50 bài toán về các bài toán thực tế hình không gian (có đáp án 2022) – toán 12

Các bài toán thực tế hình không gian và cách giải bài tập Dạng 1 Mặt cầu, hình cầu, khối cầu Phương pháp giải Nắm vững kiến thức các dạng toán để giải bài toán thực tế liên quan đến mặt cầu Cho mặt cầ[.]

Các tốn thực tế hình khơng gian cách giải tập Dạng 1: Mặt cầu, hình cầu, khối cầu Phương pháp giải: Nắm vững kiến thức dạng toán để giải toán thực tế liên quan đến mặt cầu Cho mặt cầu S (I; R) - Diện tích mặt cầu: S = 4R - Thể tích khối cầu: V = R 3 Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một chậu nước hình bán cầu nhơm có bán kính R = 10 đặt khung hình hộp chữ nhật Trong chậu chứa sẵn khối nước hình chỏm cẩu có chiều cao h = Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi Cho biết cơng thức tính thể tích khối chỏm h  cầu (O; R) có chiều cao h Vc hom = h  R −  Tính bán kính r viên bi 3  Lời giải Ta tích phần nước dâng lên thể tích viên bi bỏ vào h  Do thể tích nước ban đầu V1 = h  R −  3  Khi thể tích nước sau bỏ viên bi vào là: V2 = V1 + r 3 h  V2 = h  R −  + r (1) 3  Người ta bỏ vào chậu viên bi hình cầu kim loại mặt nước dâng lên vừa phủ kín viên bi Do thể tích sau bỏ viên bi vào tính cơng thức: 2r   V2 = (2r)  R −  (2) 3  Từ (1) (2) ta có: h 2r    h  R −  + r = 4r  R −  3 3   h   4r − 4Rr + h  R −  = 3  Thay R = 10; h = ta r = 9,905 r = 1,019 Vì bán kính viên bi r = 9,905 xấp xỉ chậu nước điều vơ lí Ta chọn r = 1,019 Vậy bán kính viên bi r = 1,019 Ví dụ 2: Quả bóng đá dùng thi đấu giải bóng đá Việt Nam tổ chức có chu vi thiết diện qua tâm 68,5cm Quả bóng ghép nối miếng da hình lục giác màu trắng đen, miếng có diện tích 49,83cm2 Hỏi cần miếng da để làm bóng trên? Lời giải Giả sử bán kính mặt cầu R Ta có: C = 2R R= 68,5 = 10,9cm 2 Diện tích xung quanh mặt cầu: Sxq = 4R Sxq = 1493,6cm Vậy số miếng da để làm bóng là: N = Sxq S N= 1493,6  30 (miếng) 49,83 Vậy cần 30 miếng da để làm bóng Dạng 2: Mặt trụ, hình trụ, khối trụ Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức: - Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq = 2Rh - Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh hình trụ với diện tích hai đáy - Thể tích V khối trụ trịn xoay có chiều cao h, bán kính mặt đáy R là: V = R h Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Người ta thiết kế thùng chứa hình trụ tích V định Biết giá vật liệu làm mặt đáy nắp thùng đắt gấp lần so với giá vật liệu để làm mặt xung quanh thùng (chi phí cho đơn vị diện h tích) Gọi chiều cao thùng h bán kính đáy r Tính tỷ số cho chi r phí vật liệu sản xuất thùng nhỏ nhất? Lời giải Thể tích khối trụ V = r h  h = V r Giả sử số tiền làm mặt xung quanh số tiền mặt đáy nắp Số tiền để làm thùng T = 2rh + 6r V   T = 2  + 3r   r  V  V   T = 2  + + 3r   2r 2r  Do đó: T  6 3V 4 Dấu “=” xảy V h = 3r  = 2r r Ví dụ 2: Một cốc nước có dạng hình trụ chiều cao 15 cm, đường kính đáy cm, lượng nước ban đầu cốc cao 10 cm Thả vào cốc nước viên bi thủy tinh hình cầu có đường kính cm Hỏi sau thả viên bi, mực nước cốc cách miệng cốc cm? Lời giải Thể tích nước ban đầu là: V = r h = 90(cm3 ) Thể tích viên bi là: 20 V1 = R = (cm ) 3 Thể tích cốc sau thả viên bi vào là: V2 = V + V1 290  = r h  h = 10,74(cm)  V2 = Với h chiều cao mực nước lúc sau Suy mực nước cốc cách miệng cốc là: 15 – 10,74 = 4,26 (cm) Dạng 3: Mặt nón, hình nón, khối nón Phương pháp giải: Sử dụng linh hoạt cơng thức: - Diện tích xung quanh: Sxq = rl - Diện tích đáy: Sd = r - Diện tích tồn phần: Stp = rl + r 1 - Thể tích: V = Sd h = r h 3 Trong đó: h chiều cao, l đường sinh r bán kính đáy hình nón Ví dụ minh họa Ví dụ 1: Một kem gồm hai phần: phần phía khối nón có chiều cao gấp đơi bán kính đáy; phần phía nửa khối cầu có đường kính đường kính khối nón bên Thể tích phần kem phía 200cm3 Tính thể tích kem cho Lời giải Thể tích phần kem phía bằng: r = 200cm3 Thể tích phần kem phía bằng: r h r (2r) 2r = = = 200cm3 3 Vậy thể tích kem 400cm3 Ví dụ 2: Một vật N1 có dạng hình nón có chiều cao 40 cm Người ta cắt vật N1 mặt cắt song song với mặt đáy để hình nón nhỏ N tích thể tích N1 Tính chiều cao h hình nón N Lời giải Gọi r1 = BE,h1 = AB bán kính đáy chiều cao hình nón N1 Gọi r2 = CD,h = AC bán kính đáy chiều cao hình nón N Khi thể tích hai khối nón là: V1 = r12 h1 V2 = r2 h Theo đề ta có: V2  r2  h =  = V1  r1  h1 Xét hai tam giác đồng dạng ACD ABE có: AC CD r h =  2= AB BE r1 h1 Do đó: h h   =  = h1  h1   h = h1  h = 20cm Vậy chiều cao hình nón N h = 20 cm II Bài tập áp dụng Bài 1: Một phễu có dạng hình nón Người ta đổ lượng nước vào phễu cho chiều cao lượng nước phễu chiều cao phễu Hỏi bịt kín miệng phễu lộn ngược phễu lên chiều cao mực nước xấp xỉ Biết chiều cao phễu 15 cm A 0,501 cm B 0,302 cm C 0,216 cm D 0, 188 cm Bài 2: Cho bìa hình dạng tam giác vuông, biết b c độ dài cạnh tam giác vng khối trịn xoay Hỏi thể tích V khối trịn xoay sinh bìa bao nhiêu? A V = B V = C V = b 2c b2 + c2 b 2c b2 + c2 2b 2c b2 + c2 D V = b 2c 2(b + c ) Bài 3: Một thùng chứa đầy nước có hình khối lập phương Đặt vào thùng khối nón cho đỉnh khối nón trùng với tâm mặt khối lập phương, đáy khối nón tiếp xúc với cạnh mặt đối diện Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước lại thùng? A  12 −  B  12 C 11 D 11 12 Bài 4: Một biệt thự có 10 cột nhà hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 m Trong cột trước đại sảnh có đường kính 40 cm cột lại bên thân nhà có đường kính 26 cm Chủ nhà dùng loại sơn giả đá để sơn 10 cột Nếu giá loại sơn giả đá 380.000 đồng /m người chủ tiền để sơn 10 cột đó? A 14.647.000 đồng B 13.627.000 đồng C 16.459.000 đồng D 15.844.000 đồng Bài 5: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,5m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao thể tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính đáy bể nước dự định làm gần với kết nào? A 1,8 m B 2,1 m C 1,6 m D 2,5 m Bài 6: Mặt tiền nhà văn hóa có 17 cột hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 m Trong cột trước đại sảnh có đường kính 40 cm 14 cột lại phân bố hai bên đại sảnh chúng có đường kính 26 cm Chủ đầu tư thuê nhân công để sơn cột loại sơn giả gỗ, biết giá thuê 360.000 / m Hỏi chủ đầu tư tiền để sơn hết cột đó? (  3,14159) A 22 990 405 đồng B 473 906 đồng C 473 907 đồng D 22 990 407 đồng Bài 7: Một bình nước dạng hình nón khơng có đáy đựng đầy nước Người ta thả vào khối cầu có đường kính chiều cao bình nước đo thể tích tràn 18(dm ) Biết khối cầu tiếp xúc với tất đường sinh hình nón nửa khối cầu chìm nước Tính thể tích nước cịn lại bình A 27dm3 B 6dm3 C 9dm3 D 24dm3 Bài 8: Người thợ gia công sở chất lượng cao X cắt miếng tơn hình trịn với bán kính 60 cm thành ba miếng hình quạt Sau người thợ quấn hàn ba miếng tơn để ba phễu hình nón Hỏi thể tích V phễu bao nhiêu? A V = 1600 l B V = 16 2 l C V = 16000 2 l D V = 160 2 l Bài 9: Một bút chì dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút làm gỗ phần lõi than chì Phần lõi dạng khối trụ chiều cao chiều cao bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định 1m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1m3 than chì có giá 7a triệu đồng Khi giá ngun liệu làm bút chì gần với kết nào? A 85,5a đồng B 9,07a đồng C 8,45a đồng D 90,07 a đồng Bài 10: Một bút chì dạng khối lăng trụ lục giác có cạnh đáy mm chiều cao 200 mm Thân bút làm gỗ phần lõi dạng khối trụ chiều cao chiều dài bút đáy hình trịn có bán kính mm Giả định 1m3 gỗ có giá a triệu đồng, 1m3 than chì có giá 9a triệu đồng Khi giá ngun liệu làm bút chì gần với kết nào? A 103,3a đồng B 97,03a đồng C 10,33a đồng D 9,7a đồng ... trụ, hình trụ, khối trụ Phương pháp giải: Sử dụng cơng thức: - Diện tích xung quanh hình trụ có bán kính R, chiều cao h là: Sxq = 2Rh - Diện tích tồn phần hình trụ tổng diện tích xung quanh hình. .. Tính tỉ số thể tích lượng nước trào ngồi lượng nước lại thùng? A  12 −  B  12 C 11 D 11 12 Bài 4: Một biệt thự có 10 cột nhà hình trụ trịn, tất có chiều cao 4,2 m Trong cột trước đại sảnh có... 15.844.000 đồng Bài 5: Một sở sản xuất có hai bể nước hình trụ có chiều cao nhau, bán kính đáy 1m 1,5m Chủ sở dự định làm bể nước mới, hình trụ, có chiều cao thể tích tổng thể tích hai bể nước Bán kính