Chuyên đề hình học không gian (Hướng dẫn giải các dạng bài tập từ các đề thi quốc gia toán học. )

Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Chuyên đề 5: HÌNH HỌC KHÔNG GIAN KIẾN THỨC CĂN BẢN QUAN HỆ SONG SONG a I ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG c b  Định nghóa: a // b  a  b =  vaø a, b  ()   Định lí 1: a // b   a      ()  () = c song song với a b trùng với a b b     II ĐƯỜNG THẲNG SONG SONG VỚI MẶT PHẲNG  Định nghóa: a // ()  a  () =   Định lí 2: (Tiêu chuẩn song song) a // b, b     a // ()   a     a b    Định lí 3: a //       ()  () = b // a a    III HAI MẶT PHẲNG SONG SONG  Định nghóa: () // ()  ()  () =   Định lí 4: (tiêu chuẩn song song) a,b caé t      () // ()   a // a,b // b,a.b     a  b a b  a' b'    Định lí 5:  //            a  a // b      b  a b   157 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  Định lí 6: (Định lí Talet không gian) Các mặt phẳng song song định hai cát tuyến đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ AB BC AC () // () //     AB BC AC a b A A’  B’ B AA', BB', CC' // () AB BC AC    AB BC AC  C’ C  QUAN HỆ VUÔNG GÓC I ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG  Định nghóa: a  ()  a  b, b  ()  Định lí 1: (Tiêu chuẩn vuông góc) a  b   a  ()  a  c  b,c caé t   a b S a  Định lí 2: (Định lý đường vuông góc) a có hình chiếu a' mặt phẳng  chứa b a  b  a'  b  (   ,  ) = vuoâng  a  b, b  ()  Định lí 3: (Tiêu chuẩn vuông góc) a       a       II HAI MAËT PHẲNG VUÔNG GÓC  Định nghóa: ()  () 158 H a' a b A   c  Định líù 4:          c  ()                 c c   Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU I ĐỊNH NGHĨA AB đoạn vuông góc chung a b A  a, B  b  AB  a, AB  b a b A B II DỰNG ĐOẠN VUÔNG GÓC CHUNG a  b  Qua b dựng mặt phẳng ()  a A  Trong () dựng qua A, AB  b B AB đoạn vuông góc chung A M a a  b Caùch 1:  Qua b dựng mặt phẳng () // a H a'  Lấy M a, dựng MH   B b   Qua H dựng a' // a cắt b B  Từ B dựng BA // MH cắt a A AB đoạn vuông góc chung b Cách 2: A B  Lấy O a b'  Qua O dựng mặt phẳng   a O O H  Dựng hình chiếu b' b    Dựng OH  b'  Từ H dựng đường thẳng // a cắt b B  Qua B dựng đường thẳng // OH cắt a A AB đoạn vuông góc chung III KHOẢNG CÁCH GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG CHÉO NHAU d(a, b) = AB độ dài đường vuông góc chung () chứa b () // a d(a, b) = d(a, ()) HÌNH CHÓP  Vấn đề 1: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH CHÓP I ĐỊNH NGHĨA Hình chóp hình đa diện có mặt đa giác, mặt khác tam giác có chung đỉnh 159 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Chiều cao h khoảng cách từ đỉnh tới đáy S Hình chóp hình chóp có đáy đa giác cạnh bên Đỉnh hình chóp có hình chiếu A C tâm đáy  H Hình chóp tam giác gọi tứ diện hình B tứ diện Hình tứ diện hình chóp tam giác có đáy mặt được, đỉnh điểm Hình tứ diện hình tứ diện có cạnh II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh hình chóp đều: Sxq = nad n: số cạnh đáy; a: độ dài cạnh đáy d: độ dài trung đoạn Diện tích toàn phần: Stp = Sxq + B B diện tích đáy III THỂ TÍCH S Thể tích hình chóp: V = Bh A C’ ’ B’ Thể tích tứ diện: V = dab.sin  A C a, b: độ dài hai cạnh đối d: độ dài đoạn vuông góc chung B : góc hai cạnh đối Tỉ số thể tích hai hình chóp tam giác có chung đỉnh cạnh bên VSABC SA.SB.SC  VSABC SA.SB.SC S HÌNH CHÓP CỤT I ĐỊNH NGHĨA Hình chóp cụt phần hình chóp nằm đáy thiết diện song song với đáy Hình chóp cụt từ hình chóp gọi hình chóp cụt A'B'C'D' ∽ ABCD SH SA AB   SH SA AB 160 D’ A’ B’ A H’ C’ D H B C Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – II DIỆN TÍCH Stp = sxq + B + B' (na + na').d n: số cạnh đáy; a, a': cạnh đáy d: độ dài đoạn, chiều cao mặt bên Diện tích xung quanh hình chóp cụt đều: Sxq = III THỂ TÍCH V = V1 – V2 V1: thể tích hình chóp V: thể tích hình chóp cụt V2: thể tích hình chóp V1  SH 3   V2  SH  V= B, B' diện tích đáy h chiều cao h(B + B' + BB ) B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB = BC = 2a; hai mặt phẳng (SAB) (SAC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M trung điểm AB; mặt phẳng qua SM song song với BC, cắt AC N Biết góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 600 Tính thể tích khối chóp S.BCNM khoảng cách hai đường thẳng AB SN theo a Giải ª S Tính thể tích khối chóp S.BCNM   SAB   ABC    SA   ABC    SAC    ABC   H M A  BC//  SMN    MN // BC   SMN    ABC   MN   AB  BC  giả thiế t    (SBC),(ABC)  SBA  600  SB  BC  BC  (SAB)   Trong tam giác vuông SBA ta coù SA = AB.tan SBA  2a  Diện tích hình thang BCNM S =  B 1 3a2 VS.BCNM =  SBCNM SA  2a  a3 3  I N  C 1 3a2  BC  MN  BM   2a  a  a  2 161 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – ª Tính khoảng cách hai đường thẳng AB SN Dựng mặt phẳng chứa SN song song với AB cách vẽ NI song song với AB cho AMNI hình vuông Suy AB // (SNI) Ta có AB // (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) Veõ AH vuông góc với SI H Dễ dàng thấy AH  (SNI)  d(AB,SN) = d(A, (SNI)) = AH 1 1 13 Trong tam giác vuông SAI ta coù      2 AH SA AI 12a a 12a2 Suy ra: d(AB, SN) = AH  2a 39 13 Cách 2: Bài toán ta sử dụng cách cách xây dựng mặt phẳng (SNI) chứa SN song song với AB, d(AB, SN) = d(A, (SNI)) Cách 3: Xét hệ trục Oxyz hình vẽ  A Oy nên xA = zA = 0, coøn yA = BA = 2a  A(0; 2a; 0) M y A  B  O  B(0; 0; 0)  C Ox neân yC = zC = 0, coøn xC = BC = 2a  C(2a; 0; 0)  z S BO P N S (Oyz) neân xS = 0, yS = BA = 2a zS = SA = 2a  S(0; 2a; 2a ) x C  M Oy neân xM = zM = 0, coøn yM = BM = a M(0; a; 0)  N (Oxy) nên zN = 0, xN = BP = a vaø yN = BM = a  N(a; a; 0) Ta coù: d(AB, SN) =  AB,SN  BN 2a 39    13  AB,SN    Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC) Biết SB = 2a SBC  300 Tính thể tích khối chóp S.ABC khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC) theo a Giải  Vẽ SH vuông góc với BC H Vì (SBC)  (ABC) nên SH  (ABC) 162 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  SH = SB.sin300 = a S  SABC = AB.BC = 6a2  VS.ABC = SH.SABC = 2a3  2a 300 4a H B Vẽ HM vuông góc với AC M  BC  (SHM) A  HK  (SAC)  HK = d(H, (SAC))  C M 3a Veõ HK vuông góc với SM K K BH = SB.cos300 = 3a  HC = a  BC = 4HC  d(B, (SAC)) = 4d(H, (SAC)) AB2  BC2  5a  AC =  BCA đồng dạng MCH   SAM vuông H có HK đường cao neân: HK   HM  SH  25 9a Vaäy d(B,(SAC)) = 4HK   HM AB AB.HC 3a  HM    HC AC AC 3a  28 9a  HK  3a 14 6a 7 Cách 2: Ta tính: d(B,(SAC)) = 3VSABC SSAC Ta coù: +) AB  (SBC)  AB  SB  SA  SB2  AB2  a 21 +) SC  SH2  HC2  2a Mà AC = 5a nên SA2 + SC2 = AC2 , suy tam giaùc SAC vuông S Do đó: SSAC = SA.SC = a2 21 Vaäy d(B,(SAC)) = 3VSABC 3.2a3 6a  = SSAC a 21 Baøi 3: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2011 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC tam giác vuông cân B, AB=a, SA vuông góc với mặt phẳng (ABC), góc hai mặt phẳng (SBC) (ABC) 300 Gọi M trung điểm cạnh SC Tính thể tích khối chóp S.ABM theo a 163 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải S BC vuông góc với mặt phẳng SAB a Góc SBA = 300 neân SA = BC a d(C,(SAB)) =  2 d(M,(SAB)) = M 1 a  a a3 Vậy VS.ABM = VM.SAB =  a  = 3  36 A C a Caùch 2: 300 a3 VS.ABC = SABC SA = 18 B SABM SM a3    VS.ABM = SABC SC 36 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a Gọi M N trung điểm cạnh AB AD; H giao điểm CN DM Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) SH = a Tính thể tích khối chóp S.CDNM khoảng cách hai đường thẳng DM SC theo a Giải 1a 1a 5a2 a S(NDCM)= a2     (ñvdt) 22 22 5a2 5a3 (ñvtt) a  24  V(S.NDCM)= NC  a2  M A B a N a2 a  D Ta có tam giác vuông AMD NDC H C Nên góc NCD = ADM Vậy DM vuông NC Vậy ta coù: DC2  HC.NC  HC  a2 a  2a Ta có tam giác SHC vuông H, khoảng cách DM SC chiều cao h vẽ từ H tam giác SHC Neân 164 h  HC  SH  4a  3a  19 12a h 2a 19 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, cạnh bên SA = a; hình chiếu vuông góc đỉnh S mặt phẳng (ABCD) điểm H thuộc đoạn AC AC, AH  Gọi CM đường cao tam giác SAC Chứng minh M trung điểm SA tính thể tích khối tứ diện SMBC theo a Giải S a 2 a 14 Ta coù SH  a         D 14a2  3a  32a2 SC    a = AC   16   16   Vậy SCA cân C nên đường cao hạ từ C A xuống SAC trung điểm SA Từ M ta hạ K vuông góc với AC, nên MK = SH M a K   a 14 a3 14  Ta có V(S.ABC)   a2  (đvdt) 3  24 Neân V(MABC) = V(MSBC) = C H B a3 14 V(SABC) = (ñvdt) 48 Bài 6: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2010 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình vuông cạnh a, mặt phẳng (SAB) vuông góc với mặt phẳng đáy, SA = SB, góc đường thẳng SC mặt phẳng đáy 450 Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD Giải Gọi H trung điểm AB S Ta có tam giác vuông SHC, có góc SCH = 45 nên tam giác vuông cân Vaäy HC  SH  a2  B a2 a   a a3 (ñvtt) V  a2  C H A D 165 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 7: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2009 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình thang vuông A D; AB = AD = 2a; CD = a; góc hai mặt phẳng (SBC) (ABCD) 60 Gọi I trung điểm cạnh AD Biết hai mặt phẳng (SBI) (SCI) vuông góc với mặt phẳng (ABCD), tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a Giải (SIB)  (ABCD) vaø (SIC)  (ABCD) Suy SI  (ABCD) S Keû IK  BC (K  BC)  BC  (SIK)  SKI  60o Diện tích hình thang ABCD: SABCD = 3a2 Tổng diện tích tam giác ABI CDI 3a2 I BC   AB  CD 2  AD2  SI  IK.tan SKI   a  IK  B C K D 3a2 Suy SIBC = A 2SIBC 5a  BC 15a Thể tích khối chóp: S.ABCD: V = 15a3 (đvtt) SABCD SI  Bài 8: CAO ĐẲNG KHỐI A, B, D NĂM 2009 Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có AB = a, SA = a Gọi M, N P trung điểm cạnh SA, SB CD Chứng minh đường thẳng MN vuông góc với đường thẳng SP Tính theo a thể tích khối tứ diện AMNP Giải Gọi I trung điểm AB Ta có: MN // AB // CD vaø SP  CD  MN  SP SIP cân S, SI2 = 2a2  a a2 7a2  SI = SP =  4 7a2  a  6a2    Gọi O tâm hình vuông ABCD, ta có SO = SI – OI = 2  SO = 2 a , H laø hình chiếu vuông góc P xuống mặt phẳng SAB 1 SO.IP a a  a  Ta coù S SIP   SO.IP  PH.SI  PH  2 SI a 7 166 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán hoïc – Suy d1  a 2 a Vậy khoảng cách từ H đến mặt phẳng (SCD) là: d  d1  3 Bài 14: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2006 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD hình chữ nhật với AB = a, AD = a , SA = a vaø SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD) Gọi M, N hai trung điểm AD SC I giao điểm BM AC Chứng minh mặt phẳng (SAC) vuông góc với mặt phẳng (SMB) Tính thể tích khối tứ diện ANIB Giải AM BA Xét ABM BCA vuông có   AB BC S   ABM đồng dạng  BCA  ABM  BCA  AMB  BAC  BCA  BAC  90o  AIB  90o  MB  AC SA  (ABCD)  SA  MB a (1) (2) a Từ (1) (2)  MB  (SAC) N A I  (SMB)  (SAC) Goïi H trung điểm AC Ma H B  NH đường trung bình  SAC SA a  NH   NH // SA nên NH  (ABI) 2 Do VANIB  NH.SAIB AI  AB  BI   AM  AI  D C a , BI2  AB2  AI2 a a2 a a2 a3  VANIB  (ñvtt)  SABI   6 36 Bài 15: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2006 Cho hình chóp tam giác S.ABC có đáy ABC tam giác cạnh a, SA = 2a SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) Gọi M, N hình chiếu vuông góc A đường thẳng SB SC Tính thể tích khối chóp A.BCNM Giải Thể tích khối chóp A.BCMN Gọi K trung điểm BC 170 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – H hình chiếu vuông góc A SK Do BC  AK, BC SA neân BC  AH S Do AH  SK, AH  BC neân AH  (SBC) Xét tam giác vuông SAK: AH  SA  AK  AH  3a N 19 Xét tam giác vuông SAB: SA2  SM.SB  SM SA   SB SB Xét tam giác vuông SAC: SA2  SN.SC  Suy ra: M A H C K B SN SA2   SC SC2 SSMN 16 9 19a2   SBCMN  SSBC  SSBC 25 25 100 3a3 Vaäy thể tích khối chóp A.BCMN V  AH.SBCMN  (đvtt) 50 Bài 16: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD có cạnh đáy a, góc cạnh bên mặt đáy  (00 <  < 900) Tính tang góc hai mặt phẳng (SAB) (ABCD) theo  Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a  Giải Ta có góc cạnh bên mặt đáy  S Suy SBO =  SOB coù tan = SO a  SO = tan  BO Veõ OI  AB    AB  (SIO) Ta coù SO  AB  Góc (SAB) (ABCD) SIO a tan  SO tan SIO =   tan  a IO  C D I O a B A 1a a3 VSABCD  SO.SABCD  tan .a2  tan  (đvtt) 3 171 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Bài 17: Cho hai mặt phẳng (P) (Q) vuông góc với nhau, có giao tuyến đường thẳng  Trên  lấy hai điểm A, B với AB = a Trong mặt phẳng (P) lấy điểm C, mặt phẳng (Q) lấy điểm D cho AC, BD vuông góc với  AC = BD = AB Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BCD) theo a Giải Gọi I trung điểm BC (d) qua I, (d)  (ABC) trục đường tròn ngoại tiếp ABC vuông cân A (d)  (DC) = F trung điểm DC (do BF trung tuyến  vuông)  F tâm mặt cầu ngoại tiếp tứ dieän: DC a R = FD =  2 D d a F (BC = a ; BD = a)  P    Q    P    Q    Ta coù :  BD   Q  BD  Q    A a B I  H C Maø AI  (P)  BD  AI, BC  AI (do ABCD vuông cân) a 2 Cách 2: Chọn hệ trục Axyz cho A(0; 0; 0) B(0; a; 0) D(a; a; 0) C(0; 0; a) I(x; y; z) ycbt  IA = IB = IC = ID = R  AI  (BDC)  d(A,(BDC)) = AI =  x=y=z= a a  R  IA  2  z C A B y a x D  Mặt phẳng (BCD) có VTPT n  0; a2 ; a2  a2  0; 1; 1 Suy phương trình mặt phẳng (BCD): y + z  a =  d(A, (BCD)) = a 2 Bài 18: Cho hình chóp tam giác S.ABC đỉnh S, có độ dài cạnh đáy a Gọi M N trung điểm cạnh SB SC Tính theo a diện tích tam giác AMN, biết mặt phẳng (AMN) vuông góc với mặt phẳng SBC) 172 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Giải S Gọi SH đường cao hình chóp SABC Ta có H trọng tâm ABC, kẻ AK  MN (AMN)  (SBC)  AK  (SBC) N Gọi I trung điểm BC, ta có: K S, K, I thẳng hàng AH = 2HI MN đường trung bình SBC C H a  SAI cân A  SA = AI = M A  K trung điểm SI I B Ta có SH2 = SA2  HA2 = SI2  HI2 a2 a  SI2  SA2  SA2  SA2  SA2   SI  9 2 Xét AKI ta có  AK2 = AI2  KI2  AK  a 10 a2 10 vậ y SAMN  AK.MN   đvdt  16 Bài 19: Cho tứ diện ABCD có cạnh AD vuông góc với mp (ABC) AC = AD = 4cm, AB = 3cm, BC = 5cm Tính khoảng cách từ điểm A tới mặt phẳng (BCD) Giải AD  AB Caùch 1: AD  (ABC)   AD  AC BC2 = AB2 + AC2  ABC vuông A SABC  6(cm2 ) SBCD  34(cm2 ) Goïi a(A, (BCD) = AK S AD 34 1  (cm) VABCD  SABC AD  SBCD AK  AK  ABC SBCD 17 3 Cách 2: Kẻ DH  BC  AH  BC (định lý đường vuông góc) Kẻ AK  DH (1) Ta coù BC  (ADH)  BC  AK (2) Từ (1), (2)  AK  (DBC)  d (A, (BCD)) = AK AK  AD  AH  AB  AC  AD  17 72 34  AK2  (cm)  AK = 72 17 17 173 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – HÌNH LĂNG TRỤ  Vấn đề 2: A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI I ĐỊNH NGHĨA Hình lăng trụ hình đa diện có mặt song song gọi đáy, cạnh không thuộc đáy song song với E II TÍNH CHẤT A D Trong hình lăng trụ: B C  Các cạnh bên song song  Các mặt bên, mặt chéo hình bình hành  Hai đáy có cạnh song song E' A' III LĂNG TRỤ ĐỨNG, ĐỀU LĂNG TRỤ XIÊN Lăng trụ đứng lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy B' D' C' Lăng trụ lăng trụ đứng có đáy đa giác Lăng trụ có mặt bên hình chữ nhật Lăng trụ xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy IV HÌNH HỘP Hình hộp hình lăng trụ có đáy hình bình hành  Hình hộp có mặt đối diện hình bình hành song song  Các đường chéo hình hộp cắt trung điểm Hình hộp đứng có cạnh bên vuông góc với đáy Hình hộp xiên có cạnh bên không vuông góc với đáy A b D a B c A’ D’ C B’ C’ Hình hộp chữ nhật hình hộp đứng có đáy hình chữ nhật Hình hộp chữ nhật có mặt hình chữ nhật Độ dài cạnh xuất phát từ đỉnh gọi kích thước hình hộp chữ nhật a, b, c Các đường chéo hình hộp chữ nhật có độ dài: d = Hình lập phương hình hộp có mặt hình vuông Các cạnh hình lập phương số đo a Các đường chéo hình lập phương có độ dài: d = a 174 a2  b2  c2 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – V DIỆN TÍCH XUNG QUANH VÀ DIỆN TÍCH TOÀN PHẦN Sxq = pl p chu vi thiết diện thẳng l độ dài cạnh bên  Lăng trụ đứng: Sxq = ph p chu vi đáy h chiều cao  Hình hộp chữ nhật: Stp = 2(ab + bc + ca) a, b, c kích thước hình hộp chữ nhật VI THỂ TÍCH  Thể tích hình hộp chữ nhật: V = abc  Thể tích hình lập phương: V = a  Thể tích lăng trụ: V = B.h a, b, c kích thước a cạnh B diện tích đáy h chiều cao V = Sl S diện tích thiết diện thẳng l cạnh bên  Thể tích lăng trụ tam giác cụt: Lăng trụ tam giác cụt hình đa diện có hai đáy tam giác có cạnh bên song song không abc V= S a b c S laø diện tích thiết diện thẳng a, b, c độ dài cạnh bên B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2011 Cho lăng trụ ABCD.A1B1C1D1 có đáy ABCD hình chữ nhật AB = a, AD = a Hình chiếu vuông góc điểm A1 mặt phẳng (ABCD) trùng với giao điểm AC BD Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) (ABCD) 600 Tính thể tích khối lăng trụ cho khoảng cách từ điểm B1 đến mặt phẳng (A1BD) theo a Giải Gọi O giao điểm AC BD  A1O  (ABCD) Gọi I trung điểm AD Ta có: OI  AD ( Vì ABCD hình chữ nhật) A1I  AD [Vì AD  (A1IO)] Suy ra: Góc hai mặt phẳng (ADD1A1) 175 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – D1 (ABCD) A1IO  A1IO  600 Ta coù: OI = a a , A1O = OI.tan600 = 2 C1 B1 A1 SABCD = AB.AD = a2 Suy ra: D 60 C 3a M J O VABCD.A B C D  SABCD A1O = 1 1 A B Gọi M hình chiếu vuông góc điểm H B1 mặt phẳng (ABCD) Suy ra: B1M // A1O M  IO Vẽ MH vuông góc BD H, suy ra: MH  (A1BD) Vì B1M // (A1BD) nên d(B1, (A1BD)) = d(M, (A1BD)) = MH Gọi J giao điểm OM vaø BC, suy ra: OJ  BC vaø J laø trung điểm BC I Ta có: SOBM = a a2 1 BC = a = OM.BJ = A1B1 2 2 a2 a  a 2 2S Ta lại có: SOBM = OB.MH d(B1, (A1BD)) = MH  OBM OB Cách 2: D1 Ta có: B1C // A1D  B1C // (A1BD)  d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) B1 A1 Vẽ CH vuông góc với BD taïi H  CH  (A1BD)  d(B1, (A1BD)) = d(C, (A1BD)) = CH D C Trong tam giác vuông DCB ta có hệ thức OH CH.BD = CD.CB, từ tính CH A B Cách 3: 3VB1A1BD D1 Ta coù: d(B1, (A1BD)) = SA1BD B1 A1 3a3  VABD.A B D  VABCD.A B C D  1 1 1 3a3  VABD.A B D  VABCD.A B C D  1 1 1 a3  VA1.ABD  SABD A1O   VD.A1B1D1 A 176 D C O B C1 C1 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –    VB1A1BD  VABD.A1B1D1  VA1.ABD  VD.A1B1D1  a3 a2 SA1BD  BD.A1O  2 3VB1A1BD a d(B1, (A1BD)) =  SA1BD Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2009 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có BB' = a, góc đường thẳng BB' 0 mặt phẳng (ABC) 60 ; tam giác ABC vuông C BAC = 60 Hình chiếu vuông góc điểm B' lên mặt phẳng (ABC) trùng với trọng tâm tam giác ABC Tính thể tích khối tứ diện A’ABC theo a Giải Gọi D trung điểm AC G trọng tâm tam giác ABC ta có B’G  (ABC)  BBG  60o  B’G = B’B sin BBG  vaø BG  a a 3a  BD  Tam giác ABC có: BC  AB AB AB , AC   CD  2 3AB2 AB2 9a2 BC + CD = BD    16 16 2 A’ B’ C’ A 3a 13 3a 13 9a2  AB  , AC  ; SABC  (ñvdt) 13 26 104 B G C D 9a3 Thể tích khối tứ diện A’ABC: VAABC  VBABC  BG.SABC  (đvtt) 208 Bài 3: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2009 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC tam giác vuông B, AB = a, AA' = 2a, A'C = 3a Goïi M trung điểm đoạn thẳng A'C', I giao điểm AM A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC) Giải Hạ IH  AC (H  AC)  IH  (ABC); IH đường cao tứ diện IABC IH CI 2 4a  IH // AA'     IH = AA  AA CA 3 AC = AC2  AA2  a , BC  AC2  AB2  2a 177 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Diện tích tam giác ABC: SABC  AB.BC  a2 A’ 4a3 Thể tích khối tứ diện IABC: V  IH.SABC  2a Hạ AK  A'B (K ( A'B) Vì BC ( (ABB'A') I a C’ B’ K A neân AK ( BC ( AK ( (IBC) Nên khoảng cách từ A đến mặt phẳng (IBC) AK SA’BC= M 3a C H B 2 a 52a  a IC  A/ C  S IBC  S A/ BC  a 3 AK  3VIABC 4a 3 2a 2a 3   S IBC 2a 5 Bài 4: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2008 Cho lăng trụ ABC.A'B'C' có độ dài cạnh bên 2a, đáy ABC tam giác vuông A, AB = a, AC  a hình chiếu vuông góc đỉnh A' mặt phẳng (ABC) trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối chóp A'.ABC tính cosin góc hai đường thẳng AA', B'C' Giải Gọi H trung điểm BC Suy A'H  (ABC) 1 vaø AH  BC  a  3a2  a 2 A’ B’ C’ Do đó: A'H2 + AH2 = 3a2  A'H = a a3 Vaäy: VA.ABC  AH.SABC   ñvtt  3  Trong tam giác vuông A'B'H ta có: A HB  AB2  AH2  2a nên B'BH cân B' C H B  Đặt  góc hai đường thẳng AA' B'C'   BBH Vậy cos   BI a   (với I trung điểm BH) BB 2.2a Bài 5: ĐẠI HỌC KHỐI D NĂM 2008 Cho lăng trụ đứng ABC.A'B'C có đáy ABC tam giác vuông, AB = BC = a, cạnh bên AA  a Gọi M trung điểm cạnh BC Tính theo a thể tích khối lăng trụ ABC.A'B'C' khoảng cách hai đường thẳng AM, B'C Giải 178 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Thể tích lăng trụ: V  Sñ h  a.a a  a (đvtt) 2  Gọi N trung điểm BB'  Do B'C // MN  d(B'C, AM) = d(B', (AMN))  Do N trung điểm BB' B’  d(B', (ABN)) = d(B, (AMN))  Gọi H hình chiếu B lên mp(AMN) A’ 1 1 N  Ta coù:    2 BH BA BM BN2 H  2 2  B a a a a a a Vaäy d  BC;AM    BH  A 7 C’ M C Bài 6: Cho hình lập phương ABCD, A'B'C'D' Tính số đo góc nhị diện [B, A'C, D] Giải Gọi O = AC  BD cạnh hình lập phương a A’ D’  A'B = A'D = a = BD Ta có A'CB = A'CD (cạnh  cạnh  cạnh) Nên vẽ BH  A'C  DH  A'C vaø BH = DH  [B, A'C, D] = BHD  2BHO B’ H C’ A D BHD caân taïi H  HO  BD O B a C BO Ta coù sin BHO   BHO = 600  [B, A'C, D] = 1200   BH a Bài 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD A'B'C'D' có đáy ABCD hình thoi cạnh a, góc BAD = 600 Gọi M trung điểm cạnh AA' N trung điểm cạnh CC' Chứng minh bốn điểm B', M, D, N thuộc mặt phẳng Hãy tính độ dài cạnh AA' theo a để tứ giác B'MDN hình vuông Giải Tam giác BDC cạnh a, AA' = b Chọn hệ trục hình vẽ 179 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Ta có: B( C'(0; a a a a a ; 0; 0); D( ; 0; 0); C(0; ; 0); B'( ; 0; h); D'( , 0; h); 2 2 a a a h a h ; h); A'(0;  ; h); M(0;  ; ); N(0; ; ) 2 2 2 * B', M, D, N đồng phẳng a a h a a h DM   ;  ;  ; DN   ;  ;  2  2 2 2    DB' = (a; 0; h) z D’ A’ B’ M   a2    DB',DN       ;0;     A  a2   a      h    DB,DN  DM     0                 D N O x  ñpcm C’ B y C  a a h h * Ta coù BM    ,  ,    BM  a2   2 2   Tương tự MD2  DN2  BN2  a2  Mặt khác DM.DN  h2  MD2  DN2  B'N2  B'M2 (1) a2 3a2 h2   4 (1)  B'MDN hình thoi nên B'MDN hình vuông khi: DM.DN   h2  2a2  h = a Baøi 8: Cho hình lập phương ABCDA1B1C1D1 có cạnh a a/ Tính theo a khoảng cách hai đường thẳng A1B B1D b/ Gọi M, N, P trung điểm cạnh BB1, CD, A1D1 Tính góc hai đường thẳng MP C1N Giải Chọn hệ trục Axyz hình vẽ Ta có A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0) ; C(a; a; 0) ; D(0; a; 0) A1(0; 0; a) ; B1(a; 0; a) ; C1(a; a; a) ; D1(0; a; a) a a a M(a; 0; ) N( ; a; 0) P(0; ; a) 2 B a/ A1B   a; 0;  a  B1D   a; a;  a  180 A1 M B P D1  C1 A D  C N Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – Gọi (P) mặt phẳng qua B1D (P) // A1B  (P) coù VTPT n = (1, 2, 1)  Pt (P): x + 2y + z  2a =  d(A1B, B1D) = d(B, (P) = a a a   a  b/ MP   a; ;  C1N    ; 0;  a  2    Ta coù MP.C1N   MP  C1N Vậy góc MP C1N 900  Vấn đề 3: HÌNH TRỤ – HÌNH NÓN – HÌNH CẦU A TÓM TẮT LÝ THUYẾT – PHƯƠNG PHÁP GIẢI HÌNH TRỤ I ĐỊNH NGHĨA M Hình trụ hình sinh hình chữ nhật O'OMM' quay xung quanh cạnh OO' Cạnh OM sinh hình tròn đáy Cạnh MM' sinh mặt nón tròn xoay M’ MM' gọi đường sinh OO’ trục hình trụ h = OO' chiều cao R = OM bán kính đáy II DIỆN TÍCH HÌNH TRỤ Diện tích xung quanh: Sxq = 2Rh R: bán kính đáy Stp = 2Rh + 2R2 III THỂ TÍCH HÌNH TRỤ V = R2h R: bán kính đáy HÌNH NÓN I ĐỊNH NGHĨA Hình nón hình sinh tam giác vuông OMS quay xung quanh cạnh góc vuông OS Cạnh OM sinh hình tròn đáy Cạnh SM sinh mặt nón tròn xoay SM gọi đường sinh SO trục hoành, đường cao R = OM bán kính đáy; h = SO chiều cao II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh hình nón: Sxq = Rl O O’ h: chieàu cao h: chieàu cao S M O 181 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – R: bán kính đáy l: độ dài đường sinh Diện tích toàn phần: Stp = Rl + R = R(l + R) III THỂ TÍCH Thể tích hình nón: V = R2h R: bán kính đáy h: chiều cao HÌNH NÓN CỤT I ĐỊNH NGHĨA Hình nón cụt phần hình nón đáy thiết diện vuông góc với trục Hình nón cụt sinh hình thang vuông OMM'O'quay quanh OO' h = OO' chiều cao MM' = l đường sinh II DIỆN TÍCH Diện tích xung quanh: Sxq = (R + R')l R, R' bán kính đáy l đường sinh Diện tích toàn phần: Stp = (R + R')l + R2 + R'2 III THỂ TÍCH Thể tích hình nón cụt: V =  (R2 + R'2 + RR')h R, R’ bán kính đáy h chiều cao HÌNH CẦU I ĐỊNH NGHĨA Hình cầu tâm O, bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM  R Mặt cầu tâm O bán kính R tập hợp điểm M không gian thoả mãn điều kiện OM = R Thiết diện qua tâm hình tròn lớn tâm O bán kính R Thiết diện hình cầu với mặt phẳng hình tròn có tâm H hình chiếu O mặt phẳng bán kính: r1 = R2  d2 R bán kính hình cầu; d khoảng cách từ tâm tới mặt phẳng d = OH Tiếp diện mặt cầu mặt phẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để mặt phẳng () tiếp xúc với mặt cầu là: d(0, ) = R Tiếp tuyến mặt cầu đường thẳng có điểm chung với mặt cầu Điều kiện để đường thẳng  tiếp tuyến d(0; ) = R II DIỆN TÍCH MẶT CẦU: S = 4R2 182 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – III THỂ TÍCH MẶT CẦU: V  R B ĐỀ THI Bài 1: ĐẠI HỌC KHỐI B NĂM 2010 Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có AB = a, góc hai mặt phẳng (A'BC) (ABC) 600 Gọi G trọng tâm tam giác A'BC Tính thể tích khối lăng trụ cho tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện GABC theo a Giải Gọi H trung điểm BC, theo giả thuyết ta coù: A’ Goùc AHA = 600 Ta coù: AH = a , A’H = 2AH = a C’ B’ a 3 3a = 2 Vậy thể tích khối lăng trụ AA' = a2 3a 3a3 = Kẻ đường trung trực GA trung điểm M GA mặt phẳng A'AH cắt GI J GJ bán kính mặt cầu C ngoại tiếp tứ diện GABC Ta coù: GM.GA = GJ.GI V= G H A I B GA2 GI2  IA 7a GM.GA = =  GI 2GI 2GI 12 Bài 2: ĐẠI HỌC KHỐI A NĂM 2006 Cho hình trụ có đáy hai hình tròn tâm O O', bán kính đáy chiều cao a Trên đường tròn tâm O lấy điểm A, Trên đường tròn tâm O' lấy điểm B cho AB = 2a Tính thể tích khối tứ điện OO'AB Giải Kẻ đường sinh AA' O’ H A’ D Gọi D điểm đối xứng với A' qua O' H hình chiếu B đường thẳng A'D B Do BH  A'D BH  AA' nên BH  (AOO'A') A Suy ra: VOO’AB = BH.SAOO’ O  R = GJ = Ta coù: A'B = AB2  AA2  a  BD  AD2  AB2  a 183 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học –  BO'D  BH = a (đvtt) Vì AOO' tam giác vuông cân cạnh bên a nên: SAOO'  a2 a a2 a3 Vậy thể tích khối tứ diện OO'AB là: V   2 12 184 ...  AK ( 2) Từ ( 1), ( 2)  AK  (DBC)  d (A, (BCD )) = AK AK  AD  AH  AB  AC  AD  17 72 34  AK2  (cm)  AK = 72 17 17 173 Hướng dẫn giải CDBT từ ĐTQG Toán học – HÌNH LĂNG TRỤ  Vấn đề 2: A... d(B1, (A1BD )) = MH  OBM OB Cách 2: D1 Ta có: B1C // A1D  B1C // (A1BD)  d(B1, (A1BD )) = d(C, (A1BD )) B1 A1 Vẽ CH vuông góc với BD H  CH  (A1BD)  d(B1, (A1BD )) = d(C, (A1BD )) = CH D C... MP C1N Giải Chọn hệ trục Axyz hình vẽ Ta có A(0; 0; 0) ; B(a; 0; 0) ; C(a; a; 0) ; D(0; a; 0) A1(0; 0; a) ; B1(a; 0; a) ; C1(a; a; a) ; D1(0; a; a) a a a M(a; 0; ) N( ; a; 0) P(0; ; a) 2 B a/