Khái niệm khoảng, đoạn trong phép tính đạo hàm, nguyên hàm và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN ĐỨC KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN TRONG PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học môn Toán Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CÔNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Công Khanh, người tận tình hướng dẫn mặt nghiên cứu khoa học nhiều công sức, thời gian để giúp hoàn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức niềm say mê Didactic Toán Tôi xin trân trọng cám ơn: TS Alain Birebent nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc cần thiết cho Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập trường - Ban giám hiệu trường THPT Lộc Hưng với đồng nghiệp thuộc Bộ môn Toán tạo điều kiện thuận lợi cho lúc học tập trường ĐHSP TP.HCM - Ban Giám hiệu giáo viên trường THPT Trần Quốc Đại, THPT Nguyễn Trãi, THPT Lê Quý Đôn, THPT Quang Trung Tỉnh Tây Ninh nhiệt tình giúp đỡ xếp cho thực nghiệm Quý trường Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn lớp Didactic khóa 18 học tập, trải qua ngày vui buồn khó khăn khóa học Sau cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình tôi, động viên giúp đỡ mặt Nguyễn Văn Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1T T 1T T 1T T 1.Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát 2.Khung lý thuyết tham chiếu 3.Câu hỏi nghiên cứu 4.Phương pháp nghiên cứu 5.Cấu trúc luận văn 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC 1T T 1.1.Khái niệm khoảng, đoạn 1.2.Khái niệm giới hạn hàm số 1.3.Khái niệm đạo hàm 10 1.4.Khái niệm nguyên hàm 14 1.5.Khái niệm tích phân xác định 18 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T CHƯƠNG 2: SỰ VẬN HÀNH CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TOÁN PHỔ THÔNG 29 1T T 2.1.Tiến trình hình thành khái niệm khoảng, đoạn 30 2.1.1.Khái niệm khoảng, đoạn trước định nghĩa 30 2.1.2.Khái niệm khoảng, đoạn định nghĩa 31 2.2.Đạo hàm 32 2.2.1.Đạo hàm hàm số điểm 32 2.2.2.Đạo hàm hàm số khoảng 36 2.3.Đạo hàm cấp cao 50 2.5.Đạo hàm 65 2.5.1.Đạo hàm hàm số điểm 65 2.5.2.Đạo hàm hàm số khoảng 66 1T T 1T T 1T T 1T T 1T 1T 1T T 1T 1T 1T T 1T 1T 1T T CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 70 1T T 3.1.Thực nghiệm giáo viên 70 3.1.1.Giới thiệu thực nghiệm 70 3.1.2.Phân tích Posteriori 76 3.2.Thực nghiệm học sinh 79 3.2.1.Giới thiệu thực nghiệm 79 3.2.2.Phân tích apriori 80 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T KẾT LUẬN 89 PHỤ LỤC 91 1T T 1T T Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho giáo viên 91 Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh 93 1T 1T T 1T MỞ ĐẦU 1.Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm khoảng, đoạn tham gia tường minh ngầm ẩn vào việc xây dựng định nghĩa định lí chương trình Toán trung học phổ thông chưa quan tâm nghiên cứu mức phương diện học thuật lẫn thực hành giảng dạy Nghiên cứu xuất phát từ câu hỏi ban đầu sau: 1.1 Khái niệm khoảng, đoạn xuất Toán học nào, phục vụ cho kiểu toán gì? 1.2 Trong chương trình Toán trung học phổ thông hành, khái niệm khoảng, đoạn đưa vào nào, nhằm mục đích gì? 1.3 Việc không quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông? Giới hạn đề tài Trong phạm vi luận văn thạc sĩ, tự giới hạn đề tài việc nghiên cứu vận hành khái niệm khoảng, đoạn việc giảng dạy khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân trung học phổ thông 2.Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, đặt nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết didactic, cụ thể hợp đồng didactic lý thuyết nhân chủng học didactic 1.1 Trong lý thuyết nhân chủng học didactic, sử dụng khái niệm quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho biết đối tượng tri thức “khái niệm khoảng, đoạn” xuất nào, nhằm mục đích gì, phục vụ cho kiểu toán nào? Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Việc học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giúp thấy việc không quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn chủ thể hệ thống dạy học (giáo viên, học sinh) dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thông qua nghiên cứu tổ chức toán học, praxéologie Praxéologie khái niệm Yves Chevallard (1998) đưa mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T, τ, θ, Θ], T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ lý thuyết giải thích cho công nghệ θ 1.2 Hợp đồng didactic: Hợp đồng didactic mô hình hoá quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Thông thường, tập hợp quy tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức toán giảng dạy Hợp đồng didactic quy tắc giải mã hoạt động trình học tập thấu hiểu ý nghĩa định hướng cách ứng xử giáo viên học sinh –điều chỉnh chủ yếu phân tích didactic-khi giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát khuôn khổ hợp đồng Nghiên cứu hợp đồng didactic giúp tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt tình khác lạ nhằm mục đích phá vỡ hợp đồng để thấy vai trò khái niệm vận hành phát biểu mà diện 3.Câu hỏi nghiên cứu Sau đây, phát biểu lại câu hỏi ban đầu ánh sáng khung lý thuyết tham chiếu chọn Mục đích luận văn trả lời câu hỏi nghiên cứu phát biểu Q1 Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm khoảng, đoạn xuất nào? Trong định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm tích phân, chúng có vai trò phục vụ cho kiểu toán nào? Q2 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thể chế dạy học bậc THPT, khái niệm khoảng, đoạn sgk hành giới thiệu nào? Vai trò chúng xuất đạo hàm, nguyên hàm tích phân có tác giả tính đến không? Chúng phục vụ cho kiểu toán nào? Q3 Những quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh trình dạy-học khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân có tác động khái niệm khoảng, đoạn? Việc không hiểu mức đến vai trò khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông? 4.Phương pháp nghiên cứu Từ câu hỏi ban đầu, lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp, sở đặt câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 Đối với câu hỏi Q1, điều kiện tư liệu thời gian nên dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa tài liệu lịch sử toán Vì vậy, làm rõ mối quan hệ thể chế nhờ vào phân tích số định nghĩa xây dựng khái niệm khoảng, đoạn giáo trình toán dùng trường đại học Đây sở để đến kết luận nguyên nhân dẫn đến xuất khái niệm Kế đến việc phân tích vai trò chúng việc giải kiểu toán đạo hàm, nguyên hàm tích phân Kết thu cho phép đưa câu trả lời cho câu hỏi Q1 trình bày chương 1: Nghiên cứu khoa học luận khái niệm khoảng, đoạn Đối với câu hỏi Q2, tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế (giáo dục phổ thông) với đối tượng tri thức khái niệm khoảng, đoạn qua việc phân tích định nghĩa hình thành khái niệm khoảng, đoạn từ sách giáo khoa, sách giáo viên phân tích kiểu toán đạo hàm, nguyên hàm mà việc giải phải nhờ vào khái niệm khoảng, đoạn Việc làm giúp trả lời vai trò chúng có thể chế quan tâm không? Kết trình bày chương 2: Phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn Kết nghiên cứu hai chương cho phép rút hợp đồng didactic vận hành khoảng, đoạn toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các quy tắc hợp đồng phát biểu kiểm chứng thực nghiệm chương 3: Thực nghiệm 5.Cấu trúc luận văn Luận văn có cấu trúc chi tiết sau: Mở đầu Chương Nghiên cứu khoa học luận khái niệm khoảng, đoạn 1.1 Sơ lược xuất khái niệm khoảng, đoạn lịch sử Toán học (Các điểm cần nghiên cứu luận văn: Các khái niệm xuất để giải toán gì? Tiến triển chúng lịch sử Toán học? Mối liên hệ chúng với khái niệm số thực, việc xây dựng tập R tính chất tôpô đường thẳng thực?) 1.2 Vai trò khái niệm khoảng, đoạn việc giải số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm tích phân chương trình đại học 1.3 Kết luận chương Chương Phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn 2.1 Các khái niệm khoảng, đoạn chương trình Toán phổ thông 2.2 Sự can thiệp khoảng, đoạn số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm tích phân 2.3 Kết luận chương Chương Thực nghiệm 3.1 Tóm tắt kết chương đầu 3.2 Phát biểu giả thuyết nghiên cứu 3.3 Thực nghiệm giáo viên 3.4 Thực nghiệm học sinh 3.5 Kết luận chương Kết luận chung CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC Trên phương diện công cụ, khoảng, đoạn sử dụng để thay cho tập tập hợp số thực, chức chủ yếu nhằm làm đơn giản hóa cách viết Trên phương diện lý thuyết, khoảng, F P P đoạn trở nên quan trọng liên kết với khái niệm Trong chương này, nghiên cứu quan tâm đến tham gia khái niệm khoảng, đoạn việc xây dựng khái niệm giới hạn hàm số điểm, đạo hàm, nguyên hàm tích phân trình bày tập 1, giáo trình Giải tích toán học tác giả Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngô Xuân Sơn (kí hiệu M) Chúng chọn giáo trình thường sử dụng làm tài liệu giảng dạy học tập khoa Toán trường đại học sư phạm toàn quốc 1.1.Khái niệm khoảng, đoạn Trong lịch sử toán học, ý tưởng manh nha khoảng, đoạn xuất sớm hơn, giải bất phương trình hệ bất phương trình đại số Trong giáo trình, sau giới thiệu khái niệm tập hợp định nghĩa ánh xạ, số thực Các tác giả định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn sau: Cho hai số thực a b (a < b) Ta gọi tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a < x < b khoảng (a, b), tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a ≤ x ≤ b đoạn [a, b] [28] Tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a ≤ x < b (hay a < x ≤ b) gọi nửa đoạn (hoặc nửa khoảng) kí hiệu [a, b), (a, b] [29] Như vậy, để định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn đòi hỏi phải có khái niệm tập hợp tập số thực R Trong giáo trình này, tác giả đề cập đến khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn bị chặn ý tính bị chặn hàm số, tác giả lại nhận xét: Có hàm số không bị chặn khoảng bị chặn (hoặc dưới) khoảng Chẳng hạn hàm số y = không bị chặn khoảng (0, +∞) bị chặn khoảng x [40] Trong vài trường hợp, việc sử dụng ký hiệu khoảng, đoạn trở nên phức tạp việc sử dụng ký hiệu khác Có thể đơn cử ví dụ hai cách biểu diễn tập xác định hàm số y = tan x D =  π π   π   − + kπ , + kπ  D =  x ∈ R | x ≠ (2k + 1)  k∈Ζ Mặc dù không định nghĩa thức tác giả ngầm thừa nhận kí hiệu (0, +∞) khoảng Từ đây, cho thấy mục đích tác giả nhằm củng cố số định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn giới thiệu bậc phổ thông Việc xây dựng định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm phải đặt sở định nghĩa giới hạn hàm số điểm Vì vậy, nghiên cứu phân tích giới hạn hàm số điểm 1.2.Khái niệm giới hạn hàm số Để chuẩn bị cho định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm, giáo trình đưa vào khái niệm điểm giới hạn: Cho tập số thực E Số thực x gọi điểm giới hạn tập E lân cận (dù với bán kính ε > nhỏ R R nào) điểm x chứa điểm khác x thuộc E R R R R Định nghĩa đặc biệt hóa (với mêtric thông thường R) định nghĩa khái niệm điểm giới hạn không gian tôpô mà nhắc lại với khái niệm liên quan điểm dính, điểm cô lập Điểm dính tập hợp A không gian tôpô điểm mà lân cận có giao không rỗng với A Tập hợp điểm dính A tạo thành bao đóng A Điểm cô lập tập hợp A không gian tôpô điểm A mà có lân cận không chứa điểm khác A Điểm giới hạn tập hợp A không gian tôpô điểm x mà lân cận có điểm A khác x Như điểm giới hạn điểm dính mà điểm cô lập Sau định nghĩa khái niệm điểm giới hạn, giáo trình định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm: Cho hàm số f, xác định tập X ⊆ R, lấy giá trị R; x điểm giới hạn tập X R R Định nghĩa: Số l gọi giới hạn hàm số f x dần đến x với ε > 0, tồn δ > cho ta có R R |f(x) – l| < ε (tức l - ε < f(x) < l + ε) với x ∈ X mà < |x – x | < δ(ε) (tức x - δ < x < x +δ; x ≠ x ) R R R R R R R R Rõ ràng để xây dựng định nghĩa giới hạn hàm số x dần đến x , điều kiện tiên x R R R R điểm giới hạn tập X Vì tập hợp điểm giới hạn (a, b) [a, b] nên bậc trung học phổ thông, việc xét giới hạn hàm số điểm thuộc khoảng, đoạn xác định hàm số thỏa điều kiện tiên mà không cần phải đưa vào khái niệm tôpô liên quan Để thấy vai trò ngầm ẩn khái niệm khoảng, đoạn việc xét giới hạn hàm số điểm, xét hai ví dụ: Cho hàm số f : {-1} ∪ (0, 1) → R x  f (x) = x P Dù -1∈D f , ta không xét giới hạn f -1 -1 điểm giới hạn D f R R R R Cho hàm số g: (0, 1) → R x  g (x) = x P Dù 0∉D g điểm giới hạn D g nên ta xét giới hạn g R R R R Ta thấy biểu thức giải tích f g giống Hai hàm số f g khác tập xác định D f khoảng nên tồn điểm D f mà ta xét giới R R R R hạn f D g khoảng nên xét giới hạn g điểm thuộc D g R R Trên R với mêtric thông thường, tập điểm giới hạn (bao đóng) khoảng (a, b) đoạn [a, b], tập điểm giới hạn (bao đóng) đoạn [a, b] Mặc dù vai trò khoảng định nghĩa giới hạn hàm số thể cách ngầm ẩn giá trị nghĩ bàn Nhờ vào khoảng mà ta nhận biết đâu điểm giới hạn tập xác định hàm số, điều kiện thiết yếu trước tính giới hạn đồng thời tồn x ∈ X mà < |x – x | < δ(ε) sở cho việc kiểm tra f(x) thỏa mãn |f(x) – l| < ε Có R R thể khẳng định định nghĩa giới hạn hàm số chưa đề cập đến khái niệm khoảng tác động định khả tồn định nghĩa Như vậy, giáo trình xét giới hạn hàm số f điểm x điểm giới hạn tập xác R R định X Điều mặt không đòi hỏi x ∈ X, mặt khác đảm bảo X có chứa điểm nằm R R gần x “một cách tùy ý” (với mêtric thông thường R) Khi đó, giới hạn l f x giá trị “gần” R R R R f(x) x tiến “gần” đến x R R 1.3.Khái niệm đạo hàm Trước định nghĩa đạo hàm hàm số điểm, tác giả trình bày hai kết nghiên cứu trang 139 → 140: Tìm cách tính vận tốc tức thời Ta nhận thấy khoảng thời gian t – t bé vận tốc trung bình: R v tb = R R R f (t ) − f (t0 ) t − t0 cho ta hiểu biết xác nhanh chậm chuyển động thời điểm Do nhận xét tự nhiên ta đến định nghĩa sau vận tốc tức thời chuyển động (không đều) Ta coi giới hạn lim t →t f (t ) − f (t0 ) t −t (3) vận tốc tức thời chuyển động thẳng s = f(t) thời điểm t Nếu kí hiệu t-t = ∆t, f(t) – f(t ) = ∆f = ∆s R R R R R R giới hạn (3) viết lim ∆t → ∆s ∆t (4) Tìm cách tính tỉ khối địa phương không đồng chất Ta chọn đầu mút (chẳng hạn A) làm gốc quy chiếu O lấy chiều từ đầu mút đến đầu mút (từ A đến B) làm chiều dương điểm hoàn toàn xác định hoành độ điểm đó; lúc khối lượng m đoạn OM ( OM = x) hàm số theo x: m = f(x) Giả sử muốn xét phân bố vật chất điểm x Ta nhận thấy chiều dài x – x bé tỉ khối trung R R R R bình f ( x) − f ( x0 ) x − x0 cho ta biết xác phân bố vật chất lân cận điểm x Vì tự nhiên ta đưa định R R nghĩa: Ta coi giới hạn lim x − x0 f ( x) − f ( x0 ) x − x0 (6) tỉ khối địa phương thẳng AB điểm x Tỉ số (6) viết R lim ∆x → R ∆f ∆x (7) kí hiệu ∆f = f(x) – f(x ); ∆x = x – x R R R R Nguyên nhân dẫn đến định nghĩa đạo hàm tác giả giải thích: Từ (4) (7) ta thấy việc tính vận tốc tức thời chuyển động thẳng không đều, tính tỉ khối địa phương thẳng không đồng chất đưa đến toán tính giới hạn tỉ số số gia hàm số số gia đối số Do để giải đồng thời hai toán (và tất toán tương tự) ta đưa khái niệm đạo hàm đây: Đạo hàm hàm số điểm Giả sử y = f(x) hàm số xác định khoảng (a, b) x điểm tùy ý khoảng Ta thành lập R R tỉ số f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) x − x0 (x + ∆x ∈ (a, b)) R R (1) [141] Nếu tỉ số có giới hạn (hữu hạn) ∆x → ta nói hàm số f(x) có đạo hàm x viết R R f’(x ) = lim R R ∆x → ∆y f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) = lim ∆ x → ∆x x − x0 (2) Quá trình hình thành định nghĩa cho thấy, có nhiều toán dẫn đến kết phải tính giới hạn lim x − x0 f ( x) − f ( x0 ) Sau đặt ∆y = f(x) – f(x ); ∆x = x – x tác giả thừa nhận hai x − x0 R giới hạn hữu hạn lim ∆x → R R R f ( x) − f ( x0 ) f ( x0 + ∆x) − f ( x0 ) , lim tồn nhau, ta chứng x − x0 x − x0 x − x0 minh mối quan hệ định nghĩa giới hạn hàm số điểm Vì thế, đạo hàm hàm số f ( x) − f ( x0 ) Theo x − x0 điểm định nghĩa thông qua tồn hữu hạn giới hạn lim x − x0 cách này, điều kiện hàm số f(x) xác định khoảng (a, b) x ∈ (a, b) có hai chức vừa đảm R bảo biểu thức R f ( x) − f ( x0 ) xác định (a ; b)\{x } vừa đảm bảo x điểm giới hạn khoảng (a ; x − x0 R R R R b)\{x } ∀ δ > 0, ∃ x ∈ (a, b) cho < x - x < δ Rõ ràng thay khoảng (a, b) tâp R R R R R định nghĩa đạo hàm hàm số điểm không thành lập, chẳng hạn xét đạo hàm điểm x thuộc N hàm số R R g: N → R x  g (x) = x P điểm điểm giới hạn N dẫn đến không xét giới hạn lim x − x0 g ( x) − g ( x0 ) x − x0 ∆y ∆y , tác giả thừa nhận hàm số, kí hiệu ∆x = x ∆x → ∆x ∆x Trở lại giới hạn lim – x , ∆x → cho biết ∆x biến độc lập hàm số Ngoài thích x + ∆x ∈ (a, b), tác giả R R R R không đề cập tới tập xác định hàm số mối quan hệ tập số Rõ ràng điều kiện quan trọng trước xét tồn đạo hàm như: hàm số xác định khoảng phải thuộc khoảng không tác giả kiểm tra cách chặt chẽ Theo chúng tôi, khoảng xác định hàm số ∆y nhờ vào khoảng xác định hàm số f, giả sử hàm số ∆x f xác định khoảng (a, b), x ∈ (a, b) dễ dàng chứng minh khoảng (a - x , b - x ) khoảng R xác định hàm số R R ∆y thuộc khoảng (a - x , b - x ) ∆x R R R R Theo sau định nghĩa đạo hàm hàm số điểm, tác giả trình bày: R R R Định nghĩa đạo hàm hàm số Nhận định tác giả trước trình bày định nghĩa: Rõ ràng giá trị giới hạn (2) thụ thuộc vào x f’ hàm số Miền xác định hàm số f’ tập hợp R R điểm x mà tồn giới hạn (2) Hàm số f’ gọi đạo hàm hàm số f số f’(x ) gọi đạo hàm hàm số f điểm x = x R R R R kí hiệu sau: ' f’(x ) = [ f ( x)]x = x0 R [141] R Theo yếu tố quan trọng để f’ xác định hàm số tính giá trị suy từ tính giới hạn Để hàm số f’ tồn hàm số f trước tiên phải thỏa điều kiện xác định khoảng tập xác định hàm số f’ tập tập số thực R Tương tự giới hạn hàm số, đạo hàm đề cập đến đạo hàm bên trái đạo hàm bên phải: Đạo hàm phía Giả sử hàm số f(x) xác định với x: x ≤ x < b Nếu tồn giới hạn phía R f +' ( x0 ) = lim h → +0 R f ( x0 + h) − f ( x0 ) h ta nói hàm f cho có đạo hàm bên phải điểm x f +' ( x0 ) kí hiệu f’(x + 0) R R R R Tương tự, giả sử hàm f(x) xác định nửa khoảng a < x ≤ x tồn giới hạn bên trái R f −' ( x0 ) = lim h → −0 R f ( x0 + h) − f ( x0 ) h ' ta nói hàm f cho có đạo hàm bên trái điểm x f − ( x0 ) kí hiệu f’(x - 0) R R R R [148] Trước sau định nghĩa, tác giả không giới thiệu biến h, nhờ kí hiệu h → ±0 ngầm cho biết h biến độc lập hàm số y = f ( x0 + h) − f ( x0 ) Theo định nghĩa, hàm h số xác định tập tập số thực không tồn đạo hàm (chẳng hạn, hàm số xác định tập số tự nhiên N không tồn đạo hàm) nên vấn đề quan tâm trước xét tồn đạo hàm hàm số y = f ( x0 + h) − f ( x0 ) xác định tập nào? có thuộc tập không? h Lại không thấy tác giả đề cập Đạo hàm hàm số sở để xây dựng tiếp định nghĩa đạo hàm cấp cao sau: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) khoảng (a, b) Ta biết f’(x) hàm số x, có đạo hàm Nếu y’ = f’(x) có đạo hàm x ta kí hiệu đạo hàm y’’ = f’’(x) gọi đạo hàm cấp hai hàm số f(x) Tiếp tục lí luận ta thu khoảng (a, b) hàm số f(x), f’(x), f’’(x),…, f(n)(x),… P P f(n)(x) với n ≥ đạo hàm hàm f(n-1)(x) Hàm số f(n)(x) gọi đạo hàm cấp n hàm số f(x) P P P P P P [157] Định nghĩa cho biết hàm số f(x) xác định khoảng (a, b) xác định hàm số f’(x), f’’(x),…, f(n)(x),…Nhưng hàm số không xác định (a, b) Theo định nghĩa đạo P P hàm hàm số, tập xác định hàm số f’(x) tập khoảng (a, b) để xét đạo hàm cấp hai tập xác định hàm số f’(x) phải khoảng khoảng (a, b) Bằng quy nạp, để xét đạo hàm cấp n hàm số f’(x), f’’(x),…, f(n-1)(x) phải xác định khoảng Giả sử (a i , b i ) tập xác P P R R R R định hàm số f(i)(x) (i = 1, n − ) (a i+1 , b i+1 ) ⊂ (a i , b i ) (i = 1, n − ) P P R R R R R R R R Tóm lại, yếu tố quan trọng xây dựng nên định nghĩa thiết phải kể đến khái niệm giới hạn hàm số điểm Vì khoảng xuất giả thiết định nghĩa có vai trò tương tự khái niệm giới hạn, với mục đích nhằm đảm bảo điểm thuộc khoảng điểm giới hạn khoảng 1.4.Khái niệm nguyên hàm Để giới thiệu khái niệm nguyên hàm tích phân không xác định, tác giả mở đầu toán sau đây: Trong học, cho biết vận tốc v = v(t) chuyển động thẳng vật taị thời điểm t nào, tìm quy luật chuyển động vật đó, nghĩa tìm liên hệ quãng đường với thời gian Vì vận tốc v = v(t) đạo hàm hàm số s = f(t), biểu thị quy luật chuyển động, biết đạo hàm f’(t) = v(t) hàm số chưa biết f(t), ta phải tìm hàm số Bài toán ngược phép tính vi phân nêu nội dung phép tính tích phân [211] Khái niệm nguyên hàm tích phân không xác định Định nghĩa Cho hàm số f xác định khoảng (a, b) hàm số F gọi nguyên hàm f F xác định khả vi khoảng (a, b) F’(x) = f(x) với ∀x ∈ (a, b) Nếu hàm số f xác định đoạn [a, b] F gọi nguyên hàm f F xác định [a, b], khả vi (a, b) F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b) F’ + (a) = f(a) R R F’ - (b) = f(b) R R Khái niệm tích phân không xác định xây dựng sở định lí : Định lí Nếu hàm số f có nguyên hàm F tập hợp {F + C : C ∈ R} họ tất nguyên hàm f Người ta gọi họ tất nguyên hàm f tích phân không xác định hàm số kí hiệu : ∫f(x)dx Vậy F nguyên hàm hàm số f thì: ∫f(x)dx = F(x) + C [212] Rõ ràng nguyên hàm hàm số thực chất phần tử tích phân không xác định hàm số khẳng định ∫f(x)dx = F(x) + C ngầm đồng nguyên hàm tích phân không xác định Định nghĩa cho thấy, hàm số F nguyên hàm hàm số (a, b) (hay [a, b]) tất nhiên hàm số f phải thỏa mãn điều kiện F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b) (hay [a, b]) Khi hàm số F xác định (a, b) (hay [a, b]) phần tử thuộc (a, b) (hay [a, b]) đóng vai trò điểm giới hạn (a, b) (hay [a, b]) Đây yếu tố quan trọng trước xét đạo hàm điểm (a, b) (hay [a, b]) Chúng ta biết: Hai hàm số f g gọi tập E (và kí hiệu f = g) Chúng xác định E; Với x thuộc E ta có f(x) = g(x) [36] Như định nghĩa nguyên hàm số xây dựng dựa khái niệm hai hàm số Một câu hỏi đặt ra: Tại tác giả không quy định F’ = f tập R mà lại ràng buộc F’ = f khoảng (a, b) (hoặc đoạn [a, b]) Để trả lời câu hỏi xét hàm số sau: f(x) = x3 g(x) = x2 + 3x P P h: {-1; 3} → R x  h(x) = x Rõ ràng f’(x) = h(x) {-1; 3} g’(x) = h(x) {-1; 3} Nếu định nghĩa nguyên hàm mở rộng cho tập R hàm số h có vô số nguyên hàm, đơn cử hai hàm số f g Điều đáng quan tâm hàm số chẳng có mối liên hệ đặc biệt Ngược lại, định nghĩa nguyên hàm đóng khung khoảng, đoạn người ta chứng minh hàm số sai khác số Khoảng, đoạn định nghĩa làm cho nguyên hàm hàm số có mối liên hệ đặc biệt sai khác số Trước định nghĩa nguyên hàm, tác giả cho biết việc nghiên cứu nguyên hàm phục vụ cho nhiều mục đích nghiên cứu có học vật lí Sự đời khái niệm nguyên hàm nói cụ thể nguyên hàm khoảng (hay đoạn) kết hợp với giả thiết liên tục khoảng (đoạn) làm cho việc tính tính phân xác định trở nên dễ dàng nhờ công thức Newton-Leibniz Mối quan hệ đạo hàm nguyên hàm thể qua thể qua bảng công thức đây: STT Đạo hàm Nguyên hàm (C)’ = ∫0dx = C (x)’ = ∫1 dx = ∫ dx = x +C (xα)’ = α xα-1 P P ∫ xα dx = P P P x α +1 + C, α ≠ -1 α +1 (lnx )’ = x ∫ dx dx = ∫ = lnx + C x x (arctgx)’ = 1 + x2 ∫ dx dx = ∫ = arctgx + C 1+ x + x2 (arcctgx)’ = (arcsinx)’ = 1 + x2 (arccosx)’ = P − x2 dx = ∫ dx − x2 1− x (ax)’ = ax lna P ∫ − x2 P = - arcctgx + C P = - arccosx +C ∫ ax dx = P P ax +C ln a (ex)’ = ex ∫ ex dx = ex + C (cosx)’ = - sinx ∫ sinx dx = - cosx + C (sinx)’ = cosx ∫ cosx dx = sinx + C 10 (ctgx)’ = - 11 (tgx)’ = 12 (chx)’ = shx ∫ shx dx = chx + C 13 (shx)’ = chx ∫ chx dx = shx + C P P P P sin x cos x = arcsinx +C P P P ∫ dx dx = ∫ = - ctgx + C sin x sin x ∫ dx dx = ∫ = tgx + C cos x cos x 14 (cthx)’ = - 15 (thx)’ = sh x ch 2x ∫ dx dx = ∫ = - cthx + C sh x sh x ∫ dx dx = ∫ = thx + C ch x ch x Các công thức tính nguyên hàm bảng có nhờ suy ngược từ công thức lấy đạo hàm tương ứng Ở chưa có can thiệp tính chất liên tục khoảng (hay đoạn) hàm dấu tích phân Sau giới thiệu công thức tính nguyên hàm, tác giả phát biểu: Công thức với đoạn (khoảng) không chứa điểm Thật vậy, x > [lnx]’ = Nếu x < ∫ dx ∫ = lnx + C x x dx = ln[-x] + C x Kết hợp hai công thức ta công thức [215] Theo tác giả, công thức với khoảng, đoạn không chứa điểm Vì (0, +∞) (hay (-∞, 0)) nguyên hàm khoảng chưa định nghĩa, giáo trình tác giả đề cập đến khái niệm nguyên hàm hàm số đoạn khoảng bị chặn Phát biểu cho thấy, công thức lấy nguyên hàm không kèm theo điều kiện hợp thức vào định nghĩa buộc phải ngầm hiểu, công thức xác định khoảng, đoạn, cấu thành tập xác định hàm số cần lấy nguyên hàm hợp chúng không tạo thành khoảng, đoạn Để nhận biết tồn nguyên hàm tác giả giới thiệu thêm tính chất: Mọi hàm số liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm đoạn [212] Tính chất tác giả chứng minh tích phân xác định Ngoài công thức xác định nguyên hàm cho bảng Ở trang 216 → 217, tác giả giới thiệu hai quy tắc hai phương pháp tìm nguyên hàm Các quy tắc đơn giản tích phân 1) ∫k f(x) dx = k∫f(x) dx 2) ∫[f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx +∫ g(x) dx Lưu ý: Các tác giả không đề cập đến điều kiện hàm số Phương pháp lấy tích phân Phương pháp đổi biến số Giả sừ g, w, w’ hàm số liên tục Khi ta có ∫g(u)du = G(u) + C ∫g(w(x))w’(x)dx = G(w(x)) + C Phương pháp tích phân phần Giả sử u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục Ta biết d(uv) = udv + vdu hay udv = d(uv) Tích phân hai vế đẳng thức ta được: ∫udv =uv - ∫vdu Hàm số liên tục cách nói chung cho trường hợp hàm số liên tục điểm, hàm số liên tục khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn Vì thế, giả thiết g, w, w’ hàm số liên tục phương pháp đổi biến số giả thiết u, v hai hàm số có đạo hàm liên tục phương pháp tích phân phần chưa đảm bảo tồn nguyên hàm hàm số dấu tích phân trường hợp hàm liên tục điểm, khoảng, nửa khoảng hay nửa đoạn Vì tích phân xác định, tác giả chứng minh hàm số liên tục đoạn [a, b] có nguyên hàm đoạn hàm số liên tục điểm không thấy tác giả đề cập Vậy việc hàm số liên tục tập điều kiện cần thiết để nhận biết hàm số có tồn nguyên hàm tập hay không 1.5.Khái niệm tích phân xác định Chúng xin tóm lược hai kết nghiên cứu trang 237 trước khi định nghĩa tích phân Bài toán Tìm diện tích hình thang cong Ta gọi đường cong liên tục, tập điểm M(x, y) thỏa mãn hệ phương trình  x = ϕ (t ) (α ≤ t ≤β)   y = ψ (t ) Trong ϕ(t) ψ (t) hàm số liên tục đoạn [α, β] Đường cong liên tục C gọi đường cong Gióccđăng với hai điểm t t mà α ≤ t tồn δ > cho với phép phân hoạch π mà d(π) < δ với cách lấy điểm ξ k ta có |S* - S| < ε R R Do đó, diện tích hình thang cong định nghĩa sau: Số S gọi diện tích hình thang cong cho ứng với số ε > tồn δ > cho với phép phân hoạch π mà d(π) < δ với cách chọn điểm ξ k ta có: R n | ∑ f (ξ k =1 k R )( xk − x k −1) - S| < ε Bài toán Tính công lực biến thiên Giả sử chất điểm chuyển động trục ox tác dụng lực P phương với ox Nếu lực P không đổi công W đoạn có độ dài s W = P.s Bây giả sử chất điểm chuyển động tác dụng lực biến thiên theo vị trí chất điểm; lúc lực P = P(x) hàm số hoành độ x chất điểm di chuyển từ điểm a đến điểm b Vì ta chưa có khái niệm công lực biến thiên ta phải giải hai vấn đề: định nghĩa cong lực biến thiên; tìm cách tính công Ta giải vấn đề thứ Lại dùng phép phân hoạch π chia đoạn [a, b] thành đoạn nhỏ điểm: a = x < x < x < …< x n = b R R R R R R R R đoạn [x k-1 , x k ] lại lấy điểm ξ k Lực tác dụng lên chất điểm ξ k P(ξ k ) Nếu giữ nguyên giá trị R R R R R R R R R R suốt chiều dài đoạn [x k-1 , x k ] công đoạn R R R R P(ξ k ) (x k – x k-1 ) R R R R R (4) R Nếu đoạn [x k-1 , x k ] nhỏ ta xem lực P(x) thay đổi đoạn giá trị R R R R điểm khác đoạn sai so với P(ξ k ) R R Từ tự nhiên ta có ý nghĩ coi P(ξ k ) (x k – x k-1 ) R R R R R (5) R giá trị gần công wk lực biến thiên P(x) sinh di chuyển đoạn [x k-1 , x k ] nghĩa R R R R R R wk ≈ P(ξ k ) (x k – x k-1 ) R R R R R R R R kí hiệu công P(x) toàn đoạn [a, b] W thì: n W= ∑w k =1 k ≈ P(ξ k ) (x k – x k-1 ) R R R R R (6) R Ta nhận xét đoạn [x k-1 , x k ] nhỏ P(x) với x ∈ [x k-1 , x k ] sai khác so với P(ξ k ) ξ k ∈ R R R R R R R R R R R R [x k-1 , x k ] R R R R Ta đến định nghĩa sau Công W lực biến thiên P(x) đoạn [a, b] giới hạn W = lim d (π ) → ∑ P(ξ )(x − x ) k k k −1 d(π) = max ( xk − xk −1 ) k Nói cách khác, số W gọi cong lực biến thiên P(x) [a, b] với ε > nhỏ tùy ý, có số δ > cho với mõi phân hoạch π đoạn [a, b] thỏa mãn điều kiện d(π) < δ với cách chọn điểm ξ k ta R R có: n | ∑ p(ξ k =1 k )( xk − x k −1) - W| < ε Nhận xét tác giả Qua hai toán ta thấy có nhiều toán thuộc lĩnh vực khác dẫn đến việc tìm giới hạn tổng dạng [...]... v(t) chính là đạo hàm của hàm số s = f(t), biểu thị quy luật chuyển động, cho nên ở đây đã biết đạo hàm f’(t) = v(t) của hàm số chưa biết f(t), ta phải tìm hàm số đó Bài toán ngược của phép tính vi phân nêu trên là nội dung cơ bản của phép tính tích phân [211] Khái niệm nguyên hàm và tích phân không xác định Định nghĩa Cho hàm số f xác định trong khoảng (a, b) hàm số F được gọi là nguyên hàm của f nếu... cả các nguyên hàm của f Người ta gọi họ tất cả các nguyên hàm của f là tích phân không xác định của hàm số này và kí hiệu là : ∫f(x)dx Vậy nếu F là một trong các nguyên hàm của hàm số f thì: ∫f(x)dx = F(x) + C [212] Rõ ràng nguyên hàm của một hàm số thực chất là một phần tử của tích phân không xác định của hàm số đó nhưng khẳng định ∫f(x)dx = F(x) + C đã ngầm đồng nhất giữa nguyên hàm và tích phân không... mỗi khoảng, đoạn, cấu thành tập xác định của hàm số cần lấy nguyên hàm nếu như hợp của chúng không tạo thành một khoảng, hoặc một đoạn Để nhận biết sự tồn tại của nguyên hàm các tác giả còn giới thiệu thêm một tính chất: Mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó [212] Tính chất này được các tác giả chứng minh trong tích phân xác định Ngoài các công thức xác định nguyên hàm. .. hàm số có đạo hàm liên tục trong phương pháp tích phân từng phần đều chưa đảm bảo sự tồn tại nguyên hàm của các hàm số dưới dấu tích phân trong trường hợp các hàm này chỉ liên tục tại một điểm, trên một khoảng, nửa khoảng hay nửa đoạn Vì trong tích phân xác định, các tác giả chỉ chứng minh được mọi hàm số liên tục trên đoạn [a, b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó còn những hàm số chỉ liên tục tại một... Lại không thấy các tác giả đề cập Đạo hàm của hàm số còn là cơ sở để xây dựng tiếp định nghĩa đạo hàm cấp cao như sau: Giả sử hàm số y = f(x) có đạo hàm y’ = f’(x) trong khoảng (a, b) Ta biết rằng f’(x) cũng là một hàm số của x, do đó nó cũng có thể có đạo hàm Nếu y’ = f’(x) có đạo hàm tại x ta sẽ kí hiệu đạo hàm của nó là y’’ = f’’(x) và gọi là đạo hàm cấp hai của hàm số f(x) Tiếp tục lí luận như thế... được là các hàm số này chỉ sai khác nhau một hằng số Khoảng, đoạn trong định nghĩa làm cho các nguyên hàm của hàm số có mối liên hệ đặc biệt là chỉ sai khác một hằng số Trước khi định nghĩa nguyên hàm, các tác giả cho biết việc nghiên cứu nguyên hàm phục vụ cho nhiều mục đích nghiên cứu trong đó có cơ học vật lí Sự ra đời của khái niệm nguyên hàm nói cụ thể là nguyên hàm trên khoảng (hay đoạn) kết hợp... phải kể đến là khái niệm giới hạn hàm số tại một điểm Vì thế khoảng xuất hiện trong giả thiết của các định nghĩa này cũng có vai trò tương tự như trong khái niệm giới hạn, với mục đích nhằm đảm bảo mọi điểm thuộc khoảng đều là điểm giới hạn của khoảng đó 1.4 .Khái niệm nguyên hàm Để giới thiệu khái niệm nguyên hàm và tích phân không xác định, các tác giả đã mở đầu bằng bài toán sau đây: Trong cơ học,... hai hàm số có đạo hàm liên tục Ta đã biết d(uv) = udv + vdu hay udv = d(uv) Tích phân hai vế của đẳng thức trên ta được: ∫udv =uv - ∫vdu Hàm số liên tục là cách nói chung cho các trường hợp hàm số liên tục tại một điểm, hàm số liên tục trên khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn Vì thế, giả thiết g, w, w’ là những hàm số liên tục trong phương pháp đổi biến số cũng như giả thiết u, v là hai hàm số có đạo hàm. .. đều, tính tỉ khối địa phương của một thanh thẳng không đồng chất đưa đến cùng một bài toán là tính giới hạn của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số Do vậy để giải quyết đồng thời hai bài toán trên (và tất cả những bài toán tương tự) ta đưa ra khái niệm đạo hàm dưới đây: Đạo hàm của hàm số tại một điểm Giả sử y = f(x) là một hàm số xác định trong khoảng (a, b) và x 0 là một điểm tùy ý trong. .. nếu F xác định và khả vi trong khoảng (a, b) và F’(x) = f(x) với ∀x ∈ (a, b) Nếu hàm số f xác định trên đoạn [a, b] thì F sẽ được gọi là nguyên hàm của f nếu F xác định trên [a, b], khả vi trong (a, b) và F’(x) = f(x) ∀x ∈ (a, b) F’ + (a) = f(a) R R F’ - (b) = f(b) R R Khái niệm tích phân không xác định được xây dựng trên cơ sở của định lí dưới đây : Định lí Nếu hàm số f có một nguyên hàm F thì tập