Hướng dẫn giải các đề thi môn toán phần đại số, tích phân, lượng giác

HƯỚNG DẪN GIẢI CÁC ĐỀ THI MƠN ĐẠI SỐ -TÍCH PHÂN-LƯỢNG GIÁC 2001 Phương pháp điều kiện cần : 1/ ĐH Cần Thơ 2001 : Tìm a để hệ sau có nghiệm : ⎧ x2 + + y = a ⎪ ⎨ ⎪ y + + x = x2 + + − a ⎩ 2/ Y Dược Hà Nội 2001 : Tìm a để hệ có nghiệm với b ⎧ ⎪ (a − 1) x + y = ⎨ ⎪e bx + (a + 1)by = a ⎩ Hướng dẫn : - Điều kiện cần : hệ có nghiệm b = ⇒ a = ± - Điều kiện đủ : ⎧ y =1 → Hệ khơng có nghiệm với ∀b (vì b = → VN) bx ⎩e + 2b = • a = Hệ ⇔ ⎨ • a = −1 → Hệ có nghiệm (0,1) ∀b 3/ ĐH Hồng Đức 2001 : Cho hệ phương trình ⎧ x + y − − K ( x + y − 1) = ⎪ ⎨ ⎪ x + y = xy + ⎩ a/ Giải K = b/ Tìm K để hệ có nghiệm 4/ ĐHSP – ĐH Luật A HCM 2001 Tìm a để hệ sau có nghiệm ⎧( x + 1) = y + a ⎨ ⎩( y + 1) = x + a Phương pháp hình học đố thử : 1/ ĐH A – 2001 2 Trong nghiệm (x,y) BPT 5x + y − 5x − 15 y + ≤ Hãy tìm nghiệm có tổng x + 3y nhỏ Phương pháp đánh giá : 1/ ĐH CSND 2001 : Giải BPT : 3x − x + + Hướng dẫn : BPT ⇔ x − 3x + > x − + 3x − 5x − 1 x − x − + ( − x ) + x − + ( − 3x ) > x − + 3x − x − Xét x ≥ xét x < 2/ ĐH BK Hà Nội 2001 Giải phương trình : x + 8x + + x − = 2x + Hướng dẫn : điều kiện x = −1 ∨ x ≤ − ∨ x ≥ Xét • x ≤ − 3; VT ≥ 0; VP < • x ≥ 1; x = −1 3/ ĐH Ngoại Thương : ⎛ x2 + x + ⎞ Giải phương trình log ⎜ ⎜ x + x + ⎟ = x + 3x + ⎟ ⎝ ⎠ Nhận xét : a = x2 + x + > ∀x b = 2x2+ 4x + > ∀x b – a = x2 + 3x + PT ⇔ log a = b−a b • Nếu b > a : VT < 0, VP > → VN • Nếu b < a : VT > 0, VP < → VN • Nếu b = a : VT = VP = ⎡ x = −1 ⎣ x = −2 PT ↔ 2x2 + 4x + = x2 + x + ⇔ ⎢ 4/ ĐHQG Hà Nội 2001 B : 4x − + 4x − = 1 Hướng dẫn : điều kiện x ≥ 2 Khi x − ≥ x − ≥ ⇒ 4x − + 4x − ≥ Giải phương trình : 5/ ĐHQG TP.HCM 2001 : a/ Tìm giá trị lớn nhỏ : f(x) = 2x3 + 3x2 – 12x [−3,3] b/ Tìm x ∈ [−3,3] phương trình : 2x3 + 3x2 – 12x = – 3.2x –12.2−x 6/ ĐH Thủy Lợi 2001 : Giải phương trình : x −1 − x Hướng dẫn : PT ⇔ x −1 + x − = x −x = ( x − 1) 2 −x + x − x (1) t + t hàm tăng ∀t, nên PT f(x) = f(y) ⇔ x= y Vậy (1) ⇔ x – = x − x ⇔ x = Đặt f(t) = 7/ ĐH Xây Dựng 2001 : x −1 x −1 Giải BPT x − 8e > x ( x e − 8) Hướng dẫn : BPT ⇔ ( x + 8)( x − e Đánh giá x −e x −1 x −1 )>0 < , ∀x≠1 BPT ⇔ x + < ⇔ x < −2 Phương pháp đoán nghiệm chứng minh : 1/ HVBCVT 2001 x + − 3x − = Giải phương trình : x+3 Hướng dẫn : điều kiện x ≥ • x = nghiệm ⎡2 ⎤ ⎡2 ⎤ • VT hàm giảm/ ⎢ ,+∞ ⎥ ⎣3 ⎦ • VP hàm tăng/ ⎢ ,+∞ ⎥ ⎣3 ⎦ Phương pháp ẩn dụ : 1/ ĐH CSND : Giải PT : log x x − 14 log 16 x x + 40 log x = 2/ ĐH Công Đoàn : log (4 x + 4) = x − log (2 x +1 − 3) 3/ ĐH Y Dược Hà Nội : Giải BPT : ( x + 1) log x + ( x + 5) log x + ≥ 2 Hướng dẫn : đặt y = log x Có giải BPT đồ thị 4/ ĐH Đông Đô 2001 : Giải PT : 5/ log x [log (9 x − 6)] = ĐH Hồng Đức 2001 : − 7.3 Giải PT : 5.3 Hướng dẫn : đặt t = 3x x −1 6/ x −1 + − 6.3x + x +1 = ĐH Kinh Tế Quốc Dân 2001 Giải PT : log x +7 (9 + 12x + 4x ) + log x +3 (6x + 23x + 21) = log x + (2x + 3) + log x +3 (2x + 3)(3x + 7) = Đặt t = log x + ( x + 3) Hướng dẫn : PT ⇔ 7/ ĐH Mở 2001 : Giải PT : x + − x = + 3x − x 2 Hướng dẫn : đặt t = x + − x PT thành : 3t2 – 2t – = 8/ ĐH Mở – Bán Công 2001 : Cho PT : 2.4 − 5.2 +m=0 a/ Giải PT m = b/ Tìm m để PT có nghiệm x −1 9/ Đại học Ngoại Ngữ Hà Nội 2001 : x +1 + x − + Giải PT : 10/ x −1 (x + 1)(x − 4) = ĐH Dân Lập Ngoại Ngữ – Tin Học 2001 : Giải PT : ( x + 3)(1 − x ) = −5 x + x − 11/ 12/ ĐH Nông Nghiệp 2001 : Giải PT : log x (2 + x ) + log x=2 2+ x ĐH Phịng cháy chữa cháy 2001 : Tìm m để BPT sau nghiệm với ∀x ≤ 0; x ≥ 2 m.4 x − x + (m + 1)10 x − x − 251+ x − x > 13/ ĐHDL Phương Đông 2001 : Giải PT : 14/ log (9 x +1 − 4.3 x − 2) = 3x + HV Ngân Hàng A 2001 : Giải PT : x + 3x + = ( x + 3) x + 2 Hướng dẫn : đặt t = 15/ ĐHSP Luật A HCM 2001 Giải PT : 16/ x2 +1 log 2 x − x log = 2.3log 2 4x2 ĐH Thương Mại 2001 : ⎧1 + x y = 19x (1) Giải hệ : ⎨ 2 ⎩ y + xy = −6x (2) Hướng dẫn : x= nghiệm (1) Chia (1) với (2) + x y 19 x (xy ≠ −1) ⇒ = y + xy −6 ⇔ 6( xy ) + 19( xy ) 19( xy ) + = 17/ Viện ĐH Mở Hà Nội 2001 : Giải BPT : log ( x − 5) + log 5 ( x − 5) + log ( x − 5) − log 25 ( x − 5) + ≤ 18/ 25 ĐH Y Hà Nội 2001 : Giải BPT : 2x + x − 5x + > 10x + 15 Phương pháp biến đổi tương đương : 1/ ĐH An Ninh A 2001 : Giải PT : log (3x − 1) + 2/ = + log ( x + 1) log x +3 ĐH An Ninh D 2001 : Tìm tập xác định : y = 3/ log ( x + 2) log 2− x − ĐH An Giang : a/ Giải BPT : log x 2 x ≥ b/ x − x −3 x2 < x2 − + − x − Hướng dẫn câu b : điều kiện x≥ → x2 – > • Xét − x − ≥ ⇔ ≤ x ≤ ⇒ VN • Xét − x − < ⇔ x > Ap dụng ⏐A⏐< B 4/ HV Công Nghệ BCVT 2001 : x+3 Hướng dẫn : nhân vế cho x + + 3x − PT ⇔ 5( x + 3) = ( x + 3)( 4x + + 3x − ) Giải PT : x + − 3x − = 5/ HV Kỹ Thuật Quân Sự : Giải PT : 3(2 + x − ) = 2x + x + Hướng dẫn : PT ⇔ x − − x + = 2x − Nhân vế x − + x + ⇔ 4( 2x − 6) = ( 2x − 6)(3 x − + x + ) 6/ ĐH Huế D : + 3.15 x − x +1 = 20 x x +1 Hướng dẫn : PT ⇔ ( + )(3 − 5) = Giải PT : 12.3 7/ x ĐH Kiến Trúc Hà Nội 2001 : x − 4x + − 2x − 3x + ≥ x − Hướng dẫn : BPT ⇔ ( x − 1)( x − 3) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Giải BPT : 8/ Kinh Tế Quốc Dân 2001 : ( x + 5)(3x + 4) > 4( x − 1) 9/ ĐH Ngoại Thương CS2 – 2001 : Giải BPT : x +1 − 1− x ≥ x Hướng dẫn : nhân vế BPT cho 10/ 1+ x + 1− x ĐH Nông Nghiệp 1A 2001 : Giải biện luận BPT : log a (log a ) + log a (log a x ) ≥ log a x 11/ HV Ngân Hàng 2001 : Giải PT : log x + log x = + log x log x 12/ ĐHSP Vinh A 2001 : x2 > x−4 a/ Giải BPT : (1 + + x ) Hướng dẫn : x≠ 0, nhân tử mẫu cho (1 − + x ) b/ log ( x − 13/ x − 1) log ( x + x − 1) = log 20 ( x − x − 1) ĐH Tài Chính Kế Toán Hà Nội 2001 : ⎛1⎞ ⎝ 3⎠ log [log ( Giải BPT : ⎜ ⎟ 14/ ≥1 x + + x +1 + x + − x +1 = a + 2x + a − 2x = a ĐH Thủy Sản 2001 : Giải PT : (log ⎛ x + log x x log x + ⎜ log ⎜ ⎝ ) Hướng dẫn : PT ⇔ (log x + 1) + 17/ x +5 ĐH Thủy Sản 2001 : Giải biện luận 16/ x log x −1 +2 ) +3] ĐH Thủy Sản 2001 : Giải PT : 15/ x + log x 2⎞ ⎟ log x = x⎟ ⎠ (log x − 1) = ĐH Y Dược HCM 2001 : x − 3x + + x − 4x + ≥ x − 5x + 2 2 b/ Tìm m để BPT : log ( x − x + 2m − 4m ) + log ( x + mx − 2m ) = a/ Giải BPT : có nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa x12+x22 > Hệ ẩn : 1/ ĐH An Ninh 2001 A : ⎧x ( x + 2)(2 x + y) = 9(1) ⎩ x + x + y = 6(2) Giải hệ ⎨ Hướng dẫn : PT (2) ⇔ (x2 + 2x) + (2x+y) = 2/ ĐH Đà Nẵng 2001 : ⎧ x − xy − y = 2 ⎩x y − xy = Giải hệ ⎨ 3/ ĐH Đông Đô : ⎧ x+9 + y−7 = ⎩ y+9 + x−7 = Giải hệ ⎨ 4/ HV Công Nghệ VT : ⎧x + xy + y = 19( x − y) Giải hệ PT ⎨ 2 ⎩ x − xy + y = 7( x − y) ⎧( x − y) + 3xy = 19( x − y) Hướng dẫn : ⎨ ⎩ ( x − y) + xy = 7( x − y) ⇒ (x – y)2 – (x – y) = 5/ ĐH Huế : ⎧log ( x + y) + log a ( x − y) = 1(1) x − y = a (2) ⎩ Cho < a ≠1 hệ ⎨ Tìm a để hệ có nghiệm giải hệ trường hợp Hướng dẫn : PT (1) ⇔ (1 − log a ) log ( x − y) = log a (1 − log a ) 6/ ĐH Kinh Tế HCM 2001 : ⎧ xy − y = 12 Cho hệ ⎨ ⎩x − xy = 26 + m a/ Giải hệ m = b/ Định m để hệ có nghiệm 7/ ĐH Mở 2001 : ⎧ ( x + y).3 = Giải ⎨ x −y =0 ⎩8( x + y) − 8/ ĐH Ngoại Ngữ HN 2001 : ⎧x + y = Giải hệ PT ⎨ 3 ⎩x + y = 9/ ĐH Ngoại Thương 2001 : ⎧x − 3x = y − 3y(1) Giải hệ ⎨ b ⎩ x + y = 1(2) Hướng dẫn : từ (1) → |x| ≤ 1, |y| ≤ Đặt f(t) = t3 – 3t ; |t| ≤ f'(t) = 3t2 – ≤ , ∀t ∈ [−1, 1] → f(t) giải / [−1, 1] nên từ (1) ⇔ f(x) = f(y) ⇔ x = y 10/ ĐH Phòng cháy chũa cháy 2001 : ⎧ x+ y =2 ⎩ x +3 + y+3 = Giải hệ ⎨ 11/ ĐH Nông Nghiệp 1A 2001 : ⎧( x − y) y = Giải ⎨ 3 ⎩ x − y = 19 Hướng dẫn : hệ đẳng cấp, đặt x = ky 12/ ĐHSP HMC D 2001 : ⎧ x +1 + y − = m ⎩ y +1 + x − = m Cho hệ ⎨ a/ Giải hệ m = b/ Định m để hệ có nghiệm 13/ ĐHSP Vinh D 2001 : ⎧ x + y = 1(1) Giải hệ ⎨ 9 4 ⎩x + y = x + y (2) ⇔ x4(x5 – 1) + y4 (y5 – 1) = ⇔ -x4y5 – y4x5 = Hướng dẫn : hệ (2) 14/ ⇔ x4y4 (y + x) = ĐH Tài Chính Kế Tốn Hà Nội 2001 : ⎧x + y = Giải hệ ⎨ 6 ⎩x + y = ⇒ x4 (1 – x2) + y4 (1 – y2) = (3) ⇒ ≤ x2, y2 ≤ → VT3 ≥ Hướng dẫn : Hệ Từ (1) 15/ ĐH Thái Nguyên : ⎧x + = y Giải hệ ⎨ ⎩y + = 2x 16/ ĐH Thủy Lợi 2001 : ⎧ ⎪2 x + y = ⎪ Giải hệ ⎨ ⎪2 y + x = ⎪ ⎩ 17/ x2 y2 Viện ĐH Mở Hà Nội 2001 : ⎧ x y ⎪ + = 3(1) Giải hệ ⎨ y x ⎪ x − y + xy = 3( 2) ⎩ Hướng dẫn : đk xy > (1) ⇔ (x – y)2 = xy ⇔ (x – y)+2 + x – y – = (2) Bất đẳng thức : 1/ ĐH An Giang (2001) Cho a ≥ 0, b ≥ 0, a + b = CMR : b/ a3 + b3 ≥ a/ a2 + b2 ≥ 2/ HD : a/ BCS b/ cosi hàm số CM : ∀t ∈ [−1, 1] ta có : 1+ t + 1− t ≥ 1+ 1− t2 ≥ − t2 Giải PT : 3/ + x − x + − x − x = 2( x − 1) (2 x − x + 1) ĐH Phòng cháy chữa cháy : CMR ∀a, b, c ≥ log b + c a + log c + a b + log a + b c > (1) Hướng dẫn : Giả sử a ≥ b ≥ c, b ≥ ⇔ ab ≥ 2a ≥ a + b → lnab ≥ ln(a + b) Tương tự : lnbc ≥ ln (b + c); lnac ≥ ln (a + c) ln a ln b ln c + + ≥1 ln(b + c) ln(c + a ) ln(a + b) ln a ln b ln c VT ≥ + + ≥ >1 ln b + ln c ln c + ln a ln a + ln b (1) ⇔ 4/ ĐHDL Phương Đông 2001 : Cho a + b + c = CM : a + b3 + c3 = abc Hướng dẫn : a + b = - c ⇔ a3 + b3 + 3ab(a + b) = −c3 5/ ĐHSP Vinh 2001 CMR a, b, c độ dài cạnh Δ có chu vi = : 3a2 + 3b2 + 3c2 + 4abc ≥ 13 Hướng dẫn : giả sử a ≤ b ≤ c Vì c < a + b ⇒ 2c < 3 ⎛3 3 ⎞ ⇒ ⎜ − c ⎟ > ⇒ − a > 0; − b > ⎝2 2 ⎠ ⎞⎛ ⎞ ⎛3 ⎞⎛ Ap dụng côsi ⇒ ⎜ − a ⎟⎜ − b ⎟⎜ − c ⎟ ≤ ⎝2 ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ ⇒ c< Khai triển rút gọn sử dụng đẳng thức (a + b + c)2 ⇒ đpcm 6/ Viện ĐH Mở Hà Nội 2001 Cho x, y > CM : 1 y + ≥ x y x+y HD : dùng cơsi Phương trình có n nghiệm : 1/ Tìm m để hệ sau có nghiệm phân biệt : ⎧ log ( x + 1) − log ( x − 1) > log ⎨ ⎩log ( x − 2x + 5) − m log x − x +5 = 2/ ĐH Thái Nguyên 2001 Tìm m để PT : x4 – 2mx2 – x + m2 – m = có nghiệm phân biệt ⎡ m = x2 − x HD : xem PT PT bậc ẩn m, giải ⎢ ⎣m = x + x + PT ⇔ (m – x2 + x)(m – x2 – x – 1) = 3/ ĐH Thương Mại 2001 Tìm m để PT : ( m − 1) log ( x − 2) − ( m − 5) log ( x − 2) + m − = 2 Có nghiệm thỏa : < x1 ≤ x2 < Tích phân : 1/ ĐHBK Hà Nội 2001 Tính Shp giới hạn y = − − x 2/ x2 + 3y = ĐHCSNG 2001 : ⎧ x = 0, x = ⎪ ⎪ Tính Shp giới hạn ⎨ x ⎪ y = 0, y = ⎪ 1− x4 ⎩ 3/ YD Hà Nội 2001 : π cos x − sin x dx (cos x + sin x ) π HD : đặt x = − π sin x − cos x → I=J= ∫ dx (cos x + sin x ) π π sin x + cos x dx → 2I = ∫ = ∫ π (cos x + sin x ) cos ( x − ) Tính I = ∫ 5/ HVBCVT 2001 : ⎧ y = x.e x ⎪ y=0 Tính Shp giới hạn ⎨ ⎪x = −1; x = ⎩ 10 6/ HVQS 2001 : a − x2 x (a, b > 0) 2 a (a + x ) b b dx x dx HD : I = ∫ − 2∫ 2 a a + x a (a + x ) b Tính I = ∫ Đặt x = 7/ a tgt phần u = x; dv = xdx (a + x ) ĐH Hồng Đức 2001 π Tính I = ∫ ( cos x − sin x )dx HD : đặt x = π π − t → I = J = ∫ ( sin x − cos x )dx Mà J = −I → I = 8/ ĐH Kiến Trúc Hà Nội 2001 (π ) Tính I = sin x dx ∫ π x ⇔ x = t3 HD : đặt t = → I = ∫ 3.t sin t.dt 9/ ĐH KTQD 2001 ⎧ y = x − x ( p) ⎪ Tính Shp giới hạn ⎨ ⎛5 ⎞ tt với (p) qua A ⎜ ,6 ⎟ ⎪ ⎝2 ⎠ ⎩ 10/ ĐH KT HCM 2001 π a/ Tính I = ∫ tg x dx cos x b/ Cho hp (D) giới hạn y = lnx, y = 0, x = e Tính V (D) quay quang Ox 11/ ĐH Mở 2001 π sin x + cos x dx Tính I = ∫ −π 6x + x f ( t )dt x HD : ∫ t = ∫ f ( t )dt với a> 0, f hàm chẵn −x a + π π ⎛5 ⎞ + cos x ⎟dx ⎝8 ⎠ Đặt u = −t, et/R → I = ∫ (sin x + cos x )dx = ∫ ⎜ 12/ ĐH DL Ngoại Ngữ Tin Học HN 2001 1− x dx x + x + x +1 a/ Tính I = ∫ 11 π b/ Tính J = ∫ (1 − cos x ).sin x.dx (x = 0,1,2) 13/ ĐH Ngoại Ngữ HN 2001 Tính I = ∫ (1 − x − x ).dx 14/ ĐH Ngoại Ngữ 2001 A π sin x dx sin x + cos x π sin x I= ∫ dx + cos x 8 Tính I = ∫ HD : 15/ Ngoại Thương CS2 – 2001 cot gx + sin x cot gx cos x cos x sin x HD : f ( x ) = = = 9 + sin x sin x (1 + sin x ) sin x (1 + sin x ) cos x.sin x cos x sin x = − sin x + sin x cos x cos x sin x → ∫ f ( x ).dx = ∫ dx − ∫ dx sin x 9(1 + sin x ) = ln sin x − ln + sin x + c Tìm nghiệm hàm f(x) = 16/ ĐH Nông Lâm HCM 2001 π 2 a/ Tính ∫ cos x sin x.dx π π 2 b/ CM : ∫ cos x cos x.dx = ∫ cos x sin x sin x.dx π 5 c/ Tính ∫ cos x cos x.dx HD : b/ dùng tích phân phần u = cos6x, dv = cos6x.dx ⇒ đpcm π π c/ ∫ cos x cos x.dx = ∫ cos x cos(6 x + x )dx π π = ∫ cos x cos x cos x.dx − ∫ cos x sin x sin x.dx = (câu b) 17/ ĐH Nơng Nghiệp 2001 π cos x dx Tính I = ∫ π sin x 12 π cos x (1 − sin x ) dx π sin x HD : I = ∫ π cos x − cos x.sin x + sin x cos x I= ∫ dx π sin x π 2 = − ∫ cot g x π 18/ Học viện Ngân Hàng 2001 Tính ∫ 19/ π π 2 cos x + cos x + ∫ dx − ∫ dx 2 π sin x π sin x 4 x −1 dx đồng ( x + 5x + 1)( x − 3x + 1) ĐHQC HCM 2001 π sin x Đặt I = ∫ dx sin x + cos x π cos x J= ∫ dx sin x + cos x a/ Tính I – 3J; I + J 5π cos 2x dx π cos x − b/ Tù kết tính I, J K = ∫ HD : Giải K Đặt t = x − π →K= − ∫ 3π cos t sin t − cos t → K = I= J = … 13 ... Nội : Giải BPT : ( x + 1) log x + ( x + 5) log x + ≥ 2 Hướng dẫn : đặt y = log x Có giải BPT đồ thị 4/ ĐH Đông Đô 2001 : Giải PT : 5/ log x [log (9 x − 6)] = ĐH Hồng Đức 2001 : − 7.3 Giải PT... + ( x + 3) Hướng dẫn : PT ⇔ 7/ ĐH Mở 2001 : Giải PT : x + − x = + 3x − x 2 Hướng dẫn : đặt t = x + − x PT thành : 3t2 – 2t – = 8/ ĐH Mở – Bán Công 2001 : Cho PT : 2.4 − 5.2 +m=0 a/ Giải PT m =... = 20 x x +1 Hướng dẫn : PT ⇔ ( + )(3 − 5) = Giải PT : 12.3 7/ x ĐH Kiến Trúc Hà Nội 2001 : x − 4x + − 2x − 3x + ≥ x − Hướng dẫn : BPT ⇔ ( x − 1)( x − 3) − ( x − 1)(2 x − 1) ≥ x − Giải BPT : 8/