Chúng tơi làm thực nghiệm trên 264 sinh viên (4 lớp) ở 2 trường : - Đại học Cơng Nghiệp Thực Phẩm – Tp.HCM (2 lớp hệ Đại học)
- Cao đẳng Kỹ thuật Nghiệp vụ Bách Việt – Tp.HCM (2 lớp hệ Cao đẳng)
Bài 1:
Bảng 3.4. Thống kê các lời giải bài 1 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1a: Chiến lược “Quy tắc 2 bổ sung” 26 9.85%
S2: Chiến lược “Quy tắc 1 – Bất phương trình” 05 1.89%
S3: Chiến lược “Quy tắc 1 – Chọn điểm thử” 112 42.42%
Khơng trả lời 121 45.83%
Tổng 264 100%
* Nhận xét :
- Cĩ 26/264 (9.85%) sử dụng chiến lược S1a (Quy tắc 2). Chỉ cĩ 5/264 trường hợp sử dụng S2 (1.89%) và cĩ đến 112/264 sử dụng S3. Như vậy, cĩ gần 50% số sinh viên sử dụng chiến lược S3 và cĩ hơn 50% khơng sử dụng S2 và S3. Số liệu trên khơng chỉ giúp chúng tơi kiểm chứng được H1 ở học sinh phổ thơng mà cịn giải thích được nguyên nhân BBT khơng được lựa chọn.
- Thật vậy, chiến lược S2 khĩ thực hiện hơn chiến lược S3. Tuy nhiên, số lượng xảy ra chiến lược S2 lại ít hơn chiến lược S3 là 107 trường hợp (chiếm 40.53%). Vì vậy, chúng tơi kết luận BBT khơng là cơng cụ sẵn trong bài tốn tìm cực trị của các hàm số khĩ xét dấu đạo hàm là do học sinh gặp khĩ khăn với việc xét dấu đạo hàm bằng cách giải bất phương trình lượng giác, cĩ chứa dấu căn và họ cũng khơng biết kĩ thuật τCĐT.
Cĩ đến 121/264 (45.83%) khơng cĩ câu trả lời. Điều này cho thấy cĩ khá nhiều sinh viên đã khơng biết sử dụng kĩ thuật “Quy tắc 2 bổ sung”. Lý do là vì số bài tốn sử dụng được kĩ thuật này là rất ít. Mặt khác nĩ cũng cho thấy nhiều sinh viên vẫn chưa biết kĩ thuật τCĐT.
Bài 2:
Bảng 3.5. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Dấu hai gạch” 28 10.6%
S2: Chiến lược “Dấu hai gạch – Giới hạn” 92 34.84%
S3: Chiến lược “Giới hạn” 123 46.59%
Khơng trả lời 21 7.95%
Tổng 264 100%
* Nhận xét :
- Cĩ đến 120/264 (45.45%) dựa vào dấu hai gạch để điền kí hiệu ±∞ (giới hạn vơ cực) trong BBT. Điều này cho thấy dấu hai gạch vẫn cịn tác động rất lớn đến việc ghi và tính giới hạn của học sinh. Tuy nhiên, trong số này chỉ cĩ 28/120 (23.33%) là hồn tồn dựa vào dấu hai gạch để điền giới hạn. Phần lớn cịn lại đã quan tâm đến việc tính giới hạn. Nhưng việc tiến hành vẫn chỉ là hình thức. Điều này cho thấy dấu hai gạch đã tác động rất mạnh đến việc ứng xử của học sinh trong việc ghi giới hạn. Như vậy, R2 đã được kiểm chứng.
- Cĩ 123/264 (46.59%) bài làm tiến hành tính giới hạn trước khi điền vào BBT. Như vậy, so với lớp 12 sinh viên ít gặp chướng ngại với dấu hai gạch hơn. Tuy nhiên, tỉ lệ khơng giải bài tốn cũng khá cao. Điều này là do sinh viên cảm thấy lúng túng với trường hợp bất thường nhất trong cả quá trình học của họ.
Bài 3:
Bảng 3.6. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Khơng liên tục – Dấu bằng” 17 6.44%
S2: Chiến lược “Khơng liên tục – Giới hạn” 116 43.94%
S3: Chiến lược “Liên tục” 69 26.14%
Khơng trả lời 62 23.48%
* Nhận xét :
- Cĩ 133/264 (50.38%) sử dụng chiến lược S1 và S2. Như vậy, cĩ khá nhiều sinh viên cho rằng dấu hai gạch biểu thị cho sự gián đoạn của hàm số. Trong số đĩ, hầu hết đều quan tâm đến việc tính giới hạn trước khi điền vào BBT. Đồng thời, so với lớp 12 thì số lượng sử dụng S1 và S2 đã tăng lên. Họ vẫn chưa ý thức rõ được dấu hai gạch chỉ biểu thị cho sự khơng xác định của hàm số tại một điểm.
- Cĩ 69/264 (26.14% ) sử dụng chiến lược S3. Như vậy, tuy đã thốt khỏi quan niệm sai lầm trong cách hiểu về dấu hai gạch nhưng họ chưa thể giải thích hoặc kiểm sốt hồn tồn tình huống trong bài tốn. Sự lúng túng trong cách thể hiện BBT cĩ lẽ là nguyên nhân để họ vẫn duy trì R1.
- Số lượng khơng đưa ra lời giải cũng phần nào tăng lên do sinh viên đã hiểu ý nghĩa của dấu hai gạch nhưng khơng biết phải trình bày BBT thế nào trong tình huống này.
KẾT LUẬN
Qua các phần nghiên cứu được tiến hành ở các chương 1, 2 và 3 cho phép chúng tơi trả lời những câu hỏi nghiên cứu đưa ra trước đĩ. Sau đây, chúng tơi xin tĩm tắt lại những kết quả đã đạt được như sau :
1. Theo truyền thống, BBT là một cơng cụ để tĩm tắt (một loại tốc ký) nghiên cứu các dấu hiệu của đạo hàm trước khi chuyển đến trình bày đồ thị. Thực tế, nĩ thể hiện mối liên hệ về dấu của đạo hàm với tính đơn điệu của hàm số thơng qua các mũi tên. Với vốn từ vựng thích hợp (các dấu "+", dấu "-", các mũi tên, các cực trị, các giá trị hoặc giới hạn trên miền xác định), BBT đã thể hiện được cái mà nĩ cần biểu hiện. Từ một BBT, đồ thị được xác định là một đường cong biểu diễn phù hợp với sự mơ tả về những thay đổi của hàm số được thể hiện trong BBT đĩ.
Ngồi việc giúp xây dựng đường cong biểu diễn cho đồ thị của hàm số, chúng tơi nhận thấy BBT cĩ khả năng trở thành đối tượng nghiên cứu. Dù sao nĩ được coi là một cách thể hiện (một phần nào) của hàm số và trực thuộc khung điều hành (appartenant à des cadres supposés) được cho là trực quan hơn (plus intuitifs) và do đĩ dễ dàng nắm bắt hơn là những khung chính thức (cadres formel) hay đại số.
2. BBT thường khơng phải là một đối tượng được định nghĩa trong khĩa học. Từ vai trị phụ trợ trong chuyển đổi từ đại số sang đồ thị, nĩ đã xuất hiện một cách rõ ràng hơn trong chương trình và dần được nâng lên đĩng vai trị ngày càng quan trọng. Việc đưa khái niệm BBT vào lớp 10 trước khi học khái niệm đạo hàm là phù hợp với một trong những xu hướng quan trọng nhất là dần dần tăng cường việc sử dụng nhiều cách thể hiện khác nhau về các khái niệm tốn học. Song song với giảm ưu thế của ghi chú đại số, BBT ngày càng trở nên cĩ trọng lượng hơn để tiêu biểu cho các khái niệm giới thiệu.
Từ những phân tích của chúng tơi về sách giáo khoa cho thấy việc hướng dẫn cho học sinh hiểu và sử dụng BBT là trách nhiệm của giáo viên. BBT được coi là dễ nhận ra và những quy tắc mã hĩa vẫn chỉ là hướng dẫn bằng miệng. Sự phức tạp trong cấu tạo của một BBT phần nào bị đánh giá thấp trong giảng dạy và do đĩ,
những hiểu biết về các kí hiệu, biểu tượng của BBT là việc của học sinh, cĩ nghĩa là giáo viên cĩ ít phương tiện tiếp cận với những gì mà đối với học sinh là một khối kiến thức riêng. Đây là một trong những nguyên nhân cĩ thể dẫn đến sai lầm ở học sinh trong cách hiểu về BBT nĩi chúng và các kí hiệu, biểu tượng của nĩ nĩi riêng.
3. Dấu "||" trong BBT biểu thị cho sự khơng tồn tại hoặc khơng xác định tại một điểm. Đối với đạo hàm, nĩ cĩ nghĩa là khơng tồn tại đạo hàm tại điểm đĩ. Đối với hàm số, nĩ biểu thị cho hàm số khơng xác định tại điểm đĩ.
Ngay từ khi bắt đầu làm quen với khái niệm BBT ở lớp 10, dấu "||" đã là vấn đề đối với học sinh. Đối với học sinh lớp 10, dấu "||" biểu thị cho điểm mà tại đĩ đồ thị bị đứt nét. Đến lớp 12, các hàm số được học đều liên tục trên miền xác định của nĩ; nghĩa là nếu chúng khơng xác định tại một điểm thì cũng khơng liên tục tại điểm đĩ.
Tuy học sinh hiểu nghĩa của dấu “||” nhưng họ vẫn gặp trở ngại với kí hiệu này khi khơng tìm ra được cách thể hiện nào phù hợp với trường hợp hàm số gián đoạn nhưng vẫn xác định tại một điểm. Nếu vượt qua được chướng ngại của dấu hai gạch, họ chỉ cịn cách phải bỏ qua yếu tố "gián đoạn tại một điểm của hàm số" và do đĩ việc xây dựng BBT được tiến hành với sự lựa chọn riêng của học sinh. Nghĩa là, họ khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra tính liên tục của hàm số tại các điểm mà nĩ đạt cực trị hoặc GTLN – GTNN của hàm số. Đây là nguyên nhân chính hình thành quy tắc hợp đồng R1: Học sinh khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nĩ đạt cực trị, GTLN, GTNN.
4. Để những thơng tin về giới hạn hàm số được ghi đúng trong BBT thì cần phải tính giới hạn trước. Tuy nhiên ở lớp 10, học sinh khơng cĩ cơ sở để điền các kí hiệu ±∞ mà chỉ ghi nhớ máy mĩc một số qui tắc được đưa ra từ hướng dẫn của chương trình. Từ hai hàm hữu tỉ được học ở lớp 10 đã hình thành ở học sinh một quy tắc hành động về dấu “||”. Nĩ là dấu hiệu nhận biết các giới hạn vơ cực của hàm phân thức hữu tỉ. Hơn nữa, đến lớp 12 học sinh cũng khơng gặp một tình huống nào khác cả. Học sinh chưa bao giờ nghĩ tử và mẫu cĩ cùng ước số mặc dù họ đã tính giới hạn của các hàm phân thức hữu tỉ cĩ dạng vơ định rất nhiều ở lớp 11. Do đĩ, họ
đã áp dụng quy tắc hành động R2: Đối với hàm phân thức hữu tỉ, dấu hai gạch biểu thị cho hàm là dấu hiệu đặc trưng cho các giới hạn vơ cực của nĩ để ứng xử với tình huống xuất hiện dấu “||” trong BBT của các hàm phân thức hữu tỉ.
Thực nghiệm ở chương 3 đã chỉ ra những sai lầm liên quan đến dấu “||” đã tồn tại dai dẳng ở học sinh phổ thơng và sinh viên đại học. Do đĩ, Perrin-Glorian đã đúng khi nĩi rằng : “Những sai lầm gây nên bởi chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và cĩ thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể đã cĩ ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình.”.
5. Học sinh thường sử dụng BBT để giải quyết các KNV xét sự biến thiên, tìm cực trị, GTLN-GTNN của hàm số. Khi đĩ, học sinh cần phải giải các bất phương trình f '( )x >0 hoặc f '( )x <0 để xét dấu đạo hàm và f '( )x thường chỉ là các hàm bậc nhất, hàm bậc hai hoặc tích, thương của các hàm này. Tuy nhiên, khi học sinh gặp khĩ khăn với việc xét dấu đạo hàm; đặc biệt khi đạo hàm là các hàm lượng giác hoặc cĩ chứa căn thức thì học sinh thường khơng sử dụng BBT. Thay vào đĩ là họ sẽ tìm và sử dụng một cơng cụ hoặc phương pháp khác. Kết quả phân tích ở các chương 1, 2 và 3 khơng những đã giúp chúng tơi kiểm chứng được giả thuyết H1 :Kĩ thuật sử dụng BBT ít được học sinh huy động để nghiên cứu các tính chất giải tích của hàm số cĩ chứa dấu căn thức (Tính đơn điệu, cực trị, GTLN – GTNN) mà cịn chỉ ra được một khiếm khuyết của chương trình khi khơng trang bị cho học sinh kĩ thuật xét dấu đạo hàm τCĐT : Dấu của đạo hàm trên mỗi khoảng chia bởi các điểm tới hạn (cĩ thứ tự) được xác định dựa vào giá trị đạo hàm tại một điểm trong khoảng chia đĩ.
* Hướng nghiên cứu mở ra từ luận văn :
Do hạn chế về thời gian nên chúng tơi chưa kịp phân tích mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT ở lớp 11. Đặc biệt, mối liên hệ giữa tính tuần hồn, tính đối xứng đối với việc xây dựng BBT của các hàm số lượng giác. Mặt khác, chúng tơi cũng chưa đi sâu vào phân tích một số quan niệm sai lầm ở học sinh đã được nêu ra ở chương 1. Chúng tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu các vấn đề này.
Qua những sai lầm tồn tại dai dẳng ở học sinh khi học tập khái niệm “Bảng biến thiên” đã thúc đẩy chúng tơi đến suy nghĩ : Cĩ thể xây dựng các tình huống xung đột nhận thức, cho phép làm mất tính ổn định và dẫn tới phá hủy kiến thức cũ, địa phương, nguồn gốc của sai lầm như đã nêu ra khơng ? Đây cũng là vấn đề chúng tơi sẽ tiếp tục nghiên cứu trong thời gian tới.
TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt
1. Bộ giáo dục và đào tạo (2006), “Tài liệu bồi dưỡng giáo viên thực hiện
chương trình, sách giáo khoa lớp 10 trung học phổ thơng mơn Tốn học”,NXB giáo dục.
2. Lê Thị Hồi Châu (2002), “Lịch sử hình thành khái niệm hàm số”, Báo Tốn học và Tuổi trẻ, (số 8/2002).
3. Lê Thị Hồi Châu, Lê Văn Tiến (2009), Những yếu tố cơ bản của didactic tốn, NXB Đại học Quốc gia TP Hồ Chí Minh.
4. Nguyễn Thiện Chí (2010), Khái niệm giá trị tuyệt đối trong dạy học tốn ở trường phổ thơng, Luận văn Thạc Sĩ.
5. Trần Anh Dũng (2005), Khái niệm liên tục một nghiên cứu khoa học luận và didatic, Luận văn thạc sĩ khoa học.
6. Nguyễn Huy Đoan (2011), “Bài tập đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục. 7. Nguyễn Huy Đoan (2010), “Bài tập giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục. 8. Nguyễn Viết Đơng (1998), Tốn cao cấp tập 1, NXB giáo dục.
9. Đặng Minh Hải (2009), Các tính chất của hàm số và mối liên hệ giữa chúng trong dạy học tốn phổ thơng, Luận văn Thạc Sĩ.
10. Phan Thị Hằng (2002), Vai trị và ý nghĩa của các chữ trong việc dạy học số học ở lớp 6 chương trình cải cách Giáo dục trường hợp Phép chia Euclide, Luận văn thạc sĩ.
11. Nguyễn Thành Long (2004), Nghiên cứu didactic về khái niệm giới hạn trong dạy học tốn ở trường THPT, Luận văn thạc sĩ.
12. Võ Đại Mau (2008), Phương pháp giải tốn khảo sát hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
13. Đồn Quỳnh (2010), “Đại số 10 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục. 14. Đồn Quỳnh (2010), “Đại số 10 Nâng cao”, NXB giáo dục.
15. Đồn Quỳnh (2010), “Giải tích 12 Nâng cao – Sách giáo viên”, NXB giáo dục 16. Đồn Quỳnh (2011), “Giải tích 12 Nâng cao”, NXB giáo dục.
17. Hồng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hồng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học 1, NXBGD.
18. Hồng Quý, Nguyễn Văn Ban, Hồng Chúng, Trần Văn Hạo, Lê Thị Thiên Hương (2010), Từ điển bách khoa phổ thơng tốn học 2, NXBGD.
19. Nguyễn Thế Thạch (2008), “Hướng dẫn thực hiện chương trình, sách giáo khoa lớp 12 mơn Tốn”, NXB giáo dục.
20. Lê Văn Tiến (2006), “Sai lầm của học sinh nhìn từ gĩc độ lý thuyết về học tập”, nghiên cứu Giáo dụcsố 137.
21. Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004), “Nghiên cứu về khái niệm giới hạn hàm số trong dạy học tốn: Đồ án didactic trong mơi trường máy tính bỏ túi”,
Luận văn Thạc sĩ.
22. Bùi Anh Tuấn (2007), Biểu diễn đồ thị hàm số và nghiên cứu đường cong qua phương trình của nĩ, Luận văn Thạc Sĩ.
23. Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thơng, Luận văn Thạc Sĩ.
Tiếng Anh
24. Florian Cajori (2010), A History of Mathematics, Macmillan Company, London.
25. Margaret L.Lial (Fourth Edition, 1992), Finite Mathematics and Calculus with
Applications, Harper Collins College Publishers.
26. Finney Thomas (Second Edition, 1994), Calculus, Addison Wesley Publishing Company, New York.
Tiếng Pháp
27. BLOCH, I. (2000) Un milieu graphique pour I’apprentissage de la notion de fonction au lycée, Petit x, no 58, 25-46.
28. COMIN, E. (2005). Variables et fonctions, du collège au lycée : méprise dedactique ou quiproquo interinstitutionnel, Petit x, no 67, 33-61.
29. http://homeomath.imingo.net/tabvar.htm.
PHỤ LỤC
Phụ lục 1. Phiếu bài tập thực nghiệm dành cho học sinh lớp 12
Họ và tên : ... Lớp : ... Trường : ...
Lưu ý :Học sinh làm bài ngay trên giấy đã phát và khơng được dùng bút xĩa.
Bài 1 : Tìm cực trị của hàm số : f x( )= 3+ +x 6−x.