ĐĂNG KÍ KHÓA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TOÁN! 1 Thầy Hồ Thức Thuận Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Môn Toán THẦY HỒ THỨC THUẬN TÀI LIỆU THUỘC KHÓA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ[.]
ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! TÀI LIỆU THUỘC KHĨA HỌC “LIVE VIP 2K4” INBOX THẦY ĐỂ ĐƯỢC TƯ VẤN VÀ ĐĂNG KÝ HỌC! _ THẦY HỒ THỨC THUẬN Bài Toán 06: Ứng dụng tích phân thể tích A Lý Thuyết Bài toán: Tính thể tích vật thể và thể tích khới tròn xoay Thể tích vật thể: Gọi B phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng vuông góc với trục Ox điểm a b; S ( x) diện ( B) tích thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm x , (a x b) Giả sử S ( x) hàm số liên tục đoạn [a; b] b Thể tích vật thể B xác định: V = S ( x)dx a O a x b S ( x) x Bài toán: Tính thể tích khối tròn xoay Thể tích khối trịn xoay: Dạng 1: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , trục hoành hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: b Thể tích khối tròn xoay là: V = f ( x ) dx y y = f ( x) a a O b x Dạng 2: Thể tích khối trịn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đường y = f ( x) , y = g ( x) hai đường thẳng x = a , x = b quanh trục Ox: y = f ( x) y y = g ( x) O b a Thể tích khối trịn xoay là: V = f ( x) − g ( x) dx 2 a Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn b x ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! B Ví Dụ Câu Thể tích V phần vật thể giới hạn hai đường thẳng x = x = , biết rằng cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x (1 x 3) thiết diện mợt hình chữ nhật có hai cạnh 3x 3x − A V = 32 + 15 B V = 124 C V = ( 124 ) D V = 32 + 15 Lời giải: Do thiết diện hình chữ nhật nên diện tích thiết diện là: S = x x − 3 1 Thể tích vật thể là: V = S ( x ) dx = 3x 3x − 2dx = 124 Chọn đáp án C Câu Cho phần vật thể ( H ) giới hạn hai mặt phẳng có phương trình x = x = , cắt phần vật thể (H ) mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x ( x ) ta thiết diện một tam giác đều có đợ dài cạnh bằng x − x Thể tích V phần vật thể bằng bao nhiêu? A V = 3 B V = C V = Lời giải: (x Do thiết diện tam giác đều nên diện tích thiết diện bằng: S ( x ) = 2 0 Thể tích vật thể cần tìm là: V = S ( x ) dx = D 2− x ) x2 ( − x ) = x (2 − x) 3 x4 dx = x − = 4 3 0 Chọn đáp án B x Câu Gọi ( D ) hình phẳng giới hạn đường y = , y = 0, x = 1, x = Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình ( D ) quanh trục Ox A 21 16 B b Áp dụng công thức V = ( f ( x ) ) a 15 Lời giải: 21 16 C D 15 16 x3 21 x dx = dx = x dx = = 4 16 16 16 1 4 Chọn đáp án B Câu Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành đường thẳng x = 0; x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bằng bao nhiêu? 4 A V = B V = 2 C V = D V = 3 Lời giải: x3 4 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: V = x + dx = + x = 0 ( ) Chọn đáp án A Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Cơng! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu Cho hình phẳng ( D ) giới hạn đồ thị hàm số y = 2x − x2 trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( D ) quanh trục Ox bằng A 256 15 B 16 15 Lời Giải: 64 15 C D 4 y = 2x − x2 Ta có: ( D ) : y = x = Phương trình hồnh đợ giao điểm là: x − x = x = 2 V = ( 2x − x ) 2 x5 16 dx = ( x − x + x ) dx = − x + x3 = 15 Chọn đáp án C Câu Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = cos x, y = 0, x = 0, x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành cho hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục Ox bằng: A ( + ) B +2 C ( + ) Lời giải: D +1 Thể tích khối trịn xoay cần tìm là: sin x ( + 2) V = cos xdx = (1 + cos x )dx = x + = 20 2 0 Chọn đáp án C Câu Cho hình phẳng H (phần gạch chéo hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox tính theo cơng thức ? ( ) A x − x + dx − x 4dx −1 B −1 ( ) C x − x + dx 1 −1 −1 4 ( x − x + ) dx − x dx 1 −1 −1 ( y −1 O ) D x dx − x − x + dx −1 y = x2 x y = − x2 Lời giải: Phương trình hồnh đợ giao điểm hai đường y = x2 , y = − x2 là: x2 = − x2 x = 1 Vì x ( − x ) 0, x −1;1 nên thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình H quanh trục Ox là: V = (x ) − (2 − x ) 2 2 −1 1 dx = x − ( x − x + ) dx = ( x − x + ) − x dx −1 1 −1 −1 −1 = ( x − x + ) dx − x dx Chọn đáp án A Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu Cho hình vng OABC có cạnh bằng chia thành hai phần y parabol ( P ) có đỉnh O Gọi S hình phẳng (như hình vẽ ) Tính thể tích V khối tròn xoay cho phần S quay quanh trục Ox 128 128 A V = B V = 64 256 C V = D V = 5 Lời giải: Khi quay hình vng OABC quanh trục Ox ta khối trụ có bán kính đáy R = ; đường cao h = Thể tích khối trụ V1 = R h = 64 (đơn vị thể tích) Vì parabol qua điểm O ( 0;0 ) nên parabol có dạng ( P ) : y = ax ( P ) qua B ( 4; ) nên ta có: ( P ) : y = x Thể tích giới hạn đường ( P ) : y = x ; y = 0; x = 0; x = quay quanh Ox 4 x5 64 1 V2 = x dx = = 16 5 0 Vậy thể tích khối trịn xoay cho S quay quanh trục Ox 64 256 (đơn vị thể tích) V = V1 − V2 = 64 − = 5 Chọn đáp án D Câu Cho hình ( H ) giới hạn trục hồnh, đồ thị mợt Parabol mợt đường thẳng tiếp xúc với Parabol điểm A ( 2; ) , hình vẽ bên Thể tích vật thể trịn xoay tạo hình ( H ) quay quanh trục Ox bằng 16 15 2 C 32 22 D A B Lời Giải: Parabol có đỉnh gốc tọa đợ hình vẽ qua A ( 2; ) nên có phương trình y = x2 Tiếp tuyến Parabol A ( 2; ) có phương trình y = ( x − ) + = x − 2 Suy thể tích vật thể trịn xoay cần tìm V = ( x ) dx − ( x − ) dx 2 (x ) 2 x5 dx = 32 ; = 2 x3 16 x − d x = 16 x − x + d x = 16 ( ) ( ) − x + x = 1 1 1 2 2 2 32 16 16 Vậy V = ( x ) dx − ( x − ) dx = − = 15 2 Chọn đáp án A Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công! 4A B S C O x ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MÔN TỐN! Câu 10 Mợt thùng rượu có bán kính đáy 30cm, thiết diện vng góc với trục cách đều hai đáy có bán kính 40cm, chiều cao thùng rượu 1m (hình vẽ) Biết rằng mặt phẳng chứa trục cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol, hỏi thể tích thùng rượu (đơn vị lít) bao nhiêu? A 425162 lít B 212581 lít C 212,6 lít D 425, lít Lời giải: Chọn hệ trục tọa độ Oxy cho trục Ox chứa trục thùng rượu, trục Oy đường trung trực đoạn thẳng nối hai tâm hai đáy thùng rượu y 40 −50 y=− x2 + 40 250 A ( 50;30 ) 50 O x −40 Khi mặt phẳng Oxy cắt mặt xung quanh thùng rượu đường parabol có đỉnh tḥc Oy nên phương trình parabol có dạng: ( P ) : y = ax + c ( P ) : y = ax + c cắt trục tung điểm có tung độ 40 qua điểm A ( 50;30 ) nên ta có c = 40 y ( ) = 40 a = − x + 40 250 ( P ) : y = − 250 30 = a 50 + c y 50 = 30 ( ) c = 40 Thể tích thùng rượu thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn bởi: ( P ) : y = − x + 40; y = 0; x = 50; x = −50 quanh trục Ox 250 2 406000 x + 40 dx = 2 − x + 40 dx = Vậy thể tích thùng rượu là: V = − 250 250 −50 50 50 425162, 2058cm3 425, 2dm3 = 425, lít Chọn đáp án D Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng Yêu Thích Mơn Tốn ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! C Bài Tập Tự Luyện Câu Cho hàm số y = f ( x ) liên tục đoạn 3; Gọi D hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành hai đường thẳng x = 3, x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính theo cơng thức A V = f ( x)dx B V = f ( x)dx C V = 3 f ( x)dx D V = f ( x)dx 3 Câu Thể tích V vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = x = , biết rằng thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x ( x ) một tam giác đều cạnh sin x A V = B V = 3 C V = D V = 2 Câu Thể tích V vật thể nằm giữa hai đường thẳng x = x = , biết rằng thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x ( x 3) mợt hình trịn có chu vi 2 3x + 33 33 B V = C V = 111 D V = 111 2 Câu Thể tích V phần vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết rằng cắt vật thể mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x (1 x ) ta thiết diện mợt hình lục giác A V = đều có đợ dài cạnh bằng 2x A V = 63 3 B V = 126 3 C V = 63 D V = 126 Câu Tính thể tích V vật thể giới hạn hai mặt phẳng x = x = , biết rằng cắt mặt phẳng tùy ý vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x ( x ) thiết diện nửa hình trịn có bán kính R = x 4− x 64 32 64 32 A V = B V = C V = D V = 3 3 Câu Cho vật thể T giới hạn hai mặt phẳng x = 0; x = Cắt vật thể T mặt phẳng vng góc với trục Ox x ( x ) ta thu thiết diện mợt hình vng có cạnh bằng ( x + 1) e x Thể tích vật thể (T ) bằng (13e A − 1) B 13e D 2 e2 C 2e2 Câu Cho (T ) vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = 0, x = Tính thể tích V (T ) biết rằng cắt (T ) mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ bằng x, x ta thiết diện tam giác đều cạnh bằng + x A V = B V = 3 C V = 3 D V = Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Cơng! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu Tính thể tích vật thể nằm giữa hai mặt phẳng x = x = , biết rằng thiết diện vật thể bị cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh đợ x , (1 x ) một hình chữ nhật có đợ dài hai cạnh x2 + x A 7 −8 B −7 C 16 − D − Câu Thể tích khối trịn xoay tạo thành hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = f ( x ) , trục hoành đường thẳng x = b (phần tô đậm y hình vẽ) tính theo cơng thức đây? ( ( D ) quay quanh trục Ox ) c A S = f ( x ) dx c B S = f ( x ) dx b c O b x b b C S = f ( x ) dx b D S = f ( x ) dx c c Câu 10 Cho hình phẳng D giới hạn với đường cong y = x + , trục hoành đường thẳng x = 0; x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bằng bao nhiêu? 4 A V = B V = 2 C V = D V = Câu 11 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = ex , trục hoành đường thẳng x = 0, x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tích V bằng bao nhiêu? A V = e2 B V = ( e2 + 1) e2 − C V = D V = ( e2 − 1) Câu 12 Cho hàm số y = có đồ thị ( C ) Gọi D hình phẳng giởi hạn ( C ) , trục hoành hai đường thẳng x x = , x = Thể tích khối tròn xoay tạo thành quay D quanh trục hồnh tính cơng thức: A V = x dx B V = x dx 3 C V = x dx D V = x dx Câu 13 Tính thể tích vật thể trịn xoay quay hình phẳng giới hạn đường y = ln x , x = 1, x = e, y = quanh trục Ox tính biểu thức sau đây? e A e ln x d x B ln x d x e C ln x d x e D ln x d x Câu 14 Cho hình phẳng giới hạn đường y = x3 + x , y = 0, x = 0, x = quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành bằng A 7 B C 9 D 5 Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 15 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x3 − x + , y = , x = , x = Gọi V thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox Mệnh đề sau đúng? 2 A V = ( x3 − x + 1) dx B V = ( x3 − x + 1) dx 2 C V = ( x − x + 1) dx D V = ( x3 − x + 1) dx 0 Câu 16 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = −e x + x , trục hoành hai đường thẳng x = ; x = Gọi V thể tích khối trịn xoay thu quay hình ( H ) xung quanh trục hoành Chọn khẳng định khẳng định sau ( ) A V = e − x dx x ( ( ) B V = e x − x dx ) C V = x − e x dx ( ) D V = x − e x dx 1 Câu 17 Thể tích khối trịn xoay hình phẳng giới hạn đường y = x , y = , x = , x = quay quanh trục Ox bằng A 2 B 12 C 21 16 16 D Câu 18 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = x2 , y = x Thể tích khối trịn xoay tạo thành quay ( H ) xung quanh trục Ox bằng A 32 15 B 64 15 C 21 15 D 16 15 Câu 19 Tìm cơng thức tính thể tích khối trịn xoay cho hình phẳng giới hạn parabol ( P ) : y = x đường thẳng d : y = x quay xung quanh trục Ox A ( x − x ) dx 2 2 B x dx − x dx 2 D ( x − x ) dx C x dx + x dx 0 Câu 20 Tính thể tích khối trịn xoay tạo thành quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = 3x − x2 trục hoành, quanh trục hoành A 81 10 B 85 10 C 41 Câu 21 Cho hình phẳng giới hạn đường y = tan x , y = 0, x = 0, x = D 8 quay xung quanh trục Ox Thể tích khối trịn xoay tạo thành là: A ln 2 B ln C D ln Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công! ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! , có đồ thị ( H ) hình vẽ bên, quayy hình ( H ) quanh trục Ox tạo thành khối trịn xoay tích bằng bao nhiêu? Câu 22 Cho hàm số y = cos x với x A C B 2 O D x Câu 23 Cho hình phẳng D giới hạn đường cong y = + sin x , trục hoành đường thẳng x = 0; x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V bằng bao nhiêu? B V = 2 ( + 1) A V = 2 D V = ( + 1) C V = 2 Câu 24 Cho hình phẳng D giới hạn đồ thị hàm số y = tan x , hai đường thẳng x = , x = Khối tròn xoay tạo thành quay D quay quanh trục hồnh tích V A V = + B V = − C + 3 3 trục hoành D V = − 3 Câu 25 Cho hình phẳng ( H ) giới hạn đường y = cos x, y = 0, x = 0, x = Thể tích khối trịn xoay tạo thành cho hình phẳng ( H ) quay xung quanh trục Ox bằng: A ( + ) B +2 C ( + ) +1 D 8 Câu 26 Diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số bậc ba y = f ( x ) 4 y trục tọa độ S = 32 (hình vẽ bên) Tính thể tích vật thể trịn xoay tạo thành quay hình phẳng quanh trục Ox 3328 9216 A B 35 13312 1024 C D 35 O ( ) Câu 27 Một khối cầu có bán kính dm , người ta cắt bỏ hai phần khối cầu bằng hai mặt phẳng song song cùng vng góc với đường kính ( ) cách tâm một khoảng dm để làm một lu (hình vẽ) Thể tích K P lu là: ( ) C 41 ( dm ) 43 dm3 A 3 ( ) D 132 ( dm ) 100 dm3 B O Q A Thầy Hồ Thức Thuận - Sứ Giả Truyền Cảm Hứng u Thích Mơn Tốn I x ĐĂNG KÍ KHĨA HỌC LIVESTREAM – CHINH PHỤC ĐIỂM 8, 9, 10 MƠN TỐN! Câu 28 Trong mặt phẳng cho hình vng ABCD cạnh 2 , phía ngồi hình vng vẽ thêm bốn đường trịn nhận cạnh hình vng làm đường kính (hình vẽ) Thể tích khối trịn xoay sinh hình quay quanh đường thẳng AC bằng 32 16 A B + 4 + 2 3 8 64 C D + + 8 3 Câu 29 Gọi ( H ) hình phẳng giới hạn đồ thị hàm 1− x , y = (phần tô đậm màu đen hình vẽ bên) Thể tích vật x thể trịn xoay tạo thành quay ( H ) quanh trục hoành bằng số y = x, y = 5 A V = − ln 3 5 B V = + ln 3 2 2 C V = ln − D V = ln + 3 3 Câu 30 Chuẩn bị cho đêm hội diễn văn nghệ chào đón năm mới, bạn An làm mợt mũ “cách điệu” cho ơng già Noel có dáng mợt khối tròn xoay Mặt cắt qua trục mũ hình vẽ bên Biết rằng OO = cm , OA = 10 cm , OB = 20 cm , đường cong AB mợt phần parabol có đỉnh điểm A Thể tích mũ bằng: 2750 2500 cm cm A B 3 2050 2250 A' cm cm C D 3 B A O O' 10 Thầy Hồ Thức Thuận - Bứt Phá Để Thành Công! ... ) ta thi? ??t diện một tam giác đều có đợ dài cạnh bằng x − x Thể tích V phần vật thể bằng bao nhiêu? A V = 3 B V = C V = Lời giải: (x Do thi? ??t diện tam giác đều nên diện tích thi? ??t diện... B V = 124 C V = ( 124 ) D V = 32 + 15 Lời giải: Do thi? ??t diện hình chữ nhật nên diện tích thi? ??t diện là: S = x x − 3 1 Thể tích vật thể là: V = S ( x ) dx = 3x 3x − 2dx = 124 ... đường cao h = Thể tích khối trụ V1 = R h = 64 (đơn vị thể tích) Vì parabol qua điểm O ( 0;0 ) nên parabol có dạng ( P ) : y = ax ( P ) qua B ( 4; ) nên ta có: ( P ) : y = x Thể tích giới hạn đường