Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng kể đến hiệu ứng P-∆ bằng phương pháp tích phân trực tiếp dạng sai phân

Trong thực tế các giả thiết tuyến tính chúng ta chỉ làm trong các trường hợp đặc biệt và thường xuyên liên quan đến một số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ, góc quay nhỏ,

Trang 1

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC CÔNG NGHỆ VIỆN CƠ HỌC

Trang 3

MỤC LỤC

MỤC LỤC i

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT iii

DANH MỤC CÁC BẢNG v

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ vi

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 TỔNG QUAN 3

1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học 3

1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục 4

1.3 Hiệu ứng P-Delta 5

Kết luận chương 1: 7

Chương 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ 8

2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến 8

2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ 8

2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0) 10

2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0) 13

2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt 13

2.1.5 Ma trận độ cứng tiếp tuyến phần tử dầm-cột trong hệ tọa độ địa phương và hệ tọa độ tổng thể 15

2.2 Ma trận khối lượng 18

Kết luận chương 2 19

Chương 3 THUẬT TOÁN NEWMARK DẠNG SAI PHÂN SỬ DỤNG TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC 20

3.1 Phương pháp Newmark 20

3.1.1 Giới thiệu chung về phương pháp Newmark họ  20

3.1.2 Phương pháp Newmark dạng sai phân (gia số tăng) 21

Trang 4

3.1.3 Sơ đồ thuật toán Newmark ( = 1/4 và  = 1/2) và bỏ qua

hệ số cản 22

3.1.4 Lựa chọn bước tích phân 23

3.2 Phương pháp lặp Newton-Raphson 24

3.2.1 Cơ sở chung 25

3.2.2 Trường hợp không có cản, lực ngoài không phụ thuộc vào chuyển vị 27

3.2.3 Nhận xét chung 28

3.2.4 Tiêu chuẩn hội tụ 30

3.3 Qui trình và chương trình tính toán 30

3.3.1 Phương pháp sai phân 30

3.3.2 Phương pháp lặp 31

Chương 4 - KẾT QUẢ VÀ BÀN LUẬN 34

4.1 Ví dụ cột thẳng 34

4.2 Ví dụ phân tích động chân đế của giàn tự nâng 43

4.2.1 Mô hình kết cấu 43

4.2.2 Tải trọng sóng 44

4.2.3 Kết quả phân tích 45

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 50

Danh mục công trình của tác giả 52

TÀI LIỆU THAM KHẢO 53

PHỤ LỤC 56

PL1 Một số hàm của Matlab 56

PL2 Một số hàm của Maple 7 – tính biểu thức ở dạng chữ symbolic 57

PL3 Kết quả tính toán cho giàn tự nâng 61

PL4 Chương trình viết trên Matlab cho ví dụ cột 64

Trang 5

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU, CÁC CHỮ VIẾT TẮT

A – Diện tích mặt cắt ngang của phần tử

A1, A2, A3, A4 – Các hằng số tích phân

B – Ma trận chuyển đổi

c1, c2 – Các hệ số uốn dầm-cột

cb – Tham số bowing

E – Mô đun đàn hồi

F, F – Véc tơ lực nút của phần tử lần lượt trong hệ tọa độ tổng thể và địa phương

 – Khối lượng riêng của vật liệu phần tử

kt, Kt – Lần lượt là ma trận độ cứng địa phương, tổng thể

L0 – Chiều dài ban đầu của phần tử dầm-cột

L – Chiều dài của phần tử dầm cột lúc biến dạng

Mc, ML – Ma trận khối lượng của phần tử

m, n – Kí hiệu các cosin, sin chỉ phương

M1, M2 – Mômen uốn tại các nút

1, 2 – Góc quay tương đối tại nút

R – Ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ địa phương sang tổng thể

Q – Lực dọc trục trong phần tử dầm cột

QE – Tải Euler buckling

q = Q/QE – Tỉ số giữa tải dọc trục và tải Euler

Trang 7

DANH MỤC CÁC BẢNG

Bảng 3.1 Tổng quan các thuật toán họ Newmark- 21

Bảng 3.2 Sơ đồ khối tính toán dựa trên mô hình Newmark 31

Bảng 4.1 Số liệu hình học và vật liệu của cột 34

Bảng 4.2 Bảng giá trị tần số riêng 35

Bảng 4.3 Tải trọng động cho các trường hợp sóng khác nhau 45

Bảng 4.5 Tần số của các dạng dao động riêng đầu 46

Bảng 4.5 Kết quả phân tích động cho 5 trường hợp tải trọng sóng 46

Bảng PL.1 Chuyển vị ngang trên mặt sàn chân đế giàn tự nâng 61

Bảng PL.2 Moment nội lực tại chân đế giàn tự nâng 62

Trang 8

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ, ĐỒ THỊ

Hình 1.1 Minh họa ảnh hưởng của hiệu ứng P-delta trong khung phẳng 6

Hình 2.1 Các thành phần biến dạng và hệ tọa độ 8

Hình 2.2 a) Lực trong hệ tọa độ tổng thể, b) Lực trong hệ tọa độ địa phương 9

Hình 2.3 Quan hệ lực và biến dạng 9

Hình 2.4 (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai đầu, (b) Chuyển vị theo các trục tọa độ 11

Hình 3.1 Các kỹ thuật tính toán chung 25

Hình 3.2 Phương pháp Newtow – Raphson 26

Hình 3.3 Phương pháp ứng suất ban đầu 29

Hình 3.4 Phương pháp Newton – Raphson cải tiến 29

Hình 3.5 Sơ đồ khối chương trình phân tích động phi tuyến bằng phương pháp tích phân trực tiếp 32

Hình 4.1.Mô hình tính toán 35

a) Mô hình cột 35

b) Mô hình tính cột được chia làm 04 phần tử 35

Hình 4.2 Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian 36

F13 = 200sin(2t)(N), F14 = -2000sin(2t)(N), bước thời gian t = 0.01s 36

a) không kể đến ảnh hưởng P-Delta 36

b) kể đến ảnh hưởng P-Delta 36

Hình 4.3 Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -5000sin(2t)(N), t = 0.005s 36

Hình 4.4 Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N), t = 0.0005s 37

Trang 9

Hình 4.5 Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian kể đến ảnh

hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -10000sin(2t)(N),

theo Sap 2000 37

t = 0.0005s 38

theo Sap 2000 38

Hình 4.8 Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian

F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -20000sin(2t)(N), t = 0.0005s Tol

= 1e-09 39

t=0.00005s 39

theo Sap 2000 40

Hình 4.11 Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian.F13 =

-200sin(2t)(N), F14 = -30000sin(2t)(N), t = 0.00005s Tol =

1e-09 40

Hình 4.12 Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể

đến ảnh hưởng P-Delta F13 = -200sin(2t)(N), F14 =

-40000sin(2t)(N) 41

t = 5e-6s 41

theo Sap 2000 42

Hình 4.15 Số bước lặp Newton-Raphson tại mỗi bước thời gian 42

F13 = -200sin(2t)(N), F14 = -40000sin(2t)(N), t = 5e-6s Tol = 1e-09 42

Trang 10

Hình 4.16.Đáp ứng các chuyển vị ngang của cột theo thời gian không kể

đến ảnh hưởng P-Delta, F13 = -200sin(2t)(N), F14 =

-40000sin(2t)(N), theo Sap 2000 43

Hình 4 17 Mô hình tính toán 44

Hình 4.18 Biểu đồ chuyển vị ngang tại mặt sàn 47

Hình 4.19 Mômen uốn ngang lớn nhất (tại mắt cắt sát chân cột trước) 48

Hình 4.20 Ứng suất lớn nhất (tại mép ngoài mắt cắt sát chân cột trước) 48

Trang 11

MỞ ĐẦU

Trong thực tế phân tích động lực học của kết cấu có nhiều trường hợp không thể dùng các mô hình tuyến tính được Ngay cả khi kết cấu còn làm việc trong miền đàn hồi vẫn có thể có phi tuyến hình học Kết cấu dạng dầm - cột là một trường hợp như vậy Khi kết cấu dạng dầm - cột chịu uốn và chịu lực dọc trục sẽ có các hiệu ứng sau các hiệu ứng

 Hiệu ứng Euler, khi lực dọc trục làm giảm độ cứng chống uốn của dầm

 Hiệu ứng P- khi ta kể đến sự thay đổi độ dài của dầm khi chịu uốn

 Hiệu ứng của lực cắt, khi lực cắt làm tăng đáng kể góc xoay

Mô hình phần tử dầm-cột có kể đến các hiệu ứng trên sẽ đưa đến bài toán phi tuyến về mặt hình học

Khi đó bài toán phân tích động lực học kết cấu

)()()

()

sử dụng phương pháp sai phân kết hợp lặp Newton- Raphson

Việc tìm hiểu cũng như giải bài toán khung phẳng cũng đã được sự quan tâm của Phòng Mô phỏng và Tính toán kết cấu, đặc biệt trong các nghiên cứu đến giàn tự nâng ngoài biển

Khi tiến hành phân tích động các giàn tự nâng người ta thường đưa chân đế giàn tự nâng về mô hình dầm tương đương Khi đó các dầm tương đương này sẽ

làm việc như một cột cao “mảnh” có chịu lực dọc trục và chịu uốn dưới tác động

của lực sóng Để mô phỏng mô hình kết cấu này nhiều tác giả (Cassidy M.J., Taylor R.E & Houlsby G.T (2001) [9], Williams M S., Thompson R.S G., Houlsby G T (1998) [27]) đã sử dụng mô hình dầm- cột có kể đến các hiệu ứng phi tuyến như đã nêu Do vậy việc nghiên cứu phân tích động lực học kết cấu kể đến các phi tuyến hình học là một nhu cầu cần thiết

Trang 12

Chính vì vậy đề tài của luận văn này là một trong những nội dung nghiên cứu về phương pháp số và mô phỏng kết cấu để đáp ứng những đòi hỏi thực tế đặt ra cho Phòng mô phòng và tính toán kết cấu nói riêng và Viện Cơ học nói chung

Mục tiêu của đề tài: Phân tích động lực học kết cấu khung phẳng dạng dầm - cột

có ứng xử phi tuyến hình học khi kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục Áp dụng thuật toán Newmark dạng sai phân để giải phương trình động lực phi tuyến

Bố cục luận văn gồm bốn chương:

Chương 1 Tổng quan – Tổng hợp các kết quả nghiên cứu về bài toán phi tuyến

nói chung và chú ý đến các nghiên cứu về phi tuyến hình học Ngoài ra các phương pháp giải bài toán phi tuyến cũng được tổng hợp ở đây

Chương 2 Xây dựng mô hình phần tử dầm cột Trong chương này sử dụng cách

tiếp cận của Oran và Kassmilli để xây dựng ma trận độ cứng, xây dựng ma trận định vị và ma trận độ cứng tiếp tuyến cho phần tử dầm cột có kể đến ảnh hưởng của lực dọc trục

Chương 3 Thuật toán Newmark Trình bày thuật toán tích phân trực tiếp dạng

sai phân với gia số tăng cường để giải phương trình dao động của hệ phi tuyến không kể đến ma trận cản Ở đây còn trình bày cụ thể thuật toán lặp Newton Raphson để giải phương trình cân bằng

Chương 4 Kết quả và bàn luận Trình bày các kết quả tính số cho hai ví dụ Thứ

nhất là dầm đứng chịu lực ngang và lực dọc trục Thứ hai là chân đế của giàn tự nâng tải trọng ngang là sóng và tải trọng đứng là tải trọng của phần thượng tầng Cuối cùng là kết luận và một số phụ lục

Trang 13

Chương 1 TỔNG QUAN

Phi tuyến là hiện tượng tự nhiên trong các bài toán vật lý Trong thực tế các giả thiết tuyến tính chúng ta chỉ làm trong các trường hợp đặc biệt và thường xuyên liên quan đến một số phép đo nhỏ, ví dụ biến dạng nhỏ, chuyển vị nhỏ, góc quay nhỏ, sự thay đổi nhỏ của nhiệt độ, vv…

Phi tuyến hình học liên quan đến phi tuyến trong thành phần động học chẳng hạn quan hệ biến dạng - chuyển vị trong vật rắn Loại phi tuyến này có thể xảy ra do các chuyển vị lớn, biến dạng lớn, góc quay lớn, v.v Biến dạng nhỏ, nhưng chuyển vị lớn hoặc các góc quay lớn

Phi tuyến các điều kiện biên liên quan đến các bài toán tiếp xúc cũng có thể được phân loại như là phi tuyến hình học bởi vì diện tích tiếp xúc là một hàm của chuyển vị Trong bài toán này vị trí tiếp xúc không định trước trên bề mặt tự

do Các tải trọng, hướng tải trọng và áp suất thuỷ tĩnh trên bề mặt đều thay đổi nên được định nghĩa trong hệ tọa độ đồng hành

1.1 Tổng quan các nghiên cứu về phi tuyến hình học

Bài báo sớm nhất về các phần tử hữu hạn phi tuyến được công bố bởi Tuner và đồng nghiệp đã có từ năm 1960 và chủ yếu bắt nguồn từ công nghiệp máy bay

Hầu hết những nghiên cứu ban đầu liên quan đến phi tuyến hình học là bài toán buckling tuyến tính (Gallagher, R.H và đồng nghiệp (1963)[18]) Bài toán phi tuyến hình học thực sự về các quy trình giải với gia số tăng được công bố bởi Argyris và đồng nghiệp (1982, [6]) sử dụng ma trận độ cứng hình học liên hợp với sự hiệu chỉnh của các tọa độ và với một ma trận chuyển vị ban đầu Đặc biệt đối với bài toán dẻo, ma trận độ cứng tiếp tuyến cấu trúc liên hệ giữa gia số tăng của lực với gia số tăng của chuyển vị hợp thành một ma trận mô đun tiếp tuyến là quan hệ giữa gia số tăng của ứng suất với gia số tăng của biến dạng

Sự quan tâm đến phân tích phi tuyến của hệ khung tăng lên một cách đáng

kể trong những năm gần đây Tổng quan các tài liệu có thể thấy có hai dạng thuật toán phần tử hữu hạn để phân tích kết cấu khung không gian phi tuyến với biến dạng lớn thu hút được sự quan tâm của nhiều nhóm nghiên cứu Đó là cách tiếp cận theo phương pháp Lagrange tổng cộng và Lagrange điều chỉnh (Bath K.-J, 1996 [8]) dựa trên các nguyên lý của cơ học môi trường liên tục, biến dạng

và gia số góc quay của cố thể giả thiết là nhỏ nhưng chuyển dịch thẳng có thể

Trang 14

lớn tùy ý Phi tuyến vật liệu cũng được kể đến bằng cách xem xét các quan hệ vật liệu tương ứng Cách tiếp cận của Argyris (Argyris và đồng nghiệp, 1982 [5]) dựa trên các dạng dao động riêng và khái niệm góc xoay tựa tiếp tuyến để tránh khó khăn do từ sự không tích lũy của các góc xoay lớn trong không gian

Cả hai cách thiết lập bài toán theo Bathe và Argyris đều đòi hỏi phải chia phẩn

tử của kết cấu (như dầm, cột, v.v) làm những phần tử nhỏ để đạt được kết quả mong muốn Gần đây, Shi và Atluri (1989) [25] đã sử dụng trường ứng suất giả định để thiết lập ma trận độ cứng tiếp tuyến dưới dạng hiển Ma trận độ cứng này có thể sử dụng để mô hình hóa các phần tử của kết cấu khung không gian

mà không cần chia nhỏ các phần tử Trong cách thiết lập này chuyển vị nút cho phép lớn tùy ý, tuy nhiên góc xoay giả thiết từ nhỏ đến lớn vừa phải Chandra và đồng nghiệp, 1990 [10] đã đề nghị thuật toán cho dạng phần tử dầm cột, sử dụng

hàm ổn định để thiết lập quan hệ giữa lực phần tử và biến dạng Ở đây vẫn chấp

nhận giả thiết về góc xoay từ nhỏ đến lớn vừa phải

Gần đây Kassimali, 1983 [19] và Abbasnia và Kassimali, 1991 [4] đã trình bày phương pháp phần tử dầm cột cho biến dạng lớn và phân tích ổn định của khung không gian đàn hồi Dựa trên công thức Euler tổng quát được Oran, 1973 [21] phát triển, phương pháp này tách biệt phần đóng góp của dịch chuyển như một cố thể, chúng có thể lớn tùy ý, với biến dạng tương đối của phần tử nhận được từ lý thuyết dầm cột Bản chất không tích lũy của góc xoay của nút được giải quyết bằng cách sử dụng khái niệm về ma trận định vị của nút Thông qua một loạt nghiên cứu số trên các lớp bài toán kết cấu đàn hồi chỉ ra rằng phương pháp này khá chính xác ngay cả khi biến dạng ở dạng tích lũy

Chính vì những ưu điểm cách tiếp cận này mà luân văn đã chọn công thức Euler và các hàm ổn định để xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến

1.2 Phân tích ảnh hưởng của lực dọc trục

Một trong những ứng dụng của phần tử dạng dầm-cột là trong phân tích chân đế của giàn tự nâng Giàn tự nâng được sử dụng phục vụ mục đích khai thác như một giàn cố định nên thời gian làm việc ở ngoài khơi cũng kéo dài hơn

Để có thể sử dụng trong điều kiện khắc nghiệt như vậy, cần sử dụng các phương pháp phân tích giàn tự nâng chính xác hơn, các mô hình của giàn tự nâng cần được mô tả sát với thực tế hơn Giàn tự nâng thường có 3 chân được đưa đến sử dụng ở những vùng nước sâu đến 120m Khi đó để tính toán kiểm tra độ bền của kết cấu chân đế người ta đưa về mô hình giàn với ba cột dầm tương đương có thân giàn ở trên Mô hình này đảm bảo tính hiệu quả và được sử dụng rộng rãi

Trang 15

thay vì mô hình cả hệ khung giằng của chân đế Lúc này các cột khá cao và chịu lục dọc trục khá lớn từ toàn bộ các công trình và thiết bị đặt trên sàn công tác Khi đó việc áp dụng phần tử dầm cột kể đến các hiệu ứng phi tuyến là cần thiết

có hai ảnh hưởng quan trọng xảy ra:

 Sự thay đổi hình học: Lực dọc trục gây ra sự thay đổi chiều dài của phần tử

và do đó ảnh hưởng đến chuyển vị nút (ảnh hưởng mô men bậc 2)

 Sự ảnh hưởng thứ 2 là thay đổi độ cứng của phần tử do uốn gây ra bởi lực dọc trục Các lực này gây ra một góc xoay hoặc chuyển vị đơn vị theo hướng ngang tại một nút phần tử giảm nếu chịu lực nén dọc trục, và ngược lại nếu chịu kéo dọc trục Ảnh hưởng này của lực dọc trục là đáng kể chỉ xảy ra trong các phần tử mảnh, và được gọi là ảnh hưởng dầm-cột

1.3 Hiệu ứng P-Delta

P-Delta là hiệu ứng phi tuyến bậc hai xảy ra trong mọi kết cấu khi các phần

tử chịu tải dọc trục Hiệu ứng có nghĩa là sự kết hợp giữa độ lớn của tải dọc trục (P) và chuyển dịch (delta)

Độ lớn của hiệu ứng P-delta liên quan tới:

Trong khung phẳng P-Delta được hiểu như sau:

 Khung dịch chuyển; Delta

 Tải P được đặt lệch khung đưa gây ra thêm mômen hoặc “hiệu ứng bậc 2”

Trang 16

Tuy nhiên, ở đây chỉ minh họa hiệu ứng P-Delta (P-)(P-“BIG” delta) chỉ

Trong phân tích động lực học phi tuyến giả sử ma trận khối lượng không phụ thuộc vào các chuyển vị, còn ma trận độ cứng tiếp tuyến là hàm của chuyển

vị Do đó tìm nghiệm của phương trình cân bằng động lực học phi tuyến ta sử dụng thuật toán tích phân số trực tiếp Newmark dạng sai phân Hoặc phương pháp sai phân - lặp dựa trên tích phân trực tiếp Newmark và phương pháp Newton – Raphson

Ý tưởng của phương pháp lặp Newton-Raphson là tìm một nghiệm tiếp tuyến từ đường cong quan hệ phi tuyến lực - chuyển vị tại một đoạn bất kỳ Để tìm một nghiệm tiếp tuyến, ma trận độ cứng được tính lại trong mỗi bước lặp có

kể đến sự thay đổi hình học cho đến khi xuất hiện tổng ứng suất nội lực, do đó còn được gọi là ma trận độ cứng tiếp tuyến (tức thời)

Thật không may, các tiếp cận sai phân này có thể dẫn đến sự không đảm bảo đủ điều kiện kiểm soát sai số của bài toán Zienkienwicz, 2005 [28] đã đề nghị một quy trình Newton-Raphson cải biên Ngược lại với phương pháp Newton-Raphson đầy đủ, trong đó ma trận độ cứng không phải hiểu chỉnh liên tục Một dạng đặc biệt của phương pháp này sử dụng chính ma trận đàn hồi ban đầu còn được gọi là phương pháp ứng suất ban đầu và được sử dụng nhiều trong phi tuyến vật liệu

Trang 17

Tiểu sử N.Newmark

Nathan Newmark (N Newmark) (1910-1981) là một kỹ sư người Mỹ và là Giáo sư của Khoa xây dựng tại Trường Đại học Illinois tại Champaign–Urbana Ông nghiên cứu trong lĩnh vực các công trình chịu động đất và động lực học kết cấu Phương pháp số nổi tiếng này được giới thiệu vào năm 1959 cho tính toán đáp ứng động lực học của hệ tuyến tính và phi tuyến (Newmark - )

Phương pháp Newmark là một công thức tích phân bước đơn (single-step) Biến véc tơ trạng thái của hệ tại một thời gian tn+1 = tn+t được suy ra từ các véc

tơ trạng thái đã biết tại thời gian tn Abbasnia, R (1991) [4]

Như vậy tùy thuộc vào hệ số lựa chọn phương pháp Newmark sẽ là phương pháp tích phân trực tiếp hiển hoặc ẩn

Ở trong luận văn này sử dụng Maple để xây dựng các biểu thức cho ma trận độ cứng tiếp tuyến Dựa trên toolbox Cafem cho bài toán tuyến tính ở trong Matlab đã xây dựng và phát triển một số hàm để tạo một toolbox phi tuyến

Trang 18

Chương 2 XÂY DỰNG MÔ HÌNH PHẦN TỬ

Trong khuôn khổ nghiên cứu này phi tuyến hình học được xem xét Cụ thể xây dựng mô hình phần tử phi tuyến kể đến biến dạng nhỏ nhưng dịch chuyển lớn Như đã trình bày trong phần tổng quan ở đây sử dụng công thức Euler và các hàm ổn định để xây dựng mô hình phần tử chịu ảnh hưởng của lực dọc trục Các phi tuyến hình học ở đây gồm ảnh hưởng của lực dọc trục đến độ cứng chống uốn và hiệu ứng P- được kể đến

Trong phân tích dao động phi tuyến hình học khung phẳng, mô hình của kết cấu được rời rạc và tính toán theo phương pháp phần tử hữu hạn Do vậy chúng ta cần phải thiết lập được véc tơ nội lực của từng phần tử (là hàm của các chuyển vị nút) từ đó tính được các ma trận độ cứng tiếp tuyến cũng là hàm của các chuyển vị này Ma trận khối lượng sử dụng ma trận khối lượng tập trung như ở phần tử dầm thông thường

2.1 Ma trận độ cứng tiếp tuyến

2.1.1 Xây dựng ma trận chuyển đổi hệ trục tọa độ

Một phần tử trụ với mặt cắt ngang không đổi, trong mặt phẳng X0Y Xét hai trạng thái tải và chuyển vị là “ban đầu” và “biến dạng” Mỗi trạng thái này

có một hệ trục tọa độ riêng Trong trạng thái “ban đầu” phần tử thẳng, chiều dài

L0 và không tải dọc trục, không lực hoặc không mô men tại nút (i, j) Trong trạng thái “biến dạng”, phần tử chịu lực đặt tại nút i và j, không chịu tải ngoài tác dụng dọc trục (ảnh hưởng của tải ngoài được xét sau) Kí hiệu véc tơ  F và

 v lần lượt là véc tơ lực nút    T

F F F F F F

F  1, 2, 3, 4, 5, 6 và chuyển vị nút

v v v v

i

j

L 0

L

Trang 19

Hệ tọa độ đồng hành Oxy trên hình 2.1 được miêu tả như sau: trục Ox được nối thông qua nút i và nút j ở vị trí hiện thời Trục Oy được đặt vuông góc với trục Ox Công thức hệ tọa độ đồng hành được phát triển dựa trên các tham số trên hình 2.1 Trong hệ tọa độ tổng thể nút i và nút j của phần tử được biểu diễn lần lượt là (Xi, Yi) và (Xj, Yj)

5 4

3

2 1

n F m F F

m F n F

n F m F

0

m n

n m

Trang 20

) (

L

v v X

) (

) sin(

L

v v Y

(2.5)

) (

)

2 5 2

1 4

0

0 1

1 1

1

1 0

0

0 0

1

0 1

1 1

1

1 0

0

0 0

) ( )

(

) ( )

(

L L

Chú ý rằng L0( 1 )biểu diễn chiều dài trong cấu hình biến dạng (chịu nén)

2.1.2 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực nén (Q > 0)

Phương trình vi phân tổng quát dịch chuyển theo hướng y của phần tử AB chịu một lực nén Q và chịu ràng buộc bất kỳ tại hai đầu là (Ghali A vad Neville

A M (1989) [17]:

0

2 2 4

Q dx

y

d

(2.10)

4 3 2

L

x A

L

x A



L EI

Trang 21

Phương trình (2.10) được sử dụng để đưa ra ma trận độ cứng của một phần

tử chịu nén tương ứng với các tọa độ 1, 2, 3 và 4 trong (Hình 2.4b) (chuyển vị và góc xoay tại các đầu nút) Các chuyển vị  u* tại nút:

0

1  (y)x

0 1

dy

u u3  (y)xL,

L x dx

dy u

0 1 0

1 0 1

0

A A A A

L L

cos

Hình 2.4 (a) Biến dạng của phần tử dầm chịu tác dụng lực dọc trục ở hai đầu,

(b) Chuyển vị theo các trục tọa độ

Phương trình (2.14) có thể được viết lại như sau:

0 1 0

1 0 1

0

sin cos

cos sin

L L

A A A

(b)

x

Trang 22

)

(

) (

L x x x

L x

L x x x

dx

y d dx

dy L dx

y d dx

dy L dx

y d

EI M

V M V

3 3

0 2 2

0 2

2

3 3

0 0

0

0 0 0

0 0

0

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

cos sin

L L

A A A

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) (

) ( )

( ) (

) ( )

(

) (

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) (

) ( )

( )

(

) ( )

(

s c L

c s s

c L

c s

c L

s s

c L

c

s c L

c s

c L

s s

c L

c s

c L

s

s c L

s s

c L

c s

c L

c s s

c L

c

s c L

c s

c L

s s

c L

c s

c L

s

EI

D

2 2 2

2

1 2

2 2

2 1

2 2

1 2

2 2

2

1 2

2

2 2 2

2

1 2

2 2

2 1

2 2

1 2

2 2

2

1 2

2

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

2 2

3 3

(2.24)

Trang 23

với ccos, ssin

Đặt

L

EI s c

c s

s p

) (

s t

) (

p

p p

p

p p

s L

t s t

L

t

t s L

Q L

t s L

Q L

t s

t L

t s s

L

t

t s L

Q L

t s L

Q L

t s

D

2 2

) (

2.1.3 Trường hợp phần tử dầm-cột tổng quát chịu lực kéo (Q < 0)

Tương tự như trên nghiệm của phương trình (1.9) có dạng

4 3 2

L

x A

L

x A

p

p p

p

p p

s L

t s t

L

t

t s L

Q L

t s L

Q L

t s

t L

t s s

L

t

t s L

Q L

t s L

Q L

t s

S

2 2

) (

(2.28)

với

L

EI ψ) φ

ψ (

ψ) ψ

ψ(φ

s p

sinh cosh

sinh

L

EI ψ) φ

ψ (

ψ) ψ ψ(

2 2

L

EI

2.1.4 Trường hợp phần tử dầm-cột không kể đến ảnh hưởng của biến dạng trượt

 Khi bỏ qua ảnh hưởng của biến dạng trượt và chỉ kể đến ảnh hưởng hiệu

ứng P-delta Do đó các lực tổng quát trong phương trình (1.18) được viết lại cho cả hai trường hợp chịu kéo và chịu nén như sau (Bath K.-J, 1996 [8]):

Trang 24

) ( 1 1 2 2

1

L

EI M

) ( 2 1 1 2

2

L

EI M

) ( c b L

u EA Q

 Đối với phần tử chịu nén (q > 0):

φ φ φ) (

φ) φ

φ φ(

c

sin cos

cos sin

φ) φ

φ(

c

sin cos

sinh cosh

ψ ψ

ψ) (

ψ) ψ

sinh

ψ ψ

ψ) (

ψ) ψ ψ(

1(   )  (   )

, )

)(

(

2 2 1 2

2 2 1

1

4 8

2 1

2 2

c b

)

), ( 1 2

Trang 25

Q – tải Euler buckling cho cột khớp ở hai đầu được xác định như sau:

2 2

j

i j

i ij

q q

S u

S k

EI LH

G L

EI LH

G L

EI H

G L

EI c L

EI H

G G L

EI c L

G L

EI H

G G L

EI c L

EI H

G L

EI c L EI

k t

2

2 2

1

2 2

2 2 1

2 2 2 1 2

1 2

2 1 2

2

2 1 1

(2.48)

với:

) (

1 1

2 2 1

2 2 1 2 2 1

2 2

u c

1 1 1 2

2

2 2

) (

)

1

2 2 1 2 2 2 1 1 2

q b

b

2 2 1 2 1 2 1 2 1

2 2 1 2 2 2 1 1 2

2 2

1 1

) (

)

b

G q

;

H

G q

2 1

2 2

L

EI q

S  



(2.49)

Trang 26

2 2 1 1 2 2 1 1

c

2 1 1 2 2 1 1 2

c

2 2 1 2 2 2 1 1 2

2

) (

) (       

Từ phương trình (2.46) (2.7) và sai phân của véc tơ lực do sự thay đổi nhỏ trong véc tơ lực là

S B S B

0

1 1

0 0

1

1 1

0 0

n L

m L

m

m L

n L

n

n L

m L

m

m L

n L

n

B R

B g

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

0

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

0 0

0

1

1 1

1

1 1

1

1 1

1

1 1

2 0

n m

m L

m m

L

m n

n L

n n

L

n m

m L

m m

L

m n

n L

n n

L

B g

) (

) )

( ( )

(

) )

( (

) (

) )

( ( )

(

) )

( (

) (

) )

( ( )

(

) )

( (

) (

) )

( ( )

(

) )

( (

(2.57)

Trang 27

, ) (

) (

) sin(

2 2 5 2

1 4

2 5

v v Y Y v

v X X

v v Y Y n

i j i

j

i j

1 4

2 5 2 5 1

4 1 4 2

5

2 2 5 2

1 4

2 5

) (

)) )(

( ) )(

((

) (

v v Y Y v

v X X

v v v v Y Y v v v v X X v v Y

Y

v v Y Y v

v X X

v v n

i j i

j

i j i

j i

j

i j i

)

2

v v L

nm v

v L

m

n       

) (

)

2

v v L

nm v

v L

n

m       

) (

)

0 1 4 0

v v L

n v v L

Phương trình này được viết lại là hàm của chuyển vị tổng thể

v B v R B

g T

B k B

F

k

k k

T g t

)

(2.64) hay

v K

F  t

với

T T

G xác đinh như sau:

,

L

M M m

Q m

m m

Q m

m m

L

12

12 12

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

Trang 28

0 0

0 2

0 0

0 2

1

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2 2

1

nm m

n nm

n m

m n nm

n m nm

nm m

n nm

n m

m n nm

n m nm

L g

g

) (

0 0 0

0 0

0 0 0

0 0

1

2 2

3

m nm

nm n

m nm m

nm

nm n

Ma trận khối lượng tương thích đầy đủ trong hệ tọa độ địa phương là: (Chu Quốc Thắng, 1997 [1])

2 2

6

4 22 0

3 13 0

22 156

0 13

54 0

0 0

140 0

0 70

3 13

0 4

22 0

13 54

0 22

156 0

0 0

70 0

0 140

420

L L L

L

L L

6

0 0 0 0 0

0 12 0 0 0 0

0 0 12 0 0 0

0 0 0 0

0

0 0 0 0 12 0

0 0 0 0 0 12

24

L

L AL

Trang 29

Ma trận khối lượng được xây dựng dựa trên hàm dạng Hermit dùng trong công thức phần tử hữu hạn phần tuyến tính cho phần tử dầm và ma trận khối lượng tâp trung (Lumped mass)

Trang 30

Chương 3 THUẬT TOÁN NEWMARK DẠNG SAI PHÂN SỬ DỤNG TRONG PHÂN TÍCH PHI TUYẾN HÌNH HỌC

Chương ba trình bày về thuật toán tích phân trực tiếp Newmark họ  dạng sai phân sử dụng trong bài toán phân tích động phi tuyến

Phương pháp được trình bày từ những giả thiết cơ bản, tổng quan về các thuật toán thuộc họ Newmark Thuật toán Newmark dạng tích phân ẩn được trình bày cụ thể cho  = 1/4 và  = 1/2 Sơ đồ thuật toán được giới thiệu

Trong chương này cũng trình bày thuật toán lặp Newton-Raphson để giải phương trình cân bằng trong bài toán phi tuyến Đây là thuật toán quan trọng trong các bài toán phân tích cả động và tĩnh khi có xét đến tính phi tuyến

Một sơ đồ thuật toán cụ thể được đưa ra Cách lựa chọn các bước tính và kiểm tra độ hội tụ cũng được trình bày ở đây

3.1 Phương pháp Newmark

3.1.1 Giới thiệu chung về phương pháp Newmark họ 

Phương pháp Newmark dựa trên khai triển xấp xỉ chuỗi Taylor đối với chuyển vị U, vận tốc U và gia tốc U

3 2

t t

Trang 31

trong đó  và  là các tham số có thể được xác định để nhận được sự ổn định và

độ chính xác của tích phân Tổng quan về các thuật toán họ Newmark- phụ thuộc vào các giá trị cụ thể của  và  cho trong bảng 3.1

Bảng 3.1 Tổng quan các thuật toán họ Newmark-

Tên gọi thuật toán   () Giới hạn ổn

định t

Sai số biên độ

Sai số chu

kỳ

T T

Gia tốc trung bình không

3.1.2 Phương pháp Newmark dạng sai phân (gia số tăng)

Ta xét phương trình cân bằng không có cản tại thời điểm tt dưới dạng gia số:

t t t t t

U

Ta tìm biểu diễn của gia số gia tốc và gia số vận tốc tại thời điểm tt

qua gia số chuyển vị Ut+  t Từ phương trình (3.7) ta rút ra được biểu thức cho gia tốc tại thời điểm tt

t

U t

U

Thay (3.9) vào phương trình (3.6) được biểu thức của gia số vận tốc tại thời điểm tt

Trang 32

t t

t t t

t

U t

t t

t M U

t M

1

Lúc này phương trình chuyển động rút gọn về dạng

t t t

t t

3.1.3 Sơ đồ thuật toán Newmark ( = 1/4 và  = 1/2) và bỏ qua hệ số cản

A Tính toán ban đầu

– Xây dựng ma trận độ cứng tiếp tuyến Kt, ma trận khối lượng M

– Cho giá trị ban đầu Ut, U0, U ,0 U0

– Chọn bước thời gian t và tính các hệ số tích phân (3.15)

;

2 0

Kˆ   0

– Đưa về phương trình: KˆU tt  Rˆtt

B Tại mỗi bước tính

Trang 33

– Tính véc tơ tải hữu hiệu tại thời điểm t+t theo (3.14)

t t t

t t

3.1.4 Lựa chọn bước tích phân

Từ mô hình tích phân theo thời gian của phương pháp sai phân trung tâm từ điều kiện ổn định, bước thời gian t phải nhỏ hơn một giá trị giới hạn tcr, giá trị này được tính từ chu kỳ dao động nhỏ nhất của dầm (khung) như sau:

A – diện tích mặt cắt ngang của phần tử

I – mô men quán tính

L – chiều dài của phần tử

c – tốc độ sóng c E/ 

E – mô đun đàn hồi

 – mật độ khối

Trang 34

Tổng kết, trong phân tích động lực học phi tuyến sử dụng tích phân thời gian ẩn, chúng ta nên sử dụng một mô hình là ổn định không có điều kiện trong phân tích tuyến tính, sử dụng các bước lặp ở trạng thái cân bằng với sai số hội tụ

đủ chặt, và lựa chọn bước thời gian như trong mục 3.1.4 Như vậy hội tụ tại các bước lặp ở trạng thái cân bằng có thể đạt được

3.2 Phương pháp lặp Newton-Raphson

Trong sơ đồ thuật toán cụ thể của phương pháp Newmark tại mỗi bước gia

số của lực ta có bước tính ở đó cần phải giải phương trình cân bằng (3.12) Để giải phương trình này khi bài toán của ta là phi tuyến có một số phương pháp như: phương pháp Newton – Raphson, Newton – Raphson cải tiến, dây cung bước gia tăng hoặc tựa Newton, thuật toán tìm theo đường thẳng Tuy nhiên các

mô hình lặp thường được sử dụng để giải nghiệm các phương trình phần tử hữu hạn phi tuyến là lặp Newton – Raphson, phương pháp này có quá trình hội tụ nhanh nhất trong quá trình tìm nghiệm của bài toán, trong đó chỉ cần tính hàm

ma trận độ cứng tuyến tính một lần tại mỗi bước lặp Tất nhiên, với các giả thiết rằng nghiệm ban đầu là trong miền hội tụ và dĩ nhiên không xảy ra hiện tượng phân kỳ Thực ra phương pháp Newton-Raphson được miêu tả dưới đây tiệm cận với tốc độ hội tụ bậc 2 (quadratic) Phương pháp này thường được gọi đơn giản là phương pháp của Newton nhưng nó cũng được đưa ra bởi Raphson Các kỹ thuật tính toán và xấp xỉ: Nói chung có hai kỹ thuật được sử dụng trong giải các bài toán phi tuyến

Thứ nhất sử dụng tải với bước gia số nhỏ, và xác định sự thay đổi tương ứng trong cấu hình của kết cấu từ phân tích tuyến tính hoá (Hình 3.1a) Kỹ thuật này không liên quan đến việc giải lặp, nhưng yêu cầu hiệu chỉnh ma trận độ cứng tiếp tuyến tại mỗi bước tải

Thứ hai sử dụng một quá trình lặp (Hình 3.1b) Tại bất kỳ một mức tải một nghiệm xấp xỉ được giả định hoặc được tính; sau đó nó được tính từng bước đối với một kiểu lặp Newton-Raphson đến khi các phương trình cân bằng được thoả mãn trong một sai số cho phép Một vài sự kết hợp của quá trình lặp và kỹ thuật tuyến tính hoá gia số cũng được sử dụng chung

Trang 35

a) Quá trình tuyến tính hoá bước tăng (incremental)

r  : Véc tơ phần dư

) , (U t t U t t

F    : Biểu diễn nội lực của kết cấu, nói chung là hàm của các

chuyển vị và vận tốc

Biến dạng Tải

Tải

Biến dạng Nghiệm hội tụ Nghiệm giả định

Trang 36

) , (U t

R tt : Biểu thức của lực ngoài, trong trường hợp tổng quát nó là hàm của chuyển vị và biến thời gian

U  : Véc tơ gia tốc của hệ kích thước (n1)

M: ma trận khối lượng tổng thể của kích thước (nn)

n: số bậc tự do của hệ

t: biến thời gian

Hình 3.2 Phương pháp Newtow – Raphson

Giả sử trong nghiệm lặp chúng ta đã tính được tt U( 1i); sau đó khai triển chuỗi Taylor ta được

 

     1   i 1 (i) (( (i) )2)

t t

i t t

Bỏ qua thành phần bậc cao trong phương trình (3.22), chúng ta có thể tính

số gia (increment) chuyển vị như sau:

 

    i  (i)

t t

Trang 37

Ma trận J gọi là ma trận Jacobian (ma trận độ cứng tiếp tuyến) và được tính như sau

J

Biểu thức của J là:

U

R U

U M U

U U

F U

3.2.2 Trường hợp không có cản, lực ngoài không phụ thuộc vào chuyển vị

Phương trình (3.24) được viết lại dưới dạng

U

U M U

F U

Trang 38

Các xấp xỉ chuyển vị, vận tốc, gia tốc vẫn được tính theo các phương trình (3.25), (3.26) và (3.27) cùng với các điều kiện đầu

3.2.3 Nhận xét chung

Mặc dù tốc độ hội tụ nhanh, xong phương pháp Newton –Raphson có một

số nhược điểm sau:

 Ma trận độ cứng tiếp tuyến K tt phải được tính tại mỗi bước lặp

 Nếu giải trực tiếp phương trình (3.23), (3.29) ma trận cần phải được phân tích (LU hoặc Choleskey) tại mỗi bước lặp

 Trong một số tình huống ma trận tiếp tuyến là đối xứng tại trạng thái nghiệm này nhưng không đối xứng tại nghiệm khác Trong trường hợp này thuật giải cần phải tổng quát

 Do tính toán có thể tương đối quá phức tạp khi bậc tự do của hệ lớn, sử dụng một sự thay đổi của thuật toán Newton – Raphson ở trên có thể mang lại hiệu quả

Một sự thay đổi đó là sử dụng ma trận độ cứng ban đầu K0 do đó phương trình (3.29) được viết dưới dạng

( )

U U

U M

với các điều kiện đầu F t 0t F t

và U t 0t U t

Trong trường hợp này chỉ có ma

trận K0 cần được phân tích (LU hoặc Cholesky (LL)), do vậy tránh được sự tốn kém của việc tính toán và phân tích lại nhiều lần ma trận hệ số trong công thức (3.29) Đây là phương pháp ứng suất ban đầu hoặc phương pháp truyền ứng suất tương ứng với sự tuyến tính hoá của đáp ứng về cấu hình ban đầu của hệ phần tử hữu hạn và có thể hội tụ chậm hơn hoặc phân kỳ (Hình 3.3)

Trang 39

Lặp Newton – Raphson cải tiến (Modified Newton – Raphson iteration) (Hình 3.4) là một cách tiếp cận có phần nằm giữa lặp Newton – Raphson đầy đủ với phương pháp ứng suất ban đầu Trong phương pháp này chúng ta sử dụng

U

U M

Hình 3.3 Phương pháp ứng suất ban đầu

Lặp Newton – Raphson cải tiến này liên quan đến một vài thông tin lại độ cứng hơn là lặp Newton – Raphson đầy đủ và sự hiệu chỉnh ma trận độ cứng dựa vào cấu hình cân bằng được thừa nhận Sự lựa chọn các bước thời gian mà ma trận độ cứng nên được điều chỉnh phụ thuộc vào mức độ phi tuyến trong đáp ứng của hệ; nghĩa là nhiều đáp ứng phi tuyến thì thực nhiều sự điều chỉnh

Hình 3.4 Phương pháp Newton – Raphson cải tiến

Độ cong 0

K

Chuyển vị Lực

Độ cong t+  t

K = t

K

Chuyển vị Lực

Trang 40

Trong một dải lớn tính phi tuyến của hệ có thể kể đến trong phân tích kỹ thuật, chúng ta có được sự hiệu quả của các cách giải nghiệm ở trên phụ thuộc vào từng bài toàn cụ thể Phương pháp Newton – Raphson đầy đủ tiến đến hội tụ nhanh, nhưng nếu phương pháp ứng suất ban đầu hoặc Newton – Raphson cải tiến được sử dụng, việc giải nghiệm có thể giảm đi đáng kể Do đó, trong thực tế

sự chọn lựa giải nghiệm cũng có thể rất dễ dàng, và một thủ tục tự động tự lựa chọn phù hợp một kỹ thuật giải hiệu quả là lựa chọn tốt nhất

3.2.4 Tiêu chuẩn hội tụ

Khi kể đến ảnh hưởng của quán tính, nghĩa là hội tụ đạt được khi các điều kiện sau đây được thoả mãn Còn ngược lại xem Bath K –J, 1996 [8]

RTOL RNORM

U M F

M F R U

U M F

R U

t t

t t T

i t t i

t t t t T

) (

)

) ( )

( )



1

1 1

trong đó RTOL là sai số về lực và ETOL là sai số năng lượng Tùy thuộc vào bài toán cần xem xét mà có thể bỏ qua sai số hội tụ năng lượng gọi là điều kiện hội tụ không đủ chặt lúc này đáp ứng thường lớn hơn

Tóm lại khi một phân tích động lực học phi tuyến sử dụng tích phân thời gian ẩn, nên sử dụng mô hình ổn định không có điều kiện trong phân tích tuyến tính (một cách tốt nhất là luật tam giác), sử dụng các phép lặp ở trạng thái cân bằng với các sai số hội tụ đủ chặt chẽ, và lựa chọn bước thời gian dựa trên nguyên tắc trong mục (3.2.4) và hội tụ tại các bước lặp ở trạng thái cân bằng cần phải đạt được

3.3 Qui trình và chương trình tính toán

Trong mục này ta tổng hợp các quy trình tính toán và trình bày dưới dạng

sơ đồ khối chương trình

3.3.1 Phương pháp sai phân

Bước 1 Tính ma trận độ cứng tiếp tuyến  K tại thời điểm t i

Bước 2 Chọn bước thời gian t, và tính  R

Bước 3 Giải phương trình (3.12) đối với  U tt, sau đó tính  U tt

Định dạng
Số trang	80
Dung lượng	2,52 MB