Ngồi việc xác lập lại ý tưởng của một hàm số được xác định bằng một đường cong, BBT cĩ thể hỗ trợ trong việc giải quyết một số dạng tốn ở chương
trình phổ thơng và đại học. Để tìm hiểu về vấn đề này, chúng tơi tham khảo một số tài liệu sau :
1. Võ Đại Mau (2008), Phương pháp giải tốn khảo sát hàm số 12, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội. [12]
2. Lê Anh Tuấn (2009), Một nghiên cứu didactic về khái niệm đạo hàm ở lớp 11 phổ thơng, Luận văn Thạc Sĩ. [23]
3. http://ressources.sesamath.net/coll_docs/cours/valide/cours_2nde_N2.swf. [30]
Với vai trị cơng cụ, BBT giúp giải quyết một số dạng bài tốn sau : Đối với hàm số một biến số :
Khảo sát sự biến thiên của hàm số
Vẽ đồ thị của hàm số
Tìm cực trị của hàm số
Tìm miền giá trị của hàm số
Tìm GTLN, GTLN của hàm số
So sánh ảnh hai giá trị của biến.
Chứng minh phương trình f x( )=k cĩ n nghiệm
Tìm m để phương trình cĩ nghiệm
Chứng minh bất đẳng thức f x( )>k f x, ( )≥k f x, ( )<k f x, ( )≤k
Tìm a để miền giá trị của hàm số f x( ) chứa hoặc khơng chứa giá trị nào trong đoạn [ ]a b,
Giải và biện luận phương trình, bất phương trình
Tìm a để miền giá trị của hàm số f x( ) chứa hoặc khơng chứa giá trị nào trong đoạn [ ]a b,
Trong các dạng tốn trên, chúng tơi quan tâm đến KNV tìm cực trị của hàm số. Lý do là vì chúng tơi tìm thấy định lí sau :
“Định lí 3.14. Cho hàm số y= f x( ) liên tục trên ( )a b; , khả vi trên ( )a b cĩ ;
thể trừ ra điểm xo∈( )a b; là một điểm nghi ngờ. Khi đĩ nếu x biến thiên qua x mà: o f '( )x đổi dấu từ (-) sang (+) thì x o là điểm cực tiểu; f '( )x đổi dấu từ (+) sang (-) thì x o là điểm cực đại; f '( )x khơng đổi dấu thì x o
khơng là điểm cực trị.”
Ở đây, chúng tơi nhận thấy nếu hàm số đạt cực trị tại xo thì hiển nhiên hàm số phải xác định tại điểm này. Tuy nhiên hàm số xác định tại xo vẫn cĩ thể khơng liên tục tại điểm này. Nhưng trong chương trình tốn phổ thơng hầu như chỉ giảng dạy các hàm số sơ cấp là những hàm liên tục trên miền xác định của nĩ. Do đĩ, khi sử dụng BBT để tìm cực trị của hàm số thì hầu như khơng cần phải kiểm tra tính liên tục của hàm số tại điểm này và hồn tồn tương tự với KNV tìm GTLN – GTNN của hàm số. Điều này cĩ thể dẫn đến những sai lầm ở học sinh phổ thơng khi sử dụng BBT để tìm cực trị hay GTLN – GTNN của hàm số.
* Kết luận
Khái niệm về hàm số đĩng một vai trị chính trong tốn học. Lịch sử phát triển khái niệm này phức tạp và khơng dễ dàng được tiếp nhận bởi học sinh. Như vậy, cần phải quan tâm đến những phương cách tiếp cận khác nhau mà theo đĩ xuất hiện khái niệm hàm số như : đường cong, bảng giá trị hay BBT. Hơn nữa, việc chú ý đến các yếu tố biểu lộ liên quan đến hàm số (đường cong, bảng giá trị, BBT) trực thuộc khung điều hành được cho là trực quan hơn (đồ họa, kỹ thuật số, hình ảnh hay mũi tên) và do đĩ dễ dàng nắm bắt khái niệm hàm số hơn là những khung chính thức hay đại số.
Theo truyền thống, BBT là một cơng cụ để tĩm tắt (một loại tốc ký) nghiên cứu các dấu hiệu của đạo hàm trước khi chuyển đến việc trình bày đồ thị hàm số. Vì vậy, theo chúng tơi : “BBT là cơng cụ quan trọng giúp các tính chất và quan hệ giải tích của hàm số được « dịch chuyển » sang ngơn ngữ hình học dễ dàng hơn.”. Tuy nhiên, các ký hiệu được trình bày trong BBT vẫn cần được chứng minh một cách khoa học hơn về khả năng xử lý và chuyển đổi của chúng.
Cần nhận thức đúng rằng : Mỗi một biểu thức hàm (hay đồ thị hàm số) chỉ cĩ một BBT tương thích với nĩ nhưng cĩ thể cĩ nhiều biểu thức hàm hay đồ thị hàm tương thích với một BBT.
Việc sử dụng BBT trong giải tốn cĩ thể gặp khĩ khăn khi sắp thứ tự các điểm tới hạn trong BBT hoặc so sánh chúng với các giá trị khác nếu một trong các giá trị này cĩ chứa tham số.
Theo nghiên cứu của Bùi Anh Tuấn (2007) : “Đồ thị - một ngơn ngữ của hình học – đã được dùng để biểu thị hàm số - một đối tượng của giải tích. Như thế, các tính chất của một hàm số sẽ thể hiện trên đồ thị của nĩ. Hệ quả là người ta cĩ thể dựa vào đồ thị để nghiên cứu hàm số và một số vấn đề liên quan đến nĩ”. Kết quả nghiên cứu trên cho chúng tơi đặt ra một số vấn đề sau :
Nếu đồ thị được sử dụng để nghiên cứu hàm số thì BBT, một cơng cụ chuyển tiếp trực quan từ biểu thức hàm đến đồ thị (tại sao khơng ?) cũng cĩ thể được xem xét để nghiên cứu hàm số và một số vấn đề của nĩ ?
Từ một BBT, liệu cĩ thể tìm được biểu thức hàm số nào tương thích với nĩ khơng ? Điều này sẽ cĩ ý nghĩa gì trong thực tế cũng như mơ phạm ? Rõ ràng, BBT khơng đơn giản là một bảng hai chiều, nĩ bị chi phối bởi một mã hố phức tạp, chứa đựng nhiều kiến thức tốn học về hàm. Qua một BBT, chúng tơi nhận thấy dù khơng thể hiện chính xác đồ thị của hàm số nhưng nĩ cung cấp một số thơng tin chính xác về hàm số như : sự biến thiên, cực trị, GTLN, GTNN, miền giá trị v.v...và do đĩ nĩ thực sự là một cơng cụ cĩ ích cho việc nghiên cứu và học tập về hàm số.
Trong thực tế, việc sử dụng BBT địi hỏi nhiều kiến thức hơn so với bảng giá trị, khơng chỉ vì nĩ địi hỏi phải biết xác định sự biến thiên của hàm số, mà cịn là các kỹ năng mã hĩa và giải mã cụ thể hơn.
Những quy tắc mã hĩa trong BBT tương đối phức tạp nhưng được coi là dễ nhận ra và hồn tồn được hướng dẫn bằng miệng. Do đĩ, tính phức tạp trong cấu tạo của một BBT phần nào bị đánh giá thấp. Đây cĩ thể là nguyên nhân dẫn đến những sai lầm khi sử dụng nĩ.
Chẳng hạn, kí hiệu dấu hai gạch trong BBT cĩ thể gây khĩ khăn trong cách hiểu về nghĩa của nĩ. Nhất là khi khơng tìm ra được cách biểu thị hợp lý cho trường hợp hàm số xác định nhưng khơng liên tục tại một điểm trong BBT. Câu hỏi đặt ra là : liệu dấu “||” cĩ bị hiểu với nghĩa hàm số khơng liên tục tại một điểm ?
Chương 2
MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ VỚI BẢNG BIẾN THIÊN
Chương này cĩ mục đích thực hiện việc nghiên cứu mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT. Cụ thể, nĩ sẽ giúp cho việc trả lời các câu hỏi sau đây :
Q2 : Mối quan hệ thể chế với khái niệm BBT được xây dựng và tiến triển ra sao trong thể chế dạy học ở phổ thơng ? Đặc trưng của những tổ chức tốn học nào gắn liền với khái niệm BBT ? Chúng xuất hiện ra sao ? Cĩ những chức năng gì ?
Q3 :Những ràng buộc của thể chế dạy học cĩ ảnh hưởng như thế nào đến mối quan hệ cá nhân của học sinh với khái niệm BBT ? Những quy tắc hành động, những quan niệm nào tạo ra các sai lầm của học sinh khi sử dụng BBT trong giải tốn ?
Để đạt được mục tiêu trên, chúng tơi chọn phân tích chương trình và sách giáo khoa hiện hành ở các lớp 10 và 12. Ở hai cấp lớp trên, khái niệm BBT được giảng dạy trong các bộ sách của cả hai ban : ban khoa học tự nhiên (bộ sách tương tứng là bộ nâng cao) và ban khoa học xã hội và nhân văn (bộ sách tương ứng là bộ cơ bản). Nhìn chung nội dung hai bộ sách ở cả hai cấp lớp là như nhau. Mặt khác, do thời gian cĩ hạn, chúng tơi chọn phân tích bộ sách của ban khoa học tự nhiên ở cả hai cấp lớp trên.
Để thuận tiện hơn trong việc trình bày, chúng tơi sử dụng các kí hiệu GKNC10, GKNC12 để chỉ các sách giáo khoa nâng cao lớp 10 và 12; GVNC10, GVNC12 để chỉ các sách giáo viên và BTNC10, BTNC12 để chỉ các sách bài tập tương ứng với các sách giáo khoa nêu trên.
Cụ thể, chúng tơi chọn phân tích :
Lớp 10 : phân tích chương 2 : Hàm số bậc nhất và bậc hai
Lớp 12 : phân tích chương 1 : Ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị của hàm số.
Những kết quả nghiên cứu được ở chương 1 là cơ sở tham chiếu phân tích của chương này. Phần tiếp sau là phân tích các sách trên.
2.1. Bảng biến thiên trong chương trình và sách giáo khoa tốn 10 2.1.1. Thời điểm xuất hiện và ý nghĩa của BBT :
BBT của hàm số được đưa vào giảng dạy ở chương 2 : “Hàm số bậc nhất và bậc hai”. Cụ thể, học sinh biết về khái niệm BBT qua bài 1 : “Đại cương về hàm số”. Mục tiêu của bài này được nhấn mạnh là :
“Yêu cầu chủ yếu của bài này là học sinh phải biết dựa vào đồ thị để suy ra sự biến thiên của hàm số, đồng thời biết cách lập bảng biến thiên của nĩ.” [GVNC10, tr.70]
Trích dẫn trên cho thấy khái niệm BBT được tiếp cận thơng qua hình ảnh của đồ thị hàm số. Vấn đề trọng tâm là nhận biết sự biến thiên của hàm số qua đồ thị của nĩ và trình bày trên BBT.
Trước tiên, GKNC10đưa ra khái niệm hàm số đồng biến, nghịch biến :
“Từ đây, ta luơn hiểu K là một khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào đĩ của
ĐỊNH NGHĨA
Cho hàm số f xác định trên K
Hàm số f gọi là đồng biến (hay tăng) trên K nếu
( ) ( )
1, 2 , 1 2 1 2 ;
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ <
Hàm số f gọi là nghịch biến (hay giảm) trên K nếu
( ) ( )
1, 2 , 1 2 1 2 .
x x K x x f x f x
∀ ∈ < ⇒ > ” [GKNC10, tr.38]
Từ đoạn trích dẫn trên chúng tơi cĩ nhận xét như sau :
Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K thì chỉ cần xác định trên K. Tuy nhiên, ở lớp 10 học sinh chưa được học khái niệm hàm số liên tục nên chỉ yêu cầu khảo sát sự đồng biến, nghịch biến của hàm số trên các khoảng liên tục.
Trong những điều cần lưu ý, GVNC10 cĩ đoạn viết :
“Tuy nhiên ở lớp 10, do chưa cĩ cơng cụ giải tích, SGK chỉ yêu cầu học sinh chứng minh sự đồng biến hay nghịch biến của hàm số trên những khoảng, nửa
khoảng hoặc đoạn cho trước và đối với các hàm số đơn giản (như hàm số bậc nhất, hàm số bậc hai và hàm số phân tuyến tính). Hơn nữa, các bài tốn này chỉ nhằm giúp học sinh nắm vững khái niệm mà thơi.” [GVNC10, tr.70].
Với những yêu cầu đặt ra của chương trình, học sinh sẽ ít chú ý đến việc khai thác bản chất của định nghĩa hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến trong giải tốn. Từ đĩ, chúng tơi dự đốn học sinh thường ít nghĩ đến khả năng so sánh được hai giá trị của hàm số f là f x( )1 và f x( )2 , biết nĩ đồng biến (hoặc nghịch biến) trên khoảng ( )a b; với x x1, 2∈( )a b; và x1<x2.
Kế tiếp, GKNC10 trình bày sự chuyển đổi khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến giữa hai ngơn ngữ giải tích và hình học như sau :
“Nếu một hàm số đồng biến trên K thì trên đĩ, đồ thị của nĩ đi lên; Nếu một hàm số nghịch biến trên K thì trên đĩ, đồ thị của nĩ đi xuống. (Khi nĩi đồ thị đi lên hay đi xuống, ta luơn kể theo chiều tăng của đối số, nghĩa là kể từ trái sang phải).” [GKNC10, tr.38]
Phát biểu trên giúp hình thành ở học sinh mối liên hệ giữa hình dáng của đồ thị với khái niệm hàm số đồng biến và hàm số nghịch biến. Cụ thể, từ đồ thị cĩ thể nhận biết sự biến thiên của hàm số. Liệu học sinh cĩ quan niệm rằng từ sự biến thiên của hàm số cũng cĩ thể xác định được chính xác đồ thị của hàm số ?
Tiếp theo, GK10NC mơ tả KNV khảo sát sự biến thiên của hàm số như sau : “Khảo sát sự biến thiên của hàm số là xét xem hàm số đồng biến, nghịch biến, khơng đổi trên các khoảng (nửa khoảng hay đoạn) nào trong tập xác định của nĩ.”. [GVNC10, tr.39]
Sau đĩ, GKNC10 đưa vào khái niệm BBT :
“Người ta thường ghi lại kết quả khảo sát sự biến thiên của một hàm số bằng cách lập bảng biến thiên của nĩ. Hàm số trong ví dụ 4 cĩ bảng biến thiên như sau :
Trong bảng biến thiên, mũi tên đi lên thể hiện tính đồng biến, mũi tên đi xuống thể hiện tính nghịch biến của hàm số.
Cụ thể hơn, hàng thứ hai trong bảng được hiểu như sau : f ( )0 =0 và khi x tăng trên khoảng (0;+∞) thì f x ( ) nhận mọi giá trị trong khoảng (0;+∞)
theo chiều tăng, cịn khi x tăng trên khoảng (−∞;0) thì f x nhận mọi giá ( )
trị trong khoảng (0;+∞) nhưng theo chiều giảm.”
Ở đây, BBT khơng được định nghĩa một cách tường minh. Tác giả chỉ nêu chức năng và mơ tả một số thành phần trong BBT của hàm số 2 ( )
0
y=ax a> . Với BBT, khái niệm sự đồng biến, nghịch biến của một hàm số được chuyển đổi bằng một mã hĩa thích hợp và đơn giản hơn, nhưng biểu hiện được cái mà nĩ cần biểu hiện. Đĩ là sự chuyển đổi cần thiết trong quá trình học một khái niệm tốn học, nhằm đa dạng hơn các phương thức thể hiện khác nhau của nĩ. Những giải thích trên về BBT được xem như một cơ hội để xử lý và chuyển đổi làm việc với khái niệm hàm số đồng biến, hàm số nghịch biến và do đĩ, nĩ trở thành điều kiện tốt trong việc dạy học về hàm số. Thật vậy, vài mũi tên cùng với một số giá trị đặc biệt đã phản ánh trực quan sự biến thiên của hàm số nên dễ dàng tiếp nhận hơn ở học sinh. Từ đây cĩ thể hình thành ở học sinh mối liên hệ giữa BBT với đồ thị của hàm số. Tuy nhiên tính hợp pháp của các ký hiệu trong BBT, khả năng xử lý cũng như chuyển đổi các khái niệm cĩ liên quan đến hàm số vẫn cần phải được hướng dẫn đầy đủ, rõ ràng và khoa học hơn.
Chẳng hạn, sự xuất hiện các hàm số khác nhau cĩ cùng một BBT như y= x
và 2
( 0)
y=ax a> là rất hiếm trong chương trình để lưu ý học sinh về khả năng tồn tại nhiều hàm số khác nhau cĩ chung một BBT nhưng khơng cĩ văn bản nào chú ý đến yếu tố này. Mặt khác, học sinh thường chỉ vẽ một đồ thị duy nhất tương thích với một BBT. Vậy, học sinh cĩ quan niệm rằng với mỗi BBT chỉ vẽ được duy nhất một đồ thị hàm số tương thích với nĩ khơng ?
Trong phần nĩi đến đồ thị của hàm số y= x , GKNC10cĩ lưu ý rằng : “Hàm số y= x là một hàm số chẵn, đồ thị của nĩ nhận Oy làm trục đối xứng”. Mặt khác, trong BBT của hàm số này, hai kí hiệu mũi tên xuất hiện cĩ vẻ như cũng đối xứng qua trục Oy. Điều này cĩ làm cho học sinh nghĩ rằng tính đối xứng của đồ thị hàm số được nhận biết qua quan sát BBT ?
Đối với hàm số được cho bằng đồ thị, chương trình yêu cầu học sinh cần lập được BBT của nĩ như sau :
“Khi cho hàm số bằng đồ thị, học sinh cần : […]
+ Nhận biết được sự biến thiên và biết lập BBT của một hàm số thơng qua đồ thị của nĩ;
+ Bước đầu nhận biết một vài tính chất của hàm số như : giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của hàm số (nếu cĩ), dấu của hàm số tại một điểm hoặc trên một khoảng;
+ Nhận biết được tính chẳn - lẻ của hàm số qua đồ thị”. [SGKNC10, tr.69] Từ đoạn trích dẫn chúng tơi cĩ nhận xét : từ đồ thị hàm số, học sinh cĩ thể nhận biết một số tính chất quan trọng của hàm số; đặc biệt là nhận biết sự biến thiên của hàm số và tĩm tắt bằng một BBT. Mục đích đưa vào BBT từ lớp 10, một mặt