Bài tập nguyên hàm và tích phân

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trần Xuân Huyến Phone:01235775838 I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. b. c. d. e. f. g. h. 2/ Tìm các nguyên hàm sau

BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trần Xuân Huyến Phone:01235775838 I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 4 5 2 x y x= − b. 4 3 ( ) 2 3 1f x x x= + − c. 2 ( ) (3 2 )(5 1)f x x x x= − + d. 2 3 ( ) 5 1f x x x = − + e. 5 2 2 1 ( ) ( )(4 ) 3 f x x x x x = − + f. 1 3 2 5 ( ) 2 f x x x − = + g. ( ) 20 x f x = h. 2 1 ( ) x f x e + = 2/ Tìm các nguyên hàm sau a. 2 4 3 ( ).x x dx− ∫ b. 3 . 3 x x x dx x + ∫ c. os .c x dx ∫ d. 1 osx . 3 c dx + ∫ e. 2 5 3 3 5 2 . x x dx x − ∫ f. ( ) 2 1 (3 5).x x dx− + ∫ g. 1 2 .3 5 x x x+ ∫ dx h. 3 . 2 x x e dx ∫ i. ( ) ln lg .x x dx+ ∫ k. ( ) 5 7 2 3 5 log log log .x x x dx+ − ∫ II/ DÙNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ ĐỂ TÍNH NGUYÊN HÀM 1/ Tính các nguyên hàm sau a. sin 2 .x dx ∫ b. os5x.dxc ∫ c. sin(3 7).x dx− ∫ d. 2 os( x+17).dx 3 c ∫ e. 5 1 . x e dx + ∫ f. 2 5 3 .27 . x x dx + ∫ g 2 sin cos .x x dx ∫ h m os sin .c x x dx ∫ i. sinx osx.dxe c ∫ k. os2x 5 sin 2 . c x dx ∫ l. 9 os (5x-7)sin(5 7).c x dx− ∫ m. ( ) 7 3 8 .x dx− ∫ 2/ Tìm các nguyên hàm sau a. ( ) 5 7 10 .x dx− ∫ b. ( ) 2 3 2 3 2008x x − ∫ .dx c. 2 2 . 1 x dx x + ∫ d. 9 10 5 1 x x + ∫ e. 2 3 5 2 ( 4) .x x dx+ ∫ f. ln . x dx x ∫ g. 7 8 3 . 1 x dx x + ∫ h. 2 1 . 1 x x e dx e − + ∫ i. lnln . ln x dx x x ∫ k. ln .ln ln dx x x x ∫ III/ TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC : (Chúng ta hãy lưu ý rằng để làm tốt nguyên hàm của các hàm lượng giác thì cần phải sử dụng thành thạo các công thức lượng giác đã được học ở lớp 11. Phải coi chúng như bảng cửu chương hoặc như là 7 hằng đẳng thức đáng nhớ. Trước hết chúng ta xét những dạng bài tập cơ bản) 1/ Tính nguyên hàm a. 2 sin .x dx ∫ b. 2 os .c x dx ∫ c. t anx.dx ∫ d. cot .x dx ∫ e. 2 tan .x dx ∫ f. 2 .cot x dx ∫ g. sin .sin .x x dx α β ∫ h. sin . os x.dxx c α β ∫ i. os x.cos x.dxc α β ∫ 2/ Tính các nguyên hàm a. 4 sin .x dx ∫ b. 4 os .c x dx ∫ c. 4 tan .x dx ∫ d. 4 cot .x dx ∫ e. 6 tan .x dx ∫ f. sin 7 . os15x.dxx c ∫ g. os7x.cos9x.dxc ∫ i. sin 2 .sin 6 .x x dx ∫ 3/ Tìm các nguyên hàm sau a. 3 sin . osx.dxx c ∫ b. 5 sin .x dx ∫ c. 7 os .c x dx ∫ d. 5 10 sin . os .x c x dx ∫ e. 2 os (7x-10) dx c ∫ f. osx dx c ∫ g. sinx dx ∫ h. 1 osx dx c+ ∫ i. 1 sinx dx + ∫ k. sinx. 3+cosx.dx ∫ l. . sin( 1)sin( 3) dx dx x x+ − ∫ m. . sin(2 7). os(2x+3) dx dx x c− ∫ p. 3 2 osx.sin . 1 sin c x dx x+ ∫ IV/ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ (HÀM PHÂN THỨC) (Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta lưu ý những điểm sau: i. Quan sát bậc đa thức trên tử và bậc dưới mẫu, nếu bậc đa thức trên tử lớn hơn hoặc bằng bậc đa thức dưới mẫu thì thực hiện phép chía đa thức ii. Quan tâm tới nghiệm của đa thức dưới mẫu số ) 1/ Tìm các nguyên hàm sau a. ( 9)( 10) dx x x− − ∫ b. ( 2)(7 ) dx x x+ − ∫ c. (2 5)( 3) dx x x− − ∫ d. 2 2 3 1 xdx x x+ + ∫ e. 2 2 2 3 2 xdx x x− − ∫ f. 3 2 6 7 3 dx x x x− − ∫ g. 3 3 1 . 4 x dx x x − − ∫ h. 5 4 3 8 . 4 x x dx x x + − − ∫ i. 2 1 x x e dx e − ∫ 2 2/ Tìm nguyên hàm các hàm hữu tỉ sau a. 4 2 3 2 xdx x x− + ∫ b. 3 4 2 4 3 x dx x x− + ∫ c. 5 6 3 2 x dx x x− − ∫ d. 3 2 3 2 ( 2 1) x x x x x − + + + ∫ e. 2 2 ( 2) . ( 2 1) x dx x x x + − + ∫ f. 2 ( 2) dx x x + ∫ g. 2 2 ( 4)( 1) dx x x− − ∫ h. 2 2 2 ( 1)( 9) x dx x x− − ∫ i. 2 4 ( 1) 1 x dx x − + ∫ k (3 ) x x dx e e − + ∫ V/ NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN (Mục đích của việc nguyên hàm từng phần là chuyển một nguyên hàm rất khó tính bằng các phương pháp đã biết về một nguyên hàm dễ tính hơn, Vậy những bài toán như thế nào thì phải dùng nguyên hàm từng phần? Đó là những bài toán có dạng như sau; i. ( ).sin .P x mx dx ∫ ; ( ). osmx.dxP x c ∫ ; (P(x là một đa thức nào đó vd: 2 ( 1)sin 3 .x x dx+ ∫ ) ii. ( ). . mx P x e dx ∫ ; ( ). . nx P x a dx ∫ ; vd: (3 5)5 . x x dx− ∫ iii. .sin . mx e nx dx ∫ ….) os x.dx x a c α β ∫ vd: 2 sinx.dx x e ∫ iv. ( )ln .P x x dx ∫ ( )log . a P x x dx ∫ vd: 3 ln .x x dx ∫ ) 1/ Tính các nguyên hàm sau bằng phương pháp toàn phần a. 2 3 (2 1) x x e+ ∫ .dx b. 2 ln .x x dx ∫ c. 2 sin 2 . x e x dx ∫ d. 2 os . . x c x e dx ∫ e. ln .x dx ∫ f. lg .x dx ∫ VI. NGUYÊN HÀM CỦA HÀM VÔ TỈ (Tổng thể nguyên hàm của một hàm vô tỉ là một nguyên hàm có chứa căn thức. Đây là lớp bài toán tương đối khó . Phương pháp chung để giải quyết chúng là dùng phương pháp đổi biến số) 1/ tìm các nguyên hàm a. 3 1 . 3 1 x dx x + + ∫ b. . 1 2 1 x dx x+ + ∫ c. 3 dx x x+ ∫ d. 3x x− ∫ .dx e. 3 3 4 . 1 1 x dx x+ + ∫ f. 3 2 . 2 x dx x + ∫ g. 2 1 dx x x + ∫ h. 2 2 2 1 dx x x x+ + ∫ i. 2 ( 1) 2 2 dx x x x+ + + ∫ k. 1 1 dx x x+ + − ∫ l. 1 1 . . 1 x dx x x − + ∫ m. 1 1 dx x x+ + + ∫ 3 ÔN TẬP 1/ Tính các nguyên hàm sau a. ∫ + dxxx )53( 2 b. ∫         − dx x xx 4 4 532 c. ∫ ++ dxxxxx )25cos(sin 3 d. dx x xx x ∫       ++ − 2 2 2 sin 7 7 cos 5 e. ( ) ∫ + dxe xx 7 f. dxe x x x ∫         + 3 5 4 g. ∫         + + dxxx x x 5 2 2 4 7 4 2/ Tìm a để cho F(x) là nguyên hàm của f(x) F(x) = xxx 376 23 −+ ; axxxf 51418)( 2 −+= 3/ Tìm c để F(x) là nguyên hàm của f(x) F(x) = xxxx sin3ln2 2 ++ . f(x) = cxxx +++ cos6ln2 4/ Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a. dx xxx x ∫         ++ 4 111 b. dx xx ∫ 2 2.3 c. dxx.cot 2 ∫ d. dxx.tan 2 ∫ 5/ Tìm các nguyên hàm sau a. dx x xx ∫       +− 4 2 2 b. dx x xxx ∫ +++ 2 234 12 c. ( ) dx xx x ∫ + 2 2 1 d. ( ) dxxxx ∫ ++ 5 4 3 6/ Tìm các nguyên hàm sau a. ∫ xx dx 22 sin.cos b. ∫ xx dxxco 22 sin.cos .2 c. dx x x ∫ + + 2cos1 cos1 2 d. dx x . 2 sin3 2 ∫ 7/ Cho hàm xxy 23 −= . Tìm a, b, c để cho xcbxaxxF 23)()( 2 −++= là nguyên hàm của hàm số y 4 . BÀI TẬP NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Trần Xuân Huyến Phone:01235775838 I/ NGUYÊN HÀM CÁC HÀM SỐ ĐƠN GIẢN 1/ Tìm nguyên hàm các hàm số sau a. 4. c x dx x+ ∫ IV/ NGUYÊN HÀM CỦA HÀM HỮU TỈ (HÀM PHÂN THỨC) (Lớp nguyên hàm của bài toán này khá dễ, để tìm được nguyên hàm của những lớp hàm này chúng ta