3.4.1. Các bài tốn dành cho học sinh lớp 12
Chúng tơi làm thực nghiệm trên 206 học sinh lớp 12 (5 lớp) ở 2 trường : - THPT Nguyễn Chí Thanh – Tp.HCM (3 lớp)
- THPT Lê Quí Đơn – Tp.HCM (2 lớp) ( ) ( ) 0 ' 0 x f x f x −∞ +∞ − + +∞ +∞
Bài 1:
Bảng 3.1. Thống kê các lời giải bài 1 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Quy tắc 2” 138 67%
S2: Chiến lược “Quy tắc 1 – Bất phương trình” 11 5.34%
S3: Chiến lược “Quy tắc 1 – Chọn điểm thử” 20 9.7%
Khơng trả lời 37 17.96%
Tổng 206 100%
* Nhận xét :
- Cĩ đến 138/206 (67%) sử dụng chiến lược S1 (Dùng quy tắc) để tìm cực trị của hàm số. Như vậy, S1 thật sự là chiến lược được ưu tiên lựa chọn để tìm cực trị của hàm số cĩ đạo hàm là các hàm lượng giác hoặc cĩ chứa căn. Cả hai chiến lược S2 và S3 chỉ cĩ 31/206 (15.05%). Điều này đã phần này kiểm chứng được giả thuyết H1.
- Cĩ 11/206 (5.34%) sử dụng chiến lược S2 và cĩ 20/206 (9.7%) sử dụng chiến lược S3. Để chiến lược S2 xảy ra, học sinh phải giải được các bất phương trình f '( )x >0 và f '( )x <0 để xét dấu đạo hàm. Những bất phương trình lượng giác hoặc cĩ chứa căn thức thường là những bài tốn khĩ đối với học sinh. Để tránh gặp khĩ khăn này học sinh cĩ thể lựa chọn S1. Tuy nhiên nếu nắm được kĩ thuật
CĐT
τ thì chắc chắn chiến lược S1 và S2 khơng xảy ra. Như vậy, cĩ thể phần nào kết luận việc khơng được trang bị kĩ thuật τCĐT đã tác động một phần đến nguyên nhân khơng lựa chọn BBT để giải quyết bài tốn này.
Bài 2:
Bảng 3.2. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Dấu hai gạch” 56 27.18%
S2: Chiến lược “Dấu hai gạch – Giới hạn” 87 42.23%
S3: Chiến lược “Giới hạn” 59 28.64%
Khơng trả lời 4 1.94%
Tổng 206 100%
* Nhận xét :
- Cĩ đến 133/206 (64.56%) dựa vào dấu hai gạch để điền kí hiệu ±∞ (giới hạn vơ cực) trong BBT. Như vậy, dấu hai gạch đã hình thành nên quy tắc hành động R2 ở học sinh. Nguyên nhân dẫn đến hiện tượng này là do ngay từ khi bắt đầu làm quen với BBT, dấu hai gạch xuất hiện trong BBT của các hàm hữu tỉ y 1
x = và 2 3 y x =
− mà học sinh khơng đủ cơ sở để lý giải nĩ và chỉ được hướng dẫn ghi nhớ một cách máy mĩc việc điền các kí hiệu ±∞ vào BBT. Điều này đã phần nào hình thành quy tắc hành động ở học sinh. Đến lớp 12, học sinh cũng khơng gặp sai lầm nào khi áp dụng những quy tắc hành động này.
- Trong 133 trường hợp nêu trên cĩ 56/206 (27.18%) là hồn tồn dựa vào dấu hai gạch để điền ±∞ và 87/206 (42.23%) là cĩ lưu tâm đến việc phải tính giới hạn trước khi điền các giá trị giới hạn của hàm số vào BBT. Tuy nhiên, việc làm này chỉ mang tính hình thức như một bổn phận phải làm. Thực tế, do khơng gặp một tình huống nào khác thường trong suốt chương trình học nên đã dẫn đến hiện tượng này.
- Chỉ cĩ 59/206 (28.64%) là cĩ ý thức đến việc phải tính giới hạn của hàm số trước khi điền các giá trị giới hạn của hàm số vào BBT mà khơng quan tâm đến sự xuất hiện của dấu hai gạch.
Bài 3:
Bảng 3.3. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Khơng liên tục – Dấu bằng” 36 17.48%
S2: Chiến lược “Khơng liên tục – Giới hạn” 11 5.34%
S3: Chiến lược “Liên tục” 148 71.84%
S4: Chiến lược “Đồ thị” 0 0
Khơng trả lời 11 5.34%
Tổng 206 100%
* Nhận xét :
- Cĩ 36/206 (35.43%) sử dụng chiến lược S1. Thứ nhất, học sinh đã quen với các hàm ghép liên tục tại các điểm nối ngay từ lớp 10 nên trong các khoảng được định nghĩa của hàm ghép, dấu “=” chính là dấu hiệu nhận biết việc tính giá trị hàm tại điểm nối. Thứ hai, trong các hàm số gián đoạn tại một điểm thì chưa cĩ một trường hợp nào mà khơng sử dụng dấu hai gạch để biểu thị cho hàm tại điểm đĩ trong BBT. Từ đĩ, lý giải được vì sao S1 được sử dụng và nhiều hơn S2
- Cĩ 11/206 (16.5% ) sử dụng chiến lược S2. Điều này cho thấy tuy chưa thốt khỏi chướng ngại của dấu hai gạch trong cách hiểu về nĩ như là biểu hiện sự gián đoạn của hàm số tại một điểm nhưng học sinh đã xác định được cần phải tính giới hạn bên trái và bên phải tại điểm này mới cĩ thể điền được thơng tin đúng vào BBT. Như vậy cĩ tổng cộng 47/206 (22.82%) trường hợp học sinh đã sử dụng dấu hai gạch để biểu thị cho hàm số tại điểm gián đoạn.
- Số lượng sử dụng chiến lược S3 là 148/206 (71.84%) . Đây là con số khẳng định cĩ khá nhiều học sinh đã quen với việc sử dụng BBT để tìm GTLN – GTNN của hàm số nhưng chưa quan tâm đến điều kiện liên tục của hàm số khi sử dụng BBT để giải bài tốn dạng này. Như vậy, chúng tơi cũng kiểm chứng được phần nào R1.
3.4.2. Các bài tốn dành cho sinh viên năm nhất
Chúng tơi làm thực nghiệm trên 264 sinh viên (4 lớp) ở 2 trường : - Đại học Cơng Nghiệp Thực Phẩm – Tp.HCM (2 lớp hệ Đại học)
- Cao đẳng Kỹ thuật Nghiệp vụ Bách Việt – Tp.HCM (2 lớp hệ Cao đẳng)
Bài 1:
Bảng 3.4. Thống kê các lời giải bài 1 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1a: Chiến lược “Quy tắc 2 bổ sung” 26 9.85%
S2: Chiến lược “Quy tắc 1 – Bất phương trình” 05 1.89%
S3: Chiến lược “Quy tắc 1 – Chọn điểm thử” 112 42.42%
Khơng trả lời 121 45.83%
Tổng 264 100%
* Nhận xét :
- Cĩ 26/264 (9.85%) sử dụng chiến lược S1a (Quy tắc 2). Chỉ cĩ 5/264 trường hợp sử dụng S2 (1.89%) và cĩ đến 112/264 sử dụng S3. Như vậy, cĩ gần 50% số sinh viên sử dụng chiến lược S3 và cĩ hơn 50% khơng sử dụng S2 và S3. Số liệu trên khơng chỉ giúp chúng tơi kiểm chứng được H1 ở học sinh phổ thơng mà cịn giải thích được nguyên nhân BBT khơng được lựa chọn.
- Thật vậy, chiến lược S2 khĩ thực hiện hơn chiến lược S3. Tuy nhiên, số lượng xảy ra chiến lược S2 lại ít hơn chiến lược S3 là 107 trường hợp (chiếm 40.53%). Vì vậy, chúng tơi kết luận BBT khơng là cơng cụ sẵn trong bài tốn tìm cực trị của các hàm số khĩ xét dấu đạo hàm là do học sinh gặp khĩ khăn với việc xét dấu đạo hàm bằng cách giải bất phương trình lượng giác, cĩ chứa dấu căn và họ cũng khơng biết kĩ thuật τCĐT.
Cĩ đến 121/264 (45.83%) khơng cĩ câu trả lời. Điều này cho thấy cĩ khá nhiều sinh viên đã khơng biết sử dụng kĩ thuật “Quy tắc 2 bổ sung”. Lý do là vì số bài tốn sử dụng được kĩ thuật này là rất ít. Mặt khác nĩ cũng cho thấy nhiều sinh viên vẫn chưa biết kĩ thuật τCĐT.
Bài 2:
Bảng 3.5. Thống kê các lời giải bài 2 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Dấu hai gạch” 28 10.6%
S2: Chiến lược “Dấu hai gạch – Giới hạn” 92 34.84%
S3: Chiến lược “Giới hạn” 123 46.59%
Khơng trả lời 21 7.95%
Tổng 264 100%
* Nhận xét :
- Cĩ đến 120/264 (45.45%) dựa vào dấu hai gạch để điền kí hiệu ±∞ (giới hạn vơ cực) trong BBT. Điều này cho thấy dấu hai gạch vẫn cịn tác động rất lớn đến việc ghi và tính giới hạn của học sinh. Tuy nhiên, trong số này chỉ cĩ 28/120 (23.33%) là hồn tồn dựa vào dấu hai gạch để điền giới hạn. Phần lớn cịn lại đã quan tâm đến việc tính giới hạn. Nhưng việc tiến hành vẫn chỉ là hình thức. Điều này cho thấy dấu hai gạch đã tác động rất mạnh đến việc ứng xử của học sinh trong việc ghi giới hạn. Như vậy, R2 đã được kiểm chứng.
- Cĩ 123/264 (46.59%) bài làm tiến hành tính giới hạn trước khi điền vào BBT. Như vậy, so với lớp 12 sinh viên ít gặp chướng ngại với dấu hai gạch hơn. Tuy nhiên, tỉ lệ khơng giải bài tốn cũng khá cao. Điều này là do sinh viên cảm thấy lúng túng với trường hợp bất thường nhất trong cả quá trình học của họ.
Bài 3:
Bảng 3.6. Thống kê các lời giải bài 3 của học sinh
Các chiến lược quan sát được Số lượng Tỉ lệ
S1: Chiến lược “Khơng liên tục – Dấu bằng” 17 6.44%
S2: Chiến lược “Khơng liên tục – Giới hạn” 116 43.94%
S3: Chiến lược “Liên tục” 69 26.14%
Khơng trả lời 62 23.48%
* Nhận xét :
- Cĩ 133/264 (50.38%) sử dụng chiến lược S1 và S2. Như vậy, cĩ khá nhiều sinh viên cho rằng dấu hai gạch biểu thị cho sự gián đoạn của hàm số. Trong số đĩ, hầu hết đều quan tâm đến việc tính giới hạn trước khi điền vào BBT. Đồng thời, so với lớp 12 thì số lượng sử dụng S1 và S2 đã tăng lên. Họ vẫn chưa ý thức rõ được dấu hai gạch chỉ biểu thị cho sự khơng xác định của hàm số tại một điểm.
- Cĩ 69/264 (26.14% ) sử dụng chiến lược S3. Như vậy, tuy đã thốt khỏi quan niệm sai lầm trong cách hiểu về dấu hai gạch nhưng họ chưa thể giải thích hoặc kiểm sốt hồn tồn tình huống trong bài tốn. Sự lúng túng trong cách thể hiện BBT cĩ lẽ là nguyên nhân để họ vẫn duy trì R1.
- Số lượng khơng đưa ra lời giải cũng phần nào tăng lên do sinh viên đã hiểu ý nghĩa của dấu hai gạch nhưng khơng biết phải trình bày BBT thế nào trong tình huống này.
KẾT LUẬN
Qua các phần nghiên cứu được tiến hành ở các chương 1, 2 và 3 cho phép chúng tơi trả lời những câu hỏi nghiên cứu đưa ra trước đĩ. Sau đây, chúng tơi xin tĩm tắt lại những kết quả đã đạt được như sau :
1. Theo truyền thống, BBT là một cơng cụ để tĩm tắt (một loại tốc ký) nghiên cứu các dấu hiệu của đạo hàm trước khi chuyển đến trình bày đồ thị. Thực tế, nĩ thể hiện mối liên hệ về dấu của đạo hàm với tính đơn điệu của hàm số thơng qua các mũi tên. Với vốn từ vựng thích hợp (các dấu "+", dấu "-", các mũi tên, các cực trị, các giá trị hoặc giới hạn trên miền xác định), BBT đã thể hiện được cái mà nĩ cần biểu hiện. Từ một BBT, đồ thị được xác định là một đường cong biểu diễn phù hợp với sự mơ tả về những thay đổi của hàm số được thể hiện trong BBT đĩ.
Ngồi việc giúp xây dựng đường cong biểu diễn cho đồ thị của hàm số, chúng tơi nhận thấy BBT cĩ khả năng trở thành đối tượng nghiên cứu. Dù sao nĩ được coi là một cách thể hiện (một phần nào) của hàm số và trực thuộc khung điều hành (appartenant à des cadres supposés) được cho là trực quan hơn (plus intuitifs) và do đĩ dễ dàng nắm bắt hơn là những khung chính thức (cadres formel) hay đại số.
2. BBT thường khơng phải là một đối tượng được định nghĩa trong khĩa học. Từ vai trị phụ trợ trong chuyển đổi từ đại số sang đồ thị, nĩ đã xuất hiện một cách rõ ràng hơn trong chương trình và dần được nâng lên đĩng vai trị ngày càng quan trọng. Việc đưa khái niệm BBT vào lớp 10 trước khi học khái niệm đạo hàm là phù hợp với một trong những xu hướng quan trọng nhất là dần dần tăng cường việc sử dụng nhiều cách thể hiện khác nhau về các khái niệm tốn học. Song song với giảm ưu thế của ghi chú đại số, BBT ngày càng trở nên cĩ trọng lượng hơn để tiêu biểu cho các khái niệm giới thiệu.
Từ những phân tích của chúng tơi về sách giáo khoa cho thấy việc hướng dẫn cho học sinh hiểu và sử dụng BBT là trách nhiệm của giáo viên. BBT được coi là dễ nhận ra và những quy tắc mã hĩa vẫn chỉ là hướng dẫn bằng miệng. Sự phức tạp trong cấu tạo của một BBT phần nào bị đánh giá thấp trong giảng dạy và do đĩ,
những hiểu biết về các kí hiệu, biểu tượng của BBT là việc của học sinh, cĩ nghĩa là giáo viên cĩ ít phương tiện tiếp cận với những gì mà đối với học sinh là một khối kiến thức riêng. Đây là một trong những nguyên nhân cĩ thể dẫn đến sai lầm ở học sinh trong cách hiểu về BBT nĩi chúng và các kí hiệu, biểu tượng của nĩ nĩi riêng.
3. Dấu "||" trong BBT biểu thị cho sự khơng tồn tại hoặc khơng xác định tại một điểm. Đối với đạo hàm, nĩ cĩ nghĩa là khơng tồn tại đạo hàm tại điểm đĩ. Đối với hàm số, nĩ biểu thị cho hàm số khơng xác định tại điểm đĩ.
Ngay từ khi bắt đầu làm quen với khái niệm BBT ở lớp 10, dấu "||" đã là vấn đề đối với học sinh. Đối với học sinh lớp 10, dấu "||" biểu thị cho điểm mà tại đĩ đồ thị bị đứt nét. Đến lớp 12, các hàm số được học đều liên tục trên miền xác định của nĩ; nghĩa là nếu chúng khơng xác định tại một điểm thì cũng khơng liên tục tại điểm đĩ.
Tuy học sinh hiểu nghĩa của dấu “||” nhưng họ vẫn gặp trở ngại với kí hiệu này khi khơng tìm ra được cách thể hiện nào phù hợp với trường hợp hàm số gián đoạn nhưng vẫn xác định tại một điểm. Nếu vượt qua được chướng ngại của dấu hai gạch, họ chỉ cịn cách phải bỏ qua yếu tố "gián đoạn tại một điểm của hàm số" và do đĩ việc xây dựng BBT được tiến hành với sự lựa chọn riêng của học sinh. Nghĩa là, họ khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra tính liên tục của hàm số tại các điểm mà nĩ đạt cực trị hoặc GTLN – GTNN của hàm số. Đây là nguyên nhân chính hình thành quy tắc hợp đồng R1: Học sinh khơng cĩ trách nhiệm kiểm tra sự liên tục của hàm số tại các điểm mà nĩ đạt cực trị, GTLN, GTNN.
4. Để những thơng tin về giới hạn hàm số được ghi đúng trong BBT thì cần phải tính giới hạn trước. Tuy nhiên ở lớp 10, học sinh khơng cĩ cơ sở để điền các kí hiệu ±∞ mà chỉ ghi nhớ máy mĩc một số qui tắc được đưa ra từ hướng dẫn của chương trình. Từ hai hàm hữu tỉ được học ở lớp 10 đã hình thành ở học sinh một quy tắc hành động về dấu “||”. Nĩ là dấu hiệu nhận biết các giới hạn vơ cực của hàm phân thức hữu tỉ. Hơn nữa, đến lớp 12 học sinh cũng khơng gặp một tình huống nào khác cả. Học sinh chưa bao giờ nghĩ tử và mẫu cĩ cùng ước số mặc dù họ đã tính giới hạn của các hàm phân thức hữu tỉ cĩ dạng vơ định rất nhiều ở lớp 11. Do đĩ, họ
đã áp dụng quy tắc hành động R2: Đối với hàm phân thức hữu tỉ, dấu hai gạch biểu thị cho hàm là dấu hiệu đặc trưng cho các giới hạn vơ cực của nĩ để ứng xử với tình huống xuất hiện dấu “||” trong BBT của các hàm phân thức hữu tỉ.
Thực nghiệm ở chương 3 đã chỉ ra những sai lầm liên quan đến dấu “||” đã tồn tại dai dẳng ở học sinh phổ thơng và sinh viên đại học. Do đĩ, Perrin-Glorian đã đúng khi nĩi rằng : “Những sai lầm gây nên bởi chướng ngại thường tồn tại rất dai dẳng và cĩ thể tái xuất hiện ngay cả khi chủ thể đã cĩ ý thức loại bỏ quan niệm sai lầm ra khỏi hệ thống nhận thức của mình.”.
5. Học sinh thường sử dụng BBT để giải quyết các KNV xét sự biến thiên, tìm cực trị, GTLN-GTNN của hàm số. Khi đĩ, học sinh cần phải giải các bất phương trình f '( )x >0 hoặc f '( )x <0 để xét dấu đạo hàm và f '( )x thường chỉ là các hàm bậc nhất, hàm bậc hai hoặc tích, thương của các hàm này. Tuy nhiên, khi học sinh gặp khĩ khăn với việc xét dấu đạo hàm; đặc biệt khi đạo hàm là các hàm