Khái niệm hàm số logarit trong trường trung học phổ thông

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HỒNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HỒNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS LÊ VĂN TIẾN Thành phố Hồ Chí Minh – 2008 LỜI CẢM ƠN Đầu tiên, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS.TS Lê Văn Tiến, người nhiệt tình hướng dẫn giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Tơi xin trân trọng cảm ơn PGS.TS Lê Thị Hoài Châu, PGS.TS Lê Văn Tiến, TS Đoàn Hữu Hải, PGS.TS Claude Comiti, PGS.TS Annie Bessot, TS Alain Birebent nhiệt tình hướng dẫn, truyền thụ cho kiến thức thú vị didactic tốn, cung cấp cho chúng tơi công cụ hiệu để thực việc nghiên cứu Tôi xin chân thành cảm ơn TS Nguyễn Xuân Tú Hun nhiệt tình giúp tơi dịch luận văn sang tiếng Pháp Tôi xin chân thành cảm ơn: - Trưởng phòng Thanh tra đào tạo, đồng nghiệp phòng Thanh tra đào tạo tạo điều kiện thuận lợi động viên, giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho chúng tơi suốt khóa học - Ban Giám hiệu thầy tổ Tốn trường THPT Nguyễn Hiền, trường THPT Nguyễn Văn Côn tạo điều kiện giúp đỡ tiến hành thực nghiệm Cuối cùng, xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, anh chị người thân yêu gia đình tơi ln động viên, nâng đỡ tơi mặt Phạm Trần Hoàng Hùng TABLE DES MATIÈRES Page de titre Remerciements Table des matières .1 Liste des abréviations Liste des tableaux INTRODUCTION Chapitre CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR SAVANT 12 1.1 Historique 12 1.2 Caractéristiques du concept du Logarithme et de la Fonction logarithmique dans quelque manuels universitaires .14 1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] 15 1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] 20 Chapitre CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE AU NIVEAU DE SAVOIR À ENSEIGNER 25 2.1 Manuel scolaire publié en 1991 25 2.2 Manuel scolaire (selon le programme de modification fusionnée) publié en 2000 .37 2.3 Manuel scolaire publié en 2008 41 Chapitre EXPÉRIMENTATIONS 48 Expérimentation A 49 3.1 Finalité de l’expérimentation 49 3.2 Contenu de l’expérimentation 49 3.3 Analyse des résultats 50 3.4 Conclusion 53 Expérimentation B 53 3.5 Finalité de l’expérimentation 53 3.6 Organisation de l’expérimentation 53 3.7 Analyse a priori des questions expérimentales 54 3.7.1 Construction des questions expérimentales 54 3.7.2 Système des questions expérimentales 54 3.7.3 Stratégie et Influence des variables observables 56 3.8 Analyse de la scénario 62 3.9 Analyse a posteriori 62 3.9.1 Fiche 63 3.9.2 Fiche 64 3.10 Conclusion .65 CONCLUSION 66 BIBLIOGRAPHIES ANNEXES LISTE DES ABRÉVIATIONS THPT Lycée THCS Collège SGK Manuel scolaire SGV Livre du professeur SBT Livre d’Exercices CLHN Modification fusionnée TCTH Organisation mathématiques [a] Mathématiques avancées, No 2, Calcul différentiel – Des fonctions usuelles, Guy Lefort Les Logarithmes Et Leurs Applications Par André Delachet Presses Universitaires De France 108, Boulevard Saint-German, Paris 1960 Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Livre du professeur Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Phan Trương Dần, 1991, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Guide pédagogique Mathématiques 11e, Văn Như Cương, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Livre d’Exercices Algèbre et Analytique 11e, Trần Văn Hạo, Ngô Thúc Lanh, 2000, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Analytique 12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Livre du professeur Analytique12e, Trần Văn Hạo (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation Livre d’Exercices Analytique12e, Vũ Tuấn (Directeur de l’Éditeur), 2008, Maison d’Édition du Minitère de l’Éducation [b] [V1] [P1] [E1] [V2] [P2] [E2] [V3] [P3] [E3] LISTE DES TABLEAUX Tableau 2.1 Statistique des exemples et des exercices relatifs la fonction logarithmique dans le manuel [V1] et le livre d’Exercices [E1] Statistique des exemples et des exercices relatifs la fonction logarithmique dans le manuel [V2] et le livre d’Exercices [E2] Statistique des exemples et des exercices relatifs la fonction logarithmique dans le manuel [V3] et le livre d’Exercices [E3] 36 Tableau 3.1 Statistique des problèmes dans l’Exercice du professeur 50 Tableau 3.2 Statistique des évaluations des solutions de l’Exercice du professeur Statisque des solutions attendues de l’Exercice du professeur 51 Tableau 3.4 Statisque des évaluations du professeur de l’Exercice 52 Tableau 3.5 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice (Fiche 1) 63 Tableau 3.6 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice (Fiche 1) 64 Tableau 3.7 Statisque des solutions d’élèves de l’Exercice (Fiche 1) 64 Tableau 3.8 Statisque des évaluations des élèves (Fiche 2) 65 Tableau 2.2 Tableau 2.3 Tableau 3.3 40 47 52 INTRODUCTION Premiers constats et questions de départ Fonction demeure un objet qui joue toujours un rôle important dans le programme des Mathématiques aux lycées Parmi des types de fonction, nous nous intéressons particulièrement au logarithme pour les raisons ci-dessous : - Le concept du logarithme qui se ramène la fonction logarithme n’est pas seulement mentionné dans les Mathématiques mais encore dans différents domaines comme : physique, chimie, …etc Ce fait enmène poser plusieures questions comme suit : + Quelles sont des ressemblances et des différences entre la définition du logarithme dans les mathématiques et celle dans autres sciences ? + Au lycée, les définitions du logarithme et de la fonction logarithme se présentent – elles dans les autres disciplines? + Existe-il une liaison entre les définitions du logarithme, de la fonction logarithme avec ces disciplines?  Le sujet du logarithme se présente toujours dans le contenu du baccalauréat Cependant, par rapport aux manuels des mathématiques actuels aux lycées, son rôle a reconnu des changements après les renouvellements des programmes et des manuels : + Algèbre et Analyse 11 publié en 1991 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Logarithme de base a -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10, e + Algèbre et Analyse 11 ( avec ajustements) publié en 2000 (avant la partie de la dérivée et l’intégrale) : Fonction exponetielle -> Fonction réciproque -> Fonction logarithme -> Logarithme de base 10,e + Analyse 12 publié en 2008 ( après la partie de la dérivée, avant la partie de l’intégrale) : Fonction puissance -> Logarithme de base a -> Lgarithme de base 10,e  Fonction exponentielle -> Fonction logarithme Comment paraissent –elles donc les notions du logarithme et de la fonction logarithme au programme mathématique aux lycées Quel est le rôle de ces objets? Et comment s’évoluent – ils? De manière systématique, nous trouvons la nécessité de poser ces questions comme suit :  Au niveau du savoir savant, comment sont-ils mentionnés, le concept du logarithme et celui de la fonction logarithme? Quels sont leurs caractéristiques?  Au niveau du savoir enseigner au lycée, pourquoi présente –il le contenu de ces notions en suivant cet ordre mais pas un autre?  Révèle-t-il des ressemblances et des différences entre l’oragnisation des savoirs reliées au logarithme et la fonction logarithme chez l’université et celle du lycée? Les raisons expliquent ces différences?  Comment explique -t-elle, institution cet ordre du choix?  Quelles sont les conséquences proviennent du choix des types de tâche et des techniques chez les objets de l’institution (élèves et enseignant) ?  Demeure -t- il des différences ou des liaisons entre le concept du logarithme et de la fonction logarithme dans les mathématiques et celui chez les autres disciplines? Objectifs de recherche et cadre théorique Ce mémoire vise trouver les réponses pour les questions ci –dessus Pour déterminer les éléments clés de ces questions, nous posons notre étude dans le cadre théorique du didactique des mathématiques, dont les détails sont :  Théorie anthropologique : le rapport institutionnel et le rapport individuel en face d’un savoir, d’une organisation mathématique;  Théorie des situations : contrat didactique  Théorie anthropologique En ce cas, nous faisons seulement des brièves descriptions de deux notions qui ont besoin d’une référence de la théorie anthropologique pour déterminer les réponses des questions posées Rapport institutionnel, rapport individuel en face d’un savoir Rapport institutionnel : Le raport R(I,O) de l’institution I avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’institution I et le savoir O Il révèle ó, par quel moyen O appart, comment O existe et son rôle pour I ? Rapport individuel: La relation R(X,O) de l’individu X avec le savoir O est un ensemble des interactions entre l’individu X et le savoir O Il révèle ce que X pense et comprend de O, comment il manipule O? L’apprentissage de l’individu X envers le savoir O est le processus d’établir ou d’ajuster la relation (X,O) Évidemment, pour un savoir O, le rapport de l’institution I dans laquelle l’individu X est une part laisse toujours une marque dans le raport (X, O) Pour étudier R(X,O), il nous faut le mettre dans R(I,O) Organisations mathématiques Activités mathématiques se présentent une partie des activités sociales; la réalité mathémathique est une type de la réalité sociale; il faut donc construire un modèle qui favorit la description et les études de cette réalité En basant sur ce point de vue, Yves Chevallaerd (1998) a présenté la notion praxéologie D’après Chevallard, chaque praxéologie est un ensemble de éléments [T,,,], dans lequel T est une type de tâche,  est la technique qui permet résoudre T;  est la technologie expliquant la technique , et  est la théorie qui explique la technologie  Une praxéologie dont les éléments contiennent des natures mathématiques s’appelle une organisation mathématique Bosch M et Y Chevallard (1999) ont clarifié: “Pour une place institutionnelle définie, le rapport institutionnel envers un sujet est déterminé et transformé par un ensemble des tâches occupées et réalisé par l’individu obtenant cette place, sous l’aide des techniques indiquées Le fait de réalisation de différentes tâches que l’individu doit faire tout au long de sa vie dans différentes institutions, où l’individu est considéré comme le sujet (alternatiement ou simultanément), produit le rapport entre lui même et le sujet mentionné » + Phát phiếu số yêu cầu học sinh làm việc độc lập (10 phút) + Thu phiếu số học sinh tổng kết bảng (5 phút) 3.7 Phân tích tiên nghiệm (a priori) câu hỏi thực nghiệm 3.7.1 Xây dựng câu hỏi thực nghiệm Các câu hỏi thực nghiệm xây dựng lựa chọn giá trị số biến didactic sau : V1: Hình thức biểu thức tính chứa logarit + Chứa log a b , a log N , biến đổi hai dạng b + Khơng có dạng log a b a log b N biến đổi dạng V2: Đặc trưng biểu thức tính logarit + Kết cuối số thực + Kết cuối biểu thức chứa logarit V3: Đặc trưng a, b log a b a log b + Có thể biến đổi a, b log a b a log b N N dạng: a  c r b  c s với r, s số hữu tỷ + Không thể biến đổi a b log a b , a log b N dạng: a  c r , b  c s với r, s số hữu tỷ V4: số logarit có so sánh với số nguyên M (hoặc 1) khơng ? V5: Có thể giải tốn máy tính bỏ túi hay khơng ? V6: Có thể giải tốn phương pháp đồ thị hay không ? 3.7.2 Hệ thống câu hỏi thực nghiệm PHIẾU SỐ (làm việc cá nhân 20 phút)  Tính a) A = log3 27 log 12 b) B = ( ) 32 c) C = log5  log5 12  log5 50 1 d) D = 2log  log 49  log  So sánh log log7  Có thể so sánh log3 log không? - Nếu khơng, em giải thích - Nếu có, trình bày lời giải em PHIẾU SỐ (làm việc cá nhân 10 phút) 1 Xét tốn: “Tính A = 2log  log 49  log ” Dưới lời giải học sinh lớp 12 trường THPT, em đánh giá cách cho điểm (theo thang điểm 10) kèm theo lời giải thích (nếu cần) em Lời giải Lời giải 1: 1 A = 2log3  log 49  log = log3  log3  log3 = log3 Đáp số: A = log3 Lời giải 2: 1 A = 2log  log 49  log  1,771243749+1,771243749-1,771243749  1,771243749 Đáp số: A  1,771243749 Lời giải 3: 1 A = 2log  log 49  log = log3  log  log3 = log3 Dùng máy tính bỏ túi, ta có: log3  1,771243749 Đáp số: A  1,771243749 Điểm Giải thích em cho điểm (nếu cần) Lời giải 4: 1 A = 2log  log 49  log = log3  log  log3 = log3 Vẽ đồ thị hàm số y = log3 x Theo đồ thị, ta có: log  1,771243749 Đáp số: A  1,771243749 3.7.3 Chiến lược ảnh hưởng biến, quan sát  T’1: “Tính giá trị biểu thức chứa logarit” Đối với kiểu nhiệm vụ này, chúng tơi dự đốn có chiến lược sau: S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” Dùng quy tắc tính logarit để biến đổi logarit biểu thức cần tính dạng log a b log c c , c logc  Sau dự đoán giá trị  để a   b Kết luận:  kết biểu thức cần tính S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi để tính logarit S’13: Chiến lược “dùng đồ thị” Dựa vào đồ thị để đọc giá trị logarit  T”3: “So sánh số logarit” Đối với kiểu nhiệm vụ này, dự đốn có chiến lược sau: S”31: Chiến lược “so sánh với số nguyên M có giá trị (hoặc 1)” Dự đoán chứng minh số logarit thứ lớn số nguyên M có giá trị (hoặc 1) số logarit thứ hai nhỏ số nguyên S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi tính giá trị số logarit so sánh giá trị S”33: Chiến lược “dùng đồ thị” Xác định tọa độ số logarit hệ trục tọa độ so sánh S”34: Chiến lược khác  Sự lựa chọn giá trị biến ảnh hưởng đến chiến lược Phiếu số Câu  Các câu 1a, 1b, 1c lựa chọn giá trị biến nhắm đến việc tạo hội cho học sinh sử dụng chiến lược S’11, cụ thể sau: + Câu 1a, tình tốn có dạng log a b , a b biến đổi dạng: a  c r b  c s , với r, s số hữu tỷ Ở đây, r =1, nghĩa b biến đổi dạng b  a s Lựa chọn dẫn đến hạn chế học sinh dùng chiến lược S’12, S’13 + Câu 1b, tình tốn chứa logarit mũ có dạng a log N , b a b biến đổi dạng: a  c r b  c s , với r, s số hữu tỷ Ở đây, b = c, nghĩa a biến đổi dạng a  b r + Câu 1c, biểu thức logarit cho tốn có số Bài tốn có nhiều số hạng chứa logarit có biểu thức thức nên gây khó khăn cho chiến lược S’12 Hơn nữa, chiến lược S’13 vận hành + Câu 1d, tạo tình ngắt qng hợp đồng, tốn biến đổi dạng log a b , không biến đổi a, b log a b dạng a  c r , b  c s với r, s số hữu tỷ Dẫn đến vận hành chiến lược S’11, S’13; gây khó khăn cho chiến lược S’12 Từ đó, chúng tơi quan sát ứng xử học sinh tôn trọng họ kỹ thuật thể chế việc tính logarit Câu Trong câu 2, chúng tơi đưa toán so sánh số logarit Chúng so sánh với số nguyên M (là 1) cách dễ dàng, nhanh chóng tính đơn điệu hàm số logarit Từ đó, tạo hội cho chiến lược S”31 nảy sinh; hạn chế chiến lược S”32 S”33 ; ngăn cản xuất chiến lược S”34 Đây lời giải mong đợi thể chế so sánh số logarit Bài toán giúp học sinh hiểu rõ nhiệm vụ mà họ tiếp cận, kỹ thuật mà họ vận dụng để giải kiểu nhiệm vụ Câu Đây tình ngắt qng hợp đồng, tốn đưa so sánh số logarit, chúng so sánh với số nguyên Nó dẫn dắt với câu hỏi mở giúp học sinh bộc lộ ứng xử tình Phiếu số Đây tình đưa câu 1d phiếu số 1, để quan sát ứng xử học sinh tôn trọng họ kỹ thuật thể chế việc tính logarit Chúng tơi đưa nhiều chiến lược giải cho toán (kết cuối biểu thức chứa logarit), yêu cầu học sinh đánh giá kèm theo lời giải thích (nếu có) qua việc đánh giá  Phân tích chi tiết quan sát Câu  1a: Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” Vì 1  33 nên log = -3 Hoặc A = log3  log3 33  3 27 27 27 Đáp số: A = -3 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có: log  3 27 Đáp số: A = -3 S’13: Chiến lược “dùng đồ thị” Theo đồ thị, ta có: log  3 27 Đáp số: A = -3  1b: Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” B= ( log 12 5log log = ( ) = (( ) )5 = 75 = 16807 ) 32 2 Đáp số: B = 16807 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có ( log 12 ) = ( ) 2,8073549 = 16807 32 32 Đáp số: B = 16807  1c: Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” C = log5  log5 12  log5 50 = 1 log5  log5  log5  log5 25  log5 2 2 = 1 log5  log5  log5  2log5  log5 2 =  log5   log5 = Đáp số: C = S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” C = log5  log5 12  log5 50 = 0,341303097 – 0,771979655 + 2,430676558 =2 Đáp số: C =  1d: Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S’11: Chiến lược “dùng định nghĩa – tính chất – quy tắc” 1 D = 2log  log3 49  log = log3  log3  log3 = log3 Đáp số: D = log3 S’12: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” 1 A = 2log  log 49  log = 1,771243749 + 1,771243749 - 1,771243749 = 1,771243749 S’11 S’12 kết hợp 1 D = 2log  log 49  log = log3  log3  log3 = log3 Dùng máy tính bỏ túi, ta có: log3 = 1,771243749 Đáp số: D = 1,771243749 S’11 S’13 kết hợp 1 D = log  log 49  log = log3  log3  log3 = log3 Vẽ đồ thị hàm số y = log3 x Từ đồ thị ta có: log  1,771243749 Đáp số: D = 1,771243749 Câu Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S”31: Chiến lược “so sánh với số nguyên M (hoặc 1)” Đặt α = log ,  = log7 Ta có 3 = > 31 nên α > 1;  = < 71 nên  < Vậy log > log7 S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có: log = 1,464974 log = 0,712414 Vậy log > log7 S”33: Chiến lược “dùng đồ thị” Vẽ đồ thị y = log3 x y = log7 x hệ trục tọa độ Theo đồ thị ta có điểm có tọa độ (5 ; log ) nằm điểm có tọa độ (4 ; log7 ) Vậy log3 > log7 Câu Những câu trả lời nhận theo chiến lược sau S”31: Chiến lược “so sánh với số nguyên M (0 1)” Học sinh nhận thấy log3 > 1, log > kết luận so sánh số logarit log3 log S”32: Chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” Dùng máy tính bỏ túi, ta có: log3 = 1,2186 log = 1,10964 Vậy log3 > log7 S”33: Chiến lược “dùng đồ thị” Vẽ đồ thị y = log3 x y = log x hệ trục tọa độ Theo đồ thị ta có điểm có tọa độ (4 ; log3 ) nằm điểm có tọa độ (5 ; log ) Vậy log3 > log S”34: Chiến lược khác Là lời giải học sinh không thuộc chiến lược nêu Ghi chú: Dấu hiệu việc vận dụng chiến lược “dùng máy tính bỏ túi” giá trị logarit học sinh tính số thập phân 3.8 Phân tích kịch Kịch chia thành pha: pha thực phiếu số 1, pha thực phiếu số Pha nhắm đến mục đích cung cấp cho học sinh tốn đối chứng tình quen thuộc tình khơng quen thuộc Những tình quen thuộc giúp học sinh hiểu rõ nhiệm vụ mà họ tiếp cận Thông qua việc nghiên cứu trả lời câu hỏi, học sinh nắm vững kỹ thuật mà họ vận dụng để giải kiểu nhiệm vụ Trong trình học sinh làm việc, giáo viên quan sát học sinh có hiểu nhầm đề tốn, giáo viên có can thiệp kịp thời để điều chỉnh Sự ngắt quãng hợp đồng thực tình khơng quen thuộc cho phép nhận xét ứng xử học sinh tôn trọng kỹ thuật thể chế việc giải kiểu nhiệm vụ Việc thực thêm pha thứ để tránh học sinh sử dụng lời giải gợi ý pha để giải toán pha Pha ngầm ẩn đưa vào việc vận dụng máy tính bỏ túi phương pháp đồ thị để giải tốn tính giá trị biểu thức chứa logarit, nhắm tạo hội cho học sinh bộc lộ ứng xử học kiểu nhiệm vụ Cụ thể, thông qua câu 1a câu 1b, mong muốn học sinh hiểu vận dụng định nghĩa, tính chất logarit để giải toán Câu 1c, logarit biểu thức có số, điều làm thuận lợi việc biến đổi tổng logarit logarit tích Mục đích thơng qua việc biến đổi này, họ thấy biểu thức cần tính chứa logarit đưa dạng log a b Trong a, b biến đổi dạng a  c r , b  c s với r, s số hữu tỷ Câu 1d, tạo ngắt quãng hợp đồng cách học sinh biến đổi biểu thức cần tính chứa logarit dạng log a b , a b lại biến đổi dạng: a  c r b  c s với r, s số hữu tỷ Như ứng xử học sinh ? Điều làm phong phú cho câu trả lời học sinh pha 3.9 Phân tích hậu nghiệm (a posteriori) Thực nghiệm tiến hành với 43 học sinh lớp 12B12 trường THPT Nguyễn Hiền Tp.HCM 34 học sinh lớp 122 trường THPT Nguyễn Văn Cơn Huyện Gị Cơng Đơng Tỉnh Tiền Giang vào đầu tháng 11 năm 2008 Dữ liệu thu qua thực nghiệm bao gồm: làm cá nhân học sinh phiếu số 1, bảng đánh giá lời giải học sinh phiếu số số giấy nháp học sinh Qua làm học sinh, nhận thấy hầu hết học sinh trả lời câu hỏi đặt 3.9.1 Phiếu số Câu Bảng 3.5: Bảng thống kê lời giải Câu học sinh (phiếu số 1) Câu Chiến lược S’11 S’12 S’13 S’11 +S’12 S’11 +S’13 Bỏ trống Tổng số a 75 77 b 73 77 c 76 77 d 60 17 77  Chiến lược học sinh sử dụng câu S’11 Các chiến lược khác không thấy xuất lời giải học sinh, đặc biệt học sinh khơng sử dụng máy tính bỏ túi đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit tình Cụ thể học sinh sử dụng chiến lược S’11 sau: + Ở câu 1a, có 75/77 học sinh (chiếm 97,40%) + Ở câu 1b, có 73/77 học sinh (chiếm 94,81%) + Ở câu 1c, có 76/77 học sinh (chiếm 98,70%)  Câu 1d, tình ngắt quãng hợp đồng nên chúng tơi nhận thấy có lưỡng lự ứng xử học sinh Có 60/77 học sinh (chiếm 77,92%) dừng lại kết toán biểu thức chứa logarit gọn (tối giản), 17/77 học sinh (chiếm 22,08%) học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để tính tiếp kết số gần Nhưng tuyệt đối khơng có học sinh sử dụng phương pháp đồ thị để đọc kết toán số gần Như vậy, nhận thức học sinh có đấu tranh giữ lại kết toán dạng chứa logarit đơn giản hay tiếp tục sử dụng máy tính bỏ túi để tính kết tốn số gần Đây câu hỏi đặt cho giải qua việc gởi đến học sinh phần thực nghiệm phiếu số Câu Bảng 3.6: Bảng thống kê lời giải Câu học sinh (phiếu số 1) Câu Chiến lược S”31 S”32 S”33 S”34 73 Bỏ trống Tổng số 77 Qua làm học sinh, nhận thấy họ sử dụng chiến lược S”31 để giải toán Với 73/77 học sinh (chiếm 94,81%) có lời giải lời giải giống điểm so sánh số logarit cho với số nguyên Kỹ thuật họ dùng trùng khớp với nhận định phần phân tích tiên nghiệm Câu Bảng 3.7: Bảng thống kê lời giải Câu học sinh (phiếu số 1) Câu Chiến lược S”31 S”32 46 S”33 S”34 Bỏ trống Tổng số 18 77 Đây tình ngắt qng hợp đồng, chúng tơi đưa tình khơng quen thuộc nên có lưỡng lự ứng xử học sinh Có 46/77 học sinh (chiếm 59,74%) giải toán đưa lời nhận xét sau: “không thể so sánh log3 log sở lý thuyết log3 > log > 1” Có 4/77 học sinh (chiếm 5,19%) học sinh sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh số logarit cách so sánh số gần vừa tính với lời giải thích: “khơng sở lý thuyết học; dùng máy tính bỏ túi” Có 9/77 học sinh (chiếm 11,69%) học sinh dùng chiến lược khác để giải tốn khơng đến kết cuối Còn lại 18/77 học sinh (chiếm 23,38%) bỏ trống câu 3.9.2 Phiếu số  Lời giải HS1 sử dụng chiến lược S’13, với lời giải 43/43 học sinh (chiếm 100%) trí chấp nhận Ngầm ẩn tồn học sinh: “Kết tính tốn biểu thức chứa logarit giá trị xác, khơng phải giá trị gần đúng”  Lời giải HS2 có đến 25/43 học sinh (chiếm 65,12%) khơng chấp nhận, tốn sử dụng chiến lược S’12 Số học sinh chấp nhận lời giải đưa lời giải thích sau: “phải làm theo quy tắc, tính chất logarit, khơng sử dụng máy tính bỏ túi” “sử dụng máy tính lấy sai số dễ bị nhầm Do số dễ tính nên bấm dễ dàng, khác lấy sai số khơng xác” “chỉ tính kết gần khơng xác” Bảng 3.8: Bảng thống kê đánh giá học sinh (phiếu số 2) Chiến lược Lời Bỏ Tổng S’11 S’12 S’11 + S’12 S’11 + S’13 Không Không Không Không Chấp Chấp Chấp Giải Chấp trống số chấp chấp chấp chấp nhận nhận nhận nhận nhận nhận nhận nhận HS1 43 43 HS2 HS3 HS4 15 28 43 39 43 37 43  Lời giải HS3 kết hợp hai chiến lược S’11+ S’12 Tình có đến 39/43 học sinh (chiếm 90,70%) khơng chấp nhận sử dụng máy tính bỏ túi để đưa kết tốn số gần Chỉ có 4/43 học sinh (chiếm 9,30%) chấp nhận cách giải  Lời giải HS4 rơi vào tình tương tự lời giải HS3 Nó kết hợp hai chiến lược S’11+ S’13 Có 37/43 học sinh (chiếm 86,05%) không chấp nhận dùng đồ thị để đọc kết tốn số gần Chỉ có 6/43 học sinh (chiếm 13,95%) chấp nhận lời giải Điều chứng tỏ học sinh chấp nhận sử dụng quy tắc tính logarit đưa kết tốn dạng gọn nhất, khơng chấp nhận sử dụng máy tính bỏ túi đồ thị để ghi kết toán số gần 3.10 Kết luận Những phân tích cho phép hợp thức giả thuyết tồn quy tắc hợp đồng didactic phía học sinh mà chúng tơi trình bày cuối chương KẾT LUẬN Việc phân tích khái niệm logarit, hàm số logarit đồng thời cấp độ tri thức khoa học cấp độ tri thức cần giảng dạy kết thu từ hai thực nghiệm giáo viên học sinh cho phép tìm yếu tố trả lời cho câu hỏi hình thành nên mục tiêu nghiên cứu luận văn Sau số kết nghiên cứu Việc tìm hiểu vài yếu tố lịch sử liên quan đến khái niệm logarit, hàm số logarit phân tích số giáo trình Toán bậc Đại học, cho phép làm rõ đặc trưng sau khái niệm này:  Hàm số logarit định nghĩa ánh xạ f từ R* vào R, nghiệm phương trình: f(xt) = f(x) + f(t) với x t R* Phương trình thể chất ánh xạ f biến đổi phép tính tích thành phép tính tổng  Động nảy sinh khái niệm logarit hàm số logarit đưa vào cơng cụ cho phép đơn giản hóa tính toán, thường phức tạp vấn đề khoa học sống Cụ thể cho phép thay phép tính nhân phép tính cộng; phép tính chia phép tính trừ; phép khai bậc hai phép chia đôi; phép khai bậc ba phép chia ba, v.v…  Nếu lịch sử, khái niệm logarit xuất trước khái niệm hàm số logarit, hai giáo trình đại học mà xem xét hai khái niệm lại đưa vào theo thứ tự ngược lại Hơn nữa, cấp độ tri thức bậc Đại học này, người ta tiếp cận hàm số logarit theo tiến trình khác nhau, chẳng hạn: + Hàm số logarit (tổng quát) Hàm số logarit neper Hàm số logarit số a  Hàm số mũ e, a Hàm số lũy thừa Bảng logarit số 10 (trong giáo trình [a]) + Hàm số logarit neper Hàm số mũ e Mở rộng số mũ lũy thừa Hàm số mũ a Hàm số logarit số a Bảng logarit số 10 (trong giáo trình [b])  Nói cách khác, mối quan hệ với khái niệm hàm số mũ, khái niệm hàm số logarit xuất trước sau khái niệm hàm số mũ Ở cấp độ tri thức cần giảng dạy bậc THPT Việt Nam: dù có thay đổi vị trí khái niệm hàm số logarit thời kỳ khác (ở lớp 11 chương trình trước lớp 12 chương trình hành, nghĩa trước sau đưa vào khái niệm đạo hàm), mối quan hệ thể chế với khái niệm logarit hàm số logarit dường khơng có nhiều thay đổi Cụ thể, ln có đặc trưng chủ yếu sau:  Khái niệm logarit ln trình bày trước khái niệm hàm số logarit gắn liền với khái niệm hàm số mũ, hàm số ngược Khái niệm logarit lấy nghĩa (ngầm ẩn tường minh) nghiệm phương trình mũ a x  b Và vậy, ràng buộc cho việc đưa vào giảng dạy khái niệm logarit, hàm số logarit phải đưa vào nội dung mở rộng khái niệm lũy thừa  Tiếp cận khái niệm logarit hàm số logarit SGK không cho phép làm rõ ý nghĩa thực khái niệm công cụ cho phép đơn giản hóa tính tốn phức tạp mà ta thấy phân tích chương  Trong chương trình hành, dù xuất trước khái niệm hàm số logarit, khái niệm đạo hàm tác động việc khảo sát hàm số logarit Đạo hàm, với khái niệm nguyên hàm tích phân khơng đóng vai trị việc đưa vào định nghĩa khái niệm logarit hàm số logarit  Vị trí, vai trị khái niệm hàm số logarit ngày mờ nhạt SGK Đặc trưng hình học hàm số logarit khơng thể tính cơng cụ Dẫn đến, SGK hạn chế vào việc nghiên cứu toán gắn liền với logarit dạng log a b a log N , biến đổi hai dạng Cụ thể hơn, phân b tích mối quan hệ thể chế với khái niệm cho phép đặt giả thuyết tồn quy tắc hợp đồng didactic sau đây, thể phần ràng buộc lên khái niệm cần giảng dạy: R1: Biểu thức chứa logarit cần tính phải thỏa mãn hai đặc trưng sau:  Chứa log a b , a log N , biến đổi hai dạng b  Có thể biến đổi a, b log a b a log b N dạng: a  c r b  c s với r, s số hữu tỷ R2: Kết tính tốn biểu thức chứa logarit giá trị xác, khơng phải giá trị gần R3: Khơng sử dụng máy tính bỏ túi để tính giá trị biểu thức chứa logarit R4: Khơng sử dụng phương pháp đồ thị để tính giá trị biểu thức chứa logarit R5: Không sử dụng máy tính bỏ túi để so sánh số logarit R6: Không sử dụng phương pháp đồ thị để so sánh số logarit Chương dành cho hai nghiên cứu thực nghiệm Thực nghiệm A giáo viên Toán lớp 12 trường THPT Việt Nam làm rõ giả thuyết tồn quy tắc hợp đồng didactic mối quan hệ cá nhân giáo viên học sinh Thực nghiệm B học sinh lớp 12 trường THPT Việt Nam làm rõ mối quan hệ cá nhân học sinh với khái niệm logarit, hàm số logarit Kết thực nghiệm chứng tỏ tính hợp thức giả thuyết tồn quy tắc hợp đồng didactic mà trình bày Hai nghiên cứu thực nghiệm chương (một với giáo viên, với học sinh) cho phép khẳng định tồn quy tắc hợp đồng nêu trên, thể ảnh hưởng mạnh mối quan hệ thể chế lên mối quan hệ cá nhân hai thành viên chủ chốt hệ thống dạy học (giáo viên học sinh) Hướng nghiên cứu mở từ luận văn Xây dựng đồ án didactic đưa khái niệm logarit hàm số logarit vào chương trình Tốn phổ thơng với định hướng làm bật vai trò ý nghĩa chúng cơng cụ đơn giản hóa tính tốn ... VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP.HỒ CHÍ MINH PHẠM TRẦN HỒNG HÙNG KHÁI NIỆM HÀM SỐ LOGARIT TRONG TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG Chuyên ngành: Lý luận phương pháp dạy học mơn Tốn Mã số: 60 14 10... tốt khóa học - Ban lãnh đạo chuyên viên phòng KHCN-SĐH trường Đại học Sư phạm TP.HCM tạo điều kiện thuận lợi cho suốt khóa học - Ban Giám hiệu thầy tổ Toán trường THPT Nguyễn Hiền, trường THPT... .14 1.2.1 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [a] 15 1.2.2 Logarithme et Fonction logarithmique dans le manuel [b] 20 Chapitre CONCEPT DU LOGARITHME ET DE LA FONCTION LOGARITHMIQUE