Đang tải... (xem toàn văn)
Các phương pháp tính tích phân và cách giải A LÝ THUYẾT 1 Phương pháp đổi biến số Định lý 1 Cho hàm số f(x) liên tục trên đoạn a;b Giả sử hàm số ( )x t= có đạo hàm liên tục trên đoạn ; sao[.]
Các phương pháp tính tích phân cách giải A LÝ THUYẾT Phương pháp đổi biến số Định lý Cho hàm số f(x) liên tục đoạn a;b Giả sử hàm số x = ( t ) có đạo hàm liên tục đoạn ; cho ( ) = a; ( b ) = b a ( t ) b với t ; Khi đó: b a f ( x ) dx = f ( ( t ) ) ' ( t ) dt Từ định lý ta rút bước đổi biến số Đặt x = ( t ) , ta xác định đoạn ; cho ( ) = a, ( ) = b a ( t ) b , t ; ; Biến đổi f ( x ) dx = f ( ( t ) ) ' ( t ) dt = g ( t ) dt Tìm nguyên hàm G ( t ) g ( t ) Tính g ( t ) dt = G ( ) − G ( ) b Kết luận f ( x ) dx = G ( ) − G ( ) a Định lý Cho hàm số f ( x ) liên tục đoạn a;b Nếu hàm số u = u ( x ) có đạo hàm liên tục đoạn a;b u ( x ) với x a;b cho b u( b ) a u( a ) f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ' ( x ) ,g ( u ) liên tục đoạn ; f ( x ) dx = Từ định lý ta rút bước đổi biến số Đặt u = u ( x ) , Biến đổi f ( x ) dx = g ( u ) du Tìm nguyên hàm G ( u ) g ( u ) g ( u ) du u( b ) Tính g ( u ) du = G ( u ( b )) − G ( u ( a )) u( a ) b Kết luận f ( x ) dx = G ( u ( b ) ) − G ( u ( a ) ) a Phương pháp tích phân phần Tương tự tính ngun hàm phần, ta có định lý sau: Nếu u = u ( x ) v = v ( x ) hai hàm số có đạo hàm liên tục đoạn a;b b u ( x ) v' ( x ) dx = ( u ( x ) v ( x ) ) a b a b b − u ' ( x ) v ( x ) dx hay udv = uv a − vdu a b b b a a b Hay udv = uv a − vdu b a a b Một số cách đặt tích phân phần thường gặp với p(x)q(x)dx : a Hàm dấu tích phân p ( x ) đa thức, q ( x ) hàm lượng giác ( ) Cách đặt u = p ( x ) dv = q ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' e x e x u = p ( x ) dv = q ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ( ln x ) u = q ( x ) dv = p ( x ) dx ( ) p ( x ) hàm lượng giác, q ( x ) = f e x p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' ( ln x ) x u = q ( x ) dv = p ( x ) dx u = p ( x ) dv = q ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' ( u ( x ) ).( u ( x ) ) ' , u ( x ) u = p ( x ) hàm lượng giác ( sin x,cos x, tan x,cot x ) dv = q ( x ) dx B CÁC DẠNG TỐN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ Phương pháp đổi biến số Dạng 1: Đổi biến số với hàm vô tỉ quen thuộc Phương pháp giải: Thực theo bước lý thuyết Chú ý: Trong biểu thức f(x)dx có chứa đặt t Trong biểu thức f(x)dx có chứa biểu thức lũy thừa bậc cao đặt biểu thức t Trong biểu thức f(x)dx có chứa hàm mũ với biểu thức mũ hàm số đặt biểu thức mũ t Ví dụ minh họa: Ví dụ 1: Tính tích phân sau phương pháp đổi biến số: ln dx a) I = 2x + 3+ b) I = dx ex + Lời giải Chú ý: Đổi biến nhớ phải đổi cận a) Đặt t = 2x + t = 2x + dx = tdt x = t =1 Đổi cận x = t = t Khi I = dt = 1 − dt = ( t − 3ln t + ) 3+ t t +3 1 3 = − 3.ln − + 3.ln = + 3.ln 3 b) Đặt t = e x + t = e x + 2tdt = e x dx dx = 2t dt t −1 2 dt t −1 x = t = Đổi cận = ln , I = t −1 t +1 x = ln t = 2 ( ) = − ln 3 − 2 Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn Phương pháp giải: Thực theo bước lý thuyết b Chú ý tính chất: b b f ( x )dx = f ( t )dt = f ( u )du a a (tích phân khơng phụ thuộc vào a biến) Ví dụ minh họa: Ví dụ 2: Cho hàm số f(x) liên tục thỏa mãn f ( x )dx = 12 Tính tích phân I = f ( 3x )dx A I = B I = 36 C I = D I = Lời giải 2 Ta có: I = f ( 3x )dx = f ( 3x )d ( 3x ) 30 Đổi biến: Đặt t = 3x dt = 3dx Đổi cận: x = t = 0; x = t = = 6 1 12 I = f ( t )dt = f ( x )dx = = (tích phân khơng phụ thuộc vào biến) 30 30 Chọn D Dạng 3: Tích phân đổi biến số với hàm số chẵn, hàm số lẻ Bài toán tổng quát: Giả sử hàm số f(x) liên tục đoạn [-a; a] Chứng minh rằng: a a) a f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx −a f(x) hàm số chẵn a b) f ( x ) dx = f(x) hàm số lẻ −a Phương pháp giải a) Hàm số f(x) hàm chẵn f ( − x ) = f ( x ) Ta có: 0 −a −a f ( x ) dx = − f ( −x ) d ( −x ) 0 a a a ⎯⎯⎯ →− f ( t ) dt = − f ( x ) dx = f ( x ) dx t =− x Do a a a −a −a 0 f ( x ) dx = f ( x ) dx + f ( x ) dx = 2 f ( x ) dx b) Hàm số f(x) hàm lẻ f ( − x ) = −f ( x ) Ta có: a a a −a −a −a f ( x ) dx = − f ( −x ) dx = f ( −x ) d ( −x ) −a a a a ⎯⎯⎯ → f ( t ) dt = − f ( x ) dx t =− x a a −a −a Do f ( x ) dx =0 f ( x ) dx = Ví dụ minh họa Ví dụ 3: Cho hàm số y = f(x) liên tục đoạn [0; 1] thỏa mãn f ( x ) + 2f (1 − x ) = 3x, x Tính tích phân I = f ( x )dx A I = B I = 1 C I = D I = Lời giải Cách 1: Ta có f ( x ) + 2f (1 − x ) = 3x 1 f ( x )dx + 2 f (1 − x )dx = 3 xdx = x 2 0 = x = 0, t = Đặt t = − x dt = −dx x = 1, t = 1 1 0 f (1 − x )dx = − f ( t )dt = f ( t )dt = f ( x )dx 1 0 Suy f ( x )dx + 2 f (1 − x )dx = 3 f ( x )dx = f ( x )dx = 1 I= 2 Chọn C Cách 2: Ta có f ( x ) + 2f (1 − x ) = 3x f (1 − x ) + 2f ( x ) = (1 − x ) = − 3x f ( x ) + 2f (1 − x ) = 3x (1) Khi f (1 − x ) + 2f ( x ) = − 3x ( ) Lấy 2.( ) − (1) , ta 3f ( x ) = ( − 3x ) − 3x f ( x ) = − 3x 3x Vậy I = f ( x )dx = ( − 3x )dx = 2x − = 0 0 1 Chọn C Dạng Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Phương pháp giải: Thực theo bước lý thuyết Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng hệ số để phân tích Ví dụ minh họa Ví dụ Tính tích phân I = x2 (1 + x ) A I = ln + 33 32 C I = ln − dx ? B I = ln − 4121 4000 D I = ln − 33 32 Lời giải Đặt + x = u dx = du Đổi cận x = u = 1;x = u = 4 Khi I = ( u − 1) u3 u − 2u + du = du u 4 1 1 = − + du = ln u + − u u u u 2u 1 = ln + − − ln + − 2.4 2.1 15 ) − (0 + ) 32 33 = ln − 32 = (ln + Chọn D Phương pháp tích phân phần Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tích phân phần b udv = uv a b b a − vdu a Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng cho phần lý thuyết) Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Cho tích phân I = x cos xdx u = x ; dv = cos xdx Khẳng định sau đúng? A I = x sin x − x sin xdx 0 D I = x sin x − 2 x sin xdx C I = x sin x + 2 x sin xdx B I = x sin x + x sin xdx 2 0 0 Lời giải u = x du = 2xdx Ta có dv = cos xdx v = sin x Theo cơng thức tích phân phần I = x sin x − x sin xdx 0 Chọn D Ví dụ 2: Cho tích phân I = ( 3x + 1) ln xdx = a ln + bln + c với a,b,c Khẳng định khẳng định đúng? A a = 3b B a = – 3b C a + b = 40 D a – b = 20 Lời giải dx u = ln x du = Đặt x dv = ( 3x + 1) dx v = x + x Theo cơng thức tích phân phần I = ( x + x ) ln x − ( x + 1)dx 3 2 x3 = 30ln − 10ln − + x 2 22 = 30ln − 10ln − a = 30;b = −10;c = −3b Chọn B x− Ví dụ Cho I = 1 + x + e x dx = ae b − c với a;b;c x 1 S = a + b + c có giá trị A S = − B S = − C S = ; a Lúc D S = Lời giải x− x − 1x x − 1x x Ta có I = 1 + x + e dx = e dx + x + e dx (1) x x 1 1 2 Đặt I1 = e x− x dx 1 x− x − 1x x u = e du = 1 + e dx Đặt x dv = dx v = x Theo cơng thức tích phân phần ta có I1 = xe x− x Từ (1); (2) ta có I = x.e x− x = x.e x− x 1 x − 1x x − 1x − x + e dx + x + e dx x x 1 1 = 2.e 2− 1− − 1.e 1 = 2.e − 1 x − 1x − x + e dx (2) x 1 a = 2;b = ;c = a + b + c = 2 Chọn D C BÀI TẬP TỰ LUYỆN b hai số thực a < b Nếu f (x)dx = tích Câu Cho hàm số f liên tục a b phân f (2x)dx có giá trị a A C B 2 e Câu Bài tốn tính tích phân I = D 4 ln x + 1ln x dx học sinh giải theo ba x bước sau: I Đặt ẩn phụ t = ln x + , suy dt = e II I = III I = 1 dx x x e t ln x + 1ln x dx = t ( t − 1) dt x 2 t ( t − 1) dt = t − =1+ t 1 Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Bài giải B Sai từ Bước II C Sai từ Bước I D Sai Bước III Câu Bài toán tính tích phân I = (x + 1) dx học sinh giải theo ba bước −2 sau: I Đặt ẩn phụ t = (x + 1) , suy dt = 2(x + 1)dx , II Từ suy dt dt = dx = dx Đổi cận 2(x + 1) t x −2 t 4 t dt = t = III Vậy I = (x + 1) dx = 3 −2 t Học sinh giải hay sai? Nếu sai sai từ bước nào? A Sai từ Bước I B Sai Bước III C Sai từ Bước II D Bài giải e Câu Cho tích phân: I = 1 − ln x dx Đặt u = − ln x Khi I 2x A I = u du B I = − u 2du 1 u2 C I = du D I = − u 2du Câu Tích phân x7 0 (1 + x )5 dx (t − 1)3 A dt t5 (t − 1)3 B dt t 1 (t − 1)3 C dt t4 (t − 1)3 D dt t4 e Câu Tích phân (2x − 5)ln xdx e A − (x − 5x)ln x − (x − 5)dx e e B (x − 5x)ln x + (x − 5)dx e 1 e C (x − 5x)ln x − (x − 5)dx e 1 e D (x − 5)ln x − (x − 5x)dx e Câu Tìm m để (3 − 2x) dx = m A 122 ? B C D Câu Tích phân I = x x + 1dx có giá trị A −1 B Câu Giá trị tích phân x 2 −1 C 2 −1 D −1 4x + dx + x +1 A ln2 B ln3 C 2ln2 Câu 10 Giá trị tích phân x −3 0 x + + x + 3dx D 2ln3 3 A + 3ln B + 6ln C −3 + 6ln D −3 + 3ln dx x + e Câu 11 Giá trị tích phân I = 2e A ln e +1 e B ln e +1 e C 2ln e +1 2e D 2ln e +1 ln Câu 12 Giá trị tích phân I = A 2 − (e ex x + 1) − B e2 Câu 13 Giá trị tích phân I = e dx x ln x dx C − D 2 − A 2ln3 B ln3 −3 Câu 14 Giá trị tích phân I = x −8 A ln C ln2 D 2ln2 C –ln2 D 2ln2 dx dx 1− x B x − 2ln x Câu 15 Biết I = dx = + ln Giá trị a x a A C B ln2 D dx có dạng I = a ln3 + bln5 x 3x + Câu 16 Kết phép tính tích phân I = (a,b ) Khi a + ab + 3b có giá trị A B b a 0 C D Câu 17 Biết 6dx = xe x dx = a Khi biểu thức b2 + a + 3a + 2a có giá trị A B C D Câu 18 Giả sử ( 2x − 1) ln xdx = a ln + b , ( a;b ) Tính a + b A B ln Câu 19 Biết 2e C D dx= ln a + bln + ln 5c Trong a, b, c số +1 nguyên Khi S = a + b – c x A S = B S = C S = D S = Câu 20 Cho hàm số y = f(x) hàm lẻ liên tục [-4;4], biết f (−x)dx = −2 f (−2x)dx = Tính I = f (x)dx = ? A -10 B -6 C D 10 Đáp án 10 A D C B A C A B D C 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 A B C A A B C D B B ... Dạng Tích phân hàm phân thức hữu tỉ Phương pháp giải: Thực theo bước lý thuyết Chú ý: Cách phân tích hàm phân thức hữu tỉ (giống phần nguyên hàm): Sử dụng phương pháp đồng hệ số để phân tích. .. (0 + ) 32 33 = ln − 32 = (ln + Chọn D Phương pháp tích phân phần Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức tích phân phần b udv = uv a b b a − vdu a Chú ý: Cách chọn u, v (theo bảng cho phần lý... = − ln 3 − 2 Dạng 2: Tích phân đổi biến số với hàm ẩn Phương pháp giải: Thực theo bước lý thuyết b Chú ý tính chất: b b f ( x )dx = f ( t )dt = f ( u )du a a (tích phân khơng phụ thuộc