phương pháp đổi biến số trong phép tính tích phân ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Thị Phượng Linh PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Thị Phượng Linh PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đề tài “Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân trung học phổ thông” thực Số liệu đề tài trung thực chưa công bố nghiên cứu khác Tôi xin chịu trách nhiệm nghiên cứu Người cam đoan Nguyễn Thị Phượng Linh LỜI CẢM ƠN Tôi xin trân trọng dành dòng để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô: PGS TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Trần Lương Công Khanh, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS Vũ Như Thư Hương, TS Nguyễn Thị Nga tận tình giảng dạy kiến thức bổ ích Didactic Toán toàn khóa học Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, Khoa Toán Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục Đào tạo Long An, Ban Giám Hiệu trường THPT Cần Giuộc - Long An, nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi để hoàn thành tốt khóa học Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp didactic Toán khóa 22 giúp đỡ thời gian học tập Cuối cùng, xin dành lời cảm ơn đến thành viên gia đình quan tâm, chăm sóc động viên suốt trình học tập, đặc biệt người Mẹ kính yêu tôi, Người dành điều tốt đẹp cho Nguyễn Thị Phượng Linh MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Phạm vi lý thuyết tham chiếu Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Tổ chức luận văn CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 1.1 Đạo hàm hàm số hợp - điều kiện sinh thái PPĐBS 1.1.1 Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp 1.1.2 Vấn đề nhận diện dạng hàm số cần lấy đạo hàm, tích phân : 18 1.2 Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS phép tính tích phân 23 1.2.1 Hiện trạng dạy học PPĐBS phép tính tích phân 23 1.2.2 Các dạng hàm số hợp sử dụng cách đặt ẩn số phụ tương ứng PPĐBS phép tính tích phân 24 CHƯƠNG 2: THỰC NGHIỆM 30 2.1 Giới thiệu thực nghiệm 30 2.2 Bài toán thực nghiệm 30 2.3 Phân tích a priori 31 2.3.1 Mục tiêu thực nghiệm: 31 2.3.2 Bài toán 31 2.3.3 Bài toán 33 2.4 Phân tích a posteriori 34 2.4.1 Phiếu khảo sát 34 2.4.2 Phiếu khảo sát 34 2.5 Kết luận 35 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 PHỤ LỤC 38 DANH MỤC CÁC CHỮ VIẾT TẮT SGK : Sách giáo khoa SGKHH : Sách giáo khoa hành SGV : Sách giáo viên SBT : Sách tập ĐS & GT : Đại số & Giải tích GT : Giải tích PPĐBS : Phương pháp đổi biến số GV : Giáo viên HS : Học sinh BNC : Ban nâng cao BCB : Ban tr : trang MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Tích phân khái niệm bản, quan trọng GT Trong chương trình Toán Trung học phổ thông, tích phân xuất học kì II lớp 12 nội dung quan trọng SGK GT 12 hành dành hẳn chương để nói nguyên hàm, tích phân ứng dụng nó, cuối chương có kiểm tra 45 phút Tích phân xuất nhiều kì thi học kì, cao đẳng đại học Để phục vụ cho toán tính tích phân, SGK GT 12 hành giới thiệu phương pháp để tính tích phân, PPĐBS phương pháp tích phân phần Với PPĐBS, SGK giới thiệu hai cách đổi biến số sau: u (b ) b ∫ f [u ( x)]u '( x)dx = ∫ f (u )du ,với u = u(x) có đạo hàm liên tục K, hàm u(a) a số y = f(u) liên tục cho hàm hợp f[u(x)] xác định K; a b số thuộc K (SGK GT 12 (BNC) –tr 158) β Giả sử ta cần tính ∫α f ( x)dx Đặt x=x(t), (t ∈ K) a, b ∈ K thõa mãn β β = x(b) α = x(a), b ∫α f ( x)dx = ∫ f [ x(t )]x '(t )dt (SGK GT 12 (BNC) –tr 159) a Như vậy, việc tính tích phân PPĐBS đòi hỏi kiến thức hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp cách đặt ẩn số phụ u=u(x) hay x=x(t) phù hợp cho toán Để minh họa cho cách đặt ẩn số phụ, SGK đưa vào số ví dụ sau: x ∫ xe dx Ví dụ 1: Tính Giải: xe x2 = e x d ( x ) Đặt u=x2 ta có u(1)=1, u(2)=4 Do 2 eu xe = dx = du (e − e ) ∫1 ∫1 2 x2 H1: Tính ∫ x + 3dx cách đặt u=2x+3 Ví dụ 2: Tính ∫ − x dx Giải: đặt x=sint Ta có dx=d(sint)=costdt, 0=sin0 1=sin π π Vậy ∫  π − x dx =∫ − sin t cos tdt Vì t ∈ 0;  nên − sin t = cos t   2 π Do ∫ H2: Tính π 1 sin2t π − x dx =∫ cos tdt = ∫ (1 + cos 2t )dt = (t + ) = 20 2 ∫ dx 1− x 2 cách đặt x=sint (SGK GT 12 (BNC) –tr 159) Hai ví dụ hai hoạt động H1; H2 minh họa cụ thể cho hai PPĐBS mà SGK nêu Các ví dụ mà SGK sử dụng minh họa đơn giản Vậy vào giải toán tích phân cụ thể không đơn giản ví dụ làm HS nhận biến số phù hợp cho PPĐBS? Mặt khác, nguyên hàm toán ngược không đơn giản toán đạo hàm, PPĐBS có liên hệ với đạo hàm hàm hợp? Chính chọn đề tài: “Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân Trung học phổ thông” Phạm vi lý thuyết tham chiếu Để tìm hiểu rõ vấn đề đặt ra, đặt nghiên cứu phạm vi Didactic Toán với việc sử dụng thuyết nhân học didactic lý thuyết tình Ở luận văn quan tâm đến hai điều kiện sinh thái PPĐBS phép tính tích phân đạo hàm hàm hợp vấn đề đặt ẩn phụ Trong phạm vi lý thuyết tham chiếu, phát biểu lại câu hỏi nghiên cứu sau : Đạo hàm hàm hợp xây dựng chương trình trung học phổ thông? Nhằm mục đích gì? Mối liên hệ với PPĐBS phép tính tích phân sao? Trong SGKHH PPĐBS thực với dạng hàm số hợp nào, không thực với dạng hàm số hợp nào? Với dạng hàm số hợp mà SGK sử dụng cho PPĐBS phép tính tích phân cách đặt ẩn phụ tương ứng sao? Mục đích nghiên cứu phương pháp nghiên cứu Mục đích luận văn tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi Để đạt điều này, đề phương pháp nghiên cứu sau : Để trả lời cho câu hỏi nghiên cứu, chọn phân tích SGK toán lớp 11, 12 hành (BNC) tham khảo thêm số luận văn nghiên cứu tích phân Nội dung trả lời trình bày chương I : “Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân” Từ kết phân tích chương I giúp hình thành nên giả thuyết nghiên cứu, tiến hành phân tích thực nghiệm để kiểm chứng giả thuyết Vấn đề trình bày chương II: Thực nghiệm Tổ chức luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, phần kết luận phần nội dung sau: I Phần mở đầu: bao gồm phần: lý chọn đề tài, khung lý thuyết tham chiếu, phương pháp nghiên cứu tổ chức luận văn II Nội dung: Chương 1: Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân 1.1 Đạo hàm hàm số hợp - điều kiện sinh thái PPĐBS 1.2 Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS phép tính tích phân Chương 2: Thực nghiệm III Phần kết luận: trình bày kết đạt luận văn 29 CHƯƠNG 2: THỰC NGHIỆM Từ nghiên cứu chương 1, cho rằng: Trong tính tích phân PPĐBS, việc đặt biến số HS thực dựa vào hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp HS chọn biến số dựa vào số quy tắc dạng hàm số cách đặt ẩn tương ứng GV cung cấp yếu tố công nghệ-lý thuyết 2.1 Giới thiệu thực nghiệm Thực nghiệm tiến hành đối tượng HS học xong “Một số phương pháp tính tích phân” ( SGK GT 12-(BNC) (2008)) Cụ thể tân sinh viên K39 Khoa Lý trường ĐHSP TP Hồ Chí Minh Số HS thực nghiệm: 97 HS Hình thức thực nghiệm: HS phát phiếu khảo sát 1, trả lời vòng 10 phút nộp lại Sau đó, HS phát tiếp phiếu khảo sát 2, trả lời vòng 10 phút 2.2 Bài toán thực nghiệm Toàn văn phiếu câu hỏi nêu phần phụ lục, tập nêu phiếu câu hỏi: −x Cho hàm số: y = − x2 Tính tích phân I = 2 ∫ −x − x2 dx Nếu phân tích hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp kết hàm số sau đây? em chọn lần câu trả lời khoanh tròn vào lựa chọn a y = d y = −( x ) ' b y = − x2 (2 − x ) ' 1− x −(1 − x ) ' − x2 e Kết khác 30 c y = (1 − x ) ' − x2 2.3 Phân tích a priori 2.3.1 Mục tiêu thực nghiệm: Bài tập phiếu thực nghiệm gồm phần Phần đầu nhiệm vụ quen thuộc: yêu 2 cầu HS tính tích phân ∫ −x 1− x dx , phần thứ yêu cầu phân tích hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp Mục đích toán thực nghiệm để rằng: HS không cần xem hàm số dấu tích phân đạo hàm hàm số hợp để xác định biến số cho phù hợp, mà HS sử dụng cách đặt biến số theo dạng hàm GV cung cấp giải toán 2.3.2 Bài toán  Bài toán 1: Tính tích phân I = 2 ∫ −x − x2 dx  Mục đích xây dựng toán 1: - Mục đích xây dựng cho toán để HS chọn biến số dựa vào số quy tắc dạng hàm số cách đặt ẩn tương ứng GV cung cấp - Hàm số toán có chứa biểu thức − x2 (có dạng a2 − x2 ) nên HS chọn biến u = sint ( u = cost) Mặt khác, bên bậc có xuất x, HS áp dụng theo quy tắc “nếu x2, bên có chứa x, cho dù bên x tử số hay mẫu số, bên hệ số x2 âm hay dương ta đặt t = căn” để chọn biến số cho toán u = − x  Các chiến lược 1: - S1: Lượng giác hóa: (hàm số có chứa đặt x = sint, − π ≤t ≤ π => dx = costdt Đổi cận: x = => t = ; x = π => t = 31 a2 − x2 ) π π π π − sin t − sin t I= − ∫ sin tdt == cos t |04 −1 ∫0 − sin t cos tdt = ∫0 cos t cos tdt = 4 S2: Hữu tỷ hóa đại số - S2a: đặt u = − x => 2udu = -2xdx Đổi cận: x = => u = ; x = 2 ∫ = I 2 udu = u 2 du ∫= 2 => u = 2 −1 u= |1 S2b: đặt u = – x2 => du = - 2xdx Đổi cận: x = => u = ; x = du ∫1 = u I = => u = 2 −1 |12 u= S3: Biến đổi dạng f(u)du S3a: 2 −x dx ∫0= − x2 = I =1 − x 2 2 2 −2 x dx ∫0 = − x2 ∫ (1 − x ) ' dx = − x2 2 d (1 − x ) ∫2 − x2 = −1 S3b: Đưa dạng k(1 - x2)-1/2 d(1 - x2) 2 −x dx ∫0= − x2 = I 2 =∫ (1 − x −1 2 ) 2 −2 x dx ∫0 = − x2 2 ∫ (1 − x ) d (1 − x ) = 2 (1 − x ) ' dx = − x2 −1 +1 −1 +1 =(1 − x 2 ) 2 d (1 − x ) ∫2 2 − x2 = −1  Biến didactic - V1 : Cách xác định ẩn số - Các giá trị biến + V1a: xác định ẩn số theo quy tắc cung cấp 32 + V1b: xác định ẩn số không theo quy tắc cung cấp Nếu giá trị biến V1a chọn, HS chọn biến số theo quy tắc cung cấp chiến lược S1, S2a HS chọn lựa Nếu giá trị biến V1b chọn, HS chọn chiến lược lại để giải toán 2.3.3 Bài toán  Bài toán 2: Nếu phân tích hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp kết hàm số sau đây? em chọn lần câu trả lời khoanh tròn vào lựa chọn a y = d y = −( x ) ' − x2 (2 − x ) ' − x2 b y = −(1 − x ) ' − x2 c y = (1 − x ) ' − x2 e Kết khác  Mục đích xây dựng toán Kiểu nhiệm vụ quen thuộc HS học đạo hàm hàm số hợp việc thực hành tính đạo hàm hàm số hợp Với toán 2, HS vấp phải khó khăn yêu cầu phân tích ngược hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp Mục đích tập để HS không quan tâm hàm số dấu tích phân đạo hàm hàm số hợp Do yêu cầu toán kiểu nhiệm vụ không quen thuộc nên chọn câu trả lời có nhiều lựa chọn để kết khảo sát xác  Các chiến lược - S1: Đạo hàm hàm số có đáp án để xác định đáp án Với 2, đáp án đáp án c có khả đáp án a, d HS lựa chọn hàm số tiếp tục lấy đạo hàm kết hàm số y = - S2: Nhận xét phần đạo hàm tử số biểu thức mẫu số Các đáp án b, c HS chọn có dạng f(u(x)).u’(x)  Biến didactic - V2:Dạng biểu thức đạo hàm tử số - Các giá trị biến: + V2a: Biểu thức đạo hàm tử số có dạng k(1 – x2)’ 33 −x − x2 + V2b: Biểu thức đạo hàm tử số dạng k(1 – x2)’ Nếu giá trị biến V2a chọn đáp án b,c chấp nhận Nếu giá trị biến V2b chọn đáp án a, d chọn Đáp án e dùng cho trường hợp HS không tìm kết phù hợp 2.4 Phân tích a posteriori 2.4.1 Phiếu khảo sát Kết phiếu khảo sát tóm tắt qua bảng sau: Bảng 2.1 Kết thực nghiệm phiếu khảo sát Số lượng Phiếu khảo sát S1 Chiến lược S2 S3 Không trả lời 28 S2a 65 S2b S3a S3b 0 Với phiếu khảo sát 1, 97 HS tính toán tích phân cho với chiến lược dự kiến ban đầu Tuy nhiên, chiến lược S3a có HS thực hiện, S3b HS thực S2b có HS Các chiến lược S1, S2a gắn liền với qui tắc đặt biến cụ thể chiếm đa số với S1 28 HS S2a 65 HS Kết nói lên HS chọn biến số dựa vào số quy tắc dạng hàm số cách đặt ẩn tương ứng GV cung cấp yếu tố công nghệ-lý thuyết 2.4.2 Phiếu khảo sát Kết phiếu khảo sát tóm tắt qua bảng sau: Bảng 2.2 Kết thực nghiệm phiếu khảo sát Phiếu khảo sát Đáp án Số lượng A 18 B 12 C 21 D E 36 34 Không trả lời Với phiếu khảo sát 2, có 21 số 97 HS chọn đáp án c; 76 HS lại lựa chọn đáp án a, b, d, e có HS không trả lời Kết nói lên việc yêu cầu HS phân tích hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp gây khó khăn cho HS HS tính toán tính tích phân PPĐBS mà không quan tâm đến việc xem xét hàm số dấu tích phân đạo hàm hàm số hợp để xác định biến số cho phù hợp 2.5 Kết luận Kết thực nghiệm chứng minh tính tích phân PPĐBS, HS đặt biến số theo quy tắc GV hướng dẫn Việc đặt biến số HS thực dựa vào hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp 35 KẾT LUẬN Các kết đạt Sau trình nghiên cứu đề tài “Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân trung học phổ thông” đạt số kết sau: Các khái niệm hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp chương trình hành đơn giản hóa HS không dùng đến định nghĩa hàm số hợp để nhận diện dạng hàm số hợp cần lấy đạo hàm mà thay vào quy tắc hướng dẫn mang tính công nghệ-lý thuyết GV cung cấp thực hành giảng dạy Trong thể chế hành, PPĐBS đạo hàm hàm số hợp liên kết chặt chẽ Đạo hàm hàm số hợp SGK sử dụng cần chứng minh công thức công thức đổi biến số PPĐBS toán tìm nguyên hàm, không ý khai thác để giúp HS tìm biến số hay nguyên hàm hàm số SGK không cho HS việc nhận diện dạng toán tính tích phân PPĐBS mà thay vào việc GV cung cấp cho HS số quy tắc dạng toán với cách đặt ẩn tương ứng HS đặt biến số theo quy tắc hướng dẫn mà không cần hiểu chất quy tắc từ đâu Việc đặt biến số HS thực dựa vào hàm số hợp đạo hàm hàm số hợp Những hạn chế hướng mở đề tài Luận văn chưa thực việc phân tích thật đầy đủ phần đạo hàm hàm số hợp chương trình hành để làm rõ mối liên hệ đạo hàm hàm số hợp với PPĐBS phép tính tích phân Điều mở hướng nghiên cứu là: nghiên cứu việc lấy đạo hàm hàm số hợp mối liên hệ đạo hàm hàm số hợp với phép tính tích phân 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO Lê Thị Hoài Châu-Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố Didactic Toán, Nxb Đại học quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trần Văn Hạo (1992), SGK GT 12, Nxb Giáo Dục Trần Văn Hạo (2008), SGK GT 12 (BCB), Nxb Giáo Dục Trần Văn Hạo (2008), SGV GT 12 (BCB), Nxb Giáo Dục Trần Lương Công Khanh, So sánh thể chế khái niệm tích phân Riemann, báo cáo hội thảo lần thứ Didactic – Phương pháp dạy học Toán, trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, 17-18/06/2005 Trần Lương Công Khanh (2006), La notion d'intégrale dans l'enseignement des mathématiques au lycée: une étude comparative entre la France et le Vietnam, thèse de doctorat, Grenoble (Bản dịch từ tiếng Pháp sang tiếng Việt) Ngô Thúc Lanh (2000), SGK chỉnh lí hợp GT 12, Nxb Giáo Dục Phạm Lương Quý ( 2007), Nghiên cứu sinh thái phép tính tích phân giảng dạy Toán trung học phổ thông, luận văn thạc sĩ, trường Đại học Sư Phạm Tp Hồ Chí Minh Đoàn Quỳnh (2006), SGK Đại số 10 (BNC), Nxb Giáo Dục 10 Đoàn Quỳnh (2006), SGV Đại số 10 (BNC), Nxb Giáo Dục 11 Đoàn Quỳnh (2007), SGK ĐS & GT 11 (BNC), Nxb Giáo Dục 12 Đoàn Quỳnh (2007), SGV ĐS & GT 11 (BNC), Nxb Giáo Dục 13 Đoàn Quỳnh (2008) SGK GT 12 (BNC), Nxb Giáo Dục 14 Đoàn Quỳnh (2008), SGV GT 12 (BNC), Nxb Giáo Dục 15 http://vtv.vn/video-clip/131/VTV2/category38/BTKTVH-Phuong-phap-bien-doi-bienso/video7078.vtv 37 PHỤ LỤC PHIẾU KHẢO SÁT Tên : …………………………………………… Các em thân mến! Mục tiêu phiếu không nhằm để đánh giá em mà để thu thập lời giải ý kiến em nhằm cải thiện việc dạy học Toán Các em thực toán sau thời gian 10 phút cách trình bày lời giải phía toán cho Các em sử dụng máy tính bỏ túi Xin cảm ơn cộng tác em Bài toán: Tính tích phân I = 2 ∫ −x 1− x dx …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………… 38 PHIẾU KHẢO SÁT Tên : …………………………………………… Các em thân mến! Mục tiêu phiếu không nhằm để đánh giá em mà để thu thập lời giải ý kiến em nhằm cải thiện việc dạy học Toán Các em thực yêu cầu toán sau thời gian 10 phút Các em sử dụng máy tính bỏ túi Xin cảm ơn cộng tác em Bài toán: Cho hàm số y = −x − x2 Nếu phân tích hàm số cho thành đạo hàm hàm số hợp kết hàm số sau đây? Các em chọn lần câu trả lời khoanh tròn vào lựa chọn a y = c y = −( x ) ' − x2 (1 − x ) ' − x2 b y = d y = −(1 − x ) ' − x2 (2 − x ) ' − x2 e Kết khác …………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………… 39 BIÊN BẢN DỰ GIỜ GV: bắt đầu tiết học nha em Hôm thực tiết ôn tập đạo hàm GV thực chia bảng cột, tiến hành ghi đề tập số cột đầu tiên: tính đạo hàm hàm số sau: y = cot x + GV dến cột số Các em nhớ công thức tính đạo hàm không? Nhắc lại cho Cô số công thức đạo hàm hàm số lượng giác nào? Cô mời Tuấn! GV viết: (sinx)’ = ; (cosx)’ = ; (tanx)’= ; (cotx)’ = ; cos x −1 sin x Tuấn: dạ, (sinx)’ = cosx; (cosx)’ = -sinx; (tanx)’= GV: à, bạn khác nhắc lại công thức đạo hàm u Xuyến (cotx)’ = nhắc lại giúp Cô đi! GV viết: (sinu)’ = ; (cosu)’ = ; (tanu)’= ; (cotu)’ = u' ; cos u Xuyến: dạ, (sinu)’ = u’.cosu; (cosu)’ = -u’.sinu; (tanu)’= GV: số rơi vào công thức gì? cotx hay cotu? Cả lớp: cotu GV ghi cotu bên cạnh đề Mời bạn lên giải nhé, Cô mời Thanh (cotu)’ = −u ' sin u Cả lớp giải tập, GV quan sát lớp Thanh giải tập xong chổ, GV tiến hành nhận xét làm HS bảng GV: ta xem bạn giải không GV vào làm HS Đạo hàm cotu bằng…trừ …u’ trên… sin bình phương u ý u Rồi…tiếp theo… đạo hàm u u’ …trên u GV ghi dạng u bên cạnh Kết ta này…các em nhớ ý đến bậc hàm số lượng giác, bậc góc hàm số lượng giác, khác x nên ta sử dụng công thức cotu đạo hàm Bây tới số 10 GV viết đề số lên cột thứ y = cos x nhắc lại cho Cô số công thức khác nhé! Cô mời Lan nào! GV viết: (xn)’ =; ( x )' = ; (un)’= ; ( x )' = 21x ; ( u )' = (un)’= nun-1 ; ( u ) ' = 2u 'u 11 Lan: (xn)’ =nxn-1; 12 GV: quay lại số 2, có dạng gì? 40 x hay u? 13 Cả lớp: dạng 14 GV: rồi, phải u u u nhé, biểu thức x GV ghi công thức bên cạnh Mời bạn lên bảng giải Dũng nhé? Cả lớp giải tập, GV quan sát lớp Dũng giải tập xong chổ 15 GV: lớp xem GV vào làm HS Đạo hàm u u’ …trên u Đạo hàm cosu trừ sinu nhân u’ GV ghi dạng cos u bên cạnh Rút gọn đi, ta kết quả… Bây tới số chưa? 16 Cả lớp: 17 GV: viết đề số lên cột số Bài sử dụng công thức để tính đạo hàm hàm số? 18 Cả lớp: … 19 GV: lưu ý cho Cô thứ em phải để ý đến bậc hàm số lượng giác, bậc mấy? 20 Cả lớp: dạ, bậc 21 GV: góc có phải x không? 22 Cả lớp: thưa cô, không 23 GV: hàm số cosu GV ghi dạng cosu bên cạnh Mời em lên bảng nhé? Minh nhé? Cả lớp giải toán GV quan sát lớp Minh giải xong chổ 24 GV: nhận xét làm bạn giúp Cô Hằng! 25 Hằng: thưa Cô, sai rồi! 26 GV: sai đâu ? 27 Hằng: dấu thứ 2, sin 2x+1 ! 28 GV: rồi, ta có đạo hàm cosu trừ u’ nhân sinu GV bổ sung dấu bậc vào làm Còn sai không? 29 Hằng: hết rồi! 30 GV: Bạn Minh thiếu dấu bậc Còn đạo hàm 2x+1 bạn tính không sai Đạo hàm u là… u’ u Bạn ghi thiếu dấu bậc mà tính đạo hàm đấy! 31 Cả lớp: cười, bạn cặp dê Cô! 32 GV: em có thắc mắc không? Chúng ta qua nào! 41 π = GV ghi xóa cột ghi đề y cos − 2x 33 GV: tính đạo hàm cách Huy? 34 Huy: … Một bạn ngồi kế bên nhắc: u mủ n! 35 GV: không nhắc cho bạn nhé, Cô mời Huy, em tính đạo hàm cách nào? 36 Huy: dạ, un 37 GV: u n bao nhiêu? 38 Huy: n = 2, u = 39 GV: em phân biệt với số (là tập: y = cos cos π − 2x x + ) hàm số lượng giác, un, cosu khác chổ nào? bày mũ mấy? mũ nên em phân biệt cho Cô: gặp lượng giác mà mũ xem góc x u, tính Gặp lượng giác mà bậc mà bậc trở lên công thức un Rồi, lên làm giùm Cô nhé! Huy lên bảng giải, lớp giải toán 40 GV: Cô mời Trọng kiểm tra làm bạn giúp Cô xem nào? 41 Trọng: thưa Cô sai rồi! sai từ dấu thứ 2…bạn thiếu dấu đạo hàm pi chia bốn trừ 2x! 42 GV vào hàng dấu thứ 1: dạng un, đạo hàm (un)’ = n.un-1.u’, n 2, u2=2u2-1.u’ với u’ =   π  cos − x    , GV ghi dạng un bên cạnh Đến dây ta sử dụng tiếp công thức gì? Các em nhận xét nhé: hàm số lượng giác có bậc mấy? 43 Cả lớp: bậc 44 GV: lượng giác bậc nhận xét góc? góc có phải x không? , ta sử dụng công thức gì? 45 Cả lớp: cosu đạo hàm! 46 GV ghi dạng cosu bên cạnh (cosu)’ (cosu)’ gì? À, trừ u đạo hàm nhân sinu? Bây đạo hàm pi chia bốn trừ 2x Bạn Huy thiếu dấu đạo hàm rồi! phần sai Trọng lên sửa tiếp Huy đi! Trọng lên bảng sửa bài, xong chổ 42 π 47 GV: đây? (GV vào 48 Cả lớp: pi chia bốn trừ 2x! 49 GV: có nghĩa áp dụng công thức gì? 50 Cả lớp: u đạo hàm 51 GV: ghi công thức u bên cạnh ( u )’ gì? 52 Cả lớp: u’ chia hai u 53 GV: rồi, ( u )’ = u' u − 2x ) Bây sử dụng tiếp công thức sin2a = 2sinacosa để làm gọn kết toán GV ghi công thức sin2a = 2sinacosa bên cạnh 54 GV: sử dụng công thức tính đạo hàm un, cosu, u công thức lượng giác sin2a em ôn thêm phần đạo hàm hàm số lượng giác đạo hàm hàm số hợp Chúng ta kết thúc tiết học đây! 43 [...]...CHƯƠNG 1: PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN 1.1 Đạo hàm hàm số hợp - một điều kiện sinh thái của PPĐBS 1.1.1 Mối quan hệ thể chế với khái niệm đạo hàm hàm số hợp 1.1.1.1 Đạo hàm hàm số hợp trong SGKHH 1.1.1.1.1 Tóm tắt một số kết quả từ luận văn thạc sĩ Nghiên cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007)... cứu sinh thái của phép tính tích phân trong giảng dạy Toán ở trung học phổ thông của Phạm Lương Quý (2007), chúng tôi rút ra một số kết quả sau:  Thời điểm và mục đích đưa khái niệm hàm số hợp vào chương trình toán trung học phổ thông: - Các thời kỳ trước: + Hàm số hợp được trình bày trong chương Hàm số ở lớp 11 (chương trình 19751990), trong chương Bổ sung về hàm số và giới hạn ở lớp 12 (chương trình... lấy đạo hàm, các biến trung gian cần thiết 13 1.1.1.2 Đạo hàm hàm số hợp trong PPĐBS phép tính tích phân PPĐBS được trình bày ở lớp 12 trong chương Tích phân (chương trình 1992); trong chương Nguyên hàm và tích phân (chương trình 2000) và trong chương Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng (chương trình 2008) nhằm phục vụ cho việc tìm nguyên hàm, tính tích phân Sách GT 12 (BNC) trình bày cơ sở của PPĐBS là... vụ học thuộc các công thức tính nguyên hàm đó, dùng nó để xác định dạng của một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS 22 Như vậy, công cụ lý thuyết mà SGK sử dụng để nhận dạng bài toán đổi biến số tích phân chính là đạo hàm hàm số hợp Tuy nhiên, đạo hàm hàm số hợp chỉ được dùng để chứng minh công thức đổi biến số trong PPĐBS tích phân, không được sử dụng để giúp học sinh nhận diện dạng bài toán đổi biến. .. u; các cách đặt biến mới u tương ứng với các dạng hàm số đã cho 1.2 Vấn đề đặt ẩn phụ cho PPĐBS trong phép tính tích phân 1.2.1 Hiện trạng dạy và học PPĐBS trong phép tính tích phân Tích phân là một nội dung trọng tâm trong chương trình, SGK Toán hiện hành Tích phân xuất hiện trong các kì thi quan trọng như kì thi tốt nghiệp THPT, kì thi tuyển sinh vào Đại học Chính vì vậy, việc dạy và học nội dung này... đổi biến số tích phân HS chỉ được cung cấp các cơ sở lý thuyết về PPĐBS, các cách đổi biến số Các công cụ lý thuyết về việc nhận diện dạng của một bài toán tính tích phân bằng PPĐBS chưa được khai thác hiệu quả Trong thực hành, HS chỉ nhớ đến các công thức nguyên hàm của các hàm số, các bước để thực hiện việc đổi biến số là: tìm biến số phụ u, tính du, thay vào đề bài và tìm nguyên hàm từ biến u; các... nêu ở trên, SGK GT 12 (BNC) đã trình bày cơ sở của PPĐBS khi tính tích phân và 2 cách đổi biến số tùy theo cách chọn biến u = u(x) hay x = x(t) Đó có thể được xem là các công cụ lý thuyết cần thiết cho bài toán tính tích phân bằng PPĐBS Tuy nhiên, vấn đề khi nào thì sử dụng cách đổi biến số nào thì vẫn chưa được SGK đề cập đến SGK chỉ nêu ra các ví dụ làm mẫu cho các cách đổi biến số Các bài tập trong. .. dụng hàm số hợp, đạo hàm hàm số hợp vào trong PPĐBS không những giúp xác định biến số phụ u(x) thuận lợi hơn mà còn giúp HS lựa chọn được cách giải đúng cho bài toán đổi biến số để tìm nguyên hàm, tính tích phân Tuy nhiên, những lợi ích này đã không được SGK khai thác triệt để Chính điều này gây ra sự lúng túng cho HS khi chọn biến số trung gian u = u(x) hay x = x(t) trong PPĐBS để tính tích phân 1.1.2... cho phép giải thích cách đặt biến số mới Tuy nhiên, đôi khi HS phải thực hiện các phép biến đổi đại số hoặc lượng giác nhằm làm “hiển thị” biến số mới trong trường hợp bị ẩn giấu Sự đa dạng đó có thể là nguồn gốc khó khăn nơi HS trong việc chọn phép biến đổi phù hợp Mặt khác, các kĩ thuật được cung cấp cho hàm số dưới dấu tích phân a 2 − x 2 có thể khó xác định và gây do dự cho HS khi gặp hàm số dưới... lựa biến số mới phù hợp Với 2 cách đổi biến số tùy theo cách chọn biến u = u(x) hay x = x(t) được giới thiệu, GV và SGK áp dụng các cách này với các bài toán tích phân bằng PPĐBS theo kiểu : với cách đặt u = u(x) dành cho các hàm số có dạng f[u(x)]u’(x); cách đặt x = x(t) được gắn với các biến số mới là biến lượng giác Các bài tập được cho luôn nằm trong phạm vi các hàm số đã học, các dạng đổi biến số ... ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH _ Nguyễn Thị Phượng Linh PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ TRONG PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số. .. tra 45 phút Tích phân xuất nhiều kì thi học kì, cao đẳng đại học Để phục vụ cho toán tính tích phân, SGK GT 12 hành giới thiệu phương pháp để tính tích phân, PPĐBS phương pháp tích phân phần Với... chọn phân tích SGK toán lớp 11, 12 hành (BNC) tham khảo thêm số luận văn nghiên cứu tích phân Nội dung trả lời trình bày chương I : Phương pháp đổi biến số phép tính tích phân Từ kết phân tích