Khái niệm khoảng đoạn trong phép tính đạo hàm nguyên hàm và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH NGUYỄN VĂN ĐỨC KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN TRONG PHÉP TÍNH ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS TRẦN LƯƠNG CƠNG KHANH Thành phố Hồ Chí Minh – 2011 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS Trần Lương Cơng Khanh, người tận tình hướng dẫn tơi mặt nghiên cứu khoa học nhiều cơng sức, thời gian để giúp tơi hồn thành luận văn Tôi xin trân trọng cảm ơn: PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, TS Trần Lương Công Khanh, TS Nguyễn Ái Quốc, TS Lê Thái Bảo Thiên Trung nhiệt tình giảng dạy, truyền thụ kiến thức niềm say mê Didactic Tốn Tơi xin trân trọng cám ơn: TS Alain Birebent nhiệt tình góp ý hướng nghiên cứu đề tài giải đáp thắc mắc cần thiết cho Tôi xin chân thành cám ơn: - Ban lãnh đạo chuyên viên Phòng KHCN – SĐH trường ĐHSP TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho học tập trường - Ban giám hiệu trường THPT Lộc Hưng với đồng nghiệp thuộc Bộ mơn Tốn tạo điều kiện thuận lợi cho lúc học tập trường ĐHSP TP.HCM - Ban Giám hiệu giáo viên trường THPT Trần Quốc Đại, THPT Nguyễn Trãi, THPT Lê Quý Đôn, THPT Quang Trung Tỉnh Tây Ninh nhiệt tình giúp đỡ xếp cho thực nghiệm Quý trường Xin gởi lời cảm ơn chân thành đến bạn lớp Didactic khóa 18 tơi học tập, trải qua ngày vui buồn khó khăn khóa học Sau cùng, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến thành viên gia đình tơi, ln động viên giúp đỡ mặt Nguyễn Văn Đức MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1T T 1T T 1T T 1.Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát 2.Khung lý thuyết tham chiếu 3.Câu hỏi nghiên cứu 4.Phương pháp nghiên cứu 5.Cấu trúc luận văn 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẠO HÀM, NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC 1T T 1.1.Khái niệm khoảng, đoạn 1.2.Khái niệm giới hạn hàm số 1.3.Khái niệm đạo hàm 10 1.4.Khái niệm nguyên hàm 14 1.5.Khái niệm tích phân xác định 18 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T CHƯƠNG 2: SỰ VẬN HÀNH CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 29 1T T 2.1.Tiến trình hình thành khái niệm khoảng, đoạn 30 2.1.1.Khái niệm khoảng, đoạn trước định nghĩa 30 2.1.2.Khái niệm khoảng, đoạn định nghĩa 31 2.2.Đạo hàm 32 2.2.1.Đạo hàm hàm số điểm 32 2.2.2.Đạo hàm hàm số khoảng 36 2.3.Đạo hàm cấp cao 50 2.5.Đạo hàm 65 2.5.1.Đạo hàm hàm số điểm 65 2.5.2.Đạo hàm hàm số khoảng 66 1T T 1T T 1T T 1T T 1T 1T 1T T 1T 1T 1T T 1T 1T 1T T CHƯƠNG 3: NGHIÊN CỨU THỰC NGHIỆM 70 1T T 3.1.Thực nghiệm giáo viên 70 3.1.1.Giới thiệu thực nghiệm 70 3.1.2.Phân tích Posteriori 76 3.2.Thực nghiệm học sinh 79 3.2.1.Giới thiệu thực nghiệm 79 3.2.2.Phân tích apriori 80 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T 1T KẾT LUẬN 89 PHỤ LỤC 91 1T T 1T T Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho giáo viên 91 Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh 93 1T 1T T 1T MỞ ĐẦU 1.Ghi nhận ban đầu câu hỏi xuất phát Khái niệm khoảng, đoạn tham gia tường minh ngầm ẩn vào việc xây dựng định nghĩa định lí chương trình Tốn trung học phổ thông chưa quan tâm nghiên cứu mức phương diện học thuật lẫn thực hành giảng dạy Nghiên cứu xuất phát từ câu hỏi ban đầu sau: 1.1 Khái niệm khoảng, đoạn xuất Toán học nào, phục vụ cho kiểu tốn gì? 1.2 Trong chương trình Tốn trung học phổ thơng hành, khái niệm khoảng, đoạn đưa vào nào, nhằm mục đích gì? 1.3 Việc khơng quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông? Giới hạn đề tài Trong phạm vi luận văn thạc sĩ, tự giới hạn đề tài việc nghiên cứu vận hành khái niệm khoảng, đoạn việc giảng dạy khái niệm đạo hàm, nguyên hàm tích phân trung học phổ thơng 2.Khung lý thuyết tham chiếu Để tìm kiếm yếu tố cho phép trả lời câu hỏi trên, đặt nghiên cứu khuôn khổ lý thuyết didactic, cụ thể hợp đồng didactic lý thuyết nhân chủng học didactic 1.1 Trong lý thuyết nhân chủng học didactic, sử dụng khái niệm quan hệ thể chế quan hệ cá nhân tri thức Quan hệ R(I,O) thể chế I với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà thể chế I có với tri thức O Nghiên cứu mối quan hệ thể chế cho biết đối tượng tri thức “khái niệm khoảng, đoạn” xuất nào, nhằm mục đích gì, phục vụ cho kiểu toán nào? Quan hệ R(X,O) cá nhân X với tri thức O tập hợp tác động qua lại mà X có với O: thao tác nó, sử dụng nó, nói nó, nghĩ nó, … Quan hệ cá nhân với đối tượng O rõ cách thức mà X biết O Việc học tập điều chỉnh mối quan hệ cá nhân X với O Hoặc quan hệ bắt đầu thiết lập (nếu chưa tồn tại), quan hệ bị biến đổi (nếu tồn tại) Nghiên cứu mối quan hệ cá nhân giúp thấy việc không quan tâm mức đến vai trò khoảng, đoạn chủ thể hệ thống dạy học (giáo viên, học sinh) dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông Mối quan hệ thể chế R(I,O), quan hệ cá nhân R(X,O) xác định thông qua nghiên cứu tổ chức toán học, praxéologie Praxéologie khái niệm Yves Chevallard (1998) đưa mà việc phân tích chúng cho phép ta xác định mối quan hệ thể chế đối tượng tri thức O Theo Chevallard, praxéologie phận gồm bốn thành phần [T, τ, θ, Θ], T kiểu nhiệm vụ, τ kỹ thuật cho phép giải T, θ công nghệ giải thích cho kỹ thuật τ, Θ lý thuyết giải thích cho cơng nghệ θ 1.2 Hợp đồng didactic: Hợp đồng didactic mơ hình hố quyền lợi nghĩa vụ ngầm ẩn giáo viên học sinh đối tượng tri thức toán học đem giảng dạy Thơng thường, tập hợp quy tắc phân chia hạn chế trách nhiệm bên, học sinh giáo viên, tri thức toán giảng dạy Hợp đồng didactic quy tắc giải mã hoạt động trình học tập thấu hiểu ý nghĩa định hướng cách ứng xử giáo viên học sinh –điều chỉnh chủ yếu phân tích didactic-khi giải thích cách rõ ràng xác kiện quan sát khn khổ hợp đồng Nghiên cứu hợp đồng didactic giúp tạo biến loạn hệ thống giảng dạy, cho đặt thành viên chủ chốt tình khác lạ nhằm mục đích phá vỡ hợp đồng để thấy vai trị khái niệm vận hành phát biểu mà diện 3.Câu hỏi nghiên cứu Sau đây, phát biểu lại câu hỏi ban đầu ánh sáng khung lý thuyết tham chiếu chọn Mục đích luận văn trả lời câu hỏi nghiên cứu phát biểu Q1 Ở cấp độ tri thức khoa học, khái niệm khoảng, đoạn xuất nào? Trong định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm tích phân, chúng có vai trị phục vụ cho kiểu toán nào? Q2 Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy thể chế dạy học bậc THPT, khái niệm khoảng, đoạn sgk hành giới thiệu nào? Vai trò chúng xuất đạo hàm, ngun hàm tích phân có tác giả tính đến khơng? Chúng phục vụ cho kiểu toán nào? Q3 Những quy tắc hợp đồng didactic hình thành giáo viên học sinh trình dạy-học khái niệm đạo hàm, ngun hàm tích phân có tác động khái niệm khoảng, đoạn? Việc không hiểu mức đến vai trò khoảng, đoạn dẫn đến sai lầm dạy học Toán trung học phổ thông? 4.Phương pháp nghiên cứu Từ câu hỏi ban đầu, lựa chọn khung lý thuyết tham chiếu phù hợp, sở đặt câu hỏi nghiên cứu Q1, Q2, Q3 Đối với câu hỏi Q1, khơng có điều kiện tư liệu thời gian nên dấn thân vào nghiên cứu khoa học luận đầy đủ dựa tài liệu lịch sử toán Vì vậy, chúng tơi làm rõ mối quan hệ thể chế nhờ vào phân tích số định nghĩa xây dựng khái niệm khoảng, đoạn giáo trình tốn dùng trường đại học Đây sở để đến kết luận nguyên nhân dẫn đến xuất khái niệm Kế đến việc phân tích vai trị chúng việc giải kiểu toán đạo hàm, nguyên hàm tích phân Kết thu cho phép đưa câu trả lời cho câu hỏi Q1 trình bày chương 1: Nghiên cứu khoa học luận khái niệm khoảng, đoạn Đối với câu hỏi Q2, tiến hành phân tích mối quan hệ thể chế (giáo dục phổ thông) với đối tượng tri thức khái niệm khoảng, đoạn qua việc phân tích định nghĩa hình thành khái niệm khoảng, đoạn từ sách giáo khoa, sách giáo viên phân tích kiểu toán đạo hàm, nguyên hàm mà việc giải phải nhờ vào khái niệm khoảng, đoạn Việc làm giúp trả lời vai trị chúng có thể chế quan tâm khơng? Kết trình bày chương 2: Phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn Kết nghiên cứu hai chương cho phép rút hợp đồng didactic vận hành khoảng, đoạn toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm, tích phân Các quy tắc hợp đồng phát biểu kiểm chứng thực nghiệm chương 3: Thực nghiệm 5.Cấu trúc luận văn Luận văn có cấu trúc chi tiết sau: Mở đầu Chương Nghiên cứu khoa học luận khái niệm khoảng, đoạn 1.1 Sơ lược xuất khái niệm khoảng, đoạn lịch sử Toán học (Các điểm cần nghiên cứu luận văn: Các khái niệm xuất để giải tốn gì? Tiến triển chúng lịch sử Toán học? Mối liên hệ chúng với khái niệm số thực, việc xây dựng tập R tính chất tơpơ đường thẳng thực?) 1.2 Vai trò khái niệm khoảng, đoạn việc giải số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm tích phân chương trình đại học 1.3 Kết luận chương Chương Phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn 2.1 Các khái niệm khoảng, đoạn chương trình Tốn phổ thơng 2.2 Sự can thiệp khoảng, đoạn số kiểu toán liên quan đến đạo hàm, nguyên hàm tích phân 2.3 Kết luận chương Chương Thực nghiệm 3.1 Tóm tắt kết chương đầu 3.2 Phát biểu giả thuyết nghiên cứu 3.3 Thực nghiệm giáo viên 3.4 Thực nghiệm học sinh 3.5 Kết luận chương Kết luận chung CHƯƠNG 1: MỐI QUAN HỆ THỂ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC Trên phương diện công cụ, khoảng, đoạn sử dụng để thay cho tập tập hợp số thực, chức chủ yếu nhằm làm đơn giản hóa cách viết Trên phương diện lý thuyết, khoảng, F P P đoạn trở nên quan trọng liên kết với khái niệm Trong chương này, nghiên cứu quan tâm đến tham gia khái niệm khoảng, đoạn việc xây dựng khái niệm giới hạn hàm số điểm, đạo hàm, nguyên hàm tích phân trình bày tập 1, giáo trình Giải tích toán học tác giả Vũ Tuấn, Phan Đức Thành, Ngơ Xn Sơn (kí hiệu M) Chúng tơi chọn giáo trình thường sử dụng làm tài liệu giảng dạy học tập khoa Toán trường đại học sư phạm toàn quốc 1.1.Khái niệm khoảng, đoạn Trong lịch sử toán học, ý tưởng manh nha khoảng, đoạn xuất sớm hơn, giải bất phương trình hệ bất phương trình đại số Trong giáo trình, sau giới thiệu khái niệm tập hợp định nghĩa ánh xạ, số thực Các tác giả định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn sau: Cho hai số thực a b (a < b) Ta gọi tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a < x < b khoảng (a, b), tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a ≤ x ≤ b đoạn [a, b] [28] Tập hợp số thực x thỏa mãn điều kiện a ≤ x < b (hay a < x ≤ b) gọi nửa đoạn (hoặc nửa khoảng) kí hiệu [a, b), (a, b] [29] Như vậy, để định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn địi hỏi phải có khái niệm tập hợp tập số thực R Trong giáo trình này, tác giả đề cập đến khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn bị chặn ý tính bị chặn hàm số, tác giả lại nhận xét: Có hàm số không bị chặn khoảng bị chặn (hoặc dưới) khoảng Chẳng hạn hàm số y = khơng bị chặn khoảng (0, +∞) bị chặn khoảng x [40] Trong vài trường hợp, việc sử dụng ký hiệu khoảng, đoạn trở nên phức tạp việc sử dụng ký hiệu khác Có thể đơn cử ví dụ hai cách biểu diễn tập xác định hàm số y = tan x D =  π π   π   − + kπ , + kπ  D =  x ∈ R | x ≠ (2k + 1)  k∈Ζ Mặc dù khơng định nghĩa thức tác giả ngầm thừa nhận kí hiệu (0, +∞) khoảng Từ đây, cho thấy mục đích tác giả nhằm củng cố số định nghĩa khoảng, đoạn, nửa khoảng, nửa đoạn giới thiệu bậc phổ thông Việc xây dựng định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm phải đặt sở định nghĩa giới hạn hàm số điểm Vì vậy, nghiên cứu phân tích giới hạn hàm số điểm 1.2.Khái niệm giới hạn hàm số Để chuẩn bị cho định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm, giáo trình đưa vào khái niệm điểm giới hạn: Cho tập số thực E Số thực x gọi điểm giới hạn tập E lân cận (dù với bán kính ε > nhỏ R R nào) điểm x chứa điểm khác x thuộc E R R R R Định nghĩa đặc biệt hóa (với mêtric thơng thường R) định nghĩa khái niệm điểm giới hạn không gian tôpô mà nhắc lại với khái niệm liên quan điểm dính, điểm lập Điểm dính tập hợp A khơng gian tôpô điểm mà lân cận có giao khơng rỗng với A Tập hợp điểm dính A tạo thành bao đóng A Điểm cô lập tập hợp A không gian tơpơ điểm A mà có lân cận không chứa điểm khác A Điểm giới hạn tập hợp A không gian tôpô điểm x mà lân cận có điểm A khác x Như điểm giới hạn điểm dính mà khơng phải điểm cô lập Sau định nghĩa khái niệm điểm giới hạn, giáo trình định nghĩa khái niệm giới hạn hàm số điểm: Cho hàm số f, xác định tập X ⊆ R, lấy giá trị R; x điểm giới hạn tập X R R Định nghĩa: Số l gọi giới hạn hàm số f x dần đến x với ε > 0, tồn δ > cho ta có R R |f(x) – l| < ε (tức l - ε < f(x) < l + ε) với x ∈ X mà < |x – x | < δ(ε) (tức x - δ < x < x +δ; x ≠ x ) R R R R R R R R Rõ ràng để xây dựng định nghĩa giới hạn hàm số x dần đến x , điều kiện tiên x R R R R điểm giới hạn tập X Vì tập hợp điểm giới hạn (a, b) [a, b] nên bậc trung học phổ thông, việc xét giới hạn hàm số điểm thuộc khoảng, đoạn xác định hàm số ln thỏa điều kiện tiên mà không cần phải đưa vào khái niệm tơpơ liên quan Để thấy vai trị ngầm ẩn khái niệm khoảng, đoạn việc xét giới hạn hàm số điểm, xét hai ví dụ: Cho hàm số f : {-1} ∪ (0, 1) → R x  f (x) = x P Dù -1∈D f , ta không xét giới hạn f -1 -1 khơng phải điểm giới hạn D f R R R R Cho hàm số g: (0, 1) → R x  g (x) = x P Dù 0∉D g điểm giới hạn D g nên ta xét giới hạn g R R R R Ta thấy biểu thức giải tích f g giống Hai hàm số f g khác tập xác định D f khơng phải khoảng nên tồn điểm D f mà ta xét giới R R R R hạn f D g khoảng nên xét giới hạn g điểm thuộc D g R R Trên R với mêtric thông thường, tập điểm giới hạn (bao đóng) khoảng (a, b) đoạn [a, b], tập điểm giới hạn (bao đóng) đoạn [a, b] Mặc dù vai trò khoảng định nghĩa giới hạn hàm số thể cách ngầm ẩn giá trị khơng thể nghĩ bàn Nhờ vào khoảng mà ta nhận biết đâu điểm giới hạn tập xác định hàm số, điều kiện thiết yếu trước tính giới hạn đồng thời tồn x ∈ X mà < |x – x | < δ(ε) sở cho việc kiểm tra f(x) thỏa mãn |f(x) – l| < ε Có R R thể khẳng định định nghĩa giới hạn hàm số chưa đề cập đến khái niệm khoảng tác động định khả tồn định nghĩa Như vậy, giáo trình xét giới hạn hàm số f điểm x điểm giới hạn tập xác R R định X Điều mặt khơng địi hỏi x ∈ X, mặt khác đảm bảo X có chứa điểm nằm R R gần x “một cách tùy ý” (với mêtric thơng thường R) Khi đó, giới hạn l f x giá trị “gần” R R R R f(x) x tiến “gần” đến x R R 1.3.Khái niệm đạo hàm Trước định nghĩa đạo hàm hàm số điểm, tác giả trình bày hai kết nghiên cứu trang 139 → 140: Tìm cách tính vận tốc tức thời Ta nhận thấy khoảng thời gian t – t bé vận tốc trung bình: R v tb = R R R f (t ) − f (t0 ) t − t0 cho ta hiểu biết xác nhanh chậm chuyển động thời điểm Do nhận xét tự nhiên ta đến định nghĩa sau vận tốc tức thời chuyển động (không đều) Ta coi giới hạn V1 = “tập xác định” Nếu mệnh đề phát biểu khoảng tập xác định mệnh đề nhận giá trị Nếu mệnh đề phát biểu tập xác định mệnh đề sai so với định nghĩa nguyên hàm, phát biểu khoảng, đoạn nửa khoảng V2 = “(-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞)” Nếu tập xác định hàm số khoảng (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) mệnh đề Nếu tập xác định (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) mệnh đề sai so với định nghĩa nguyên hàm, phát biểu khoảng, đoạn nửa khoảng b.2 Cái cần quan sát Học sinh khẳng định hay sai giải thích nào? b.3 Các chiến lược quan sát: b.3.1 Chiến lược S1 – nguyên hàm xác định Học sinh không quan tâm định nghĩa nguyên hàm, định nghĩa phát biểu khoảng, đoạn nửa khoảng Cái quan sát Vì F’(x) = (ln|x|)’ = = f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) x Nên F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) b.3.2 Chiến lược S2 – nguyên hàm không xác định Học sinh đối chiếu với định nghĩa nguyên hàm, định nghĩa phát biểu khoảng, đoạn nửa khoảng Cái quan sát Theo định nghĩa, hàm số khơng có nguyên hàm (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Câu a Biến didactic giá trị biến V: Cận tích phân: hay lớn b Phân tích chi tiết Câu nhằm kiểm chứng quy tắc hợp đồng “Khi tính tích phân, học sinh khơng có trách nhiệm khảo sát tính liên tục hàm số đoạn lấy tích phân” b.1 Giá trị biến chọn ảnh hưởng biến V = “bằng 0” Nếu cận tích phân hàm số f(x) = [0 ; 1], dẫn đến dx ∫2 x x không xác định nên không liên tục khơng tồn Nếu cận tích phân số < a < hàm số f(x) = dx ∫2 x x liên tục [a ; 1] nên tích phân b.2 Cái cần quan sát Học sinh có thực u cầu khơng? Học sinh giải thích nào? b.3 Các chiến lược quan sát: b.3.1 Chiến lược S1 – khơng kiểm tra điều kiện tồn tích phân Có thể học sinh phát ( x )’= x x |10 = Cái quan sát dx ∫2 x = x |10 = b.3.2 Chiến lược S2 – kiểm tra điều kiện tồn tích phân Học sinh phát hàm số f(x) = x không xác định điều kiện định nghĩa tích phân, hàm số cần tính tích phân liên tục đoạn có hai đầu mút hai cận tích phân Cái quan sát Vì hàm số f(x) = x không xác định nên không liên tục [0 ; 1], dẫn đến Phân tích Posteriori Câu Bảng 1: Thống kê trả lời câu học sinh Chiến lược S1 Không kiểm tra điều kiện định nghĩa Số lượng % 223 98.7% dx ∫2 tồn Câu trả lời x không Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện định nghĩa Tổng Chiến lược S2 1.3% 226 100% (1.3%) học sinh chọn giải thích, đồ thị hàm số tập hợp 226 điểm rời rạc nên hàm số không liên tục điểm thuộc N* Vì hàm số cho khơng có đạo hàm điểm thuộc N*, điều dẫn đến hàm số khơng tồn đạo hàm đạo hàm cấp hai Cơ sở để học sinh lập luận dựa hai nhận xét sau: • Hàm số liên tục khoảng đoạn có đồ thị đường liền nét, hàm số gián đoạn điểm đồ thị khơng phải đường liền nét [GK NC11 ,170] R R • Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm điểm x liên tục điểm x R R R R [GK NC11 ,186] R Chiến lược S1 R 223 (98.7%) học sinh chọn với sau đại diện sau đây: 226 Câu a Cách ∆y = f(∆x + 1) – f(1) ∆x + − ∆y f (∆x + 1) − f (1) = lim = lim = lim =1 ∆x → ∆x → ∆x ∆x → ∆x → ∆x ∆x lim Cách f’(x) =(x)’= nên f’(1) = Câu b f’(x) =(x)’= Câu c f’(x) = nên f’’(x) = Trên quan tâm đến số học sinh sử dụng chiến lược S1, cịn việc tính sai khơng phải mục tiêu mà nhắm đến Sự vượt trội chiến lược S1 so với S2 cho thấy có học sinh kiểm tra điều kiện hàm số xác định khoảng thực yêu cầu, kết kiểm chứng quy tắc hợp đồng đồng “Khi tính đạo hàm hàm số điểm, học sinh khơng có trách nhiệm kiểm tra điểm xét có thuộc khoảng xác định hàm số hay không” Câu Bảng 2: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Số lượng % 210 92.9% 2.7% Không trả lời 10 4.4% Tổng 226 100% Chiến lược S1 Không kiểm tra điều kiện định nghĩa Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện định nghĩa Chiến lược S1 nhiều học sinh 210 (92.9%) chọn, đại diện kết sau 226 đây: ( x )' , x ∈ [2 ; 4] 3 x , x ∈ [2 ; 4]   = 1 = g(x) f’(x) =  x , x ∈ (4 ; 6] ( )' , x ∈ (4 ; 6]  5  Kiểu tập hoàn tồn xa lạ với học sinh, khơng xuất SGK hành Đây có 10 khơng trả lời Kết thống kê cho thấy chiến lược S1 chiếm ưu S2, 226 thể lí làm cho điều cho phép khẳng định, học sinh không qua tâm đến xuất khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm nên bỏ qua việc nhiệm vụ tính f’(4) thay vào việc vận dụng quy tắc hợp đồng “Nếu F(x) xác định hai công thức F1 (x) F2 (x) F , F2 R R R R R R R R nguyên hàm f , f , F nguyên hàm hàm số f xác định hai công thức f (x) f (x)” R R R R R Câu Bảng 3: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Chiến lược S1 Nguyên hàm xác định Chiến lược S2 Nguyên hàm khơng xác định Tổng Chiến lược S1 Vì F’(x) = (ln|x|)’ = Số lượng % 222 98.2% 1.8% 226 100% 222 (98.2%) chọn, đại diện kết sau: 226 = f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) x R R R Nên F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Sự vượt trội chiến lược S1 S2 cho thấy, có lượng đông học sinh không ý đến khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm nên thừa nhận F(x) nguyên hàm f(x) (∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Kết kiểm chứng quy tắc hợp đồng “Nếu đạo hàm hàm số F hàm số f F nguyên hàm hàm số f” Câu Bảng 4: Thống kê trả lời câu học sinh Câu trả lời Số lượng % Chiến lược S1 214 94.7% 12 5.3% 226 100% Không kiểm tra điều kiện tồn tích phân Chiến lược S2 Kiểm tra điều kiện tồn tích phân Tổng Chiến lược S1 • • dx ∫2 x 214 học sinh chọn với kết đại diện sau đây: 226 x |10 = = − 1 x dx 1 ∫0 x = ∫0 dx = x |0 = x |0 = Chiến lược S2 12 (5.3%) học sinh chọn phát hàm số f(x) = gián đoạn 214 x nên không thỏa điều kiện liên tục [0 ; 1] định nghĩa tích phân Sự vượt trội chiến lược S1 so với S2 cho thấy phần lớn học sinh bỏ qua việc kiểm tra điếu kiện hàm số liên tục đoạn có hai đầu mút hai cận tích phân dường em cho điều kiện người đề phải đảm bảo, em có trách nhiệm xác định nguyên hàm hàm số f(x) = x hàm F(x) = x (không cần biết F(x) nguyên hàm hàm số f(x) tập nào) phải đưa kết tính tích phân Phân tích cho cho thấy thực phép tính đạo hàm, ngun hàm tích phân, học sinh khơng quan tâm đến điều kiện hàm số xác định khoảng, đoạn dẫn đến nhiều tốn khơng thỏa mãn điều kiện định nghĩa phần lớn em kết Kết luận thực nghiệm Khoảng, đoạn định nghĩa đạo hàm, nguyên hàm tích phân giáo viên xem điều kiện ràng buộc thay tập hợp khác nên vai trị chúng thường khơng quan tâm đến Ngoài ra, điều kiện hàm số xác định khoảng, đoạn tốn tính đạo hàm, ngun hàm tích phân giáo viên cho rằng, giả thiết tốn phải đảm bảo Các quan niệm ảnh hưởng khơng đến thái độ học sinh, từ kết thực nghiệm cho thấy, em khơng có trách nhiệm kiểm tra hàm số phải xác định khoảng đoạn theo điều kiên ràng buộc định nghĩa em có trách nhiệm đưa kết quả, dẫn đến nhiều tốn khơng tồn học sinh tính KẾT LUẬN Thực đề tài “Khái niệm khoảng, đoạn phép tính đạo hàm, ngun hàm tích phân”, chúng tơi đạt kết sau: Trong chương I, phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm giới hạn hàm số, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, cụ thể: Trên R với mêtric thơng thường, tập điểm giới hạn (bao đóng) khoảng (a, b) đoạn [a, b], tập điểm giới hạn (bao đóng) đoạn [a, b] nên bậc trung học phổ thông, việc xét giới hạn hàm số điểm thuộc khoảng, đoạn xác định hàm số ln đảm bảo điểm xét điểm giới hạn khoảng, đoạn mà không cần phải đưa vào khái niệm tôpô liên quan Các định nghĩa đạo hàm hàm số điểm, đạo hàm hàm số, đạo hàm phía, đạo hàm cấp cao xây dựng sở định nghĩa giới hạn hữu hạn hàm số điểm nên khoảng, đoạn định nghĩa có vai trị tương tự định nghĩa giới hạn hàm số điểm Khi tính đạo hàm điểm thơng qua số gia ∆x, ∆y Các tác giả không giới thiệu hàm số Đồng thời khoảng xác định ∆y ∆x ∆y mối liên hệ với không đề cập ∆x Sự xuất khoảng, đoạn định nghĩa nguyên hàm hình thành đặc trưng bản, nguyên hàm sai khác số Các phân hoạch định nghĩa tích phân xác định có chung đặc trưng, giá trị nhỏ giá trị lớn điểm chia hai đầu mút đoạn [a, b] đồng thời điểm lại thuộc đoạn Như vậy, phần tử đoạn [a, b] tham gia xây dựng nên định nghĩa tích phân xác định phần tử điểm chia phân hoạch Từ đó, cho thấy khơng thể thay đoạn định nghĩa tích phân xác định tập khác tập số thực R Trong chương hai, nghiên cứu vận hành khoảng, đoạn định nghĩa đạo hàm, ngun hàm tích phân chương trình Tốn phổ thơng Ở bậc THCS, hình biểu diễn khoảng nửa khoảng không bị chặn sử dụng để biểu diễn cho tập nghiệm bất phương trình tương đương với bất phương trình dạng Đến THPT, khoảng, đoạn định nghĩa tường minh Sau định nghĩa, tập hợp thường thay kí hiệu tương ứng Khái niệm giới hạn hàm số điểm định nghĩa thông qua giới hạn dãy số khoảng xuất khái niệm nhằm đảm bảo tồn dãy số (x n ) tập hợp (a ; b)\{ x } thỏa R R R R mãn điều kiện limx n = x R R R R Giả thiết hàm số f(x) xác định khoảng (a ; b) điểm x thuộc khoảng (a ; b) định R nghĩa đạo hàm hàm số điểm làm cho hàm số y = R f ( x) − f ( x0 ) xác định khoảng (a ; x − x0 b)\{x } thỏa mãn điều kiện ràng buộc định nghĩa giới hạn hàm số điểm R R Tương sách M, SGK hành giới thiệu cách tính đạo hàm hàm số điểm thơng qua số gia ∆x, ∆y không đề cập ∆y hàm số, khoảng xác định mối liên ∆x hệ với tác giả nhắc đến làm cho bước tính đạo hàm SGK cung cấp thao tác hình thức Việc bổ sung khái niệm hàm số đơn điệu đoạn nửa khoảng giúp cho việc chứng minh số bất đẳng thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số chứng minh vài định lí thuận tiện dễ dàng Tuy nhiên vai trò khoảng, đoạn số tốn khơng thể thay cho nhau, chẳng hạn: Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ khoảng đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ bao đóng khoảng mệnh đề đảo khơng Việc định nghĩa nguyên hàm hàm số khoảng đoạn nhằm đảm bảo nguyên hàm sai khác số Giả thiết hàm số liên tục liên tục đoạn cho biết tồn nguyên hàm Trong phương pháp đổi biến tích phân phần SGK hành, điều kiện phát biểu chung chung, chưa đảm bảo tồn nguyên hàm hàm số dấu tích phân Giả thiết f liên tục đoạn [a ; b] toán dẫn đến khái niệm tích phân vừa làm cho đồ thị đường liền nét vừa đảm bảo tồn nguyên hàm hàm số f đoạn giả thiết hàm số liên tục phương pháp đổi biến tích phân phần cách tường minh, đảm bảo tích phân tồn Trong chương III, kết thực nghiệm cho phép hợp thức hai giả thuyết nghiên cứu đặt cuối chương II Hướng mở luận văn: Nghiên cứu lịch sử xuất kí hiệu khoảng, đoạn xây dựng đồ án didactic để tiếp cận với khái niệm khoảng, đoạn mà điều kiện khách quan, luận văn chưa thực PHỤ LỤC Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho giáo viên Thưa q thầy, cơ, Nhằm góp ý cho sách giáo khoa, góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn, mong q thầy, vui lòng dành chút thời gian trả lời câu hỏi Tổng số năm mà quý thầy cô giảng dạy toán lớp 11 12 (kể năm học này): Dưới lời giải học sinh Xin quý thầy, cô cho điểm (theo thang điểm 10) lời giải ghi ý kiến đề lời giải Câu Cho hàm số f: (0,+∞) → R, f(x)= x2 Tính giới hạn hàm số f x dần đến P P Bài làm lim f ( x) = lim x = x→0 x→0 Điểm: Ý kiến: Câu x Cho hàm số f(x) =  0 , | x | >1 Tính giới hạn hàm số f x dần đến ,x=0 Bài làm lim f ( x) = lim x = x→0 x→0 Điểm: Ý kiến: Câu Cho hàm số y=f(x) xác định (a ; b) có đạo hàm điểm x ∈ (a,b) f’(x )=1 Tính f’’(x ) R R R R R R Bài làm Vì f’(x )=1 nên f’’(x )=0 R R R R Điểm: Ý kiến: Câu Cho hai hàm số F(x) = ln|x| f(x) = x Em cho biết tính sai mệnh đề sau: F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Bài làm Mệnh đề F’(x) = f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) nên F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Điểm: Ý kiến: Câu Em cho biết tính sai mệnh đề sau: Nếu K khoảng nửa khoảng f hàm số liên tục K a, b hai số thuộc K F nguyên hàm hàm số f K b ∫ f ( x) dx = F(b) – F(a) a Bài làm Trong định nghĩa tích phân (Giải Tích 12 nâng cao, trang 148), K tập miễn f hàm số liên tục K a, b hai số thuộc K F nguyên hàm hàm số f K Vì ta có quyền thay K khoảng nửa khoảng tùy ý Điểm: Ý kiến: Phụ lục Phiếu câu hỏi dành cho học sinh Họ tên: Lớp Câu Cho hàm số f: N* → R, f(x) = x 1) Tính đạo hàm hàm số điểm x = R R 2) Tìm đạo hàm hàm số f 3) Tìm đạo hàm cấp hai hàm số f Câu  x , x ∈ [2 ; 4] 3 x , x ∈ [2 ; 4]   Cho hai hàm số y=f(x)=  x Và y = g(x) =  ( ( ] ] x x , ∈ ; , ∈ ;   5 5 Hàm số f nguyên hàm hàm số g [2 ; 6] không? Tại sao? Câu Cho hai hàm số F(x) = ln|x| f(x) = x Hãy giải thích tính (sai) mệnh đề sau đây: F(x) nguyên hàm f(x) (-∞ ; 0) ∪ (0 ; +∞) Câu Tính dx ∫2 x TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt Phan Đức Chính (Tổng chủ biên) - Tôn Thân (Chủ biên) - Nguyễn Huy Đoan-Lê Văn Hồng Trương Công Thành - Nguyễn Hữu Thảo, Toán 8, tập 2, NXB Giáo dục G.M.Fichtengon (1977), Cơ sở giải tích tốn học, NXB Đại Học Miền Nam Đặng Minh Hải (2009), Các tính chất hàm số mối liên hệ chung1trong dạy học Tốn phổ thơng, Luận văn thạc sỹ giáo dục học Trần văn Hạo (Tổng chủ biên) - Vũ Tuấn (Chủ biên) - Đào Ngọc Nam - Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Đào Ngọc Nam-Lê Văn Tiến-Vũ Viết Yên, sách giáo viên Đại số giải tích 11, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Tiến Tài-Cấn Văn Tuất, Giải tích 12, NXB Giáo dục Trần văn Hạo (Tổng chủ biên)-Vũ Tuấn (Chủ biên)-Lê Thị Thiên Hương-Nguyễn Tiến Tài-Cấn Văn Tuất, sách giáo viên Giải tích 12, NXB Giáo dục Lê Thị Thiên Hương – Nguyễn Anh Tuấn – Lê Anh Vũ, Toán Cao cấp tập 1, NxbGD Trần Lương Cơng Khanh (2002), Nghiên cứu didactic khó khăn học sinh tiếp thu khái niệm tích phân, Luận văn thạc sỹ giáo dục học 10 Đoàn Quỳnh (tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (chủ biên)-Nguyễn Xuân Liêm- Đặng Hùng Thắng-Trần Văn Vuông, Đại số 10 nâng cao, NXB Giáo dục 11 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Nguyễn Xuân Liêm-Nguyễn Khắc Minh-Đặng Hùng Thắng, Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáodục 12 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Nguyễn Xuân Liêm-Nguyễn Khắc Minh-Đặng Hùng Thắng, sách giáo viên Đại số giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục 13 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Trần Phương Dung-Nguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng, Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục 14 Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên)-Nguyễn Huy Đoan (Chủ biên)-Trần Phương Dung-Nguyễn Xuân Liêm-Đặng Hùng Thắng, sách giáo viên Giải tích 12 nâng cao, NXB Giáo dục 15 Nguyễn Thế Thạch (chủ biên), Hướng dẫn thực chương trình sách giáo khoa lớp 12, NXB Giáo dục 16 Nguyễn Đình Trí (1995), Tốn học cao cấp, NXB Giáo dục 17 Vũ Tuấn – Phan Đức Thành – Ngơ Xn Sơn, Giải tích tốn học tập 1, NXB Giáo dục Tiếng Anh 18 Brian S Thomsn, Rethinking the Elementary Real Analysis Course ... CỦA KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG Trong chương chúng tơi phân tích mối quan hệ thể chế khái niệm khoảng, đoạn với đối tượng đạo hàm, ... KHOẢNG, ĐOẠN TRONG CÁC KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM, NGUYÊN HÀM VÀ TÍCH PHÂN Ở CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG 29 1T T 2.1.Tiến trình hình thành khái niệm khoảng, đoạn 30 2.1.1 .Khái niệm khoảng, đoạn. .. THỂ CHẾ CỦA KHÁI NIỆM KHOẢNG, ĐOẠN VỚI CÁC ĐỐI TƯỢNG ĐẠO HÀM, NGUN HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG CHƯƠNG TRÌNH ĐẠI HỌC 1T T 1.1 .Khái niệm khoảng, đoạn 1.2 .Khái niệm giới hạn hàm số