Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng kể đến hiệu ứng p ∆ bằng phương pháp tích phân trực tiếp dạng sai phân

i ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI VIỆN KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ VIỆT NAM TRƢỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC TRẦN THANH HẢI PHÂN TÍCH ĐỘNG LỰC HỌC KẾT CẤU KHUNG PHẲNG KỂ ĐẾN HIỆU ỨNG P- BẰNG PHƢƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TRỰC TIẾP DẠNG SAI PHÂN Ngành: Cơ học Chuyên ngành: Cơ học vật thể rắn Mã số: 60 44 21 LUẬN VĂN THẠC SĨ NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: Ts Đào Nhƣ Mai Hà Nội – 2008 MỤC LỤC Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải ii MỤC LỤC i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iv DANH MỤC CÁC BẢNG vi DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vii MỞ ĐẦU Chương TỔNG QUAN 1.1 Tổng quan nghiên cứu phi tuyến hình học 1.2 Phân tích ảnh hưởng lực dọc trục 1.3 Hiệu ứng P-Delta Kết luận chương 1: Chương XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ 10 2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 10 2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ 10 2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) 13 2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0)Error! Bookma 2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng biến dạng trượt Error! Bookmark not defined 2.1.5 Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử dầm-cột hệ tọa độ địa phương hệ tọa độ tổng thể Error! Bookmark not defined 2.2 Ma trận khối lượng Error! Bookmark not defined Kết luận chương Error! Bookmark not defined Chương THUẬT TOÁN NEWMARK DẠNG SAI PHÂN SỬ DỤNG TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌCError! Bookmark not defined 3.1 Phương pháp Newmark Error! Bookmark not defined 3.1.1 Giới thiệu chung phương pháp Newmark họ Error! Bookmark not de 3.1.2 Phương pháp Newmark dạng sai phân (gia số tăng)Error! Bookmark not 3.1.3 Sơ đồ thuật toán Newmark ( = 1/4  = 1/2) bỏ qua hệ số cản Error! Bookmark not defined 3.1.4 Lựa chọn bước tích phân Error! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải iii 3.2 Phương pháp lặp Newton-Raphson Error! Bookmark not defined 3.2.1 Cơ sở chung Error! Bookmark not defined 3.2.2 Trường hợp cản, lực không phụ thuộc vào chuyển vị Error! Bookmark not defined 3.2.3 Nhận xét chung Error! Bookmark not defined 3.2.4 Tiêu chuẩn hội tụ Error! Bookmark not defined 3.3 Qui trình chương trình tính toán Error! Bookmark not defined 3.3.1 Phương pháp sai phân Error! Bookmark not defined 3.3.2 Phương pháp lặp Error! Bookmark not defined Kết luận chương Error! Bookmark not defined Chương - KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN Error! Bookmark not defined 4.1 Ví dụ cột thẳng Error! Bookmark not defined 4.2 Ví dụ phân tích động chân đế giàn tự nângError! Bookmark not defined 4.2.1 Mô hình kết cấu Error! Bookmark not defined 4.2.2 Tải trọng sóng Error! Bookmark not defined 4.2.3 Kết phân tích Error! Bookmark not defined Kết luận chương Error! Bookmark not defined KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Error! Bookmark not defined Danh mục công trình tác giả Error! Bookmark not defined TÀI LIỆU THAM KHẢO 15 PHỤ LỤC Error! Bookmark not defined PL1 Một số hàm Matlab Error! Bookmark not defined PL2 Một số hàm Maple – tính biểu thức dạng chữ symbolicError! Bookmark PL3 Kết tính toán cho giàn tự nâng Error! Bookmark not defined PL4 Chương trình viết Matlab cho ví dụ cộtError! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải iv DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT A – Diện tích mặt cắt ngang phần tử A1, A2, A3, A4 – Các số tích phân B – Ma trận chuyển đổi c1, c2 – Các hệ số uốn dầm-cột cb – Tham số bowing E – Mô đun đàn hồi F, F – Véc tơ lực nút phần tử hệ tọa độ tổng thể địa phương G – Ma trận độ cứng kể đến ảnh hưởng M1, M2, Q G1, G2 – Hàm xác định theo công thức (2.50) (2.51) g(1), g(2), g(3) – Ma trận xác định H – Độ cứng mở rộng I – Mô men quán tính hình học bậc i, j – Kí hiệu nút i, nút j  – Khối lượng riêng vật liệu phần tử kt, Kt – Lần lượt ma trận độ cứng địa phương, tổng thể L0 – Chiều dài ban đầu phần tử dầm-cột L – Chiều dài phần tử dầm cột lúc biến dạng Mc, ML – Ma trận khối lượng phần tử m, n – Kí hiệu cosin, sin phương M1, M2 – Mômen uốn nút 1, 2 – Góc quay tương đối nút Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải v R – Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang tổng thể Q – Lực dọc trục phần tử dầm cột QE – Tải Euler buckling q = Q/QE – Tỉ số tải dọc trục tải Euler X, Y – Hệ tọa độ tổng thể x, y – Hệ tọa độ địa phương v, v – Lần lượt véc tơ chuyển vị tổng thể, địa phương  = u/L0 – Tỉ số biến dạng u – Biến dạng dọc trục (chịu nén) Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải vi DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng 3.1 Tổng quan thuật toán họ Newmark-Error! Bookmark not defined Bảng 3.2 Sơ đồ khối tính toán dựa mô hình NewmarkError! Bookmark not defined Bảng 4.1 Số liệu hình học vật liệu cột Error! Bookmark not defined Bảng 4.2 Bảng giá trị tần số riêng Error! Bookmark not defined Bảng 4.3 Tải trọng động cho trường hợp sóng khác nhauError! Bookmark not define Bảng 4.5 Tần số dạng dao động riêng đầuError! Bookmark not defined Bảng 4.5 Kết phân tích động cho trường hợp tải trọng sóngError! Bookmark not de Bảng PL.1 Chuyển vị ngang mặt sàn chân đế giàn tự nângError! Bookmark not defi Bảng PL.2 Moment nội lực chân đế giàn tự nângError! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải vii DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ Hình 1.1 Minh họa ảnh hưởng hiệu ứng P-delta khung phẳng Hình 2.1 Các thành phần biến dạng hệ tọa độ 11 Hình 2.2 a) Lực hệ tọa độ tổng thể, b) Lực hệ tọa độ địa phương 11 Hình 2.3 Quan hệ lực biến dạng 11 Hình 2.4 (a) Biến dạng phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục hai đầu, (b) Chuyển vị theo trục tọa độ 14 Hình 3.1 Các kỹ thuật tính toán chung Error! Bookmark not defined Hình 3.2 Phương pháp Newtow – Raphson Error! Bookmark not defined Hình 3.3 Phương pháp ứng suất ban đầu Error! Bookmark not defined Hình 3.4 Phương pháp Newton – Raphson cải tiến.Error! Bookmark not defined Hình 3.5 Sơ đồ khối chương trình phân tích động phi tuyến phương pháp tích phân trực tiếp Error! Bookmark not defined Hình 4.1.Mô hình tính toán Error! Bookmark not defined a) Mô hình cột Error! Bookmark not defined b) Mô hình tính cột chia làm 04 phần tử Error! Bookmark not defined Hình 4.2 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gianError! Bookmark not defin F13 = 200sin(2t)(N), F14 = -2000sin(2t)(N), bước thời gian t = 0.01s.Error! Bookmark a) không kể đến ảnh hưởng P-Delta Error! Bookmark not defined b) kể đến ảnh hưởng P-Delta Error! Bookmark not defined Hình 4.3 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -5000sin(2t)(N), t = 0.005s Error! Bookmark not defined Hình 4.4 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N), t = 0.0005s Error! Bookmark not defined Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải viii Hình 4.5 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N), theo Sap 2000 Error! Bookmark not defined Hình 4.6 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s Error! Bookmark not defined Hình 4.7 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N), theo Sap 2000 Error! Bookmark not defined Hình 4.8 Số bước lặp Newton-Raphson bước thời gian F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s Tol = 1e-09 Error! Bookmark not defined Hình 4.9 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N), t=0.00005s Error! Bookmark not defined Hình 4.10 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N), theo Sap 2000 Error! Bookmark not defined Hình 4.11 Số bước lặp Newton-Raphson bước thời gian.F13 = 200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N), t = 0.00005s Tol = 1e-09 Error! Bookmark not defined Hình 4.12 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian không kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = 40000sin(2t)(N) Error! Bookmark not defined Hình 4.13 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s Error! Bookmark not defined Hình 4.14 Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N), theo Sap 2000 Error! Bookmark not defined Hình 4.15 Số bước lặp Newton-Raphson bước thời gian.Error! Bookmark not de F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s Tol = 1e-09.Error! Bookmark Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải ix Hình 4.16.Đáp ứng chuyển vị ngang cột theo thời gian không kể đến ảnh hưởng P-Delta, F13 = -200sin(2t)(N), F14 = 40000sin(2t)(N), theo Sap 2000 Error! Bookmark not defined Hình 17 Mô hình tính toán Error! Bookmark not defined Hình 4.18 Biểu đồ chuyển vị ngang mặt sàn Error! Bookmark not defined Hình 4.19 Mômen uốn ngang lớn (tại mắt cắt sát chân cột trước)Error! Bookmark n Hình 4.20 Ứng suất lớn (tại mép mắt cắt sát chân cột trước)Error! Bookmark n Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Mở đầu MỞ ĐẦU Trong thực tế phân tích động lực học kết cấu có nhiều trường hợp dùng mô hình tuyến tính Ngay kết cấu làm việc miền đàn hồi có phi tuyến hình học Kết cấu dạng dầm - cột trường hợp Khi kết cấu dạng dầm - cột chịu uốn chịu lực dọc trục có hiệu ứng sau hiệu ứng  Hiệu ứng Euler, lực dọc trục làm giảm độ cứng chống uốn dầm  Hiệu ứng P- ta kể đến thay đổi độ dài dầm chịu uốn  Hiệu ứng lực cắt, lực cắt làm tăng đáng kể góc xoay Mô hình phần tử dầm-cột có kể đến hiệu ứng đưa đến toán phi tuyến mặt hình học Khi toán phân tích động lực học kết cấu (t )  CU (t )  KU (t )  P(t ) MU trở thành toán phi tuyến Để giải toán cần áp dụng thuật toán thích hợp Trong nhiều năm gần đây, ứng xử động lực học phi tuyến kết cấu khung phẳng quan tâm nhiều tác giả Phân tích đáp ứng động lực học phi tuyến tốn nhiều thời gian tính toán phân tích tĩnh Do ma trận độ cứng tiếp tuyến số mà phụ thuộc vào chuyển vị góc quay nút nên để tìm nghiệm phương trình động lực học phi tuyến phải sử dụng phương pháp sai phân kết hợp lặp Newton- Raphson Việc tìm hiểu giải toán khung phẳng quan tâm Phòng Mô Tính toán kết cấu, đặc biệt nghiên cứu đến giàn tự nâng biển Khi tiến hành phân tích động giàn tự nâng người ta thường đưa chân đế giàn tự nâng mô hình dầm tương đương Khi dầm tương đương làm việc cột cao “mảnh” có chịu lực dọc trục chịu uốn tác động Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan Chƣơng TỔNG QUAN Phi tuyến tượng tự nhiên toán vật lý Trong thực tế giả thiết tuyến tính làm trường hợp đặc biệt thường xuyên liên quan đến số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ, góc quay nhỏ, thay đổi nhỏ nhiệt độ, vv… Phi tuyến hình học liên quan đến phi tuyến thành phần động học chẳng hạn quan hệ biến dạng - chuyển vị vật rắn Loại phi tuyến xảy chuyển vị lớn, biến dạng lớn, góc quay lớn, v.v Biến dạng nhỏ, chuyển vị lớn góc quay lớn Phi tuyến điều kiện biên liên quan đến toán tiếp xúc phân loại phi tuyến hình học diện tích tiếp xúc hàm chuyển vị Trong toán vị trí tiếp xúc không định trước bề mặt tự Các tải trọng, hướng tải trọng áp suất thuỷ tĩnh bề mặt thay đổi nên định nghĩa hệ tọa độ đồng hành 1.1 Tổng quan nghiên cứu phi tuyến hình học Bài báo sớm phần tử hữu hạn phi tuyến công bố Tuner đồng nghiệp có từ năm 1960 chủ yếu bắt nguồn từ công nghiệp máy bay Hầu hết nghiên cứu ban đầu liên quan đến phi tuyến hình học toán buckling tuyến tính (Gallagher, R.H đồng nghiệp (1963)[18]) Bài toán phi tuyến hình học thực quy trình giải với gia số tăng công bố Argyris đồng nghiệp (1982, [6]) sử dụng ma trận độ cứng hình học liên hợp với hiệu chỉnh tọa độ với ma trận chuyển vị ban đầu Đặc biệt toán dẻo, ma trận độ cứng tiếp tuyến cấu trúc liên hệ gia số tăng lực với gia số tăng chuyển vị hợp thành ma trận mô đun tiếp tuyến quan hệ gia số tăng ứng suất với gia số tăng biến dạng Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan Sự quan tâm đến phân tích phi tuyến hệ khung tăng lên cách đáng kể năm gần Tổng quan tài liệu thấy có hai dạng thuật toán phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu khung không gian phi tuyến với biến dạng lớn thu hút quan tâm nhiều nhóm nghiên cứu Đó cách tiếp cận theo phương pháp Lagrange tổng cộng Lagrange điều chỉnh (Bath K.-J, 1996 [8]) dựa nguyên lý học môi trường liên tục, biến dạng gia số góc quay cố thể giả thiết nhỏ chuyển dịch thẳng lớn tùy ý Phi tuyến vật liệu kể đến cách xem xét quan hệ vật liệu tương ứng Cách tiếp cận Argyris (Argyris đồng nghiệp, 1982 [5]) dựa dạng dao động riêng khái niệm góc xoay tựa tiếp tuyến để tránh khó khăn từ không tích lũy góc xoay lớn không gian Cả hai cách thiết lập toán theo Bathe Argyris đòi hỏi phải chia phẩn tử kết cấu (như dầm, cột, v.v) làm phần tử nhỏ để đạt kết mong muốn Gần đây, Shi Atluri (1989) [25] sử dụng trường ứng suất giả định để thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến dạng hiển Ma trận độ cứng sử dụng để mô hình hóa phần tử kết cấu khung không gian mà không cần chia nhỏ phần tử Trong cách thiết lập chuyển vị nút cho phép lớn tùy ý, nhiên góc xoay giả thiết từ nhỏ đến lớn vừa phải Chandra đồng nghiệp, 1990 [10] đề nghị thuật toán cho dạng phần tử dầm cột, sử dụng hàm ổn định để thiết lập quan hệ lực phần tử biến dạng Ở chấp nhận giả thiết góc xoay từ nhỏ đến lớn vừa phải Gần Kassimali, 1983 [19] Abbasnia Kassimali, 1991 [4] trình bày phương pháp phần tử dầm cột cho biến dạng lớn phân tích ổn định khung không gian đàn hồi Dựa công thức Euler tổng quát Oran, 1973 [21] phát triển, phương pháp tách biệt phần đóng góp dịch chuyển cố thể, chúng lớn tùy ý, với biến dạng tương đối phần tử nhận từ lý thuyết dầm cột Bản chất không tích lũy góc xoay nút giải cách sử dụng khái niệm ma trận định vị nút Thông qua Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan loạt nghiên cứu số lớp toán kết cấu đàn hồi phương pháp xác biến dạng dạng tích lũy Chính ưu điểm cách tiếp cận mà luân văn chọn công thức Euler hàm ổn định để xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến 1.2 Phân tích ảnh hƣởng lực dọc trục Một ứng dụng phần tử dạng dầm-cột phân tích chân đế giàn tự nâng Giàn tự nâng sử dụng phục vụ mục đích khai thác giàn cố định nên thời gian làm việc khơi kéo dài Để sử dụng điều kiện khắc nghiệt vậy, cần sử dụng phương pháp phân tích giàn tự nâng xác hơn, mô hình giàn tự nâng cần mô tả sát với thực tế Giàn tự nâng thường có chân đưa đến sử dụng vùng nước sâu đến 120m Khi để tính toán kiểm tra độ bền kết cấu chân đế người ta đưa mô hình giàn với ba cột dầm tương đương có thân giàn Mô hình đảm bảo tính hiệu sử dụng rộng rãi thay mô hình hệ khung giằng chân đế Lúc cột cao chịu lục dọc trục lớn từ toàn công trình thiết bị đặt sàn công tác Khi việc áp dụng phần tử dầm cột kể đến hiệu ứng phi tuyến cần thiết thích hợp Đó hiệu ứng  Tăng độ mềm độ dài chân đế - giảm độ cứng chống uốn, tăng tần số riêng tăng hiệu ứng động chịu uốn  Giả thiết chuyển dịch nhỏ không phi tuyến hình học xuất tải trọng thân giàn gây nên lực dọc trục lớn chân đế Khi lực tác động dọc trục lên phần tử khung tương đối đáng kể, có hai ảnh hưởng quan trọng xảy ra:  Sự thay đổi hình học: Lực dọc trục gây thay đổi chiều dài phần tử ảnh hưởng đến chuyển vị nút (ảnh hưởng mô men bậc 2)  Sự ảnh hưởng thứ thay đổi độ cứng phần tử uốn gây lực dọc trục Các lực gây góc xoay chuyển vị đơn vị theo hướng ngang nút phần tử giảm chịu lực nén dọc trục, ngược Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan lại chịu kéo dọc trục Ảnh hưởng lực dọc trục đáng kể xảy phần tử mảnh, gọi ảnh hưởng dầm-cột 1.3 Hiệu ứng P-Delta P-Delta hiệu ứng phi tuyến bậc hai xảy kết cấu phần tử chịu tải dọc trục Hiệu ứng có nghĩa kết hợp độ lớn tải dọc trục (P) chuyển dịch (delta) Độ lớn hiệu ứng P-delta liên quan tới:  độ lớn tải dọc trục P,  độ cứng/độ mảnh kết cấu toàn kết cấu,  độ mảnh phần tử riêng lẻ Bằng cách điều khiển độ mảnh, độ lớn hiệu ứng P-delta thường hạn chế cho xem nhỏ sau “bỏ qua” thiết kế; chẳng hạn vị trí phần tử làm tăng kích thước… Trong khung phẳng P-Delta hiểu sau:  Khung dịch chuyển; Delta  Tải P đặt lệch khung đưa gây thêm mômen “hiệu ứng bậc 2” Tuy nhiên, minh họa hiệu ứng P-Delta (P-)(P-“BIG” delta) phần hiệu ứng bậc Ở hiểu hiệu ứng P-“BIG” delta (P-) P- “little” P- hình 1.1 sau: Hình 1.1 Minh họa ảnh hưởng hiệu ứng P-delta khung phẳng Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan Công thức tọa độ đồng hành phần tử phương pháp số cho phân tích phi tuyến khung phẳng Dựa lý thuyết dầm-cột, phương trình phần tử xây dựng hệ tọa độ phần tử (góc quay dịch chuyển), sau chuyển sang hệ tọa độ tổng thể để ghép nối Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không phụ thuộc vào chuyển vị, ma trận độ cứng tiếp tuyến hàm chuyển vị Do tìm nghiệm phương trình cân động lực học phi tuyến ta sử dụng thuật toán tích phân số trực tiếp Newmark dạng sai phân Hoặc phương pháp sai phân - lặp dựa tích phân trực tiếp Newmark phương pháp Newton – Raphson Ý tưởng phương pháp lặp Newton-Raphson tìm nghiệm tiếp tuyến từ đường cong quan hệ phi tuyến lực - chuyển vị đoạn Để tìm nghiệm tiếp tuyến, ma trận độ cứng tính lại bước lặp có kể đến thay đổi hình học xuất tổng ứng suất nội lực, gọi ma trận độ cứng tiếp tuyến (tức thời) Thật không may, tiếp cận sai phân dẫn đến không đảm bảo đủ điều kiện kiểm soát sai số toán Zienkienwicz, 2005 [28] đề nghị quy trình Newton-Raphson cải biên Ngược lại với phương pháp Newton-Raphson đầy đủ, ma trận độ cứng hiểu chỉnh liên tục Một dạng đặc biệt phương pháp sử dụng ma trận đàn hồi ban đầu gọi phương pháp ứng suất ban đầu sử dụng nhiều phi tuyến vật liệu Tiểu sử N.Newmark Nathan Newmark (N Newmark) (1910-1981) kỹ sư người Mỹ Giáo sư Khoa xây dựng Trường Đại học Illinois Champaign–Urbana Ông nghiên cứu lĩnh vực công trình chịu động đất động lực học kết Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải Chương Tổng quan cấu Phương pháp số tiếng giới thiệu vào năm 1959 cho tính toán đáp ứng động lực học hệ tuyến tính phi tuyến (Newmark - ) Phương pháp Newmark công thức tích phân bước đơn (single-step) Biến véc tơ trạng thái hệ thời gian tn+1 = tn+t suy từ véc tơ trạng thái biết thời gian tn Abbasnia, R (1991) [4] Như tùy thuộc vào hệ số lựa chọn phương pháp Newmark phương pháp tích phân trực tiếp hiển ẩn Ở luận văn sử dụng Maple để xây dựng biểu thức cho ma trận độ cứng tiếp tuyến Dựa toolbox Cafem cho toán tuyến tính Matlab xây dựng phát triển số hàm để tạo toolbox phi tuyến Kết luận chƣơng 1: Nêu tổng quan tính chất phi tuyến kết cấu khung phẳng, phát triển phân tích phi tuyến kể đến hiệu ứng P-delta phương pháp số dùng để giải phương trình động lực học phi tuyến Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 10 Chương Tổng quan Chƣơng XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ Trong khuôn khổ nghiên cứu phi tuyến hình học xem xét Cụ thể xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ dịch chuyển lớn Như trình bày phần tổng quan sử dụng công thức Euler hàm ổn định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng lực dọc trục Các phi tuyến hình học gồm ảnh hưởng lực dọc trục đến độ cứng chống uốn hiệu ứng P- kể đến Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình kết cấu rời rạc tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn Do cần phải thiết lập véc tơ nội lực phần tử (là hàm chuyển vị nút) từ tính ma trận độ cứng tiếp tuyến hàm chuyển vị Ma trận khối lượng sử dụng ma trận khối lượng tập trung phần tử dầm thông thường 2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ Một phần tử trụ với mặt cắt ngang không đổi, mặt phẳng X0Y Xét hai trạng thái tải chuyển vị “ban đầu” “biến dạng” Mỗi trạng thái có hệ trục tọa độ riêng Trong trạng thái “ban đầu” phần tử thẳng, chiều dài L0 không tải dọc trục, không lực không mô men nút (i, j) Trong trạng thái “biến dạng”, phần tử chịu lực đặt nút i j, không chịu tải tác dụng dọc trục (ảnh hưởng tải xét sau) Kí hiệu véc tơ F  v véc tơ lực nút F   F1 , F2 , F3 , F4 , F5 , F6 T chuyển vị nút v  v1 , v2 , v3 , v4 , v5 , v6 T hệ tọa độ tổng thể XOY (Hình 2.1) Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 11 Y F5 Biến dạng y v3 F1 v6  v5 j L0 F3 x F6 F4 L F2 v4 v2 i v1 O Chương Tổng quan Ban đầu X Hình 2.1 Các thành phần biến dạng hệ tọa độ Hệ tọa độ đồng hành Oxy hình 2.1 miêu tả sau: trục Ox nối thông qua nút i nút j vị trí thời Trục Oy đặt vuông góc với trục Ox Công thức hệ tọa độ đồng hành phát triển dựa tham số hình 2.1 Trong hệ tọa độ tổng thể nút i nút j phần tử biểu diễn (Xi, Yi) (Xj, Yj) F5 F6 F5 F4 F2 F4 F2 L F1 F6 L F1 F3 F3 F3 a) b) Hình 2.2 a) Lực hệ tọa độ tổng thể, b) Lực hệ tọa độ địa phương x M2 y Q 2 1 Q u L=L0 - u = L0(1+ ) M1 Hình 2.3 Quan hệ lực biến dạng Dưới dạng hình học ta có quan hệ sau: Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 12 Chương Tổng quan  F1   F1m  F2 n   F      F1n  F2 m   F3  F3       ;  F4   F4 m  F5 n   F5   F4 n  F5 m       F6    F6 (2.1) hay viết gọn lại dạng ma trận sau: F   RF ; (2.2) ma trận R gọi ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ m  n  [r] [0] R   ; [r]   n m 0  [0] [r]   0 1 (2.3) m  cos ; n  sin  (2.4) cos( )  ( X j  X i  v4  v1 ) L0 (1  ) , sin()  (Y j  Y i  v5  v ) L0 (1  ) L  L0 (1  )  ( X j  X i  v4  v1 )  (Y j  Y i  v5  v2 ) (2.5) (2.6) Tương tự theo hình 2.1, hình 2.2 a hình 2.2b ta có, F   B S ; v  R v, u  B T    L (1  )  B      L (1  )    L0 (1  ) 0  L (1  ) 1  0  0  1  0   T v (2.7) (2.8) với Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 13 Chương Tổng quan  M1   1  u      , S    M  , u     L0 Q  u     (2.9) Chú ý L0 (1   ) biểu diễn chiều dài cấu hình biến dạng (chịu nén) 2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) Phương trình vi phân tổng quát dịch chuyển theo hướng y phần tử AB chịu lực nén Q chịu ràng buộc hai đầu (Ghali A vad Neville A M (1989) [17]: d4y Q d2y  0 dx EI dx y  A1 sin  (2.10) x x  A2 cos   A3 x  A4 L L (2.11) A1, A2, A3 A4 số tích phân xác định từ điều kiện biên L Q EI hay Q   2 EI L (2.12) Phương trình (2.10) sử dụng để đưa ma trận độ cứng phần tử chịu nén tương ứng với tọa độ 1, 2, (Hình 2.4b) (chuyển vị góc xoay đầu nút) Các chuyển vị u * nút:  dy   dy  u1  ( y) x0 , u  1    , u3  ( y) xL , u4       dx  x L  dx  x 0 (2.13) viết lại dạng ma trận sau:   u1    u    2 L     sin  cos  L u     u   cos   sin  L  L Luận văn thạc sĩ Cơ học 1   A1  0  A   2   A3    0  A4   (2.14) Học viên Trần Thanh Hải 14 Chương Tổng quan y Q A Q x L (a) Q L, EI A Q B (b) Hình 2.4 (a) Biến dạng phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục hai đầu, (b) Chuyển vị theo trục tọa độ Phương trình (2.14) viết lại sau: u *  BA (2.15) 1     0  L B   sin  cos  L 1     cos    sin  0  L  L  A1  A  A     A3   A4  (2.16) Các lực S nút A B lực cắt mô men uốn x  x  L   d y  dy        L dx  x 0    dx    d2y   S1   ( V ) x 0        S   ( M )  2    x 0   dx  x 0   EI         ( V ) S d y  dy x  L          S  (  M ) x  L   dx L2 dx   xL    d2y         dx  x  L   (2.17) Lấy vi phân phương trình (2.11) thay vào phương trình (2.17) ta S  C A Luận văn thạc sĩ Cơ học (2.18) Học viên Trần Thanh Hải 15 Chương Tổng quan ma trận C  véc tơ A xác định sau:  2 0  L2    0  L C   EI  2 0   L  2     L2 sin   L2 cos   0   A1  A  0  2   , A   A   3 0  A4    0  (2.19) từ (2.15) véc tơ A xác định sau: A  B1 u * (2.20) thay vào phương trình (2.18) ta được: đặt S  C B1 u * (2.21) D  C B1 (2.22) Phương trình (2.21) viết dạng S  D u * (2.23) D ma trận độ cứng phần tử xác định sau:  3 s   L ( 22 2c  s )  (1  c )   L2 (  2c  s ) D  EI  3 s   L3 (  2c  s )   (1  c )   L (  2c  s )  (1  c ) L2 (  2c  s ) ( s  c ) L(  2c  s )  (1  c ) L2 (  2c  s ) (  s ) L(  2c  s )   (1  c )  L (  2c  s )  (  s )  L(  2c  s )    (1  c )   L (  2c  s )   ( s  c )  L(  2c  s )  3 s L3 (  2c  s )  (1  c ) L2 (  2c  s ) 3 s L3 (  2c  s )  (1  c )  L (  2c  s )  (2.24) TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Chu Quốc Thắng (1997), Phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất khoa học kỹ thuật, 1997 Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 16 Chương Tổng quan [2] Đào Như Mai, Nguyễn Việt Khoa (2001) Phân tích động chân đế giàn di động trạng thái khai thác, Tuyển tập Hội nghị Khoa học Toàn quốc Cơ học kỹ thuật, Hà Nội, 12-13/10/2001 [3] Lê Quang Minh, Nguyễn Văn Vượng Sức bền Vật liệu, Nhà xuất giáo dục, tập 2, Hà Nội, 1996 Tiếng Anh [4] Abbasnia, R and A Kassimali (1991) Large Deformation Elastic Anlysis of Space Frame Journal of Structural Engneering Vol 117, No [5] Abbasnia, R and A Kassimali (1995) Large Deformation Elastic-Plastic Anlysis of Space Frame J Construct Steel Research Vol 35, pp.275-290 [6] Argyris, J H., Boni, B., Hindenlang, U & Kleiber, M.,(1982) Finite element analysis of two- and three-dimensional elasto-plastic frames the natural approach Comput Meth Appl Mech Engng, 35, p.p 221-248 [7] Baron, F., and Venkatatesan, M.S.(1971) Nonlinear Formulations of BeamColumn Effects Journal of the Structural Division, ASCE, Vol 97, No ST4., Proc Paper 8080, Apr., 1971, pp 1305-1340 [8] Bathe K.-J (1996) Finite element Procedures Prentice-Hall, Inc New Jersey, USA [9] Cassidy M.J., Taylor R.E & Houlsby G.T (2001) Analysis of Jack-up units using a Constrained NewWave Methodology Applied Ocean Research, Vol 21, pp 221-234 [10] Chandra, R., Krishna, P & Trikha, D N.,(1990) Elastic-plastic analysis of steel space structures J Struct Engng ASCE, 116(4), pp 939-955 [11] Clough RW, Penzien J (1975) Dynamics of structures New York: McGraw Hill [12] Crisfield, M A (1991) Non-linear Finite Element Analysis of Solids and Structures Vol and Vol John Wiley and Sons Ltd London, UK [13] Dao Nhu Mai, Le Khanh Toan, Nguyen Huu Cuong (2005) Analysis of JackUp Units Using Modified Finite Element Models Proceedings of the 5th Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 17 Chương Tổng quan Asian Symposium on Applied Electromagnetics and Mechanics ASAEM05, Hanoi, Oct 2005, pp 505-515 [14] Đào Như Mai, Trần Thanh Hải (2006) Non-Linear Dynamic Analysis Using the Incremental Formulation of -Wilson Method Hội nghị Khoa học toàn quốc Cơ học Vật rắn biến dạng lần thứ VIII, tr 531-538 [15] Dao Nhu Mai, Tran Thanh Hai, Nguyen Huu Cuong, Nguyen Van Quang (2006) Non-Linear Analysis of Jack-Up Platform Using Strain Hardening Plasticity Model for Spudcan Footings International Conference on Nonlinear Analysis and Engineering Mechanics Today, HCM city Dec 1114, 2006, pp 75-89 [16] Đào Như Mai, Trần Thanh Hải (2007) Fatigue Analysis of Jack-up Units Using Large Deformation Approaches Tuyển tập công trình Hội nghị Cơ học Toàn quốc lần thứ 8, Tập Cơ học vật rắn biến dạng, 12-2007, pp 314-323 [17] Ghali A and A.M Neville (1989) Structural analysis – A Unified Classical and Matrix Approach Third Edition, Chapman & Hall [18] Gallagher, R.H.; and Padlog, J (1963) Discrete Element Approach to Structural Instability Analysis AIAA J vol 1, no 6, June 1963, pp 14371439 [19] Kassimali, A (1983), Large deflection analysis of elastic-plastic frames J Struct.Engng Div ASCE, 109(8), pp 1869-1886 [20] Melvin S Anderson (1982) Nonlinear and Tangent Stiffness of Imperfect Beam columns National Reronautics and Space Administraion, 12/1982 [21] Oran C (1973) Tangent stiffness in plane frames Vol 99, No ST6, June 1973, pp 973-985 [22] Oran C and Kassimali A (1975) Large Deformations of Framed structures under static and dynamic load Computer and Strutures Vol.6, pp 539-547 [23] Ray W Clough, Joseph Penzien (1993) Dynamics of Structures McGrawHill, Inc [24] Rixen D and Bao Duc Doan (2000) Dymanics of Structures and Mechanical Vibrations EMMC and MCMC, Vietnam, (7.4) Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 18 Chương Tổng quan [25] Shi, G, Atluri, S.N (1988) Elasto-Plastic Large Deformation Analysis of Space Frames Hinge and Stress-Based Explicit Derivation of Tangent Stiffnesses International Journal for Numerical Methods in Engineering 26, pp 589-615 [26] Tezcan, S.S (1968) Discussion of Numerical Solution of Nonlinear Structures, by T J Poskitt, Jounral of the Structural Division, ASCE, Vol 94, No ST6, Pro, Paper 5923, June, 1968, p 1617 [27] Williams M.S., M S., Thompson, R.S.G and G.T Houlsby (1998) Nonlinear dynamic analysis of offshore jack-up units, Computers and Structures, 69 (1998) pp 171±180 [28] Zienkienwicz, O C and R.T Taylor (2005) The Finite element method for solid and structural mechanics 6th Linacre House, Jordan Hill, Oxford, UK Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải [...]... của phương trình cân bằng động lực học phi tuyến ta sử dụng thuật toán tích phân số trực ti p Newmark dạng sai phân Hoặc phương ph p sai phân - l p dựa trên tích phân trực ti p Newmark và phương ph p Newton – Raphson Ý tưởng của phương ph p l p Newton-Raphson là tìm một nghiệm ti p tuyến từ đường cong quan hệ phi tuyến lực - chuyển vị tại một đoạn bất kỳ Để tìm một nghiệm ti p tuyến, ma trận độ cứng... dung nghiên cứu về phương ph p số và mô phỏng kết cấu để đ p ứng những đòi hỏi thực tế đặt ra cho Phòng mô phòng và tính toán kết cấu nói riêng và Viện Cơ học nói chung Mục tiêu của đề tài: Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng dạng dầm - cột có ứng xử phi tuyến hình học khi kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục p dụng thuật toán Newmark dạng sai phân để giải phương trình động lực phi tuyến Bố cục... phương ph p Newmark sẽ là phương ph p tích phân trực ti p hiển hoặc ẩn Ở trong luận văn này sử dụng Maple để xây dựng các biểu thức cho ma trận độ cứng ti p tuyến Dựa trên toolbox Cafem cho bài toán tuyến tính ở trong Matlab đã xây dựng và phát triển một số hàm để tạo một toolbox phi tuyến Kết luận chƣơng 1: Nêu tổng quan về tính chất phi tuyến của kết cấu khung phẳng, sự phát triển của phân tích phi... định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng của lực dọc trục Các phi tuyến hình học ở đây gồm ảnh hưởng của lực dọc trục đến độ cứng chống uốn và hiệu ứng P-  được kể đến Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình của kết cấu được rời rạc và tính toán theo phương ph p phần tử hữu hạn Do vậy chúng ta cần phải thiết l p được véc tơ nội lực của từng phần tử (là hàm của các chuyển... tọa độ đồng hành của phần tử và phương ph p số cho phân tích phi tuyến của khung phẳng Dựa trên lý thuyết dầm-cột, phương trình phần tử được xây dựng trong hệ tọa độ của phần tử (góc quay và dịch chuyển), sau đó được chuyển sang hệ tọa độ tổng thể để gh p nối Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không phụ thuộc vào các chuyển vị, còn ma trận độ cứng ti p tuyến là hàm của chuyển... Ông nghiên cứu trong lĩnh vực các công trình chịu động đất và động lực học kết Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 9 Chương 1 Tổng quan cấu Phương ph p số nổi tiếng này được giới thiệu vào năm 1959 cho tính toán đ p ứng động lực học của hệ tuyến tính và phi tuyến (Newmark - ) Phương ph p Newmark là một công thức tích phân bước đơn (single-step) Biến véc tơ trạng thái của hệ tại một thời gian... phân tích phi tuyến kể đến hiệu ứng P- delta và phương ph p số dùng để giải phương trình động lực học phi tuyến Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải 10 Chương 1 Tổng quan Chƣơng 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ Trong khuôn khổ nghiên cứu này phi tuyến hình học được xem xét Cụ thể xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ nhưng dịch chuyển lớn Như đã trình bày trong phần tổng quan ở đây... hưởng của lực dọc trục Chương 3 Thuật toán Newmark Trình bày thuật toán tích phân trực ti p dạng sai phân với gia số tăng cường để giải phương trình dao động của hệ phi tuyến không kể đến ma trận cản Ở đây còn trình bày cụ thể thuật toán l p Newton Raphson để giải phương trình cân bằng Chương 4 Kết quả và bàn luận Trình bày các kết quả tính số cho hai ví dụ Thứ nhất là dầm ứng chịu lực ngang và lực dọc... dịch chuyển; Delta  Tải P được đặt lệch khung đưa gây ra thêm mômen hoặc hiệu ứng bậc 2” Tuy nhiên, ở đây chỉ minh họa hiệu ứng P- Delta (P- ) (P- “BIG” delta) chỉ là một phần của hiệu ứng bậc 2 Ở đây chúng ta hiểu hiệu ứng của cả P- “BIG” delta (P- ) và P- “little” P-  như hình 1.1 sau: Hình 1.1 Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P- delta trong khung phẳng Luận văn thạc sĩ Cơ học Học viên Trần Thanh Hải... l p có kể đến sự thay đổi hình học cho đến khi xuất hiện tổng ứng suất nội lực, do đó còn được gọi là ma trận độ cứng ti p tuyến (tức thời) Thật không may, các ti p cận sai phân này có thể dẫn đến sự không đảm bảo đủ điều kiện kiểm soát sai số của bài toán Zienkienwicz, 2005 [28] đã đề nghị một quy trình Newton-Raphson cải biên Ngược lại với phương ph p Newton-Raphson đầy đủ, trong đó ma trận độ cứng