS OI 1 = + 2 OH OS OA − AI 1 = + 2 2 OH 1 1 SA SA − SA 2 2 = SA = OH = a 2 OH SA Vậy độ dài đường sinh hình nón a Quay tam giác ABC xung quanh cạnh BC ta khối tròn quay tích V bao nhiêu? Ví dụ 3: Cho tam giác ABC có ABC = 45,ACB = 30,AB = Lời giải Áp dụng định lý sin tam giác ABC, ta có: AB AC BC = = sin 30 sin 45 sin105 AC = 1+ BC = Gọi H chân đường cao kẻ từ đỉnh A đến BC Ta có: AH.BC = AB.AC.sin105 AH = Suy thể tích khối trịn xoay cần tìm là: 1 V = AH BH + AH CH 3 V= ( 1+ ) 24 Dạng 2: Tương giao nón mặt phẳng, tốn thiết diện Phương pháp giải: a Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo đường sinh thiết diện tam giác cân - Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh (Q) mặt phẳng tiếp diện hình nón b Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q) vng góc với trục hình nón giao tuyến đường tròn - Mặt phẳng (Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến nhánh hypebol - Mặt phẳng (Q) song song với đường sinh hình nón giao tuyến đường parabol - Mặt phẳng (Q) cắt đường sinh hình nón giao tuyến đường elip Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình nón có thiết diện qua đỉnh S tạo với đáy góc 60 độ tam giác cạnh cm Tính thể tích khối nón Lời giải Gọi H trung điểm AB Gọi thiết diện qua đỉnh tam giác SAB, tâm đường tròn đáy O Ta tìm góc (SAB) đáy (O) (SAB) = AB OH ⊥ AB = H SH ⊥ AB = H Suy ((SAB);( O )) = ( OH;SH ) = SHO = 60 Lại có tam giác SAB cạnh cm Suy đường cao SH = =2 Xét tam giác SOH: sin 60 = SO = sin 60.SH = OH = SO = tan 60 Xét tam giác OAH: SO SH 3 = OA = OH2 + AH2 OA = +2 = 3 1 V = r h = SO(OA) = (cm ) 3 5a Một mặt phẳng (P) qua đỉnh khối nón có khoảng cách đến tâm O đáy 3a Diện tích thiết diện tạo (P) hình nón bao nhiêu? Ví dụ 2: Cho khối nón trịn xoay có đường cao h = a bán kính đáy r = Lời giải Gọi mặt phẳng qua đỉnh tam giác SAB Khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB) + Từ O kẻ OH ⊥ AB , nối SH + Từ O kẻ OK ⊥ SH OK ⊥ (SAB) d ( O; ( SAB ) ) = OK = Xét tam giác SOH: 3a 1 = + 2 OK OS OH OH = OK.OS OS2 − OK OH = a SH = SO2 + OH SH = a Xét tam giác OAH: AH = OA2 − OH2 AH = a AB = 2a Do diện tích thiết diện là: S SAB = SH.AB = a Dạng 3: Sự tạo thành nón Phương pháp giải: Sử dụng định nghĩa mặt nón, hình nón, khối nón cơng thức liên quan Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vng cạnh a, SA vng góc với đáy, SC = a Khi tam giác SAC quay quanh cạnh SA đường gấp khúc SAC tạo thành hình nón trịn xoay Tính thể tích khối nón trịn xoay đó? Lời giải Xét tam giác ABC vuông B AC = AB2 + BC2 AC = a SA = SC2 − AC2 SA = 2a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón tích là: 4a V = R h = AC SA V = 3 Ví dụ 2: Cho tam giác ABC cạnh a quay xung quanh đường cao AH tạo nên hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón Lời giải Tam giác ABC đều, đường cao AH BH = a a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón có r = ;l = a a Sxq = rl = Dạng 4: Bài toán cực trị Phương pháp giải: - Áp dụng cơng thức liên quan, đưa tốn hình học tốn đại số (đại số hóa hình học) - Khảo sát hàm số f(x) khoảng xác định (đạo hàm – lập bảng biến thiên) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Khi cắt hình nón có chiều cao 16 cm đường kính đáy 24 cm mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện có diện tích lớn bao nhiêu? Lời giải Cắt hình nón mặt phẳng song song với đường sinh hình nón ta thu thiết diện parabol Xét dây cung chứa đoạn KH hình vẽ Suy tồn đường kính AB ⊥ KH Trong tam giác SAB, KE // SA, E thuộc SB Suy parabol nhận KE làm trục hình vẽ thiết diện thỏa mãn yêu cầu toán (thiết diện song song với đường sinh SA) Đặt BK = x (0 < x < 24) Trong tam giác ABH có: HK = BK.AK = x(24 − x) Trong tam giác SAB có: KE BK = SA BA Thiết diện thu parabol có diện tích: S = KH.KE KE = BK 5x SA KE = BA Ta có: S2 = 16 KH KE 16 25x S = x(24 − x) 36 S2 = S= 100 (24x − x ) 81 10 24x − x Đặt f (x) = 24x − x với < x < 24 Ta có: f '(x) = 72x − 4x Suy ra: x = f '(x) = x = 18 Bảng biến thiên: Vậy thiết diện có diện tích lớn S= 10 10 24x − x = 34992 207,85cm2 9 Ví dụ 2: Tại trung tâm thành phố người ta tạo điểm nhấn cột trang trí hình nón có kích thước: chiều dài đường sinh l = 10m, bán kính đáy R = 5m Biết tam giác SAB thiết diện qua trục hình nón C trung điểm SB Trang trí hệ thống đèn điện tử chạy từ A đến C mặt nón Xác định giá trị ngắn chiều dài dây đèn điện tử? Lời giải Ta có tam giác SAB cân SB = AB Suy tam giác SAB Diện tích xung quanh hình nón là: Sxq = Rl = 50(m ) Vẽ (P) qua C vng góc với AB Mặt phẳng (P) cắt hình nón theo thiết diện Elip Khi chiều dài dây đèn điện ngắn chiều dài dây cung AC Elip Ta dung phương pháp trải hình thấy sau: Hình trải dài hình quạt với AB độ dài nửa đường tròn và: AB = R = 5(m) SABS = S = 25 ASB.R12 = 25 360 ASB = 360.25 = 90 .102 Vậy tam giác SAC vuông S AC = SA2 + SC2 = 5 III Bài tập áp dụng Bài 1: Giao mặt phẳng qua trục hình nón, cắt đường trịn đáy hình nón hai điểm hình ? A Hình trịn B Hình vng C Hình tam giác D Hình bình hành Bài 2: Cho hình nón có thiết diện qua trục tam giác vng cân có cạnh huyền 2a Thể tích khối nón bằng: A a B 2a 2a C D a 3 Bài 3: Một hình nón có bán kính đường trịn đáy a Thiết diện qua trục hình nón tam giác có góc đỉnh 120 Gọi V thể tích khối nón Khi V bằng: a A a 3 B a 3 C a D Bài 4: Trong hình nón có diện tích tồn phần S Hình nón tích lớn ( r, l bán kính đáy đường sinh hình nón) A l = 3r B l = 2r C l = r D l = 2r Bài 5: Xét hình nón có đường sinh với độ dài 10 cm Chiều cao hình nón tích lớn là: A 3cm B 10 3cm C cm D 10 cm Bài 6: Giả sử đồ thị hàm số y = (m + 1)x − 2mx + m + có điểm cực trị A, B, C mà x A x B x C Khi quay tam giác ABC quanh cạnh AC ta khối tròn xoay Giá trị m để thể tích khối trịn xoay lớn thuộc khoảng nào? A (4; 6) B (2; 4) C (-2; 0) D (0; 2) Bài 7: Diện tích tồn phần hình nón có khoảng cách từ tâm đáy đến đường sinh thiết diện qua trục tam giác là: A 8 B 9 C 10 D 12 Bài 8: Một khối nón tích V, giữ nguyên chiều cao tang bán kính khối nón lên lần thể tích A 2V B 4V C 3V D 6V Bài 9: Diện tích xung quanh hình nón có bán kính đáy chiều cao là: A 15 B 30 C 36 D 12 Bài 10: Tính độ dài đường sinh hình nón có diện tích xung quanh 25 , bán kính đường tròn đáy A B C D 2,5 ... 24 Dạng 2: Tương giao nón mặt phẳng, toán thiết diện Phương pháp giải: a Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q) cắt mặt nón theo đường sinh thiết... hình nón Tính diện tích xung quanh hình nón Lời giải Tam giác ABC đều, đường cao AH BH = a a Hình nón trịn xoay tạo thành hình nón có r = ;l = a a Sxq = rl = Dạng 4: Bài toán cực trị Phương pháp. .. tam giác cân - Mặt phẳng (Q) tiếp xúc với mặt nón theo đường sinh (Q) mặt phẳng tiếp diện hình nón b Nếu cắt mặt nón trịn xoay mặt phẳng khơng qua đỉnh có trường hợp sau xảy ra: - Mặt phẳng (Q)