Các dạng toán về lãi suất ngân hàng và cách giải I LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1 Lãi đơn Số tiền lãi chỉ tính trên số tiền gốc mà không tính trên số tiền lãi do số tiền gốc sinh ra Công thức tính lã[.]
Các dạng toán lãi suất ngân hàng cách giải I LÝ THUYẾT VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI Lãi đơn Số tiền lãi tính số tiền gốc mà khơng tính số tiền lãi số tiền gốc sinh Cơng thức tính lãi đơn: Vn = V0 (1 + r.n ) Trong đó: Vn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; V0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % Lãi kép Là số tiền lãi không tính số tiền gốc mà cịn tính số tiền lãi tiền gốc sinh thay đổi theo định kỳ n a Lãi kép, gửi lần: Tn = T0 (1 + r ) Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % b Lãi kép liên tục: Tn = T0 e n.r Trong đó: Tn : Số tiền vốn lẫn lãi sau n kỳ hạn; T0 : Số tiền gửi ban đầu; n : Số kỳ hạn tính lãi; r : Lãi suất định kỳ, tính theo % c Lãi kép, gửi định kỳ Trường hợp gửi tiền định kì cuối tháng Bài tốn 1: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền thu là: m n Tn = (1 + r ) − 1 r Chứng minh Tháng Đầu tháng Cuối tháng Chưa gửi m m (1 + r ) + m m m (1 + r ) + m m (1 + r ) + m (1 + r ) + m … n … … n −1 m (1 + r ) + + m (1 + r ) + m Vậy sau tháng n ta số tiền Tn = m (1 + r ) n −1 = m (1 + r ) + + (1 + r ) + 1 , Ta thấy ngoặc tổng n −1 u1 = 1, u n = (1 + r ) , q = + r n n −1 số + + m (1 + r ) + m hạng cấp số nhân có qn − m n Ta biết rằng: Sn = u1 + + u n = u1 nên Tn = (1 + r ) − 1 q −1 r Bài toán 2: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: m = n (1 + r ) − Chứng minh: m n Áp dụng toán ta có số tiền thu Tn = (1 + r ) − 1 , mà đề cho số tiền r m Ar n A nên A = (1 + r ) − 1 m = n r (1 + r ) − Bài toán 3: Cứ cuối tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu? Ar + 1 Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: n = log1+ r m Chứng minh: m n Áp dụng toán ta có số tiền thu Tn = (1 + r ) − 1 , mà đề cho số tiền r A nên m Ar Ar n n Ar A = (1 + r ) − 1 m = (1 + r ) = + n = log1+r + 1 n r m m (1 + r ) − Như trường hợp ta cần nắm vứng công thức Bài tốn từ dễ dàng biến đổi cơng thức tốn 2, Bài tốn Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng Bài toán 4: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền thu bao nhiêu? m n Người ta chứng minh số tiền thu là: Tn = (1 + r ) − 1 (1 + r ) r Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng Cuối tháng m m (1 + r ) 2 m (1 + r ) + m m (1 + r ) + m (1 + r ) m (1 + r ) + m (1 + r ) + m m (1 + r ) + m (1 + r ) + m (1 + r ) … n … … … n m (1 + r ) + + m (1 + r ) Vậy sau tháng n ta số tiền: (1 + r ) −1 Tn = m (1 + r ) + + m (1 + r ) = m (1 + r ) + + (1 + r ) = m (1 + r ) r Bài toán 5: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tiền gửi tháng m bao nhiêu? Ar Người ta chứng minh số tiền cần gửi tháng là: m = n (1 + r ) (1 + r ) − 1 Chứng minh m n Áp dụng toán Ta có số tiền thu là: Tn = (1 + r ) − 1 (1 + r ) , mà đề cho r m Ar n số tiền A nên A = (1 + r ) − 1 (1 + r ) m = n r (1 + r ) (1 + r ) − 1 Bài toán 6: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Sau n (tháng năm) số tiền thu A triệu Hỏi số tháng năm n bao nhiêu? Ar + 1 Người ta chứng minh số tháng thu đề cho là: n = log1+r m (1 + r ) Chứng minh n n n m n + r ) − 1 (1 + r ) , mà đề ( r cho số tiền A nên m Ar Ar n n A = (1 + r ) − 1 (1 + r ) m = (1 + r ) = + n r m + r ( ) + r + r − ( ) ( ) Ar n = log1+r + 1 m (1 + r ) Như trường hợp ta cần nắm vững công thức tốn từ dễ dàng biến đổi cơng thức tốn 5, tốn Trường hợp vay nợ trả tiền định kì đầu tháng Bài toán 7: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm) số tiền nợ bao nhiêu? n 1+ r) −1 ( n Người ta chứng minh số tiền nợ là: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) r Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Thán Đầu tháng Cuối tháng g A−m ( A − m )(1 + r ) = A (1 + r ) − m (1 + r ) 2 A (1 + r ) − m (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) Áp dụng tốn Ta có: số tiền thu là: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) −A m(1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) … n … … 3 … n n A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m (1 + r ) Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: n n Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m (1 + r ) n n = A (1 + r ) − m (1 + r ) + + (1 + r ) = A (1 + r ) − m (1 + r ) n (1 + r ) n −1 r Trường hợp vay nợ trả định kì cuối tháng Bài tốn 8: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năn) số tiền nợ bao nhiêu? Người ta chứng minh số tiền nợ là: Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) n Chứng minh Ta xây dựng bảng sau: Tháng Đầu tháng A A (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) n −1 r Cuối tháng A (1 + r ) − m (1 + r ) − m 2 A (1 + r ) − m (1 + r ) − m A (1 + r ) − m (1 + r ) − m (1 + r ) − m … n … … … n n −1 A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m Vậy sau tháng n ta nợ số tiền: n n −1 Tn = A (1 + r ) − m (1 + r ) − − m (1 + r ) − m = A (1 + r ) − m (1 + r ) n = A (1 + r ) − m (1 + r ) n n −1 + + (1 + r ) + 1 (1 + r ) n −1 r Sau tìm hiểu cách áp dụng lý thuyết vào toán tính tiền lãi, tiền nợ phải trả nào? II VÍ DỤ MINH HỌA Câu 1: Đầu năm 2016, anh Hùng có xe cơng nơng trị giá 100 triệu đồng Biết tháng xe cơng nơng hao mịn 0,4% giá trị, đồng thời làm triệu đồng ( số tiền làm tháng không đổi) Hỏi sau năm, tổng số tiền ( bao gồm giá tiền xe công nông tổng số tiền anh Hùng làm ) anh Hùng có bao nhiêu? A 172 triệu B 72 triệu C 167,3042 triệu D 104,907 triệu Hướng dẫn giải Chọn C Sau năm số tiền anh Hùng làm 6.12 = 72 triệu đồng Sau năm giá trị xe cơng nơng cịn 100(1 − 0,4%)12 95,3042 triệu đồng Vậy sau năm số tiền anh Hùng có 167,3042 triệu đồng Câu 2: Bác B gửi tiết kiệm số tiền ban đầu 50 triệu đồng theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,72% tháng Sau năm bác B rút vốn lẫn lãi gửi theo kỳ hạn tháng với lãi suất 0,78% tháng Sau gởi đúng kỳ hạn tháng gia đình có việc bác gửi thêm tháng phải rút tiền trước hạn gốc lẫn lãi số tiền 57 694 945,55 đồng (chưa làm tròn ) Biết rút tiền trước hạn lãi suất tính theo lãi suất khơng kỳ hạn, tức tính theo hàng tháng Trong số tháng bác gởi thêm lãi suất A 0,55% B 0,3% C 0,4% D 0,5% Hướng dẫn giải Chọn C Số tiền bác B rút sau năm đầu: T1 = 50000000 (1 + 0,00723 ) Số tiền bác B rút sau sáu tháng tiếp theo: T2 = T1 (1 + 0,00786 ) Số tiền bác B rút sau ba tháng tiếp theo: 57694945,55 T3 = T2 (1 + r ) = 57694945,55 r = − 0,004 = 0,4% T2 Câu 3: Bạn Nam sinh viên trường Đại học, muốn vay tiền ngân hàng với lãi suất ưu đãi trang trải kinh phí học tập hàng năm Đầu năm học, bạn vay ngân hàng số tiến 10 triệu đồng với lãi suất 4% Tính số tiền mà Nam nợ ngân hàng sau năm, biết năm đó, ngân hàng khơng thay đổi lãi suất ( kết làm tròn đến nghìn đồng) A 46794000 đồng B 44163000 đồng C 42465000 đồng D 41600000 đồng Hướng dẫn giải Chọn B Tổng số tiền bạn Nam vay ( gốc lãi) sau năm là: A = 106 (1 + 0,04) + 106 (1 + 0,04)3 + 106 (1 + 0,04) + 106 (1 + 0,04) = 106 (1 + 0,04)[1 + (1 + 0,04) + (1 + 0,04) + (1 + 0,04) ] − (1 + 0,04) = 10 (1 + 0,04) = 44163256 − (1 + 0,04) Nên A = 44163000 đồng Câu 4: Một kỹ sư nhận lương khởi điểm 000 000 đồng/tháng Cứ sau hai năm lương tháng kỹ sư tăng thêm 10% so với mức lương Tính tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc A 633 600 000 B 635 520 000 C 696 960 000 D 766 656 000 Hướng dẫn giải Chọn B Lương năm cơng nhân nhận T1 = 8.106.24 = 192.106 (đồng) Theo cơng thức tính lãi kép, lương năm cơng nhân nhận được: T2 = 24.8.106.(1 + 10% ) = 212, 2.106 (đồng) Lương năm cuối cơng nhân nhận được: T3 = 24.8.106.(1 + 10% ) = 232,32.106 (đồng) Tổng số tiền T (đồng) kỹ sư nhận sau năm làm việc: T = T1 + T2 + T3 = 635 520 000 (đồng) Câu 5: Anh Hưng làm lĩnh lương khởi điểm 000 000 đồng/tháng Cứ năm, lương anh Hưng lại tăng thêm 7% /1 tháng Hỏi sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận tất tiền? (Kết làm tròn đến hàng nghìn đồng) A 287 968 000 đồng B 931 953 000 đồng C 575 937 000 đồng D 219 921 000 đồng Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền lương khởi điểm, r lương tăng thêm + Số tiền lương ba năm đầu tiên: 36a + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36 a + a.r = 36a (1 + r ) + Số tiền lương ba năm kế tiếp: 36a (1 + r ) … 11 + Số tiền lương ba năm cuối: 36a (1 + r ) Vậy sau 36 năm làm việc anh Hưng nhận được: 1 + (1 + r )1 + (1 + r )2 + (1 + r )3 + + (1 + r )11 a.36 = 2575936983 2575937000 = đồng Câu 6: Một người đem gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 1% tháng Biết sau quý ( tháng) lãi cộng dồn vào vốn gốc Hỏi sau tối thiểu năm người nhận lại số tiền bao gồm vốn lẫn lãi gấp ba lần số tiền ban đầu A B C 10 D 11 Hướng dẫn giải Chọn C Gọi a số tiền người gửi ban đầu N Số tiền nhận gốc lẫn lãi sau N năm T = a(1 + 0,03) T ln = (1 + 0,03) 4N = 4N.ln1,03 = ln N = 9,29 a 4ln1,03 Câu 7: Một người vay ngân hàng tỷ đồng theo phương thức trả góp để mua nhà Nếu cuối tháng, tháng thứ người trả 40 triệu đồng chịu lãi số tiền chưa trả 0,65% tháng (biết lãi suất không thay đổi) sau người trả hết số tiền trên? A 29 tháng B 27 tháng C 26 tháng D 28 tháng Hướng dẫn giải Chọn D Gọi A số tiền vay, a số tiền gửi hàng tháng r lãi suất tháng Đến cuối tháng thứ n số tiền cịn nợ là: n a (1 + r ) − 1 n n −1 n −2 n T = A (1 + r ) − a (1 + r ) + (1 + r ) + + 1 = A (1 + r ) − r n a (1 + r ) − 1 n =0 Hết nợ đồng nghĩa T = A (1 + r ) − r a − Ar a a n (1 + r ) = n = log1+r r r a − Ar Áp dụng với A = (tỷ), a = 0,04 (tỷ), r = 0,0065 ta n 27,37 Vậy cần trả 28 tháng Câu 8: Một người gửi ngân hàng 100 triệu theo thể thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng Sau tháng, người có nhiều 125 triệu? A 46 tháng B 45 tháng C 44 tháng D 47 tháng Hướng dẫn giải: Chọn B Sau tháng, người nhận 100 + 100.0,5% (triệu đồng) = 100.1,0051 triệu đồng Sau tháng, người nhận được: 100.1,005 + 100.1,005.0,005 = 100.1,005 (1 + 0,005 ) = 100.(1,005 ) triệu đồng Sau n tháng, người nhận được: 100.(1,005 ) triệu đồng n Theo đề: 100.(1,005 ) 125 n log1,005 1, 25 = 44,7 tháng Vậy sau 45 tháng, người có nhiều 125 triệu đồng Câu 9: Năm 2014, người tiết kiệm x triệu đồng dùng số tiền để mua nhà thực tế người phải cần 1,55x triệu đồng Người định gửi tiết kiệm vào ngân hàng với lãi suất 6,9% / năm theo hình thức lãi kép khơng rút trước kỳ hạn Hỏi năm người mua nhà (giả sử giá bán nhà khơng thay đổi) n A Năm 2019 B Năm 2020 C Năm 2021 D Năm 2022 Hướng dẫn giải Chọn C n Số tiền người gửi tiết kiệm sau n năm x (1 + 6,9% ) Ta cần tìm n để x (1 + 6,9% ) = 1,55x (1 + 6,9% ) = 1,55 n 6,56 Do đó, người gửi tiết kiệm cần gửi trọn kỳ hạn, tức năm Vậy đến năm 2021 người có đủ tiền cần thiết Câu 10: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất 0,5% tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền có tháng trước tiền lãi tháng sau đó) Hỏi sau tháng, người có nhiều 125 triệu đồng? A 47 tháng B 46 tháng C 45 tháng D 44 tháng Hướng dẫn giải Chọn C - Số tiền vốn lẫn lãi người gởi có sau n tháng S S S = 100(1 + 0,005)n = 100.1,005n (triệu đồng) 1,005n = n = log1,005 100 100 - Để có số tiền S = 125 (triệu đồng) phải sau thời gian S 125 n = log1,005 = log1,005 44,74 (tháng) 100 100 - Vậy: sau 45 tháng người có nhiều 125 triệu đồng n n III BÀI TẬP TỰ LUYỆN Câu 1: Ông Nam gởi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 12% năm Sau n năm ơng Nam rút tồn số tiền (cả vốn lẫn lãi) Tìm số nguyên dương n nhỏ để số tiền lãi nhận lớn 40 triệu đồng (giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) A B C D Câu 2: Bạn Hùng trúng tuyển vào trường đại học A khơng đủ nộp học phí nên Hùng định vay ngân hàng năm năm vay 3.000.000 đồng để nộp học phí với lãi suất 3%/năm Sau tốt nghiệp đại học bạn Hùng phải trả góp hàng tháng số tiền T (không đổi) với lãi suất 0,25%/tháng vòng năm Số tiền T hàng tháng mà bạn Hùng phải trả cho ngân hàng (làm tròn đến kết hàng đơn vị) là: A 232518 đồng B 309604 đồng C 215456 đồng D 232289 đồng Câu 3: Một người gửi tiết kiệm với lãi suất 6,5% / năm lãi hàng năm nhập vào vốn Hỏi khoảng năm người thu gấp đơi số tiền ban đầu? A 11 năm B năm C năm D 12 năm Câu 4: Một người gửi ngân hàng 100 triệu đồng theo hình thức lãi kép, lãi suất tháng (kể từ tháng thứ 2, tiền lãi tính theo phần trăm tổng tiền có tháng trước tiền lãi tháng trước đó) Sau tháng, người có nhiều 125 triệu A 45 tháng B 47 tháng C 44 tháng D 46 tháng Câu 5: Một người gửi 10 triệu đồng vào ngận hàng thời gian 10 năm với lãi suất 5% năm Hỏi người nhận số tiền nhiều hay ngân hàng trả lại suất tháng ? 12 A Nhiều B Ít C Khơng thay đổi D Khơng tính Câu 6: Một người gửi tiết kiệm vào ngân hàng A với số tiền 100 triệu đồng với lãi suất quý (3 tháng) 2,1% Số tiền lãi cộng vào vốn sau quý Sau năm người tiếp tục gửi tiết kiệm số tiền thu từ với lãi suất 1,1% tháng Số tiền lãi cộng vào vốn sau tháng Hỏi sau năm kể từ ngày gửi tiết kiệm vào ngân hàng A người thu số tiền gần với giá trị sau đây? A 134,65 triệu đồng B 130,1 triệu đồng C 156,25 triệu đồng D 140,2 triệu đồng Câu 7: Ông A gửi số tiền 100 triệu đồng vào ngân hàng với lãi suất 7% năm, biết không rút tiền khỏi ngân hàng sau năm số tiền lãi nhập vào vốn ban đầu sau thời gian 10 năm khơng rút lãi lần số tiền mà ơng A nhận tính gốc lẫn lãi A 108.(1 + 0,07)10 B 108.0,0710 C 108.(1 + 0,7)10 D 108.(1 + 0,007)10 Câu 8: Ông Nam gửi 100 triệu đồng vào ngân hàng theo thể thức lãi kép kì hạn năm với lãi suất 12% năm Sau n năm ơng Nam rút tồn tiền (cả vốn lẫn lãi) Tìm n nguyên dương nhỏ để số tiền lãi nhận 40 triệu đồng (Giả sử lãi suất hàng năm không thay đổi) A B C D Câu 9: Ông An bắt đầu làm với mức lương khởi điểm triệu đồng tháng Cứ sau năm ơng An tăng lương 40% Hỏi sau tròn 20 năm làm tổng tiền lương ông An nhận (làm tròn đến hai chữ số thập phân sau dấu phẩy)? A 726,74 triệu B 71674 triệu C 858,72 triệu D 768,37 triệu Câu 10: Giả sử vào cuối năm đơn vị tiền tệ 10% giá trị so với đầu năm Tìm số nguyên dương nhỏ cho sau n năm, đơn vị tiền tệ 90% giá trị nó? A 16 B 18 C 20 D 22 ĐÁP ÁN 1D 2D 3A 4A 5A 6A 7A 8D 9D 10D ... thức Bài tốn từ dễ dàng biến đổi cơng thức toán 2, Bài toán Trường hợp gửi tiền định kì đầu tháng Bài tốn 4: Cứ đầu tháng gửi vào ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng... thức toán 5, toán Trường hợp vay nợ trả tiền định kì đầu tháng Bài tốn 7: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năm)... Trường hợp vay nợ trả định kì cuối tháng Bài toán 8: Vay ngân hàng A triệu đồng Cứ đầu tháng (năm) trả ngân hàng m triệu, lãi suất kép r% (tháng năm) Hỏi sau n (tháng năn) số tiền nợ bao nhiêu? Người