bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trường Sinh BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Nguyễn Trường Sinh BẢNG BIẾN THIÊN TRONG DẠY HỌC HÀM SỐ Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành : Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số : 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS LÊ THỊ HOÀI CHÂU Thành phố Hồ Chí Minh – 2012 LỜI CẢM ƠN Trước tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn đến quí thầy cô : PGS TS Lê Văn Tiến, PGS TS Lê Thị Hoài Châu, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung giảng didactic Toán sinh động đầy ý nghĩa Tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Claude Comiti TS Alain Birebent lời góp ý cho luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Khoa Học Công Nghệ Sau Đại Học, Khoa Toán - Trường Đại Học Sư Phạm Thành Phố Hồ Chí Minh tạo điều kiện học tập tốt cho Tôi xin chân thành cảm ơn : Ban Giám Hiệu quí thầy cô đồng nghiệp khoa Khoa học Cơ trường Đại học Công Nghiệp Thực Phẩm nơi công tác, tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên hoàn thành tốt khóa học Ban Giám hiệu thầy, cô tổ toán Trường Cao đẳng Bách Việt, THPT Lê Quí Đôn, THPT Nguyễn Chí Thanh tạo điều kiện, giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Tôi xin gửi lời cảm ơn đến bạn lớp didactic Toán khóa 20 sẻ chia thời gian học tập Cuối cùng, hết lòng cảm ơn gia đình quan tâm động viên suốt trình học tập Nguyễn Trường Sinh MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cảm ơn Mục lục Bảng danh mục chữ viết tắt Danh mục bảng MỞ ĐẦU Chương PHÂN TÍCH KHÁI NIỆM VÀ VAI TRÒ CỦA BẢNG BIẾN THIÊN 1.1 Lý tồn BBT chướng ngại liên quan : .5 1.1.1 Về khái niệm hàm số 1.1.2 Về khái niệm đồ thị .8 1.2 Vai trò BBT dạy học hàm số : 22 * Kết luận 24 Chương MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN 27 2.1 Bảng biến thiên chương trình toán lớp 10 28 2.1.1 Thời điểm xuất ý nghĩa BBT : 28 * Kết luận 35 2.1.2 Các tổ chức toán học xung quanh khái niệm BBT : 36 * Kết luận: 44 2.2 Bảng biến thiên chương trình toán lớp 12 45 2.2.1.Ứng dụng bảng biến thiên : 45 2.2.2.Các tổ chức toán học liên quan đến bảng biến thiên : 58 * Kết luận 70 Chương NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 74 3.1 Mục tiêu thực nghiệm 74 3.2 Đối tượng hình thức thực nghiệm : 74 3.3 Phân tích tiên nghiệm (a priori) : 75 3.3.1 Các toán thực nghiệm 75 3.3.2 Phân tích chi tiết toán 77 3.3.2.1 Các toán dành cho học sinh lớp 12 – Ban KHTN 77 3.3.2.2 Các toán dành cho sinh viên đại học (Toán A1) 87 3.4 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) : 93 3.4.1 Các toán dành cho học sinh lớp 12 .93 3.4.2 Các toán dành cho sinh viên năm 97 KẾT LUẬN 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHỤ LỤC DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 2.1 Bảng thống kê KNV KNV T : “Lập BBT hàm số” 44 Bảng 2.2 Thống kê tập thuộc KNV T1SBT T2SBT 60 Bảng 2.3 Thống kê tập thuộc KNV T CT 62 Bảng 2.4 Thống kê tập thuộc KNV TGT 65 Bảng 2.5 Thống kê tập thuộc KNV TVDT 69 Bảng 2.6 So sánh vai trò BBT với bảng giá trị đồ thị hàm số 71 Bảng 2.7 Tóm tắt tiến triển BBT cấp đại học phổ thông 72 Bảng 3.1 Thống kê lời giải học sinh 94 Bảng 3.2 Thống kê lời giải học sinh 95 Bảng 3.3 Thống kê lời giải học sinh 96 Bảng 3.4 Thống kê lời giải học sinh 97 Bảng 3.5 Thống kê lời giải học sinh 98 Bảng 3.6 Thống kê lời giải học sinh 98 DANH MỤC VIẾT TẮT GK NC10 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 10 hành GK NC12 : Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 12 hành BT NC10 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 10 hành BT NC12 : Sách tập chương trình nâng cao lớp 12 hành GV NC10 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 10 hành GV NC12 : Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 12 hành BBT : Bảng biến thiên KSHS : Khảo sát hàm số GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ THPT : Trung học phổ thông KNV : kiểu nhiệm vụ MỞ ĐẦU Những ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát KSHS toán quen thuộc học sinh phổ thông trung học Bài toán xuất từ năm học chương trình THPT nghiên cứu liên tục năm tiếp sau Trong đề thi tốt nghiệp THPT thi tuyển vào đại học câu bắt buộc phải có xuất đầu Điều cho thấy tầm quan trọng KNV chương trình môn toán trường phổ thông BBT công cụ hỗ trợ đắc lực cho vấn đề KSHS toán có liên quan đến hàm số Chẳng hạn, học sinh sử dụng BBT để khảo sát biến thiên, tìm GTLN, GTNN hàm số, tìm m để phương trình có nghiệm, tìm miền giá trị hàm số … Thực tế giảng dạy cho thấy học sinh gặp khó khăn sử dụng BBT giải toán Chẳng hạn, với toán “Sử dụng bảng biến thiên tìm cực trị hàm số x3 sau : f ( x ) = − m x + ” Hầu hết học sinh không xét hết trường hợp tham số m Sau giải học sinh lớp 12 : “Giải Tập xác định : D =  Ta có : f ' ( x= ) x2 − m2 Từ : f '( x ) = 0⇔ x= −m x = m Bảng biến thiên : x −∞ f '( x ) f ( x) −∞ + −m f ( −m ) − m +∞ + +∞ f ( m) LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Vậy hàm số đạt cực đại x = − m , f ( − m )= m + đạt cực tiểu − m3 + ” x = m , f ( m) = * Bình luận Đối với học sinh THPT, việc so sánh hai số thực dễ dàng Tuy nhiên, so sánh hai giá trị có chứa tham số (số kí hiệu chữ) học sinh gặp nhiều khó khăn Vì vậy, việc so sánh để thứ tự điểm tới hạn BBT gây không khó khăn cho học sinh Hệ học sinh thường cho đáp án sai không xét đầy đủ trường hợp tham số số toán có liên quan đến việc sử dụng BBT Trong giải trên, học sinh cho m > − m với m Tuy nhiên điều m > Có thể nhận thấy em học sinh không xét đầy đủ trường hợp tham số m Cụ thể cần xét thêm m < m = Tại học sinh phạm phải sai lầm ? Còn sai lầm khác học sinh sử dụng BBT giải toán không ? Những sai lầm có nguồn gốc từ đâu ? Từ ghi nhận ban đầu này, định lựa chọn chủ đề : “Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT” làm đề tài luận văn thạc sĩ Mục tiêu luận văn làm rõ vấn đề sau : - Khái niệm BBT đưa vào chương trình THPT ? Nhằm mục đích ? Có định nghĩa rõ ràng không ? Những khái niệm toán học có mối liên hệ với BBT ? - Những dạng toán liên quan đến sử dụng BBT ? Chúng phát triển qua cấp lớp, bậc học ? Những sai lầm thường gặp học sinh giải toán gắn liền với khái niệm ? Những sai lầm đâu ? LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT - Nội dung hình thức tổ chức kiến thức gắn liền với khái niệm BBT chương trình sách giáo khoa hành (kết lựa chọn hệ thống dạy học) ảnh hưởng đến việc học học sinh khái niệm BBT việc giải dạng toán có liên quan đến khái niệm ? Phạm vi lí thuyết tham chiếu Các khái niệm Lý thuyết nhân chủng học (như : tổ chức toán học, quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức để phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT) khái niệm hợp đồng didactic sử dụng để phục vụ cho nghiên cứu Hệ thống câu hỏi xoay quanh yếu tố mặt cho phép xác định quan hệ thể chế I (thể chế dạy học toán THPT) quan hệ cá nhân học sinh với khái niệm BBT, mặt khác quy tắc hợp đồng didactic liên quan đến BBT Trong phạm vi lí thuyết từ câu hỏi khởi đầu nêu trên, trình bày lại hệ thống câu hỏi nghiên cứu luận văn sau : Q : BBT ? Nó đưa vào tình bậc đại học? Những kí hiệu BBT có liên quan đến khái niệm toán học ? Có chướng ngại liên quan đến việc lĩnh hội sử dụng BBT ? Q : Mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT xây dựng tiến triển thể chế dạy học phổ thông ? Đặc trưng tổ chức toán học gắn liền với khái niệm BBT ? Chúng xuất ? Q : Những ràng buộc thể chế dạy học có ảnh hưởng đến mối quan hệ cá nhân học sinh với khái niệm BBT ? Những quy tắc hành động, quan niệm tạo sai lầm học sinh sử dụng BBT giải toán ? LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Từ bảng biến thiên, suy hàm số giá trị lớn giá trị nhỏ - Câu trả lời lời giải thích tương ứng với chiến lược S3: Hàm số xác định  \ {0} có đạo hàm khoảng ( −∞;0 ) ( 0;+∞ ) Ta có f ' ( x ) = − < với x < f ' ( x )= > với x > x Bảng biến thiên x −∞ f '( x ) +∞ f ( x) +∞ − + +∞ Dựa vào bảng biến thiên, hàm số có giá trị nhỏ điểm x = hàm số giá trị lớn  Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược Trong này, sinh viên biết giới hạn bên trái −∞ từ học phổ thông Do đó, chiến lược S1 xảy Hàm số gián đoạn gây chướng ngại việc hình thành BBT Tuy nhiên, xuất hàm f ( x) = giúp S2 xảy Điều chứng tỏ học sinh không quan tâm đến việc x kiểm tra điều kiện liên tục hàm số điểm cực trị 3.4 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) : 3.4.1 Các toán dành cho học sinh lớp 12 Chúng làm thực nghiệm 206 học sinh lớp 12 (5 lớp) trường : - THPT Nguyễn Chí Thanh – Tp.HCM (3 lớp) - THPT Lê Quí Đôn – Tp.HCM (2 lớp) LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Bài 1: Bảng 3.1 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1: Chiến lược “Quy tắc 2” 138 67% S2: Chiến lược “Quy tắc – Bất phương trình” 11 5.34% S3: Chiến lược “Quy tắc – Chọn điểm thử” 20 9.7% Không trả lời 37 17.96% Tổng 206 100% * Nhận xét : - Có đến 138/206 (67%) sử dụng chiến lược S1 (Dùng quy tắc) để tìm cực trị hàm số Như vậy, S1 thật chiến lược ưu tiên lựa chọn để tìm cực trị hàm số có đạo hàm hàm lượng giác có chứa Cả hai chiến lược S2 S3 có 31/206 (15.05%) Điều phần kiểm chứng giả thuyết H1 - Có 11/206 (5.34%) sử dụng chiến lược S2 có 20/206 (9.7%) sử dụng chiến lược S3 Để chiến lược S2 xảy ra, học sinh phải giải bất phương trình f ' ( x ) > f ' ( x ) < để xét dấu đạo hàm Những bất phương trình lượng giác có chứa thức thường toán khó học sinh Để tránh gặp khó khăn học sinh lựa chọn S1 Tuy nhiên nắm kĩ thuật τ CĐT chắn chiến lược S1 S2 không xảy Như vậy, phần kết luận việc không trang bị kĩ thuật τ CĐT tác động phần đến nguyên nhân không lựa chọn BBT để giải toán LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Bài 2: Bảng 3.2 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1: Chiến lược “Dấu hai gạch” 56 27.18% S2: Chiến lược “Dấu hai gạch – Giới hạn” 87 42.23% S3: Chiến lược “Giới hạn” 59 28.64% Không trả lời 1.94% 206 100% Tổng * Nhận xét : - Có đến 133/206 (64.56%) dựa vào dấu hai gạch để điền kí hiệu ±∞ (giới hạn vô cực) BBT Như vậy, dấu hai gạch hình thành nên quy tắc hành động R2 học sinh Nguyên nhân dẫn đến tượng từ bắt đầu làm quen với BBT, dấu hai gạch xuất BBT hàm hữu tỉ y = y= x mà học sinh không đủ sở để lý giải hướng dẫn ghi nhớ x−3 cách máy móc việc điền kí hiệu ±∞ vào BBT Điều phần hình thành quy tắc hành động học sinh Đến lớp 12, học sinh không gặp sai lầm áp dụng quy tắc hành động - Trong 133 trường hợp nêu có 56/206 (27.18%) hoàn toàn dựa vào dấu hai gạch để điền ±∞ 87/206 (42.23%) có lưu tâm đến việc phải tính giới hạn trước điền giá trị giới hạn hàm số vào BBT Tuy nhiên, việc làm mang tính hình thức bổn phận phải làm Thực tế, không gặp tình khác thường suốt chương trình học nên dẫn đến tượng - Chỉ có 59/206 (28.64%) có ý thức đến việc phải tính giới hạn hàm số trước điền giá trị giới hạn hàm số vào BBT mà không quan tâm đến xuất dấu hai gạch LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Bài 3: Bảng 3.3 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1: Chiến lược “Không liên tục – Dấu bằng” 36 17.48% S2: Chiến lược “Không liên tục – Giới hạn” 11 5.34% S3: Chiến lược “Liên tục” 148 71.84% S4: Chiến lược “Đồ thị” 0 Không trả lời 11 5.34% Tổng 206 100% * Nhận xét : - Có 36/206 (35.43%) sử dụng chiến lược S1 Thứ nhất, học sinh quen với hàm ghép liên tục điểm nối từ lớp 10 nên khoảng định nghĩa hàm ghép, dấu “=” dấu hiệu nhận biết việc tính giá trị hàm điểm nối Thứ hai, hàm số gián đoạn điểm chưa có trường hợp mà không sử dụng dấu hai gạch để biểu thị cho hàm điểm BBT Từ đó, lý giải S1 sử dụng nhiều S2 - Có 11/206 (16.5% ) sử dụng chiến lược S2 Điều cho thấy chưa thoát khỏi chướng ngại dấu hai gạch cách hiểu biểu gián đoạn hàm số điểm học sinh xác định cần phải tính giới hạn bên trái bên phải điểm điền thông tin vào BBT Như có tổng cộng 47/206 (22.82%) trường hợp học sinh sử dụng dấu hai gạch để biểu thị cho hàm số điểm gián đoạn - Số lượng sử dụng chiến lược S3 148/206 (71.84%) Đây số khẳng định có nhiều học sinh quen với việc sử dụng BBT để tìm GTLN – GTNN hàm số chưa quan tâm đến điều kiện liên tục hàm số sử dụng BBT để giải toán dạng Như vậy, kiểm chứng phần R1 LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT 3.4.2 Các toán dành cho sinh viên năm Chúng làm thực nghiệm 264 sinh viên (4 lớp) trường : - Đại học Công Nghiệp Thực Phẩm – Tp.HCM (2 lớp hệ Đại học) - Cao đẳng Kỹ thuật Nghiệp vụ Bách Việt – Tp.HCM (2 lớp hệ Cao đẳng) Bài 1: Bảng 3.4 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1a: Chiến lược “Quy tắc bổ sung” 26 9.85% S2: Chiến lược “Quy tắc – Bất phương trình” 05 1.89% S3: Chiến lược “Quy tắc – Chọn điểm thử” 112 42.42% Không trả lời 121 45.83% Tổng 264 100% * Nhận xét : - Có 26/264 (9.85%) sử dụng chiến lược S1a (Quy tắc 2) Chỉ có 5/264 trường hợp sử dụng S2 (1.89%) có đến 112/264 sử dụng S3 Như vậy, có gần 50% số sinh viên sử dụng chiến lược S3 có 50% không sử dụng S2 S3 Số liệu không giúp kiểm chứng H1 học sinh phổ thông mà giải thích nguyên nhân BBT không lựa chọn - Thật vậy, chiến lược S2 khó thực chiến lược S3 Tuy nhiên, số lượng xảy chiến lược S2 lại chiến lược S3 107 trường hợp (chiếm 40.53%) Vì vậy, kết luận BBT không công cụ sẵn toán tìm cực trị hàm số khó xét dấu đạo hàm học sinh gặp khó khăn với việc xét dấu đạo hàm cách giải bất phương trình lượng giác, có chứa dấu họ kĩ thuật τ CĐT Có đến 121/264 (45.83%) câu trả lời Điều cho thấy có nhiều sinh viên sử dụng kĩ thuật “Quy tắc bổ sung” Lý số toán sử dụng kĩ thuật Mặt khác cho thấy nhiều sinh viên chưa biết kĩ thuật τ CĐT LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Bài 2: Bảng 3.5 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1: Chiến lược “Dấu hai gạch” 28 10.6% S2: Chiến lược “Dấu hai gạch – Giới hạn” 92 34.84% S3: Chiến lược “Giới hạn” 123 46.59% Không trả lời 21 7.95% Tổng 264 100% * Nhận xét : - Có đến 120/264 (45.45%) dựa vào dấu hai gạch để điền kí hiệu ±∞ (giới hạn vô cực) BBT Điều cho thấy dấu hai gạch tác động lớn đến việc ghi tính giới hạn học sinh Tuy nhiên, số có 28/120 (23.33%) hoàn toàn dựa vào dấu hai gạch để điền giới hạn Phần lớn lại quan tâm đến việc tính giới hạn Nhưng việc tiến hành hình thức Điều cho thấy dấu hai gạch tác động mạnh đến việc ứng xử học sinh việc ghi giới hạn Như vậy, R2 kiểm chứng - Có 123/264 (46.59%) làm tiến hành tính giới hạn trước điền vào BBT Như vậy, so với lớp 12 sinh viên gặp chướng ngại với dấu hai gạch Tuy nhiên, tỉ lệ không giải toán cao Điều sinh viên cảm thấy lúng túng với trường hợp bất thường trình học họ Bài 3: Bảng 3.6 Thống kê lời giải học sinh Các chiến lược quan sát Số lượng Tỉ lệ S1: Chiến lược “Không liên tục – Dấu bằng” 17 6.44% S2: Chiến lược “Không liên tục – Giới hạn” 116 43.94% S3: Chiến lược “Liên tục” 69 26.14% Không trả lời 62 23.48% Tổng 264 100% LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT * Nhận xét : - Có 133/264 (50.38%) sử dụng chiến lược S1 S2 Như vậy, có nhiều sinh viên cho dấu hai gạch biểu thị cho gián đoạn hàm số Trong số đó, hầu hết quan tâm đến việc tính giới hạn trước điền vào BBT Đồng thời, so với lớp 12 số lượng sử dụng S1 S2 tăng lên Họ chưa ý thức rõ dấu hai gạch biểu thị cho không xác định hàm số điểm - Có 69/264 (26.14% ) sử dụng chiến lược S3 Như vậy, thoát khỏi quan niệm sai lầm cách hiểu dấu hai gạch họ chưa thể giải thích kiểm soát hoàn toàn tình toán Sự lúng túng cách thể BBT có lẽ nguyên nhân để họ trì R1 - Số lượng không đưa lời giải phần tăng lên sinh viên hiểu ý nghĩa dấu hai gạch phải trình bày BBT tình LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT KẾT LUẬN Qua phần nghiên cứu tiến hành chương 1, cho phép trả lời câu hỏi nghiên cứu đưa trước Sau đây, xin tóm tắt lại kết đạt sau : Theo truyền thống, BBT công cụ để tóm tắt (một loại tốc ký) nghiên cứu dấu hiệu đạo hàm trước chuyển đến trình bày đồ thị Thực tế, thể mối liên hệ dấu đạo hàm với tính đơn điệu hàm số thông qua mũi tên Với vốn từ vựng thích hợp (các dấu "+", dấu "-", mũi tên, cực trị, giá trị giới hạn miền xác định), BBT thể mà cần biểu Từ BBT, đồ thị xác định đường cong biểu diễn phù hợp với mô tả thay đổi hàm số thể BBT Ngoài việc giúp xây dựng đường cong biểu diễn cho đồ thị hàm số, nhận thấy BBT có khả trở thành đối tượng nghiên cứu Dù coi cách thể (một phần nào) hàm số trực thuộc khung điều hành (appartenant des cadres supposés) cho trực quan (plus intuitifs) dễ dàng nắm bắt khung thức (cadres formel) hay đại số BBT thường đối tượng định nghĩa khóa học Từ vai trò phụ trợ chuyển đổi từ đại số sang đồ thị, xuất cách rõ ràng chương trình dần nâng lên đóng vai trò ngày quan trọng Việc đưa khái niệm BBT vào lớp 10 trước học khái niệm đạo hàm phù hợp với xu hướng quan trọng tăng cường việc sử dụng nhiều cách thể khác khái niệm toán học Song song với giảm ưu ghi đại số, BBT ngày trở nên có trọng lượng để tiêu biểu cho khái niệm giới thiệu Từ phân tích sách giáo khoa cho thấy việc hướng dẫn cho học sinh hiểu sử dụng BBT trách nhiệm giáo viên BBT coi dễ nhận quy tắc mã hóa hướng dẫn miệng Sự phức tạp cấu tạo BBT phần bị đánh giá thấp giảng dạy đó, LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT hiểu biết kí hiệu, biểu tượng BBT việc học sinh, có nghĩa giáo viên có phương tiện tiếp cận với mà học sinh khối kiến thức riêng Đây nguyên nhân dẫn đến sai lầm học sinh cách hiểu BBT nói chúng kí hiệu, biểu tượng nói riêng Dấu "||" BBT biểu thị cho không tồn không xác định điểm Đối với đạo hàm, có nghĩa không tồn đạo hàm điểm Đối với hàm số, biểu thị cho hàm số không xác định điểm Ngay từ bắt đầu làm quen với khái niệm BBT lớp 10, dấu "||" vấn đề học sinh Đối với học sinh lớp 10, dấu "||" biểu thị cho điểm mà đồ thị bị đứt nét Đến lớp 12, hàm số học liên tục miền xác định nó; nghĩa chúng không xác định điểm không liên tục điểm Tuy học sinh hiểu nghĩa dấu “||” họ gặp trở ngại với kí hiệu không tìm cách thể phù hợp với trường hợp hàm số gián đoạn xác định điểm Nếu vượt qua chướng ngại dấu hai gạch, họ cách phải bỏ qua yếu tố "gián đoạn điểm hàm số" việc xây dựng BBT tiến hành với lựa chọn riêng học sinh Nghĩa là, họ trách nhiệm kiểm tra tính liên tục hàm số điểm mà đạt cực trị GTLN – GTNN hàm số Đây nguyên nhân hình thành quy tắc hợp đồng R1: Học sinh trách nhiệm kiểm tra liên tục hàm số điểm mà đạt cực trị, GTLN, GTNN Để thông tin giới hạn hàm số ghi BBT cần phải tính giới hạn trước Tuy nhiên lớp 10, học sinh sở để điền kí hiệu ±∞ mà ghi nhớ máy móc số qui tắc đưa từ hướng dẫn chương trình Từ hai hàm hữu tỉ học lớp 10 hình thành học sinh quy tắc hành động dấu “||” Nó dấu hiệu nhận biết giới hạn vô cực hàm phân thức hữu tỉ Hơn nữa, đến lớp 12 học sinh không gặp tình khác Học sinh chưa nghĩ tử mẫu có ước số họ tính giới hạn hàm phân thức hữu tỉ có dạng vô định nhiều lớp 11 Do đó, họ LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT áp dụng quy tắc hành động R2: Đối với hàm phân thức hữu tỉ, dấu hai gạch biểu thị cho hàm dấu hiệu đặc trưng cho giới hạn vô cực để ứng xử với tình xuất dấu “||” BBT hàm phân thức hữu tỉ Thực nghiệm chương sai lầm liên quan đến dấu “||” tồn dai dẳng học sinh phổ thông sinh viên đại học Do đó, Perrin-Glorian nói : “Những sai lầm gây nên chướng ngại thường tồn dai dẳng tái xuất chủ thể có ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm khỏi hệ thống nhận thức mình.” Học sinh thường sử dụng BBT để giải KNV xét biến thiên, tìm cực trị, GTLN-GTNN hàm số Khi đó, học sinh cần phải giải bất phương trình f ' ( x ) > f ' ( x ) < để xét dấu đạo hàm f ' ( x ) thường hàm bậc nhất, hàm bậc hai tích, thương hàm Tuy nhiên, học sinh gặp khó khăn với việc xét dấu đạo hàm; đặc biệt đạo hàm hàm lượng giác có chứa thức học sinh thường không sử dụng BBT Thay vào họ tìm sử dụng công cụ phương pháp khác Kết phân tích chương 1, giúp kiểm chứng giả thuyết H1 : Kĩ thuật sử dụng BBT học sinh huy động để nghiên cứu tính chất giải tích hàm số có chứa dấu thức (Tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN) mà khiếm khuyết chương trình không trang bị cho học sinh kĩ thuật xét dấu đạo hàm τ CĐT : Dấu đạo hàm khoảng chia điểm tới hạn (có thứ tự) xác định dựa vào giá trị đạo hàm điểm khoảng chia * Hướng nghiên cứu mở từ luận văn : Do hạn chế thời gian nên chưa kịp phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT lớp 11 Đặc biệt, mối liên hệ tính tuần hoàn, tính đối xứng việc xây dựng BBT hàm số lượng giác Mặt khác, chưa sâu vào phân tích số quan niệm sai lầm học sinh nêu chương Chúng tiếp tục nghiên cứu vấn đề LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Qua sai lầm tồn dai dẳng học sinh học tập khái niệm “Bảng biến thiên” thúc đẩy đến suy nghĩ : Có thể xây dựng tình xung đột nhận thức, cho phép làm tính ổn định dẫn tới phá hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc sai lầm nêu không ? Đây vấn đề tiếp tục nghiên cứu thời gian tới LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Bộ giáo dục đào tạo (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thông môn Toán học”, NXB giáo dục Lê Thị Hoài Châu (2002), “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số”, Báo Toán học Tuổi trẻ, (số 8/2002) Lê Thị Hoài Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố didactic toán, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh Nguyễn Thiện Chí (2010), Khái niệm giá trị tuyệt đối dạy học toán trường phổ thông, Luận văn Thạc Sĩ Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục nghiên cứu khoa học luận didatic, Luận văn thạc sĩ khoa học Nguyễn Huy Đoan (2011), “Bài tập đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục Nguyễn Huy Đoan (2010), “Bài tập giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục Nguyễn Viết Đông (1998), Toán cao cấp tập 1, NXB giáo dục Đặng Minh Hải (2009), Các tính chất hàm số mối liên hệ chúng dạy học toán phổ thông, Luận văn Thạc Sĩ 10 Phan Thị Hằng (2002), Vai trò ý nghĩa chữ việc dạy học số học lớp chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide, Luận văn thạc sĩ 11 Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic khái niệm giới hạn dạy học toán trường THPT, Luận văn thạc sĩ 12 Võ Đại Mau (2008), Phương pháp giải toán khảo sát hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội 13 Đoàn Quỳnh (2010), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 14 Đoàn Quỳnh (2010), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục 15 Đoàn Quỳnh (2010), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 16 Đoàn Quỳnh (2011), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục 17 Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 1, NXBGD 18 Hoàng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hoàng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thông toán học 2, NXBGD 19 Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực chương trình, sách giáo khoa lớp 12 môn Toán”, NXB giáo dục 20 Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm học sinh nhìn từ góc độ lý thuyết học tập”, nghiên cứu Giáo dục số 137 21 Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), “Nghiên cứu khái niệm giới hạn hàm số dạy học toán: Đồ án didactic môi trường máy tính bỏ túi”, Luận văn Thạc sĩ 22 Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số nghiên cứu đường cong qua phương trình nó, Luận văn Thạc Sĩ 23 Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic khái niệm đạo hàm lớp 11 phổ thông, Luận văn Thạc Sĩ Tiếng Anh 24 Florian Cajori (2010), A History of Mathematics, Macmillan Company, London 25 Margaret L.Lial (Fourth Edition, 1992), Finite Mathematics and Calculus with Applications, Harper Collins College Publishers 26 Finney Thomas (Second Edition, 1994), Calculus, Addison Wesley Publishing Company, New York Tiếng Pháp 27 BLOCH, I (2000) Un milieu graphique pour I’apprentissage de la notion de fonction au lycée, Petit x, no 58, 25-46 28 COMIN, E (2005) Variables et fonctions, du collège au lycée : méprise dedactique ou quiproquo interinstitutionnel, Petit x, no 67, 33-61 29 http://homeomath.imingo.net/tabvar.htm 30 http://ressources.sesamath.net/coll_docs/cours/valide/cours_2nde_N2.swf PHỤ LỤC Phụ lục Phiếu tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 12 Họ tên : Lớp : Trường :  Lưu ý : Học sinh làm giấy phát không dùng bút xóa Bài : Tìm cực trị hàm số : f ( x ) = 3+ x + 6− x x + x − 10 có BBT sau : Bài : Cho hàm số : f ( x ) = x−2 x f '( x ) f ( x) −∞ +∞ + + ? ? ? ? c) Em thay dấu “ ? ” để hoàn tất bảng biến thiên Giải thích rõ cách làm em phần làm d) Khảo sát biến thiên tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [1;3] 1 − x neáu x ≤ Bài : Cho hàm số f ( x ) =  neáu x > x Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số cho BÀI LÀM Bài : _ Bài : _ Bài : _ Phụ lục Phiếu tập thực nghiệm dành cho sinh viên (Toán A1) Họ tên : Lớp : Trường :  Lưu ý : Học sinh làm giấy phát không dùng bút xóa Bài : Tìm cực trị hàm số : y = f ( x ) =e x + e − x + cos x Biết f ' ( x ) = có nghiệm x + x − 10 có bảng biến thiên sau : Bài : Cho hàm số : f ( x ) = x2 − x f '( x ) −∞ f ( x) −2 +∞ − − − ? ? ? ? c) Hãy thay dấu “ ? ” để hoàn tất bảng biến thiên Giải thích rõ cách làm em phần làm d) Khảo sát biến thiên tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn [1;3]  x, x ≥  Bài : Lập bảng biến thiên hàm số sau : f ( x ) =   x , x < Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số BÀI LÀM Bài : _ Bài : _ Bài : _ [...]... đồ thị với khái niệm hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến Cụ thể, từ đồ thị có thể nhận biết sự biến thiên của hàm số Liệu học sinh có quan niệm rằng từ sự biến thiên của hàm số cũng có thể xác định được chính xác đồ thị của hàm số ? Tiếp theo, GK 10NC mô tả KNV khảo sát sự biến thiên của hàm số như sau : “Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, không đổi trên... đường cong biểu diễn một số điểm cho trong bảng giá trị là phổ biến trong nhiều lĩnh vực mà chương trình dạy toán rất khó gạt LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT bỏ Thực tế, ở cấp trung học cơ sở học sinh đã quá quen thuộc với bảng giá trị xuất hiện trong toán học cũng như trong các ngành khác hoặc những tình huống thường nhật bên ngoài trường học Học sinh thường được... thuật xét dấu đạo hàm bằng cách chọn điểm thử.” 1.2 Vai trò của BBT trong dạy học hàm số : Ngoài việc xác lập lại ý tưởng của một hàm số được xác định bằng một đường cong, BBT có thể hỗ trợ trong việc giải quyết một số dạng toán ở chương LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT trình phổ thông và đại học Để tìm hiểu về vấn đề này, chúng tôi tham khảo một số tài liệu sau... viết : “Tuy nhiên ở lớp 10, do chưa có công cụ giải tích, SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên những khoảng, nửa LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm số đơn giản (như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và hàm số phân tuyến tính) Hơn nữa, các bài toán này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững... đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nó.” [GV NC10 , tr.39] Sau đó, GK NC10 đưa vào khái niệm BBT : “Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của nó Hàm số trong ví dụ 4 có bảng biến thiên như sau : LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT ... dưới dạng các bảng, và với góc nhìn của toán học hiện đại thì chúng là các bảng giá trị của hàm Phạm vi của biến số được xác định rõ là tập hợp các số tự nhiên Trường hợp mở rộng n ∈  , các bảng giá trị trên chỉ cung cấp một số giá trị hữu hạn, rời rạc và chưa thể hiện được sự biến đổi liên tục giữa các đại lượng trong hàm LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT Lý do... Khái niệm hàm số được nêu trong Từ điển Bách khoa phổ thông toán học, [17-tr.324], như sau : Hàm số là một trong các khái niệm cơ bản của toán học, biểu diễn sự phụ thuộc của những đại lượng biến thiên này đối với những đại lượng biến thiên khác Từ “đại lượng” trong định nghĩa ấy của hàm số được hiểu với ý nghĩa rất rộng Đó có thể là danh số, là số trừu tượng, là một vài số (tức là điểm trong không... “mỗi hàm số chỉ có một đồ thị và BBT duy nhất” có thể đã hình thành ở học sinh mối quan hệ một – một giữa biểu thức hàm số, BBT và đồ thị của nó Khi đó, điểm khác biệt LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT giữa BBT với bảng giá trị trong việc dựng đồ thị chủ yếu là nó chứa những điểm đặc biệt (điểm cực trị) nên thể hiện đúng sự biến thiên của hàm số Mặt khác, học sinh... tích :  Lớp 10 : phân tích chương 2 : Hàm số bậc nhất và bậc hai  Lớp 12 : phân tích chương 1 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT Những kết quả nghiên cứu được ở chương 1 là cơ sở tham chiếu phân tích của chương này Phần tiếp sau là phân tích các sách trên 2.1 Bảng biến thiên trong chương trình và sách giáo khoa... chính là sử dụng bảng giá trị của hàm số để vẽ đồ thị Nếu đi từ một bảng giá trị, với bản chất là hữu hạn, sẽ có một số lượng vô LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên trong dạy học hàm số ở THPT hạn hàm số có thể đáp ứng nó Trong bối cảnh đồ thị, điều này cho phép có nhiều chọn lựa khác nhau để nối nhiều điểm được cho từ một bảng giá trị Về mặt lý thuyết, nếu sự biến đổi là vô hạn, trong thực hành, ... thiên hàm số cách lập bảng biến thiên Hàm số ví dụ có bảng biến thiên sau : LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Trong bảng biến thiên, mũi tên lên thể tính đồng biến, ... biết biến thiên hàm số Liệu học sinh có quan niệm từ biến thiên hàm số xác định xác đồ thị hàm số ? Tiếp theo, GK 10NC mô tả KNV khảo sát biến thiên hàm số sau : “Khảo sát biến thiên hàm số xét... thị hàm số, giáo viên có trách nhiệm cho hàm số liên tục miền xác định nó.” LVThS Nguyễn Trường Sinh – Bảng biến thiên dạy học hàm số THPT Sau hàm số bậc hàm số bậc hai Trong này, BBT hàm số bậc