Lớp 12 nguyên hàm tích phân 26 câu nguyên hàm tích phân từ đề thi thử giáo viên lê tuấn anh năm 2018 converted image marked

Câu (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Nguyên hàm hàm số f ( x ) = cos ( 5x − 2) A F ( x ) = sin ( x − ) + C B F ( x ) = 5sin ( 5x − 2) + C C F ( x ) = − sin ( x − ) + C D F ( x ) = −5sin ( 5x − 2) + C Hướng dẫn: A Áp dụng công thức  cos ( ax + b ) dx = Câu 2: sin ( ax + b ) + C a (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính thể tích khối tròn xoay sinh quay hình phẳng giới hạn đồ thị hàm số y = − x ; y = quanh trục Ox B 3 A C  D  Hướng dẫn: D + Hàm thứ y = − x , hàm thứ hai y =  x = −1 Giải phương trình hồnh độ giao điểm − x =  − x =   x =  Cận thứ x = −1 , cận thứ hai x = 1 + Thể tích V =   −1 ( ) dx 1− x Sử dụng máy tính Casio với lệnh tính tích phân V =  Câu 3: f ( x ) = ax + (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tìm nguyên hàm F ( x ) hàm số b ( x  ) ,biết F ( −1) = , F (1) = , f (1) = x2 3x + + A F ( x ) = 2x 3x − − B F ( x ) = 2x 3x + − C F ( x ) = 4x 3x − − D F ( x ) = 2x Hướng dẫn: A  b  ax bx −1 ax b  f ( x )dx =   ax +  dx = ( ax + bx −2 ) dx= + +C = − + C = F ( x) x  −1 x  ( ) a  2 +b +C =1 a =  F ( −1) =    3x a  Ta có  F (1) =   − b + C =  b = − Vậy F ( x ) = + + 2 x     F (1) = a + b =    c =   Câu (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Tìm tất giá trị thực dương tham số m cho m  xe x +1 m +1 dx=2500 e C m = 2250 2500 + D m = 21000 − A m = 2250 2500 − B m = 21000 + Hướng dẫn: C m Ta có I =  xe x +1 m dx=  e 20 x +1 d ( x2 ) Đặt t = x2 + , x =  t = 1; x = m  t = m2 + m2 +1 Do I = = m + 1.e  e d ( t − 1) = t m2 +1 Bài I = 2500 e m2 +1  te dt = ( te t t − e − et m2 +1  ( m2 +1 = m + 1.e ) m2 + − e m2 +1 m +1 ) m +1  et dt m2 +1 +e = − −e−e = 2500 e m2 +1 ( ) m2 + − e m2 +1 m +1  m2 + − = 2500  m2 + = (1 + 2500 )  m2 = 21000 + 2.2500 ( ) Kết hợp với m  ta m = 21000 + 2.2500 = 2500 + 2500 = 2250 + 2500 thỏa mãn Câu 5: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I =  xn 1+ x + n x x x + + 2! 3! n! kết 1 1  A ( n + 1) !ln  + + + +  2! 3! n!   1 1  B ln  + + + +  2! 3! n!   1 1  C ( n − 1) !ln  + + + +  2! 3! n!   D Đáp án khác dx , ( n  N * ) ta Hướng dẫn: D +Vì kết có xuất ln, nên ta nghĩ đến ý tưởng dùng công thức  f ( x )df ( x ) = ln x + C Để xuất công thức ta coi mẫu f ( x )  fn ( x ) = + x + + Vậy I =  x x3 xn x x3 xn −1 + + +  f n ( x ) = + x + + + + = f ( x) 2! 3! n! 2! 3! ( n − 1)! n−1 n !( f n ( x ) − f n −1 ( x ) ) fn ( x )  f ( x)  dx = n !  1 − n dx f x ( ) n 0   1   = n ! x − n !ln f n ( x ) = n !1 − ln  + + + +   2! 3! n!     Câu (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Nguyên hàm hàm số f ( x ) = x + − x ( x  0) x A x3 + 3lnx − x 3 B x3 + 3ln x − x +C 3 C x3 + 3ln x + x +C 3 D x3 − 3ln x − x +C 3 Chọn đáp án B Ta có  x3   f ( x )dx =   x + − x dx = + 3ln x − x x + C x 3   Câu 7: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Biết F ( x ) nguyên hàm hàm số f ( x ) = x3 − A F ( ) = + x thỏa mãn 5F (1) + F ( 2) = 43 Tính F ( ) x2 151 B F ( ) = 23 C F ( ) = 45 D F ( ) = Chọn đáp án B + Ta có F ( x ) = x + + x +C x 7   45  + Theo giả thiết 5F (1) + F ( ) = 43   + C  +  + C  = 43  C = 2    + Do F ( x ) = x + + x +  F ( ) = 23 x 2 86 Câu 8: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số f ( x ) có nguyên hàm F ( x ) đoạn 1;2 , biết F ( ) = A I = 37 2 1  F ( x )dx = Tính I =  ( x − 1) f ( x )dx B I = D I = −4 C I = Chọn đáp án D Ta có 2 1 2 1  ( x − 1) f ( x )dx =  xf ( x )dx −  f ( x )dx = xF ( x ) −  F ( x )dx −  f ( x )dx = 2F ( 2) − F (1) − − F ( 2) + F (1) = F ( 2) − = −4 Câu (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Trong mặt phẳng tọa độ, cho hình chữ nhật ( H ) có ( ) cạnh nằm trục hồnh, có hai đỉnh đường chéo A ( −1;0 ) C m; m , với m  Biết đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành hai phần có diện tích nhau, tìm m B m = A m = C m = D m = Chọn đáp án D ( ) + Gọi ABCD hình chữ nhật với AC nằm trục Ox , A ( −1;0 ) C m; m Nhận thấy đồ thị hàm số y = x cắt trục hoành điểm có hồnh độ qua ( ) C m; m Do chia hình chữ nhật ABCD làm phần có diện tích S1 , S2 Gọi S diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x trục Ox , x = 0, x = m S1 diện tích phần lại Ta tính S1 , S2 m + Tính diện tích S2 =  xdx = 2m m + Hình chữ nhật ABCD có AB = m + 1; AD = m nên S1 = S ABCD − S = m ( m + 1) − Do đồ thị hàm số y = x chia hình ( H ) thành S1 = S  2m m 2m m − m ( m + 1) − m=3 3 Câu 10: Biết I =  (Gv 2m m hai phần có diện tích nên ( Do a  ) Lê Tuấn 2x −1 dx = a + b ln + c ln , ( a, b, c  Z ) 2x + 2x −1 +1 Khi Anh đó, 2018) giá trị P = a − ab + 2c A 10 B C D Chọn đáp án A Ta có x + x − + = x − + x − + Đặt t = x −  t = x −  tdt = dx Đổi cận x =  t = 1; x =  t = Khi 3  t2 −3t −  −4   I = dt =  1 + d t = +  1 +  dt = ( t + ln t + − 4ln t + )  t + t + t + t + t + t + ( )( )   1  3 = + ln − ln − (1 + ln − ln ) = + ln + ln  a = 2, b = 1, c =  a + b + c = ( ) Câu 11 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hàm số fx = tan x 2cot x − cos x + 2cos2 x có    coscx − d Chọn phát biểu nguyên hàm Fx F   = Giả sử Fx = ax + b cos x −  4 A a : b : c = 1: 2:1 B a + b + c = C a + b = 3c D a − b + c = d Chọn đáp án B Ta có F( x) =  tanx2cot x − cos x + 2cos2 x =  − si nx + sin2xdx = 2x + cos x −        cos2x + C Mà F   =  F   = + − + C =  C = −1 2  4  4 Do F ( x) = 2x + cos x − cos2x −1 21000  Câu 12: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I = ( x + 1)2 A I = − C I = ln21000 + 1000ln + 21000 3ln21000 + 21000 − 1000ln B I = − + 21000 D I = + 21000 ln x 1000ln2 + 21000 1000ln2 + 21000 dx , ta kết + ln − 6ln 21000 + 21000 21000 + 21000 Chọn đáp án B 21000 Ta có I =  ( x + 1)2 =− ln x 21000 ln21000  + 1+ 1000 =− 1000ln2 =− 1000ln2 1+ 1000 + 21000 21000 1 ln x ln xd =− x +1 x +1 1 1000ln2 dx = − + x +1 x + 21000 ( + ln x − ln x + + ln  dx = − 21000 21000 )1 =− 21000  1000ln2 1+ 1000 21000 1 1   −  dx  x x + 1 21000 + ln x x +1 21001 + 21000 ( x − 3) dx ta (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tính tích phân I =  10 ( 2x + 1) Câu 13: A d(ln x) x +1  + 318 + 29 63.39 B − 318 + 29 63.39 C 318 − 29 63.39 D −318 + 29 63.39 Chọn đáp án C 1 x−3 x − 3) x − 3) ( ( ( ) x−3  x−3  318 − 29 I = dx =  dx =  d =  = 10 8 2x + 63 2x +  63.39   ( x + 1) ( 2x + 1) ( 2x + 1) ( 2x + 1) 8 Câu 14 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho vật thể H nằm hai mặt phẳng x = 0, x = Biết thiết diện vật thể H cắt mặt phẳng vng góc với trục Ox điểm có hồnh độ x (0  x  1) tam giác có cạnh ln(1 + x) Giả sử thể tích V vật thể có kết V = a b(c ln2 − 1) với a, b, c số nguyên Tính tổng S = a2 − ab + c A Chọn đáp án A B C D + Thiết diện vật thể mặt phẳng vng góc với trục Ox tam giác có diện tích S = S( x) = ( ln(1 + x) ) = ln(1 + x) + Diện tích S = S( x) hàm liên tục  0;1 nên thể tích vật thể cần tìm tính theo cơng thức V =  ln(1 + x)dx = 2.7673 = 3(2ln2 − 1)  Ta chọn đáp án A Câu 15 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho hàm số f ( x) liên tục thỏa mãn    sin x f ( x) + f  − x  = , x  3  cos x(8cos3 x + 1) a c ln ; a, b, c, d  b d dạng I = Biết tích phân I =  f ( x)dx biểu diễn phân số a c ; b d phân số tối giản Tính S = a3 + ab − c + d A S=6 B S=3 C S=5 D S=7 Chọn đáp án A   sin x , x  + Ta có f ( x) + f  − x  = 3  cos x(8cos3 x + 1)        13 sin x f ( x)dx +  f  − x  dx =  dx, x  3 cos x (8cos x + 1)   0 + Áp dụng tính chất Nếu hàm số f t = a + b − x ta có b  a (x) liên tục đoạn  a; b , với phép đổi biến b f ( x)dx =  f (a + b − x)dx ta a    3 sin x  f ( x)dx =  dx  cos x(8cos3 x + 1)   13 sin x f ( x)dx =  dx cos x(8cos3 x + 1)  13 sin x + Đặt I =  dx; t = 8cos3 x +  dt = −24cos2 x sin xdx cos x(8cos x + 1) x = 0→t = Khi x=  →t =2  9 1 t −1 16 I= dx =  dt = ln = ln 12 t (t − 1) 12 t 12 cos x(8cos x + 1) sin x + Vậy S = a3 + ab − c + d = Câu 16 (Gv Lê Tuấn Anh 2018): Cho f ( x), g( x) hai hàm số liên tục K a, b, c ba số thuộc K Khẳng định khẳng định đúng? b A  f ( x)dx +  f ( x)dx = a C b a B  f ( x)dx =  f a b b c c a b a  f ( x)dx +  g( x)dx =  f ( x)dx D b ( x)dx a b b b a a a  f ( x)g( x)dx =  f ( x)dx g( x)dx Chọn đáp án A Dựa vào tính chất tích phân rõ ràng A đáp án Câu 17: (Gv Lê Tuấn Anh 2018)Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f ( x) = cos x sin x + 1 A F ( x) = sin x sin x + + C B F ( x) = (sin x + 1) sin x + + C 1− 2sin x − 3sin2 x C F ( x) = (sin x + 1) sin x + + C D F( x) = sin x + Chọn đáp án C Ta có H =  cos x sin x + 1dx =  sin x + 1d(sin x) Đặt t = sin x +  sin x = t −  H =  td(t − 1) =  t.2tdt H = 2t +C = 3 ( ) sin x + + C = (sin x + 1) sin x + + C (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục Câu 18: hàm số y = g( x) = xf ( x2 ) có đồ thị đoạn 1; 2 hình vẽ bên Biết phần diện tích miền , tính tích phân I =  f ( x)dx tô màu S = C I = 10 B I = A I = D I = Chọn đáp án D 2 5 2  g( x)dx =   xf ( x )dx = Đặt t = x  dt = 2xdx Đổi cận 1 suy ra: 2  xf ( x )dx = 4 f (t )dt =   f (t )dt =  I =  21 Câu 19: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Giả sử hàm số y = f ( x) liên tục, nhận giá trị dương khoảng (0; +) thỏa mãn f (1) = 1; f ( x) = f '( x) 3x + 1, x  Mệnh đề mệnh đề A max f ( x)  B max f ( x)  x2;4 x2;4 C  max f ( x)  x2;4 D max f ( x) = x2;4 Chọn đáp án C f ( x) = f '( x) 3x +  f '( x) f '( x) dx =  dx =  f ( x) f ( x) 3x + 3x + − d( f ( x))  =  (3x + 1) dx  ln f ( x) = 3x + + C  f ( x) = e3 f ( x) +C f (1) =  = e3 Mặt khác  C = − Vậy f ( x) = e3 3x+1− 3x+1+C Dùng máy tính casio ta có max f ( x)  2,916 x2;4 Câu 20: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số y = f ( x) hàm số chẵn, liên tục đoạn  −1;1 thỏa mãn A I = 2  f ( x)dx = 3,  f (2x)dx = 10 Tính I =  B I = 23 − C I = 13 cos f (sin x)dx  D I = Chọn đáp án B a   f ( x)dx = 2 f ( x)dx  + Ta có tính chất y = f ( x) hàm số chẵn, − a b −a    f ( x)dx =  f ( x)dx  a −b + Xét 1  f (2x)dx = 10 Đặt t = 2x ta thu kết  f ( x)dx = 20 + I=  − cos xf (sin x)dx  Đặt t = sin x  dt = cosxdx Ta có −  f (t )dt = −1  f (t )dt + −1  f (t )dt = 23 − a Câu 21 (Gv Lê Tuấn Anh) Cho a số thực dương, tính tích phân I =  x dx theo a −1 −2a + a2 + a2 + A I = B I = C I = 2 D I = 3a − Chọn đáp án A a2 a2 + = Vì a  nên I = −  xdx +  xdx = + 2 −1 0 a x2 − −1 dx = + n ln , với m, n số nguyên Tính (Gv Lê Tuấn Anh) Biết  x +1 m Câu 22: m+n C S = −5 B S = A S = D S = −1 Chọn đáp án A ( x − 1) x2 − dx 0 x + dx = 0 ( x − 1) dx − 0 x + = 1 − ln x + 1 = −1 − ln 2  m = 2, n = −1  m + n =  Câu 23 (Gv Lê Tuấn Anh) Biết cos x − + 3− x dx = m Tính giá trị  cos x − + 3− x dx A  − m B  C  + m +m D  −m Chọn đáp án A  Sử dụng phân tích   cos x cos x dx + − + 3− x − + 3x dx = − cos xdx =  1000 Câu 24: (Gv Lê Tuấn Anh)Tính tích phân I = lnx  ( x+1) dx , ta ln 21000 A I = − + 1001ln 1000 1+ + 21000 1000ln 21000 B I = − + ln + 21000 + 21000 ln 21000 − 1001ln C I = 1000 1+ + 21000 1000 ln 21000 − ln D I = + 21000 + 21000 Chọn đáp án A b - Phương pháp: Tính tích phân  p ( x ) ln f ( x ) dx ta sử dụng phương pháp tích phân a phần dx  u = lnx du =    x dx   Đặt  dv =  ( x+1)  v = − x+1  1000 1000 2 lnx 21000 dx ln 21000  1000ln x 21000 1 I=− +  = − 1000 +  − + ln .dx = − 1000 x+1 x + 1  x x+1  +1 x+1 ( x+1) 1 1000 ln 21000 1000 ln 21001 = − 1000 + ln 1000 − ln = − 1000 + ln 1000 +1 +1 2 +1 +1 Câu 25: (Gv Lê Tuấn Anh) y = f ( x ) = ax3 + bx + cx+ d, ( a, b,c,d  ,a  ) có đồ thị Cho hàm số (C) Biết đồ (C) tiếp xúc với đường thẳng y = điểm có hồnh độ âm đồ thị thị hàm số Ox cho hình vẽ Tính Thể tích vật thể tròn xoay tạo thành quay hình phẳng H giới hạn đồ thị (C) trục hoành xung quanh trục hoành Ox A 725 π 35 B π 35 C 6π Chọn đáp án D + Dựa vào đồ thị hàm số y = f  ( x )  f  ( x ) = ( x − 1) D Đáp án khác Khi f ( x ) =  f  ( x ) dx = x − 3x + C Điều kiện đồ thị hàm số f ( x ) tiếp xúc với đường thẳng y=4 là: x − 3x + C = x = −1 f ( x ) =    C = f  ( x ) = 3 ( x − 1) = f ( x ) = x3 − 3x + ( C) + Cho (C )  Ox  hoành độ giao điểm x = −2; x = 1 + Khi V =   ( x − 3x + ) dx= −2 729  (Do x  0) suy ... x)dx =  f ( x)dx g( x)dx Chọn đáp án A Dựa vào tính chất tích phân rõ ràng A đáp án Câu 17: (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Tìm nguyên hàm F (x) hàm số f ( x) = cos x sin x + 1 A F ( x) = sin x sin x +... sin x + + C (Gv Lê Tuấn Anh 2018) Cho hàm số y = f ( x) liên tục Câu 18: hàm số y = g( x) = xf ( x2 ) có đồ thị đoạn 1; 2 hình vẽ bên Biết phần diện tích miền , tính tích phân I =  f ( x)dx... 1 t −1 16 I= dx =  dt = ln = ln 12 t (t − 1) 12 t 12 cos x(8cos x + 1) sin x + Vậy S = a3 + ab − c + d = Câu 16 (Gv Lê Tuấn Anh 2018) : Cho f ( x), g( x) hai hàm số liên tục K a, b, c ba số thuộc