Các phương pháp tính nguyên hàm và cách giải bài tập A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Phương pháp biến đổi biến số Nếu thì ( ) ( ) ( )f u x u '''' x dx F u x C= + Giả sử ta cần tìm họ ngu[.]
Các phương pháp tính nguyên hàm cách giải tập A LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Phương pháp biến đổi biến số Nếu f u ( x ) u ' ( x ) dx = F u ( x ) + C Giả sử ta cần tìm họ nguyên hàm I = f ( x ) dx , ta phân tích f ( x ) = g ( u ( x ) ) u ' ( x ) ta thực phép đổi biến số t = u ( x ) , suy dt = u ' ( x ) dx Khi ta nguyên hàm: g ( t ) dt = G ( t ) + C = G u ( x ) + C Chú ý: Sau tìm họ nguyên hàm f ( x ) dx = F ( x ) + C theo t ta phải thay t = u(x) Các bước thực hiện: Bước 1: Chọn x = ( t ) , ( t ) hàm số mà ta chọn thích hợp Bước 2: Lấy vi phân hai vế : dx = ' ( t ) dt Bước 3: Biến đổi : f (x)dx = f ( t ) ' ( t ) dt = g ( t ) dt Bước 4: Khi tính : f (x)dx = g(t)dt = G(t) + C Một số cách đổi biến số hay gặp Dấu hiệu f (x) Có Có (ax + b) n f (x) Có a dx ln x Có x x Có e dx Có thể đặt Ví dụ x 3dx Đặt t = x + x +1 t = f (x) I= t = ax + b I = x(x + 1) 2016 dx Đặt t = x + t = f (x) I= e tan x +3 dx Đặt t = tan x + cos x t = ln x biểu thức chứa ln x I= ln xdx Đặt t = ln x + x(ln x + 1) t = e x biểu thức chứa e x I = e 2x 3e x + 1dx Đặt t = 3ex + Có sin xdx t = cosx biểu thức chứa cosx Có cos xdx t = sin xdx I = sin x cos xdx Đặt t = sin x dx Có cos x t = tan x I= Có dx sin x I= sin x dx Đặt t = 2cos x + 2cos x + 1 dx = (1 + tan x) dx cos x cos x Đặt t = tan x t = cot x I= ecot x dx Đặt t = cot x 2sin x Phương pháp tính nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a;b có đạo hàm liên tục đoạn a;b Khi đó: udv = uv − vdu (*) Để tính nguyên hàm f ( x ) dx phần ta làm sau: Bước Chọn u, v cho từ f ( x ) dx = udv (chú ý dv = v ' ( x ) dx ) Sau tính v = dv du = u '.dx Bước Thay vào cơng thức (*) tính vdu + Phương pháp chủ yếu dùng cho biểu thức dạng p(x)q(x)dx trường hợp sau: Chú ý: Với p(x) đa thức x, ta thường gặp dạng sau: Hàm dấu nguyên hàm Cách đặt p ( x ) đa thức, q ( x ) hàm lượng giác u = p ( x ) dv = q ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' ( e x ).e x u = p ( x ) dv = q ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ( ln x ) u = q ( x ) dv = p ( x ) dx p ( x ) hàm lượng giác, q ( x ) = f ( e x ) u = q ( x ) dv = p ( x ) dx p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' ( ln x ) u = p ( x ) dv = q ( x ) dx x p ( x ) đa thức, q ( x ) = f ' ( u ( x ) ).( u ( x ) ) ' , u ( x ) u = p ( x ) hàm lượng giác ( sin x,cos x, tan x,cot x ) dv = q ( x ) dx Lưu ý: Chọn u: Nhất log, nhì đa, tam lượng, tứ mũ - Mở rộng: Quy tắc đường chéo để tính tích phân phần u Cột u ( đạo hàm) Cột v (ng hàm) v u ( Đạo hàm ) ( Nguyên hàm ) Bảng u v' Bảng u' (+) u" u' u'' v v' (+) (-) u"' (+) v1 (-) v (+) v1 (-) v2 Áp dụng nhanh trường hợp u đa thức bậc cao Ở cột u, lấy đạo hàm liên tiếp đến kết 0, đến lấy đạo hàm phức tạp hơn, đến lặp lại dừng Ở cột v, tìm nguyên hàm tương ứng v Ví dụ áp dụng: Tìm ngun hàm sau: v3 (x + 2)e2x dx (2x − 1)cos xdx (3x − 1)ln xdx Giải: Áp dụng quy tắc đường chéo: 1: (x + 2)e2x dx u x + + + v e2x e2x e2x Căn vào bảng ta được: 1 2x 2x 2x (x + 2)e d x = (x + ) e − e +C (2x − 1)cos xdx u 2x - v + + cosx sinx - cosx Căn vào bảng ta được: (2x − 1)cos xdx = ( 2x − 1) sin x + 2cosx + C (3x − 1)ln xdx u v lnx x2 - + x - x3 - x Căn vào bảng ta được: (3x − 1)ln xdx = ( x − x ) ln x − ( x − x ) dx x = ( x − x ) ln x − ( x − 1) dx x3 = ( x − x ) ln x − + x + C 3 B CÁC VÍ DỤ MINH HOẠ Ví dụ Họ tất nguyên hàm hàm số f (x) = ( −2; + ) 2x + khoảng (x + 2) là: A 2ln(x + 2) + + C x+2 B 2ln(x + 2) − + C x+2 C 2ln(x + 2) − + C x+2 D 2ln(x + 2) + + C x+2 Lời giải Ta có: f (x) = 2x + (x + 2) Đặt t = x + dt = dx x = t – Thay vào đề ta được: 2x + f (x)dx = (x + 2) dx = = 2(t − 2) + dt t2 2t − 2 dt = − dt t t t 1 = dt − 3 dt = 2ln t + + C t t t Thay t = x + 2, ta được: 3 2ln t + + C = 2ln x + + +C t x+2 +C x+2 (Do theo đề x (−2; +) nên x + > 0) = 2ln ( x + ) + Chọn D Ví dụ Hàm số sau nguyên hàm g ( x ) = ln x ( x + 1) ? A − ln x x + ln + 1999 x +1 x +1 B − ln x x − ln + 1998 x +1 x +1 C ln x x − ln + 2016 x +1 x +1 D ln x x + ln + 2017 x +1 x +1 Lời giải Gọi nguyên hàm hàm số cho S, ta có : u = ln x du = dx x Đặt dv = dx v = −1 x + ( ) x +1 S= − ln x + dx x +1 x ( x + 1) = − ln x (x + 1) − x + [ ]dx x +1 x(x + 1) = − ln x 1 + − dx x +1 x x +1 = − lnx dx + + dx − x +1 x x +1 − ln x + ( ln x − ln x + ) + C x +1 − ln x x = + ln +C x +1 x +1 S= Chọn C = 1999 Khi S = − ln x x + ln + 1999 x +1 x +1 Chọn A − x2 Ví dụ Tìm nguyên hàm hàm số f ( x ) = x ln ? + x − x2 A x ln − 2x 4+x x − 16 − x B − 2x ln 4+x − x2 C x ln + 2x 4+x x − 16 − x D + 2x ln 4+x Lời giải − x du = 16x dx u = ln x − 16 Đặt : 4+x 4 v = x − = x − 16 dv = x dx 4 − x2 x − 16 − x x ln dx = − 4xdx ln + x 4 + x x − 16 − x = − 2x + C ln 4+x Chọn C = x − 16 − x Khi ta có nguyên hàm hàm số cho − 2x ln 4+x Chọn B C BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu Nguyên hàm x x + dx là: B − ln t + C , với t = x + A ln t + C , với t = x + C ln t + C , với t = x + D − ln t + C , với t = x + Câu Với phương pháp đổi biến số ( x → t ) , nguyên hàm A t + C B t + C ln 2x dx bằng: x C 2t + C D 4t + C Câu Nguyên hàm I = x ln xdx bằng: x2 A ln x − xdx + C x2 B ln x − xdx + C 2 C x ln x − xdx + C D x ln x − xdx + C Câu Họ nguyên hàm e x (1 + x ) dx là: A I = e x + xe x + C B I = e x + xe x + C C I = e x + xe x + C D I = 2e x + xe x + C Câu ( ) 2x x + + x ln x dx có dạng a, b hai số hữu tỉ Giá trị a bằng: A B a ( ) b x + + x ln x − x + C , C D Khơng tồn Câu Tính F(x) = dx x 2ln x + B F(x) = 2ln x + + C A F(x) = 2ln x + + C C F(x) = 2ln x + + C 2ln x + + C D F(x) = x3 Câu Tính F(x) = dx x −1 A F(x) = ln x − + C B F(x) = ln x − + C C F(x) = ln x − + C D F(x) = ln x − + C Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2x x + là: A C (x (x 2 + 1) + C + 1) + C Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A x2 + + C C x + + C Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A 2ln x + + C B −2 (x −1 (x D 2x x2 + B 2 + 1) + C + 1) + C là: x2 + +C D x + + C 2x là: x +4 B ln x + +C C ln x + + C D 4ln x + + C Câu 11 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = ex là: ex + A −e x − + C B 3e x + + C C −2ln e x + + C D ln e x + + C Câu 12 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A ln x + C B ln x + C ln x là: x C ln x +C Câu 13 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2x.2x A ln 2.2x +C Câu 14 Tính A − C − B ( x + 9) 5( x + 9) (x + 9) 2x x2 + C ln là: ln 2x B − +C +C ln x + ln x +C 2 D ln 2.2x + C +C dx ta kết là: D − Câu 15 Một nguyên hàm f (x) = A C D 3( x + ) (x + 9) +C +C x là: x +1 B 2ln ( x + 1) C ln(x + 1) D ln(x + 1) Câu 16 Nguyên hàm hàm số f ( x ) = xex là: A xe + e + C x x B e + C x x2 x C e +C Câu 17 Kết ln xdx là: A x ln x + x + C B Đáp án khác D xex − ex + C C x ln x + C D x ln x − x + C Câu 18 Kết x ln xdx là: A x ln x + x + C B Đáp án khác C x ln x + C D x ln x − x + C Câu 19 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2x + là: x2 + x + B ln x + x + + C A 2ln x + x + + C C ln x + x + +C D 4ln x + x + + C Câu 20 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A 2+x : x + 4x − ln x + 4x − + C B ln x + 4x − + C D 4ln x + 4x − + C C 2ln x + 4x − + C Câu 21 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A ln 2x + C ln 2x : x B ln x + C ln 2x C +C D ln x +C Câu 22 Câu sau sai? A Nếu F' ( t ) = f ( t ) F ( u ( x ) ) = f ( u ( x ) ) B f ( t ) dt = F ( t ) + C f ( u ( x ) ) u ' ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C C Nếu G ( t ) nguyên hàm hàm số g ( t ) G ( u ( x ) ) nguyên hàm hàm số g ( u ( x ) ).u ( x ) D f ( t ) dt = F ( t ) + C f ( u ) du = F ( u ) + C với u = u ( x ) Câu 23 Trong khẳng định sau, khẳng định sai? A Nếu f ( t ) dt = F ( t ) + C f ( u ( x ) ).u ( x ) dx = F ( u ( x ) ) + C B Nếu F ( x ) G ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) F( x ) − G ( x ) dx có dạng h ( x ) = Cx + D ( C,D số C ) C F ( x ) = + sin x nguyên hàm f ( x ) = sin 2x u ( x ) D dx = u ( x ) + C u(x) eln x x dx theo phương pháp đổi biến số, ta đặt: A t = eln x B t = ln x C t = x D t = x x2 Câu 25 F ( x ) nguyên hàm hàm số y = xe Hàm số sau F ( x ) : 2 A F ( x ) = e x + B F ( x ) = e x + 2 1 C F ( x ) = − e x + C D F ( x ) = − − e x 2 Câu 26 Để tính x ln ( + x ) dx theo phương pháp tính nguyên hàm phần, ta Câu 24 Để tính ( ) ( ) đặt: u = x u = ln ( + x ) A B dv = ln + x dx ( ) dv = xdx u = ln ( + x ) u = x ln ( + x ) C D dv = dx dv = dx x Câu 27 Hàm số f ( x ) = ( x − 1) e có nguyên hàm F ( x ) kết sau đây, biết nguyên hàm x = ? A F ( x ) = ( x − 1) ex B F ( x ) = ( x − ) ex C F ( x ) = ( x + 1) ex + D F ( x ) = ( x − ) ex + Câu 28 Một nguyên hàm f ( x ) = x ln x kết sau đây, biết nguyên hàm triệt tiêu x = 1? 1 1 A F ( x ) = x ln x − ( x + 1) B F ( x ) = x ln x + x + 4 1 C F ( x ) = x ln x + ( x + 1) D Một kết khác 2 f (x) Câu 29 Cho F(x) = nguyên hàm hàm số Tìm nguyên hàm 2x x hàm số f (x)ln x ln x A f (x)ln xdx = − + + C 2x x ln x B f (x)ln xdx = + + C x x ln x C f (x)ln xdx = − + + C x x ln x D f (x)ln xdx = + + C x 2x ln ( ln x ) Câu 30 Tính nguyên hàm I = dx kết sau đây? x A I = ln x.ln ( ln x ) + C B I = ln x.ln ( ln x ) + ln x + C D I = ln ( ln x ) + ln x + C C I = ln x.ln ( ln x ) − ln x + C C 16 D A 17 D B 18 B B 19 B B 20 A B 21 C B 22 A Đáp án A C 23 24 D B 10 C 25 C 11 D 26 B 12 C 27 D 13 B 28 D 14 B 29 A 15 C 30 C ... Đặt t = cot x 2sin x Phương pháp tính nguyên hàm phần Cho hai hàm số u v liên tục đoạn a;b có đạo hàm liên tục đoạn a;b Khi đó: udv = uv − vdu (*) Để tính nguyên hàm f ( x ) dx phần... F(x) = ln x − + C Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = 2x x + là: A C (x (x 2 + 1) + C + 1) + C Câu Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A x2 + + C C x + + C Câu 10 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A 2ln x +... Họ nguyên hàm hàm số f (x) = ex là: ex + A −e x − + C B 3e x + + C C −2ln e x + + C D ln e x + + C Câu 12 Họ nguyên hàm hàm số f (x) = A ln x + C B ln x + C ln x là: x C ln x +C Câu 13 Họ nguyên