Khái niệm khoảng đoạn trong phép tính đạo hàm nguyên hàm và tích phân ở trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN ĐỨC KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN TRONG PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN ĐỨC KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN TRONG PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học nhiều công sức, thời gian để giúp tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đồn Hữu Hải, TS Trần Lương Cơng Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức niềm say mê Didactic Tốn Tơi xin trân trọng cám ơn: TS Alain Birebent nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc cần thiết cho Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập trường - Ban giám hiệu trường THPT Lộc Hưng với đồng nghiệp thuộc Bộ mơn Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho lúc học tập trường ĐHSP TP.HCM - Ban Giám hiệu giáo viên trường THPT Trần Quốc Đại, THPT Nguyễn Trãi, THPT Lê Quý Đôn, THPT Quang Trung Tỉnh Tây Ninh nhiệt tình giúp đỡ xếp cho thực nghiệm Quý trường Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn lớp Didactic khóa 18 tơi học tập, trải qua ngày vui buồn khó khăn khóa học Sau cùng, tơi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình tơi, ln động viên giúp đỡ tơi mặt Nguyễn Văn Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T T MỤC LỤC T T DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT T T MỞ ĐẦU T T 1 Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát T T Khung lý thuyết tham chiếu T T Câu hỏi nghiên cứu T T Phương pháp nghiên cứu T T Cấu trúc luận văn 10 T T CHƯƠNG 1: NGHIÊN CỨU SỰ VẬN HÀNH CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 11 T T 1.1 Khái niệm khoảng, đoạn 11 T T 1.2 Khái niệm giới hạn hàm số 12 T T 1.3 Khái niệm đạo hàm 13 T T 1.4 Khái niệm nguyên hàm 17 T T 1.4.1 Định nghĩa 18 T T 1.4.2 Các quy tắc đơn giản tích phân 21 T T 1.5 Khái niệm tích phân xác định 22 T T 1.6 Kết luận 30 T T 1.6.1 Khái niệm khoảng, đoạn 30 T T 1.6.2 Khái niệm giới hạn hàm số 30 T T 1.6.3 Khái niệm đạo hàm 30 T T 1.6.4 Khái niệm nguyên hàm 31 T T 1.6.5 Khái niệm tích phân 31 T T CHƯƠNG 2: SỰ VẬN HÀNH CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 33 T T 2.1 Tiến trình hình thành khái niệm khoảng, đoạn 34 T T 2.1.1 Khái niệm khoảng, đoạn trước định nghĩa 34 T T 2.1.2 Khái niệm khoảng, đoạn định nghĩa 35 T T 2.2 Đạo hàm 36 T T 2.2.1 Đạo hàm hàm số điểm 37 T T 2.2.2 Đạo hàm hàm số khoảng 40 T T 2.2.3 Đạo hàm cấp cao 55 T T 2.3 Nguyên hàm 58 T T 2.4 Tích phân 66 T T 2.5 Kết luận 70 T T 2.5.1 Tiến trình hình thành khái niệm khoảng, đoạn 70 T T 2.5.2 Đạo hàm 71 T T 2.5.3 Nguyên hàm 72 T T 2.5.4 Tích phân 73 T T CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 75 T T 3.1 Thực nghiệm giáo viên 75 T T 3.1.1 Giới thiệu thực nghiệm 75 T T 3.1.2 Phân tích apriori 76 T T 3.1.3 Phân tích Posteriori 81 T T 3.2 Thực nghiệm học sinh 84 T T 3.2.1 Giới thiệu thực nghiệm 84 T T 3.2.2 Phân tích apriori 85 T T 3.2.3 Phân tích Posteriori 89 T T 3.3 Kết luận thực nghiệm 93 T T KẾT LUẬN 94 T T TÀI LIỆU THAM KHẢO 97 T T PHỤ LỤC 99 T T DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT GV: Giáo viên HS: Học sinh M: Giải tích tốn học tập Tốn 8, tập GK 8,2 : R R GK NC10 : Đại số 10 nâng cao GK NC11 : Đại số giải tích 11 nâng cao GV NC11 : Sách giáo viên Đại số giải tích 11 nâng cao GK CB11 : Đại số giải tích 11 GV CB11 : Sách giáo viên Đại số giải tích 11 GK NC12 : Giải tích 12 nâng cao GV NC12 : Sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao GK CB12 : Giải tích 12 GV CB12 : Sách giáo viên Giải tích 12 HD 12 : Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12 SGV : Sách giáo viên SGK : Sách giáo khoa GTLN : Giá trị lớn GTNN : Giá trị nhỏ TXĐ : Tập xác định TCTH : Tổ chức toán học THCS : Trung học sở THPT : Trung học phổ thông R R R R R R R R R R R R R R R R R R R R MỞ ĐẦU Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm khoảng, đoạn tham gia tường minh ngầm ẩn vào việc xây dựng định nghĩa định lí chương trình Tốn trung học phổ thơng Nhưng dường chưa quan tâm nghiên cứu mức phương diện học thuật lẫn thực hành giảng dạy Nghiên cứu xuất phát từ câu hỏi ban đầu sau: 1.1 Khái niệm khoảng, đoạn xuất Toán học nào, phục vụ cho kiểu tốn gì? 1.2 Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng hành, khái niệm khoảng, đoạn đưa vào nào, nhằm mục đích gì? 1.3 Việc khơng quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông? Giới hạn đề tài Trong phạm vi luận văn thạc sĩ, tự giới hạn đề tài việc nghiên cứu vận hành khái niệm khoảng, đoạn việc giảng dạy khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân trung học phổ thông Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, đặt nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết didactic, cụ thể hợp đồng didactic lý thuyết nhân chủng học didactic 2.1 Trong lý thuyết nhân chủng học didactic, sử dụng khái niệm quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho biết đối tượng tri thức “khái niệm khoảng, đoạn” xuất nào, nhằm mục đích gì, phục vụ cho kiểu toán nào? Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Việc học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giúp thấy việc không quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn chủ thể hệ thống dạy học (giáo viên, học sinh) dẫn đến sai lầm dạy học Tốn trung học phổ thơng Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thơng qua nghiên cứu tổ chức tốn học, praxéologie Praxéologie khái niệm Yves Chevallard (1998) đưa mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T, τ, θ, Θ], T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ cơng nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ 2.2 Hợp đồng didactic: Hợp đồng didactic mơ hình hoá quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng tri thức tốn học đem giảng dạy Thơng thường, tập hợp quy tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức toán giảng dạy Hợp đồng didactic quy tắc giải mã hoạt động q trình học tập thấu hiểu ý nghĩa định hướng cách ứng xử giáo viên học sinh –điều chỉnh chủ yếu phân tích didactic-khi giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát khuôn khổ hợp đồng Nghiên cứu hợp đồng didactic giúp tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt tình khác lạ nhằm mục đích phá vỡ hợp đồng để thấy vai trị khái niệm vận hành phát biểu mà diện Câu hỏi nghiên cứu Sau đây, phát biểu lại câu hỏi ban đầu ánh sáng khung lý thuyết tham chiếu chọn Mục đích luận văn trả lời câu hỏi nghiên cứu phát biểu Q1 Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm khoảng, đoạn xuất nào? Trong định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm tích phân, chúng có vai trị phục vụ cho kiểu toán nào? Q2 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thể chế dạy học bậc THPT, khái niệm khoảng, đoạn sgk hành giới thiệu nào? Vai trò chúng xuất đạo hàm, nguyên hàm tích phân có tác giả tính đến khơng? Chúng phục vụ cho kiểu tốn nào? Q3 Những quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh trình dạy-học khái niệm đạo hàm, ngun hàm tích phân có tác động khái niệm khoảng, đoạn? Việc khơng hiểu mức đến vai trị khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Tốn trung học phổ thơng? Phương pháp nghiên cứu Từ câu hỏi ban đầu, lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp, sở đặt câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 Đối với câu hỏi Q1, điều kiện tư liệu thời gian nên dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa tài liệu lịch sử tốn Vì vậy, chúng tơi làm rõ mối quan hệ thể chế nhờ vào phân tích số định nghĩa xây dựng khái niệm khoảng, đoạn giáo trình tốn dùng trường đại học Đây sở để đến kết luận nguyên nhân dẫn đến xuất khái niệm Kế đến việc phân tích vai trị chúng việc giải kiểu toán đạo hàm, nguyên hàm tích phân Kết thu cho phép chúng tơi đưa câu trả lời cho câu hỏi Q1 trình bày chương I: Nghiên cứu vận hành khoảng, đoạn khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân Đối với câu hỏi Q2, chúng tơi tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế (giáo dục phổ thông) với đối tượng tri thức khái niệm khoảng, đoạn qua việc phân tích định nghĩa hình thành khái niệm khoảng, đoạn từ sách giáo khoa, sách giáo viên phân tích kiểu tốn đạo hàm, nguyên hàm mà việc giải phải nhờ vào khái niệm khoảng, đoạn Việc làm giúp trả lời vai trị chúng có thể chế quan tâm khơng? Kết trình bày chương II: Sự vận hành khoảng, đoạn khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân chương trình Tốn phổ thơng Kết nghiên cứu hai chương cho phép rút hợp đồng didactic vận hành khoảng, đoạn toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các quy tắc hợp đồng phát biểu kiểm chứng thực nghiệm chương III: Thực nghiệm Cấu trúc luận văn Luận văn có cấu trúc chi tiết sau: Mở đầu Chương I Nghiên cứu vận hành khoảng, đoạn khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân 1.1 Sơ lược xuất khái niệm khoảng, đoạn lịch sử Toán học (Các điểm cần nghiên cứu luận văn: Các khái niệm xuất để giải tốn gì? Tiến triển chúng lịch sử Tốn học? Mối liên hệ chúng với khái niệm số thực, việc xây dựng tập R tính chất tơpơ đường thẳng thực?) 1.2 Vai trị khái niệm khoảng, đoạn việc giải số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, ngun hàm tích phân chương trình đại học 1.3 Kết luận chương Chương II Sự vận hành “khoảng, đoạn” khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân chương trình Tốn phổ thơng 2.1 Các khái niệm khoảng, đoạn chương trình Tốn phổ thông 2.2 Sự can thiệp khoảng, đoạn số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm tích phân 2.3 Kết luận chương Chương III Thực nghiệm 3.1 Tóm tắt kết chương đầu 3.2 Phát biểu giả thuyết nghiên cứu 3.3 Thực nghiệm giáo viên 3.4 Thực nghiệm học sinh 3.5 Kết luận chương Kết luận chung Nếu cận tích phân hàm số f(x) = liên tục [0 ; 1], dẫn đến dx ∫2 x x không xác định nên không không tồn Nếu cận tích phân số < a < hàm số f(x) = dx ∫2 tích phân x x liên tục [a ; 1] nên b.2 Cái cần quan sát Học sinh có thực u cầu khơng? Học sinh giải thích nào? b.3 Các chiến lược quan sát: b.3.1 Chiến lược S1 – không kiểm tra điều kiện tồn tích phân Có thể học sinh phát ( x )’= x x |10 = Cái quan sát dx ∫2 x = x |10 = b.3.2 Chiến lược S2 – kiểm tra điều kiện tồn tích phân Học sinh phát hàm số f(x) = x không xác định điều kiện định nghĩa tích phân, hàm số cần tính tích phân liên tục đoạn có hai đầu mút hai cận tích phân Cái quan sát Vì hàm số f(x) = dx ∫2 x x không xác định nên không liên tục [0 ; 1], dẫn đến không tồn 3.2.3 Phân tích Posteriori Câu Bảng 1: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Số lượng % Chiến lược S1 223 98.7% Không kiểm tra điều kiện định nghĩa Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện định nghĩa Tổng Chiến lược S2 1.3% 226 100% (1.3%) học sinh chọn giải thích, đồ thị hàm số 226 tập hợp điểm rời rạc nên hàm số khơng liên tục điểm thuộc N* Vì hàm số cho khơng có đạo hàm điểm thuộc N*, điều dẫn đến hàm số không tồn đạo hàm đạo hàm cấp hai Cơ sở để học sinh lập luận dựa hai nhận xét sau: • Hàm số liên tục khoảng đoạn có đồ thị đường liền nét, hàm số gián đoạn điểm đồ thị khơng phải đường liền nét [GK NC11 ,170] R R • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x liên tục điểm x R R R R [GK NC11 ,186] R Chiến lược S1 R 223 (98.7%) học sinh chọn với sau đại diện sau 226 đây: Câu a Cách ∆y = f(∆x + 1) – f(1) lim ∆x → ∆y f (∆x + 1) − f (1) ∆x + − = lim = lim = lim =1 x x ∆ → ∆ → 0 ∆x → ∆x ∆x ∆x Cách f’(x) =(x)’= nên f’(1) = Câu b f’(x) =(x)’= Câu c f’(x) = nên f’’(x) = Trên quan tâm đến số học sinh sử dụng chiến lược S1, việc tính sai khơng phải mục tiêu mà nhắm đến Sự vượt trội chiến lược S1 so với S2 cho thấy có học sinh kiểm tra điều kiện hàm số xác định khoảng thực yêu cầu, kết kiểm chứng quy tắc hợp đồng đồng “Khi tính đạo hàm hàm số điểm, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra điểm xét có thuộc khoảng xác định hàm số hay không” Câu Bảng 2: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Số lượng % 210 92.9% 2.7% Không trả lời 10 4.4% Tổng 226 100% Chiến lược S1 Không kiểm tra điều kiện định nghĩa Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện định nghĩa 210 (92.9%) chọn, đại diện kết 226 Chiến lược S1 nhiều học sinh sau đây: ( x )' , x ∈ [2 ; 4] 3 x , x ∈ [2 ; 4]   f’(x) =  x = 1 = g(x) , x ∈ (4 ; 6] ( )' , x ∈ (4 ; 6]   5 Kiểu tập hoàn toàn xa lạ với học sinh, không xuất SGK hành Đây lí làm cho 10 không trả lời Kết thống kê cho thấy chiến lược 226 S1 chiếm ưu S2, điều cho phép khẳng định, học sinh không qua tâm đến xuất khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm nên bỏ qua việc nhiệm vụ tính f’(4) thay vào việc vận dụng quy tắc hợp đồng “Nếu F(x) xác định hai công thức F (x) F (x) F1 , F nguyên hàm f , f , F R R R R R R R R R nguyên hàm hàm số f xác định hai công thức f (x) f (x)” R R R R Câu Bảng 3: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Chiến lược S1 Nguyên hàm xác định Chiến lược S2 Nguyên hàm không xác định Tổng Số lượng % 222 98.2% 1.8% 226 100% R R R Chiến lược S1 Vì F’(x) = (ln|x|)’ = 222 (98.2%) chọn, đại diện kết sau: 226 = f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) x Nên F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Sự vượt trội chiến lược S1 S2 cho thấy, có lượng đông học sinh không ý đến khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm nên thừa nhận F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Kết kiểm chứng quy tắc hợp đồng “Nếu đạo hàm hàm số F hàm số f F nguyên hàm hàm số f” Câu Bảng 4: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Số lượng % Chiến lược S1 Không kiểm tra điều kiện tồn tích phân Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện tồn tích phân Tổng Chiến lược S1 • • dx ∫2 x 214 94.7% 12 5.3% 226 100% 214 học sinh chọn với kết đại diện sau đây: 226 x |10 = = − 1 x 1 = ∫0 x ∫0 dx = x |0 = x |0 = dx Chiến lược S2 12 (5.3%) học sinh chọn phát hàm số f(x) = gián 214 x đoạn nên không thỏa điều kiện liên tục [0 ; 1] định nghĩa tích phân Sự vượt trội chiến lược S1 so với S2 cho thấy phần lớn học sinh bỏ qua việc kiểm tra điếu kiện hàm số liên tục đoạn có hai đầu mút hai cận tích phân dường em cho điều kiện người đề phải đảm bảo, em có trách nhiệm xác định nguyên hàm hàm số f(x) = x hàm F(x) = x (không cần biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) tập nào) phải đưa kết tính tích phân Phân tích cho cho thấy thực phép tính đạo hàm, ngun hàm tích phân, học sinh khơng quan tâm đến điều kiện hàm số xác định khoảng, đoạn dẫn đến nhiều tốn khơng thỏa mãn điều kiện định nghĩa phần lớn em kết 3.3 Kết luận thực nghiệm Khoảng, đoạn định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm tích phân giáo viên xem điều kiện ràng buộc thay tập hợp khác nên vai trị chúng thường khơng quan tâm đến Ngoài ra, điều kiện hàm số xác định khoảng, đoạn tốn tính đạo hàm, nguyên hàm tích phân giáo viên cho rằng, giả thiết tốn phải đảm bảo Các quan niệm ảnh hưởng khơng đến thái độ học sinh, từ kết thực nghiệm cho thấy, em khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số phải xác định khoảng đoạn theo điều kiên ràng buộc định nghĩa em có trách nhiệm đưa kết quả, dẫn đến nhiều tốn khơng tồn học sinh tính KẾT LUẬN Thực đề tài “Khái niệm khoảng, đoạn phép tính đạo hàm, ngun hàm tích phân”, chúng tơi đạt kết sau: Trong chương I, nghiên cứu vận hành khoảng, đoạn khái niệm, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, cụ thể: Trên R với mêtric thông thường, tập điểm giới hạn (bao đóng) khoảng (a, b) đoạn [a, b], tập điểm giới hạn (bao đóng) đoạn [a, b] nên bậc trung học phổ thông, việc xét giới hạn hàm số điểm thuộc khoảng, đoạn xác định hàm số ln đảm bảo điểm xét điểm giới hạn khoảng, đoạn mà khơng cần phải đưa vào khái niệm tôpô liên quan Các định nghĩa đạo hàm hàm số điểm, đạo hàm hàm số, đạo hàm phía, đạo hàm cấp cao xây dựng sở định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm nên khoảng, đoạn định nghĩa có vai trị tương tự định nghĩa giới hạn hàm số điểm Khi tính đạo hàm điểm thơng qua số gia ∆x, ∆y Các tác giả không giới thiệu ∆y ∆y hàm số Đồng thời khoảng xác định mối liên hệ với ∆x ∆x không đề cập Sự xuất khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm hình thành đặc trưng bản, nguyên hàm sai khác số Các phân hoạch định nghĩa tích phân xác định có chung đặc trưng, giá trị nhỏ giá trị lớn điểm chia hai đầu mút đoạn [a, b] đồng thời điểm lại thuộc đoạn Như vậy, phần tử đoạn [a, b] tham gia xây dựng nên định nghĩa tích phân xác định phần tử điểm chia phân hoạch Từ đó, cho thấy khơng thể thay đoạn định nghĩa tích phân xác định tập khác tập số thực R Trong chương hai, nghiên cứu vận hành “khoảng, đoạn” định nghĩa đạo hàm, ngun hàm tích phân chương trình Tốn phổ thơng Ở bậc THCS, hình biểu diễn khoảng nửa khoảng không bị chặn sử dụng để biểu diễn cho tập nghiệm bất phương trình tương đương với bất phương trình dạng Đến THPT, khoảng, đoạn định nghĩa tường minh Sau định nghĩa, tập hợp thường thay kí hiệu tương ứng Khái niệm giới hạn hàm số điểm định nghĩa thông qua giới hạn dãy số khoảng xuất khái niệm nhằm đảm bảo tồn dãy số (x n ) tập R R hợp (a ; b)\{ x } thỏa mãn điều kiện limx n = x R R R R R R Giả thiết hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b) điểm x thuộc khoảng (a ; b) R R định nghĩa đạo hàm hàm số điểm làm cho hàm số y = f ( x) − f ( x0 ) xác x − x0 định khoảng (a ; b)\{x } thỏa mãn điều kiện ràng buộc định nghĩa giới hạn hàm số R R điểm Tương sách M, SGK hành giới thiệu cách tính đạo hàm hàm số điểm thông qua số gia ∆x, ∆y không đề cập ∆y hàm số, khoảng ∆x xác định mối liên hệ với tác giả nhắc đến làm cho bước tính đạo hàm SGK cung cấp thao tác hình thức Việc bổ sung khái niệm hàm số đơn điệu đoạn nửa khoảng giúp cho việc chứng minh số bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứng minh vài định lí thuận tiện dễ dàng Tuy nhiên vai trò khoảng, đoạn số tốn khơng thể thay cho nhau, chẳng hạn: Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bao đóng khoảng mệnh đề đảo khơng Việc định nghĩa nguyên hàm hàm số khoảng đoạn nhằm đảm bảo nguyên hàm sai khác số Giả thiết hàm số liên tục liên tục đoạn cho biết tồn nguyên hàm Trong phương pháp đổi biến tích phân phần SGK hành, điều kiện phát biểu chung chung, chưa đảm bảo tồn nguyên hàm hàm số dấu tích phân Giả thiết f liên tục đoạn [a ; b] tốn dẫn đến khái niệm tích phân vừa làm cho đồ thị đường liền nét vừa đảm bảo tồn nguyên hàm hàm số f đoạn giả thiết hàm số liên tục phương pháp đổi biến tích phân phần cách tường minh, đảm bảo tích phân tồn Trong chương III, kết thực nghiệm cho phép hợp thức hai giả thuyết nghiên cứu đặt cuối chương II Hướng mở luận văn: Nghiên cứu lịch sử xuất kí hiệu khoảng, đoạn xây dựng đồ án didactic để tiếp cận với khái niệm khoảng, đoạn mà điều kiện khách quan, luận văn chưa thực TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) - Tôn Thân (Chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan-Lê Văn Hồng - Trương Công Thành - Nguyễn Hữu Thảo, Toán 8, tập 2, NXB Giáo dục G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích tốn học, NXB Đại Học Miền Nam Đặng Minh Hải (2009), Các tính chất hàm số mối liên hệ chung1trong dạy học Tốn phổ thơng, Luận văn thạc sỹ giáo dục học Trần văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Đào Ngọc Nam-Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, sách giáo viên Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Tiến Tài-Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Tiến Tài-Cấn Văn Tuất, sách giáo viên Giải tích 12, NXB Giáo dục Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ, Toán Cao cấp tập 1, NxbGD Trần Lương Công Khanh (2002), Nghiên cứu didactic khó khăn học sinh tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sỹ giáo dục học 10 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)-Nguyễn Xuân LiêmĐặng Hùng Thắng-Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục 11 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Nguyễn Xuân LiêmNguyễn Khắc Minh-Đặng Hùng Thắng, Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáodục 12 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Nguyễn Xuân LiêmNguyễn Khắc Minh-Đặng Hùng Thắng, sách giáo viên Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục 13 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Trần Phương DungNguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục 14 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Trần Phương DungNguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục 15 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12, NXB Giáo dục 16 Nguyễn Đình Trí (1995), Tốn học cao cấp, NXB Giáo dục 17 Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngơ Xn Sơn, Giải tích tốn học tập 1, NXB Giáo dục Tiếng Anh 18 Brian S Thomsn, Rethinking the Elementary Real Analysis Course PHỤ LỤC Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho giáo viên Thưa quý thầy, cơ, Nhằm góp ý cho sách giáo khoa, góp phần nâng cao chất lượng dạy học toán, mong q thầy, vui lịng dành chút thời gian trả lời câu hỏi Tổng số năm mà q thầy giảng dạy tốn lớp 11 12 (kể năm học này): Dưới lời giải học sinh Xin quý thầy, cô cho điểm (theo thang điểm 10) lời giải ghi ý kiến đề lời giải Câu Cho hàm số f: (0,+∞) → R, f(x)= x2 Tính giới hạn hàm số f x dần đến P P Bài làm lim f ( x) = lim x = x→0 x→0 Điểm: Ý kiến: Câu x Cho hàm số f(x) =  0 , | x | >1 Tính giới hạn hàm số f x dần đến ,x=0 Bài làm lim f ( x) = lim x = x→0 x→0 Điểm: Ý kiến: Câu Cho hàm số y=f(x) xác định (a ; b) có đạo hàm điểm x ∈ (a,b) f’(x )=1 Tính R R R R f’’(x ) R R Bài làm Vì f’(x )=1 nên f’’(x )=0 R R R R Điểm: Ý kiến: Câu Cho hai hàm số F(x) = ln|x| f(x) = x Em cho biết tính sai mệnh đề sau: F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Bài làm Mệnh đề F’(x) = f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) nên F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Điểm: Ý kiến: Câu Em cho biết tính sai mệnh đề sau: Nếu K khoảng nửa khoảng f hàm số liên tục K a, b hai số thuộc K F nguyên hàm hàm số f K b ∫ f ( x) dx = F(b) – F(a) a Bài làm Trong định nghĩa tích phân (Giải Tích 12 nâng cao, trang 148), K tập miễn f hàm số liên tục K a, b hai số thuộc K F nguyên hàm hàm số f K Vì ta có quyền thay K khoảng nửa khoảng tùy ý Điểm: Ý kiến: Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh Họ tên: Lớp Câu Cho hàm số f: N* → R, f(x) = x 1) Tính đạo hàm hàm số điểm x = R R 2) Tìm đạo hàm hàm số f 3) Tìm đạo hàm cấp hai hàm số f Câu  x , x ∈ [2 ; 4] 3 x , x ∈ [2 ; 4]   Cho hai hàm số y=f(x)=  x Và y = g(x) =  ( ( ] ] x x , ∈ ; , ∈ ;   5 5 Hàm số f nguyên hàm hàm số g [2 ; 6] không? Tại sao? Câu Cho hai hàm số F(x) = ln|x| f(x) = x Hãy giải thích tính (sai) mệnh đề sau đây: F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Câu Tính dx ∫2 x ... CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN 11 T T 1.1 Khái niệm khoảng, đoạn 11 T T 1.2 Khái niệm giới hạn hàm số 12 T T 1.3 Khái niệm đạo hàm. .. CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Trong chương chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn với đối tượng đạo hàm, ...BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN ĐỨC KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN TRONG PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: