Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

Các biến thể tương đương của tích phân Riemann trong toán phổ thông

TRƯỜNG ĐẠI HỌC AN GIANG KHOA SƯ PHẠM W X MAI QUANG VINH LỚP DH 2 A 1 CÁC BIẾN THỂ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Giáo viên hướng dẫn:Th.S Lê Thái Duy An Giang, tháng 06 năm 2004 MỤC LỤC D E Trang Lời nói đầu 2 Chương 1: Cơ sở lí luận 3 Bổ đề về dãy các đoạn thắt 4 Bổ đề Bolzano – Weierstrass 4 Định lý 1 5 Định nghĩa hàm bậc thang 5-6 Định lý 2 6 Định nghĩa tích phân của hàm bậc thang 7 Định lý 3 8 Định lý 4 8-9 Định lý 5 9 Định lý 6 9-10 Chương 2 : Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ 11 Các biến thể của tích phân Riemann 12 Định nghĩ a 1 12 Định nghĩa 2 12 Định nghĩa 3 13 Định nghĩa 4 13-14 Mối quan hệ giữa các biến thể đó 14 Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân 19-29 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 L ỜI N ÓI Đ ẦU D E Tích phân Riemann là lý thuyết có một vai trò quan trọng trong Giải tích toán học, đặc biệt là trong chương trình toán học phổ thông . Đề tài này giới thiệu các hình thức khác nhau của tích phân Riemann đối với lớp hàm liên tục trên một đoạn và làm rõ bản chất tương đương của chúng. Nội dung đề tài có ý nghĩa thiết thực đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành sư phạm toán, Nội dung đề tài g ồm 3 chương: Chương 1: Cơ sở lí luận. Chương 2: Các biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ. Chương 3: Một số sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân. Để giúp người đọc dễ hiểu, phần chứng minh các bổ đề, định lý,nhận xét được trình bày một cách chi tiết và chặt chẽ. Ngoài ra trong chương 2, định nghĩa 4 của tích phân Riemann được giới thiệu như là sự mô phỏ ng của tích phân Lebesgue đối với lớp hàm liên tục trên tập có độ đo hữu hạn. Mong rằng đề tài này sẽ giúp ích được phần nào cho các bạn hiểu nhiều thêm về tích phân Riemann. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Lê Thái Duy đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình nghiên cứu, các thầy cô trong Khoa Sư phạm và Ban Giám hiệu nhà trường đã tạo điều kiện cho em học tập cũng như nghiên cứu đề tài này. Do thời gian hạn hẹp và còn ít kinh nghiệm nên rất khó tránh khỏi những thiếu sót. Mong được các thầy cô và các bạn góp ý để đề tài được hoàn chỉnh hơn. An Giang, tháng 06 năm 2004 Mai Quang Vinh 2 CHƯƠNG 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN D E Chương này trình bày một số kiến thức toán học thích hợp làm cơ sở cho đề tài: định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm bậc thang,bổ đề Bolzano – Weierstrass và một số định lý - thể hiện tính chất của hàm số liên tục trên một đoạn và các tính chất của tích phân của hàm bậc thang. 3 1.1 Bổ đề về dãy các đoạn thắt: 1.1.1 Định nghĩa: Ta sẽ gọi dãy các đoạn : , , ,, 21 n ∆∆∆ (trong đó ];[ nnn ba=∆ ) là một dãy các đoạn thắt nếu: , 2,1, 1 =∆⊆∆ + n nn và 0)(lim =− +∞→ nn n ab 1.1.2 Bổ đề: Nếu là một dãy các đoạn thắt thì tồn tại một điểm duy nhất thuộc mọi đoạn của dãy. }{ n ∆ Chứng minh: • Tồn tại: Vì nn ∆⊆∆ +1 ,với mọi cho nên: n , . 21 kn baaa ≤≤≤≤≤ trong đó là một số nguyên dương nào đó. Dãy {a k n } tăng và bị chặn trên cho nên nó có giới hạn: n n a +∞→ = lim α . Rõ ràng: α ≤ k a . Vì với nguyên dương bất kỳ ta có k kn ba ≤ với mọi ,nên n kn n ba ≤= +∞→ α lim . Tức là ta luôn có: kk ba ≤≤ α Điều này chứng tỏ rằng α thuộc mọi đoạn. • Duy nhất: Giả sử rằng β cũng thuộc mọi đoạn n ∆ . Thế thì: nn ab −≤−≤ αβ 0 Vì nên 0)(lim =− +∞→ nn n ab αβ = . Bổ đề được chứng minh. 1.2 Bổ đề Bolzano – Weierstrass: Từ mọi dãy bị chặn ta đều có thể rút ra được một dãy con hội tụ. Chứng minh: Giả sử là một dãy bị chặn. Thế thì tồn tại hai số a và b sao cho }{ n u bua n ≤≤ , với mọi . Chia thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong hai đoạn đó phải chứa vô số phần tử của dãy.Ta gọi đoạn đó là n ];[ ba 1 ∆ (nếu cả hai đều chứa vô số phần tử của dãy thì gọi một trong hai đoạn ấy là 1 ∆ ). Lại chia thành hai đoạn bằng nhau; ít nhất một trong chúng phải chứa vô số phần tử của , ta gọi đoạn ấy là ,……Tiếp tục mãi quá trình trên ta được dãy đoạn thắt: 1 ∆ }{ n u 2 ∆ ];[ 21 ⊃∆⊃⊃∆⊃∆⊃∆= n ba trong đó và ];[ nnn ba=∆ 0 2 → − =− k kk ab ab khi +∞→n . Theo bổ đề trên, có một số α thuộc vào mọi đoạn k ∆ , và α == +∞→+∞→ n n n n ba limlim . Ta rút dãy con của như sau: trong }{ n u 1 ∆ lấy một phần tử bất kỳ, ký hiệu là 4 1 m u ; trong lấy một phần tử sao cho . Rõ ràng bao giờ cũng làm được điều đó vì rằng trong 2 ∆ 2 m u 12 mm > 2 ∆ có vô số phần tử; tiếp tục mãi quá trình đó, ta được một dãy con của . Vì nên }{ n m u }{ n u nm n ≥ nmm nn u ∆⊂∆∈ . Do đó : nmn bua n ≤≤ . Nhưng α == +∞→+∞→ n n n n ba limlim cho nên α = +∞→ n m n ulim . Đó là điều phải chứng minh. Bổ đề được chứng minh. 1.3 Định lý 1: Nếu hàm số liên tục trên đoạn , thì với mỗi số dương f ];[ ba ε nhỏ tuỳ ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ <− 'xx , ta có ε <− )'()( xfxf . Chứng minh: Giả sử hàm số liên tục trên đoạn , nhưng kết luận của định lí không đúng, nghĩa là có một số dương f ];[ ba 0 ε sao cho với mọi số dương δ đều tìm được hai điểm thuộc đoạn mà δδ ',xx ];[ ba δ δδ <− 'xx , nhưng 0 )'()( ε δδ ≥− xfxf . Ta lấy dãy số duơng n n 1 = δ , )2,1( =n , thế thì 0→ n δ khi . Khi đó với mỗi số tự nhiên Tìm được hai điểm thuộc đoạn mà +∞→n , 2,1=n ', xx ];[ ba n xx nn 1 ' <− nhưng : 0 )'()( ε ≥− nn xfxf (1) Ta nhận được hai dãy số { },{ } đều thuộc đoạn [ ].Theo bổ đề Bolzano - Weierstrass, từ dãy { } bị chặn, n x n x' ba; n x bxa n ≤≤ , rút ra được một dãy con { } hội tụ về : n m x 0 x n m x 0 x→ khi +∞→n . Hiển nhiên, thuộc đoạn [ ].Ta lại có: 0 x ba; 000 1 '' xx m xxxxxx nnnnn m n mmmm −+<−+−≤− Do 0 1 → n m khi , +∞→n 0 0 →− xx n m khi +∞→n ,nên dãy con cũng có giới hạn là . Từ tính chất liên tục của hàm số tại điểm thuộc [ ], suy ra: }'{ n m x 0 x f 0 x ba; )()( 0 xfxf n m → khi +∞→n , khi . )()'( 0 xfxf n m → +∞→n Do đó: )'()()()()'()( 00 nnnn mmmm xfxfxfxfxfxf −+−≤− , nghĩa là )'()( nn mm xfxf − dần tới 0 khi n dần tới vô hạn. Điều này mâu thuẫn với bất đẳng thức (1).Vì vậy, hàm số phải thỏa mãn kết luận của định lý. f Định lý được chứng minh. 1.4 Định nghĩa hàm bậc thang: 1.4.1 Định nghĩa: 5 Hàm số xác định trên đoạn được gọi là hàm bậc thang, nếu đoạn được chia thành hữu hạn khoảng f ];[ ba ];[ ba n ∆∆∆ , , 21 đôi một không giao nhau, sao cho trên mỗi khoảng , hàm số nhận giá trị không đổi i ∆ f i α ), ,2,1( ni = . Để tiện cho việc trình bày, ta sử dụng hàm số: ⎩ ⎨ ⎧ ∆∉ ∆∈ = ∆ i i x x x i ,0 ,1 )( χ Nhờ đó, hàm bậc thang có thể biểu diễn dưới dạng: )()( 1 xxf i i n i ∆ = ∑ = χα Hiển nhiên mỗi hàm bậc thang có thể biểu diễn bằng nhiều cách. 1.4.2 Định lý 2: Đối với mỗi hàm số liên tục trên đoạn , luôn luôn tìm được dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn thỏa mãn điều kiện: với số dương f ];[ ba }{ n f ];[ ba ε cho trước nhỏ tùy ý, tồn tại số nguyên dương , sao cho với mọi và với mọi thuộc , ta đều có: 0 n 0 nn > x ];[ ba .)()( ε ≤− xfxf n Chứng minh: Với mỗi số nguyên dương ta chia đoạn thành đoạn bằng nhau bởi các điểm: n ];[ ba n bxxxxxa nn =<<<<<= −1210 . . Hiển nhiên: n ab xxx iii − =−=∆ −1 ), ,2,1( ni = . Ta đặt: ⎩ ⎨ ⎧ =≤< ≤≤ = − ), ,3,2(),( ),( )( 1 101 nixxxxf xxxxf xf iii n Ta nhận được một dãy hàm bậc thang xác định trên đoạn . Ta chứng minh dãy này thỏa mãn kết luận của định lí. }{ n f ];[ ba Thật vậy, vì hàm số liên tục trên đoạn , nên theo định lí 1 với số dương f ];[ ba ε cho trước nhỏ tùy ý, tìm được số dương δ sao cho với hai điểm bất kỳ thuộc đoạn mà ', xx ];[ ba δ <− 'xx , ta có ε <− )'()( xfxf . Khi đó với số dương δ tìm được tồn tại số nguyên dương sao cho với mọi số nguyên dương , đều có 0 n 0 nn > δ < − n ab . Giả sử . Với mỗi thuộc thì thuộc hoặc thuộc nào đó , nên 0 nn > x ];[ ba x ];[ 10 xx x ];( 1 ii xx − ), ,2,1( ni = ε <− )()( 1 xfxf hoặc ε <− )()( i xfxf do đó ε <− )()( xfxf n (2) Hiển nhiên, bất đẳng thức (2) thỏa mãn với mọi và không phụ thuộc vào 0 nn > 6 thuộc . x ];[ ba Định lí được chứng minh. Chú ý: Dãy hàm bậc thang thỏa mãn kết luận của định lí 2 được gọi là dãy hàm hội tụ đều tới hàm số trên đoạn và ký hiệu trên khi f ];[ ba )()( xfxf n → → ];[ ba +∞→n . 1.5 Định nghĩa tích phân của hàm bậc thang: 1.5.1 Định nghĩa: Cho hàm bậc thang ∑ = ∆ = n i i xxf i 1 )()( χα xác định trên đoạn . Ký hiệu ];[ ba i x∆ là độ dài của khoảng . Ta gọi tích phân lấy từ a đến b của hàm bậc thang là số thực và ký hiệu . i ∆ f i n i i x∆ ∑ =1 α ∫ b a dxxf )( Vì vậy ∫ b a dxxf )( = (3) i n i i x∆ ∑ =1 α Nhận xét: Tích phân của hàm bậc thang không phụ thuộc cách biểu diễn nó. Thật vậy: Giả sử hàm bậc thang xác định trên đoạn có hai cách biểu diễn: f ];[ ba ∑∑ = ∆∆ = == m j ji n i xxxf ji 1 ' 1 )()()( χβχα trong đó , là độ dài tương ứng của các khoảng i x∆ j x'∆ i ∆ , j '∆ . Hiển nhiên: UU m j j n i i ba 11 '];[ == ∆=∆= IIUUI m j m j jijiii ba 11 )'()'(];[ == ∆∆=∆∆=∆=∆ UIIUI n i ji n i ijjj ba 11 )'()('];['' == ∆∆=∆∆=∆=∆ và các khoảng I jiij '∆∆=∆ ), ,2,1;, ,2,1( mjni == đôi một không giao nhau, ký hiệu độ dài tương ứng của chúng là ij x∆ . Ta có: ∑ = ∆=∆ m j iji xx 1 , ∑ = ∆=∆ m i ijj xx 1 ' ), ,2,1;, ,2,1( mjni == Suy ra: ∑∑ ∑∑∑ == === ∆=∆=∆ n i m j n i m j ijiiji n i ii xxx 11 111 )( ααα Bằng cách tương tự ta cũng có: 7 ∑∑ ∑∑∑ == === ∆=∆=∆ m j n i n i m j ijjijj m j jj xxx 11 111 )(' βββ Nếu , thì ∅=∆∆ I ji ' 0=∆ ij x , còn nếu thì ∅≠∆∆ I ji ' ji βα = . Suy ra : ∑∑∑∑ ==== ∆=∆ n i m j ijj n i m j iji xx 1111 βα Vì vậy, ∑∑ ∫ == ∆=∆= m j jj n i ii b a xxdxxf 11 ')( βα Đó là điều cần chứng minh. 1.5.2 Các định lý: 1.5.2.1 Định lý 3: Nếu hai hàm bậc thang và f g cùng xác định trên đoạn , thì với mọi số thực , q ta đều có: ];[ ba p ∫∫∫ +=+ b a b a b a dxxgqdxxfpdxxqgxpf )()()]()([ (4) Chứng minh: Giả sử trên đoạn , ta có: ];[ ba ∑∑ = ∆ = ∆ == m j j n i i xxgxxf ji 1 ' 1 )()(,)()( χβχα Khi đó: ∑∑∑ = ∆ = ∆ = ∆ === m j j n i i n i i xqxqgxpxpxpf jii 1 ' 11 )()(,)()()( χβχαχα ∑∑ == ∆∆ +=+ n i m j ji xqpxqgxpf ji 11 ' )()()()( I χβα ký hiệu , , là độ dài tương ứng của các khoảng i x∆ j x'∆ ij x∆ i ∆ , , . j '∆ I ji '∆∆ Theo định nghĩa tích phân: ∑∑ ∫ == ∆+=+ n i m j ijji b a xqpdxxqgxpf 11 )()]()([ βα ∑∑∑∑ ==== ∆+∆= m j n i ijj n i m j iji xqxp 1111 )()( βα . ∑∑ == ∆+∆= m j jj n i ii xqxp 11 ' βα ∫∫ += b a b a dxxgqdxxfp )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.2 Định lý 4: 8 Đối với mọi hàm bậc thang xác định trên đoạn ta đều có: f ];[ ba ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( Chứng minh: Giả sử trên đoạn : ];[ ba ∑ = ∆ = n i i xxf i 1 )()( χα thế thì ∑ = ∆ = n i i xxf i 1 )()( χα . Ký hiệu i x∆ là độ dài của khoảng . Ta có: i ∆ ), ,2,1( ni = ∑∑ == ∆≤∆ n i ii n i ii xx 11 αα do đó: ∫∫ ≤ b a b a dxxfdxxf )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.3 Định lý 5: Giả sử và là hai hàm bậc thang cùng xác định trên đoạn . Nếu f g ];[ ba gf ≤ trên đoạn , thì: ];[ ba ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf )()( Chứng minh: Giả sử trên đoạn : ];[ ba ∑∑ = ∆ = ∆ == m j j n i i xxgxxf ji 1 ' 1 )()(,)()( χβχα Ký hiệu , , là độ dài tương ứng của các khoảng , , . Lặp lại chứng minh nhận xét sau định nghĩa, ta được: i x∆ j x'∆ ij x∆ i ∆ j '∆ I ji '∆∆ ), ,2,1;, ,2,1( mjni == ∑∑∑ ∫ === ∆=∆= n i m j iji n i ii b a xxdxxf 111 )( αα ∑∑∑ ∫ === ∆=∆= n i m j ijj m j jj b a xxdxxg 111 ')( ββ Ta nhận thấy, nếu , thì ∅=∆∆ I ji ' 0=∆ ij x , còn nếu thì ∅≠∆∆ I ji ' ji βα ≤ . Do đó: ∫∫ ≤ b a b a dxxgdxxf )()( Định lý được chứng minh. 1.5.2.4 Định lý 6: 9 [...]... sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân Đây là phần rất bổ ích đối với học sinh phổ thông và sinh viên ngành sư phạm toán Mặc dù chỉ là một đề tài nhỏ nhưng nó cũng phần nào giúp ta nhìn về tích phân Riemann trong toán phổ thông một cách đầy đủ hơn Bên cạnh các kết quả đạt được trên, vịêc khảo cứu các biến thể của tích phân Riemann trên lớp hàm khả tích khác còn làm cho em không... dạng nào khác không? Trong chương này, chúng ta sẽ phát hiện được một số biến thể của tích phân Riemann và mối quan hệ giữa chúng 11 2.1 Các biến thể của tích phân Riemann trong toán phổ thông: 2.1.1 Định nghĩa: Cho hàm số: y = f ( x) xác định trên đoạn [a; b] (ở đây a < b ).Ta lần lượt thực hiện các bước sau: i) Chia đoạn [a; b] thành những đoạn nhỏ không nhất thiết bằng nhau bởi các điểm chia: a =... chú ý: Tập hợp đựoc một số các kiến thức toán học thích hơp ( định nghĩa dãy các đoạn thắt, định nghĩa hàm bậc thang, tích phân của hàm bậc thang, bổ đề về dãy các đoạn thắt, bổ đề Bolzano – Weierstrass, bốn định nghĩa của tích phân Riemann, ……) Chứng minh được mối quan hệ tương đương giữa các định nghĩa của tích phân Riemann đối với lớp hàm liên tục trên một đoạn Ngoài ra, trong đề tài này còn có một... định lý 6, giới hạn (6) tồn tại và không phụ thuộc cách chọn dãy hàm bậc thang hội tụ đều tới hàm số f trên đoạn [a; b] Ta đặt: b I 4 = lim n → +∞ ∫f n ( x)dx a 2.2 Mối quan hệ giữa các biến thể của tích phân Riemann: Định lý 7: Trên tập hợp các hàm số liên tục các cách xây dựng khái niệm tích phân Riemann theo các định nghĩa (đn) 1,2,3,4 tương đương với nhau Chứng minh: i) Từ đn 1 suy ra đn 2: Hiển... thuộc phép phân hoạch a đoạn [a; b] và cách chọn điểm ξ i thuộc [ xi −1 ; xi ] ) Định lý được chứng minh 18 CHƯƠNG 3: MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG THẤY Ở HỌC SINH PHỔ THÔNG KHI GIẢI TOÁN TÍCH PHÂN Chúng ta sẽ tìm thấy ở đây một số ví dụ minh hoạ các sai lầm thường thấy ở học sinh phổ thông khi giải toán tích phân Những sai lầm này thường liên quan tới sự hiểu biết không đúng các khái niệm, vận dụng sai các định... các định lý 3,4,5 ta được: b ∫f a b n b ( x)dx − ∫ g n ( x)dx = ∫ [ f n ( x) − g n ( x)]dx ≤ a a ε b b a b−a a ≤ ∫ f n ( x) − g n ( x) dx < ∫ b Điều này chứng tỏ: lim n → +∞ ∫f a dx = ε b n ( x)dx = lim ∫ g n ( x)dx n → +∞ a Định lý được chứng minh 10 CHƯƠNG 2: CÁC BIẾN THỂ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ MỐI QUAN HỆ Ngoài định nghĩa quen thuộc như đã biết ở toán phổ thông hiện hành, khái niệm tích phân Riemann. .. Cận, Lê Thống Nhất, Phan Thanh Quang – Sai lầm phổ biến khi giải toán, NXB GD 2002 [2] Nguyễn Phụ Hy – Tích phân trong toán phổ thông, NXB GD 1998 [3] Ngô Thúc Lanh (chủ biên) - Giải tích 12, NXB GD 2003 [4] Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn - Giải tích toán học Tập 1, NXB GD 1987 [5] Dương Thủy Vỹ, Vũ Long, Tạ Văn Đỉnh - Hướng dẫn giài bài tập toán Giải tích, NXB Đại học và Trung học chuyên nghiệp... giải trên muốn chỉ ra sai lầm khi đổi biến chứ không phải là lời giải tốt Các bạn có thể giải đơn giản như sau 3 3 1 P = ∫ x3 1 − x 2 dx = − ∫ 3 1 − x 2 d (1 − x 2 ) 20 0 =− 1 3(1 − x ) 2 4 2 4 3 3 0 =− 45 8 29 KẾT LUẬN Do khuôn khổ và thời gian thực hiện đề tài còn hạn hẹp nên em chỉ xem xét và trình bày được một số biến thể của tích phân Riemann trong toán phổ thông và một ít kiến thức liên quan Tuy... không phụ thuộc vào cách chia đoạn [a; b] và cách chọn các điểm ξ i trên đoạn [ xi −1 ; xi ] , thì giới hạn đó được gọi là tích phân của hàm số f lấy trên b đoạn [a; b] và được ký hiệu là ∫ f ( x)dx , tức là: a b ∫ n f ( x)dx = lim max ∆xi → 0 a ∑ f (ξ )∆x i i =1 i b Ký hiệu ∫ f ( x)dx đọc là tích phân từ a đến b của f ( x ) dx ”, a gọi là cận dưới, b a gọi là cận trên của tích phân, f ( x ) gọi là... ) = 2 4 4 Chú ý : Các bạn đọc là sinh viên lưu ý rằng trong chương trình toán phổ thông không trình bày về tích phân suy rộng 28 Ví dụ 7 : 3 Tính P = ∫ x3 1 − x 2 dx 0 Lời giải sai : x = sin t ⇒ dx = cos tdt Đặt : Khi x = 0 thì t = 0 , còn khi x = 3 thì không có t để sin t = 3 Do vậy tích phân đã cho không xác định Nhận xét : Việc không tồn tại t để sin t = 3 chỉ suy ra được tích phân đã cho không . W X MAI QUANG VINH LỚP DH 2 A 1 CÁC BIẾN THỂ TƯƠNG ĐƯƠNG CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN TRONG TOÁN PHỔ THÔNG Giáo viên hướng dẫn:Th.S Lê. 2: CÁC BIẾN THỂ CỦA TÍCH PHÂN RIEMANN VÀ MỐI QUAN HỆ D E Ngoài định nghĩa quen thuộc như đã biết ở toán phổ thông hiện hành, khái niệm tích phân